7 Frequency Response Methods2013(频率响应方法)

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张秦艳
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控制工程基础
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• 当ω<< 1/τ:20 log |G| = −10 log(1) = 0 dB • 当ω>> 1/τ: 20 log|G| = −20 logωτ 20 log|G| = −20 logωτ = −20 logτ − 20 log ω. • 十倍频程（decade）：两个频率之比等于十。 令ω2 = 10ω1
频率特性函数的一般形式
G ( j ) (jω)
N
kb (1 jω i )
i 1 2 (1 j ω ) [(1 (2 ζ / ω )j ω (j ω / ω ) )] m k nk nk m 1 k 1
Q
Q
M
R
20logG ( ) 20 log kb 20 log1 j i
G( ) [ R( )]2 [ X ( )]2
2
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• 例8.1 RC滤波器的频率响应
1 1 G ( j ) , ( j ) tan ( / 1 ) 2 1 ( / 1 ) 1 1 2 R( ) X ( ) 2 2
i 1
20 log ( j ) 20 log1 j m
N m 1
M
2 k 20 log1 n k 1 k
N
Q 1 O
j j n k
M 1
2
( ) tan i N (90 ) tan m tan 1
T (s)
m( s ) q( s)
m( s )
Y ( s)
k k1 s n 2 s pi s pn s 2
s p
i 1
n
i
y(t ) k1e
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p1t
k n e
pnt
s L 2 2 s
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Bode图（Bode plot）
• Bode图:ຫໍສະໝຸດ Baidu
– 传递函数的对数幅值与对数频率之间的关系图以及 传递函数的相角与对数频率之间的关系图。
G( j ) G( ) e j ( )
L( ) 20log 10 G( ) 20 log10 R 2 ( ) X 2 ( ) (dB )
Fourier 变换对
F ( j ) F f (t ) f (t )e jt dt

f (t ) L1F ( s )
1 2j

j
j
F ( s)e st ds
f (t ) F 1 F ( j )
1 2



F ( j )e jt d
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提要
• 基本术语: – 频率响应（Frequency Response) – 带宽(Bandwidth) – 转折频率(Corner Frequency) – 最小相位和非最小相位(Minimum Phase & Nonminimum Phase) – 谐振峰值(Maximum Value of the frequency response) – 谐振频率(Resonant frequency) • 绘图工具: – Bode图（Bode plot） – 极坐标图（polar plot）(Nyquist diagram) – 对数幅相图（log magnitude and phase diagram） (Nichols chart)
Ø(ω) = −tan−1ωτ
• ω<< 1/τ, 20 log| G| =20 log 1 = 0 dB • ω0, Ø(ω) = 0° • ω>> 1/τ, 20 log| G| =-20 log ωτ, k= -20 dB/dec • ω∞, Ø(ω) = -90° • at ω= 1/τ,20 log| G| = - 3 dB, Ø(ω) = -45° .
第七章 频率响应方法
Frequency Response Methods
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目录
• • • • • • • • • • 7.1 引言 7.2 频率响应图 7.3 绘制Bode图举例 7.4 频率响应测量 7.5 频域性能指标 7.6 对数幅相图 7.7 设计实例：雕刻机控制系统 7.8 用MATLAB绘制频率响应图 7.9 循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 7.10 小结
• 对于原点处的零点
20log j 20log
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( ) 90
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3.实轴上的极点或零点 (1 + jωτ)
• 对于实轴上的极点 • 1 20log 10log(1 2 2 ) • 1 j
1
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• 如果系统是稳定的，则所有的 pi 都具有正的
非零实部。于是应有：
t
lim(ki e pit ) 0
• 当 t → ∞ 时(即稳态时)
s lim y(t ) lim L 2 2 t t s A T ( j ) sin(t )
2 2
ω |G(jω)|
0 1
ω1
∞
1/ 2 0
Φ(ω)
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0
-45
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-90
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• 例8.2 某传递函数的极坐标图
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其中τ = RC
1/ 2
1 20log G 20 log 幅值： 1 ( ) 2
10 log 1 ( ) 2


1 ( j ) tan • 相角:
• 当 ω =1/τ: 20 log| G| = −10 log 2 = −3.01 dB • 频率 ω =1/τ通常称作转折频率 corner frequency.
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4.共轭复极点或复零点
[1 + (2ζ /ωn )jω + (jω/ωn)2] • 共轭复极点对应的2阶基本因子项的一般形式 为 1 1 u j 2u 1 j 2u ju 1 u 2u 其中 u = ω/ωn.
2 2 2 2 2
20logG( ) 10log[( 1 u 2 )2 4 2u 2 ]
• 当 u << 1, 20 log │G│ = −10 log 1= 0 dB
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7.1 引言
• 频率响应(frequency response):
– 系统对正弦输入信号的稳态响应。 Y(s) = T(s)R(s) r(t) = A sin t
R( s) A s2 2
1
• 其中
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Laplace 变换对 & Fourier 变换对
Laplace 变换对 定义
F (s) L f (t ) f (t )e dt
st 0
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2.原点处的极点或零点(jω)
• 对于原点处的极点
20log 1 ＝－20logdB j
( ) 90O
– 原点处的极点项对应的对数增益曲线 为斜线，其斜率为 -20 dB/dec
• 对于原点处的多重极点
1 20log 20Nlog N （j）
( ) 90 N
G ( j ) G ( s ) s j R( ) jX ( )
R() Re[G( j)], X () Im[G( j)]
G( j) G( j) e j ( j) G( j) ()
( ) tan1
X ( ) , R( )
• 转折频率 (corner frequency):
– 由于零点或极点的影响，幅频响应渐近线的斜率发 生变化时的对应频率。
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例8.3 RC滤波器的Bode图
• •
G ( j ) 1 1 j ( RC) 1 j 1
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常数增益项 Kb
• 常数项 Kb (>0)的对数增益 20 log| G| =20 log Kb = constant (dB) • 相角 （）＝0 o
Kb= 10
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• 如果增益是 -Kb • 20 log| G| =20 log Kb • Ø(ω) = -180°
-Kb= -10
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20log G (1 ) 20log G ( 2 ) 20log1 (20log 2 ) 20log
1 2
20log( 110) 20dB
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i 1 m 1 R 1
R
2 k nk 2 2 nk
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基本因子项
1. 常数增益项 Kb (>0) 2. 原点处的极点或零点 (jω) 3. 实轴上的极点或零点 (jωτ + 1) (τ>0) 4. 共轭复极点或复零点 (or zeros) [1 + (2ζ/ωn) jω + (jω/ωn)2] (0<ζ<1, ωn>0) 5. 延迟因子 e-jωτ (τ>0) 6. 上述因子当 Kb<0,τ<0,-1<ζ<0
条件 研究 对象


0
f (t )e 1t dt



f (t ) dt
传递函数T（s）的零极 系统的幅值和相位特 点在 s-平面的位置 性
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7.2 频率响应图
• 极坐标图 (Polar plot): G(jω)的实部与虚部关系图。
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• 增益渐近线只是真实对数增益曲线的近似，最 大误差为-3dB； • 图中还画出了相角曲线的渐近线，渐近线与实 际相角曲线在转折频率处相交，而在其他频率 点上，两者存在 6°以内的误差。