第八章：系统的状态变量分析

． ．
......
上式可简记为
x (t x (t f
．
& ( t ) = Ax ( t ) + Bf ( t ) x
)
x2
．
(状态方程)
xn xn
．
)
⎡ ． = ⎢ x 1 (t ⎣
(t )
...
( t )⎤ ⎥
⎦
)=
(t )
⎡ x 1 (t ) x 2 (t ) . . . ⎢ ⎣ ⎡ = ⎢ f 1 (t ) f 2 (t ) . . . ⎣
按系统函数可画出其框图和信号流图
f
+
∑
− −
&3 x
−
∫
a2
&2 x x3
∫
a1
&1 x x2
∫
a0
x1
y1
f
1
&2 & &3 s −1 x x s −1 x1 s −1
−a2
1
x1
x3
− a1
x2
y1
−a0
选各积分器的输出端信号为状态变量，则其输入 端信号就是相应状态变量的一阶导数，如图中所 示。可列出状态方程和输出方程为（矩阵形式）
y ( n ) ( t ) + an −1 y ( = bn f
(n)
n −1)
() t + L + a y () ( t ) + a0 y ( t ) 1
1
( t ) + bn −1 f
( n −1)
( t ) + L + b1 f ( t ) + b0 f ( t )
(1)
则其系统函数可写为
bn s n + bn −1 s n −1 + L + b1 s + b0 H (s) = n s + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a0 bn + bn −1 s + L + b1 s + b0 s − n = − ( n −1) −1 1 + a n −1 s + L + a1 s + a0 s − n
例题 2. 一LTI连续系统，描述它的微分方程为
( 2) (1) ( 2) (1) (3) y2 t + a y t + a y + a y t = b f t + b f ( ) 2 2 ( ) 1 2 0 2 ( ) 2 ( ) 1 ( t ) + b0 f ( t )
列出它的状态方程和输出方程。 解：按式写出其系统函数
f1 ( t ) f2 (t )
fn (t )
．
...
{xi ( t0 )}
多输入-多输出连续系统
...
y1 ( t )
y2 ( t )
yn ( t )
x 1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 n x n + b11 f 1 + b12 f 2 + ... + b1 p f p x 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n + b 21 f 1 + b 22 f 2 + ... + b 2 p f p x n = a n 1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n + b n 1 f 1 + b n 2 f 2 + ... + b np f p
ω0 =
1 LC
以 u C (t ) , iL (t )为 变 量 列 方 程 ： d R iL (t ) + L iL (t ) + u C (t ) = f (t ) dt 1 t u C (t ) = iL (t ) d t ∫ C −∞ d 1 u C (t ) = iL (t ) dt C 1 1 R ⎧ d iL (t ) = − iL (t ) − u C (t ) + e (t ) ⎪ ⎪ dt L L L ∴⎨ ⎪ d u (t ) = 1 i (t ) C L ⎪ C ⎩ dt
∫
a2
&2 x x3
∫
a1
&1 x x2
∫
a0
b0+
∑
x1
y2
b2
b1
f
1
&2 & &3 s −1 x x s −1 x1 s −1
−a2
1
x1
x3
− a1
x2
y1
−a0
其状态方程同例1，其输出方程为
[ y2 ] = [
b0
b1
b3
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ]⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
三.离散系统状态方程的建立 离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把差 分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差分方 程组就是该系统的状态方程。 如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一 般形式是
几个名词定义 状态变量 : 用来描述网络中一状态随时间变化的变量 称之为状态变量。 状态方程 ：描述了系统状态变量的一阶导数与状态 变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。 输出方程 ：由状态变量和激励来表示各个输出的方程 组，它是代数方程。 动态方程 ：状态方程和输出方程的总称称为动态方程 或系统方程。
( t )⎤ ⎥
⎦ ⎦
fn
( t )⎤ ⎥
⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31
a12 ... a13 ⎞ ⎟ a22 ... a23 ⎟ a32 ... a33 ⎟ ⎠
⎛ b11 b12 ... b13 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ b21 b22 ... b23 ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 31 b32 ... b33 ⎠
+ L + xn
]
T
An× n
⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ = ⎢ M ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣− a0
1 0 M 0 − a1
0 1 M 0 − a2
L M L L
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − a n −1 ⎥ ⎦ 0 0 M 1
B n ×1 = [0
0
0
L
1]
T
C1×n = ⎡ ⎣( b0 − a0bn )
( b1 − a1bn )
描述系统的方法可分为输入－输出法和状态变量法。 前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于只将 系统的输入变量和输出变量联系起来的输入－输出法， 它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题。 随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出量 的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研 究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这 就需要以内部变量为基础的状态变量分析法。
&1 ⎤ ⎡0 ⎡x ⎢x &2 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ &3 ⎥ ⎣ − a0 ⎣x ⎦ ⎢
1 0 − a1
0 1 − a2
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢
[f]
[ y1 ] = [1
0
0
⎡ x1 ⎤ ⎥ x ]⎢ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第八章 系统的状态变量分析
目录
§ 8.1 状态变量和状态方程 § 8.2 状态方程的建立 § 8.3 连续系统状态方程的解 § 8.4 离散系统状态方程的解 § 8.5 系统的可控制性和可观测性
§8.1 状态参量和状态方程
⎡ x1 ( k +1) ⎤ ⎡a11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x2 ( k +1) ⎥ ⎢a21 ⎢M ⎥ = ⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣an1 ⎣ x3 ( k +1) ⎥ ⎦ ⎢ ⎡b11 a12 L a1n ⎤ ⎡ x1 ( k ) ⎤ ⎢ ⎥ a22 L a2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢b21 x2 ( k ) ⎥ + ⎢ ⎢ M M ⎥⎢ M ⎥ ⎥ ⎣ x3 ( k ) ⎦ ⎢ an2 L ann ⎥ ⎢ ⎦ ⎣bn1 b12 L b1p ⎤ ⎡ f1 ( k ) ⎤ ⎥ ⎥⎢ b22 L b2 p ⎥ ⎢ f2 ( k ) ⎥ ⎥ M M ⎥ ⎢M ⎥ ⎥⎢ bn2 L bnp ⎥ ⎦⎢ ⎣ f3 ( k ) ⎥ ⎦
. 2 ．
.
u s = x1 + L 3 x 3 + R ( is + x 3 )
整理得到状态方程
⎡ ⎢0 &1 ⎤ ⎢ ⎡x ⎢ -1 ⎢x ⎥ & ⎢ 2⎥ = ⎢L ⎢ 2 ⎢ ⎥ & x ⎣ 3⎦ ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎣ L3 1 C 0 0 1 C 0 -R L3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ 0 ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢ -1 ⎢ 2⎥ ⎢L ⎢ 2 ⎢ ⎥ x ⎣ 3⎦ ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎣ L3 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎡u s ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ is ⎦ -R ⎥ ⎥ L3 ⎥ ⎦
b2 s 2 + b1s + b0 b2 s −1 + b1s −2 + b0 s −3 = H ( s) = 3 2 s + a2 s + a1s + a0 1 − ( −a2 s −1 − a1s −2 − a0 s −3 )
按系统函数可画出其框图和信号流图
b2 b1
+ +