第四章 航行器动力学(Dynamics)

第四章 航行器动力学（Dynamics ）

4.1 刚体动力学

牛顿-欧拉表达式 牛顿第二定律：

c c mv f =

欧拉第一和第二定理：

c c

c c p f h m == c c

c c ib p mv h I ω==

4.1 刚体动力学

假设：

（1）航行器是个刚体； （2）NED 坐标系是惯性坐标系；

第一个假设可以不用考虑航行器各质量元素之间的相互作用力；

第二个假设可以不用考虑由于地球自转而产生的力，这是因为地球自转的角速度为：

5

7.292110(/)ie rad s ω-=⋅

地球自转产生的力相对于水动力来说可以忽略。

4.1.1 平移运动

重心的速度：

c o ib g v v r ω=+⨯ ib ie en nb

nb

ωωωωω=++≈ 投影到b 系：

b b b b

c o nb

g v v r ω=+⨯

投影到n 系：

()n

n b n b

b b c

b c

b

o nb g

v R v R v r ω==+⨯

4.1.1 平移运动

对上式求导：

2

()()()()()

[()()()]

n n b b b b b n b b b c b o nb g nb g b o nb g

n b b b n b b b b b o

nb

g

b

nb

o

nb

g

n b b b b b b b b

o nb g nb o

nb g

v R v r r R v r R v r R S v r R v S r S v S r ωωωωωωωωω=+⨯+⨯++⨯=+⨯++⨯=+++

根据欧拉第一定理：i i c

c

mv f =

NED 近似为惯性系， n

n n b c

c

b

c

mv f R f ==

2

[()()()]b b b b b b b b b o nb g nb o

nb g c o

m v S r S v S r f f

ωωω+++==

4.1.1 平移运动

[()]b b b b b b b b b o nb g nb o nb nb g

o m v r v r f

ωωωω+⨯+⨯+⨯⨯=

如果b 系的原点选在重心，则

[]000,,T

b b b b b g

o

c

o

c r f f v v

===

则：

[()]b b b b c nb c

c m v S v f

ω+=

4.1.2 旋转运动

欧拉第二定理：

,c c c c ib h m h I ω==

根据前面的假设，可以得到

()()()()b b b b b b b b b o nb nb o nb g o g nb o o

I S I mS r v mS r S v m

ωωωω+++=式中：

:,0

x xy xz T

o yx

y yz o o zx zy

z I I I I I I I I I I I I ⎡⎤

--⎢⎥=--=>⎢⎥⎢⎥--⎣

⎦

4.1.2 旋转运动

22

22

22

();();();x m xy m m yx

V

V

V

y m xz m m zx

V

V

V

z m yz m m zy

V

V

V

I y z dV I xy dV yx dV I I x z dV I xz dV zx dV I I x y dV I yz dV zy dV I ρρρρρρρρρ=+====+====+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

如果b 系的原点选在重心，即

[]000T

b g

r =

则

()b b b b o nb nb o nb

c I S I m

ωωω+=

4.1.2 旋转运动

平行轴定理：

相对于任意原点o 的惯性矩阵可以表示为：

2

33()()b T T

o c g

c I I mS r I m rr r rI ⨯=-=--

4.1.3 刚体动力学方程

2

[()()()]b b b b b b b b b o nb g nb o

nb g c o

m v S r S v S r f f ωωω+++== ()()()()b b b b b b b b b o nb

nb

o nb

g

o

g

nb

o

o I S I mS r v mS r S v m

ωωωω+++=

4.1.3 刚体动力学方程

矩阵向量形式：

[](),RB RB RB M C u v w p q r τ+==v v v v

特性：

660,0T

RB RB

RB M M M ⨯=>=

33()()000

000000000b g RB

b

g o g g g g g g g g

x xy xz g g yx y yz g g

zx

zy

z mI mS r M mS r I m

mz my m mz mx m my mx mz my I I I mz mx I I I my mx I I I ⨯⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢

⎥---⎢⎥⎢⎥

---⎢

⎥---⎢⎥⎣⎦