追及相遇问题自己整理

恰好不撞对应甲车在这段时间里
刚好运动至A点且开始刹车 其位移
2s S v0t v0 2s v0
所以两车相距至少要有2S
图象法：
v
图中⊿AOC 面积为前 车刹车后的位移
梯形ABDO面积为前 车刹车后后车的位移 ACDB面积为后车 多走的位移
v0
A
B
也就是为使两车不撞, 至少应保持的距离
D t2 t
O
C t1
S 3S S 2S
总结：追及相遇问题的常用解题方法
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质， 找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 （1）物理分析法——根据运动学公式，把时间关系渗 透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据图 象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。 （3）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要 有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式 求解。 （4）相对运动法——选择匀速的那个物体做参考系，
a
A
v1> v2
v1
B
v2
①当v1=v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时 两者间有最小距离； ②当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次， 也是避免相撞刚好追上的临界条件； ③当v1>v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且 之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。
例2. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶， 司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B正以v2=10m/s 速度匀速行驶，A车立即做加速 度大小为a的匀减速直线运动。要 使两车不相撞，a应满足什么条件？
解：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两 车在t0时相遇。则有
s A v At 0 ① 1 2 s B v B t at ( v B at )( t 0 t ) ② 2
式中，t0=12s，sA 、sB分别为A、B两车相遇前行驶的 路程，依题意有
s A sB s ③
由A、B 速度关系：
解2：数学分析法（二次函数极值法） 若两车不相撞，其位移关系应为
1 2 v1t at v2t x0 2 1 2 代入数据得 at 10t 100 0 2
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
1 2 4 a 100 (10) 2 2 0 a 0.5m / s 1 4 a 2
s1=s2
t=48s. 但汽车刹车后只能运动
t′=v0/a=40s
所以，汽车是静止以后再被追上的！ 上述解答是错误的
一定要特别注意追上前该 物体是否一直在运动！
【解析】 所用时间为
0 v0 10 t 40 s a 0.25
v0 0 10 t 40 200m 汽车刹车后的位移. s 2 2 2
式中，s=84m，由①②③式得解得：
2[(v B v A )t 0 s] t 2t 0 t 0 ④ a 代入题给数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2，
2
得：
t 2 24t 108 0 ⑤
解得： t1＝6 s，t2＝18 s（t2不合题意舍去） 因此，B车加速行驶的时间为 6 s。
A B
t0
t0 20s
10
20 10 a tan 0.5 20
o
t/s
a 0.5m / s
2
解法4：相对运动法 以B车位参考系，A车的v-t图像如右图所示：
v/ms-1
20
v
10 B t/s O 20 t
A
10
o
t0
0 VA VB 2ax0
2 2
把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
解法3：v-t图像法 两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差， 当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分 三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超 过100 .
1 (20 10)t0 100 2
v/ms-1
20
解法1：物理分析法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时恰好相遇。
A B
AB
v1 at v2 (包含时间关系) 1 2 由A、B位移关系：v1t at v2t x0 2 2 2 (v1 v2 ) (20 10) 2 2 a m / s 0.5m / s 2 x0 2 100 2 a 0.5m / s
思路点拨: 分析两车运动性质→画出两车运动 情境图→Байду номын сангаас出临界条件→列位移、速度方程 求解 解析:设轿车初速度大小 v1,位移大小 x1,卡车 初速度大小 v2,位移大小 x2,保证两车不相撞的 临界条件是 x1+x2=80 m,如图所示.
解： 在反应时间内，两车做匀速运动
例4. A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B 车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车 加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速 运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间 是多少？
学案
例4
【例4】在平直的公路上，自行车与同方向行 驶的一汽车同时经过A点，自行车以v= 4m/s速 度做匀速运动，汽车以v0=10 m/s的初速度， a= 0.25m/s2 的加速度做匀减速运动. 试求，经过多长时间自行车追上汽车?
【解析】
由追上时两物体位移相等
s1=vt，
s2=v0t-(1/2)at2
当t 6
x自
2s时 xm 6m 3 3 2 ( ) 4 ( ) 2 2 思考：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速 度是多大?汽车运动的位移又是多大？
62
3 2 v汽 aT 12m / s x 6t t 0 T 4 s 2 1 2 s汽 aT ＝24 m 2
1.追及相遇问题的实质
研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空 间位置。
2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系
（1）时间关系 t A t B t0
（2）位移关系 s A sB s0 （3）速度关系
两者速度相等。它往往是物体间能否追上或 （两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断 的切入点。
解法3：（v-t图像法）
哪是自行车的位移？
哪是汽车的位移？ 哪是两车位移之差？哪个时刻相距最远？ -1 v/ms 当t=t 时矩形与三角形的面积之差最大。
6 tan 3 t0
0
汽车
t0 2s
6
自行车
当t=2s时两车的距离最大
1 xm 2 6m 6m 2
o
α
t0
t/s
例1. 一辆汽车在十字路口等候，当绿灯亮时汽车以 3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车 以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求： 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时 间两车相距最远？此时距离是多少？
解法1：（物理分析法） 当汽车的速度与自行车的 速度相等时，两车之间的 距离最大。设经时间t两车 之间的距离最大。则
甲 v0
B 2S
乙 v0 A
C. 3S 公式法
D 4S 图象法
甲
v0
乙 v0
A 乙 A S
甲
甲
A 因两车刹车的加速度相同，所以刹车后的位移相等 若甲车开始刹车的位置 在A点， 则两车处于相撞的临界态
在A点左方，则两车不会相撞
在A点右方，则两车相撞
解答：
前车刹车所用时间
s s 2s t v0 v v0 2
结论：同地出发，速度小者（初速度为零的匀 加速）追速度大者（匀速）,一定能追上
A
v1=0
a
B
v2
①当 v1=v2 时，A、B距离最大； ②当两者位移相等时，有 v1=2v2 且A追上B。A追上 B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。 v1
v
A
v2 o
t0 2t0
汽车何时追上自行车？
B
t
（2）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）
3. 两种典型追及问题
（1）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追 速度大者（匀速）
A
v1=0
a
B
v2
例1. 一辆汽车在十字路口等候，当绿灯亮时汽车以 3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车 以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求： 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时 间两车相距最远？此时距离是多少？
答案：13.5s； 6s; 36m。
练习2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后
匀速行驶，速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹 车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹 车，已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要 保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶 时应保持的距离至少为： B A S.
⑥
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，确定它 们的位移、时间、速度三大关系。
练习1 ：
甲车以6m/s的速度在一平直的 公路上匀速行驶，乙车以18m/s的速度从后 面追赶甲车，若在两车相遇时乙车撤去动力 ，以大小为2m/s2的加速度做匀减速运动， 则再过多长时间两车再次相遇？再次相遇前 何时相距最远？最远距离是多少？
x汽
△x
v汽 at v自
1 2 1 xm x自 x汽 v自t at 6 2m 3 2 2 m 6m 2 2
6 t s 2s a 3
v自
x自
解法2：数学法（二次函数极值法） 设经过时间t汽车和自行车 之间的距离Δx，则 x汽
△x
1 2 3 2 x v自t at 6t t 2 2
在这段时间内，自行车通过的位移为
S自 vt 4 40 160 (m)
可见S自＜S汽，即自行车追上汽车前，汽车已停下
自行车追上汽车所用时间
S汽 200 t 50s v自 4
例5：一辆轿车违章超车,以108 km/h的 速度驶入左侧逆行车道时,猛然发现正前方 80 m处一辆卡车正以72 km/h的速度迎面驶 来,两车司机同时刹车,刹车时加速度大小 都是10 m/s2.两司机的反应时间(即司机从 发现险情到实施刹车所经历的时间)都是 Δ t,试问Δ t为何值,才能保证两车不相撞?