2020-10反比例函数经典题归纳

反比例函数经典题归纳
一、 反比例函数的比较大小问题
1、 反比例函数y ＝k x
中，x,y,k 三个量中（知二求一）-----比较大小 例1：若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1
与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．
2、 反比例函数y ＝k x
中，x,y,k 三个量中（知一）-----比较大小 （1） 若点P 1(−1,m ),P 2(−2,n)在反比例函数y =k x 的图象上，则比较
m 与n 的大小。

（2）反比例函数2y x
-=的图象上有两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若x 1＜x 2，请你比较y 1与y 2 的大小。

（3）已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x
的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )．
A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 3＜y 2＜y 1 二、反比例函数与直线相交问题
类型一：反比例函数与正比例函数相交问题
直线y=mx 与双曲线y ＝k x
相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长．
（3）根据图象直接写出当mx ＞k x
时，x 的取值范围； 总结:
类型二：反比例函数与一次函数相交问题
例1：已知：如图，反比例函数y 1＝k x
的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；
（3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围．
1、 交点坐标重要性：
2、 求曲原三角形面积：
C A O
y x B 3、 比较大小：
变式：例2：如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数
的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．:（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出
的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．
总结：1、
2、
3、
例3：如图,在平面直角坐标系中,直线y =x －2与y 轴相交于点A ,与反比例
函数k y x
=在第一象限内的图象相交于点B （m ,2）. ⑴ 求反比例函数的关系式;
⑵ 将直线y =x －2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点
C ，且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.
三、 交点问题探究
1、 函数y=k+1
x 的图像与直线y=2x 没有交点，k 的取值范围？
变式：一次函数y=kx+1的图像与反比例函数 y=1
x 的图像没有公共点，则k
的取值范围
2、 y=1x 与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则1a +1
b 的值 变式：2y x
= 与y=x+1图象交点坐标为（a,b ）,则1b −1a 的值 3、如果一个正比例函数的图像与反比例函数7y x
=的图像交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，那么2121()()x x y y --的值为_____________
变式1：如果一个正比例函数的图像与反比例函数7y x
=的图像交于
11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，那么-3x 1y 2+5x 2y 1的值为_____________
变式2：M （1，a ）是一次函数y =3x ＋2与反比例函数k y x
=图象的公共点，若将一次函数y =3x ＋2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象
的交点坐标为 .
变式3：在平面直角坐标系xOy 中,一次函数10y x =-的图像与函数
()60y x x
=>的图像相交于点A,B,设点A 的坐标为（1x ,1y ）,那么长为1x ,宽为1y 的矩形的面积为 ,周长为 .
4、如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点
A 的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y=
与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为（ ）
A ． 1＜k ＜9
B ． 2≤k≤34
C ． 1≤k≤16
D ． 4≤k ＜16
变式1：如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交
直线6+-=x y 于A 、B 两点，若反比例函数x
k y =（0>x ）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．92≤≤k
B ．82≤≤k
C ．52≤≤k
D ．85≤≤k
变式2：矩形ABCO 如图放置，点A,C 在坐标轴上，点B 在第一象限，一次
函数y=kx-3的图象过点B ，分别交x 轴、y 轴于点E 、D ，已知C （0，3）
且S △BCD =12。

（1） 求一次函数表达式；
（2） 若反比例函数x m y =
过点B ，在其第一象限的图象上有点P ， 且满足S △CBP =23
S △DOE ，求出点P 的坐标； （3） 连接AC ，若反比例函数m y x
=的图象与△ABC 的边总有有
两个交点，直接写出m 的取值范围。

四、 反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题
例1：如图，直线y=
与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，
x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ）
变式1：如图，已知函数y=x 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A ．将
y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B ，与x 轴交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）若=2，求反比例函数的解析式．
五、 k 的几何意义------面积问题
1、如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点
M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的
值为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
2、如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D
点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ． 3
D ． 4
3、如图，已知双曲线)0(k y >=k x
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交与点C 。

若⊿OBC 的面积为3，
则k= 。

4、如图，点A 在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB 垂
直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线
段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k
的值为 ．
5、如图，反比例函数（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于
E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为．
六、反比例函数中的几何最值问题
如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。

七、反比例函数中探求平行四边形
1.背景：在图1中，已知线段AB，CD。

其中点分别是E，F。

①若A（-1,0），B（3,0），则E点的坐标为________;
②若C（-2,2），D（-2,-1），则F点的坐标为_________;
2.探究：在图2中，已知线段AB的端点坐标A（a,b）,B(c,d),
求出图中AB中点D的坐标（用含a,b,c,d的代数式表示），并给出
求解过程；
归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐
标为A（a,b）,B(c,d),AB中点为D（x,y）时，
x=______,y=_________(不必证明)。

运用：在图3中，一次函数y=x-2与反比例函数的图像交点
为A，B。

①求出交点A,B的坐标；
②若以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结
论求出顶点P的坐标。

2、如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y=k/x
的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
八、反比例函数易错题
1、反比例函数y=−4
,当x＜-2时，y的取值范围
x
当y＞-1时，x的取值范围
2、设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是( )
(A) y = -5x -1 ( B)y = (C)y=-2x+2； (D)y=4x
变式：下列函数中，y随x的增大而增大的是（）
(A) y = -5x -1（x＜0 ）( B)y = −x
(C)y=-2x+2； (D)y=4x2
2。