弹性力学基础讲解
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
弹性力学知识点总结
一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。
1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。
林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。
而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。
2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。
应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。
弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。
弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。
3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。
弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。
3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。
剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。
3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。
第二章弹性力学基础
+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
ͼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
ͼ 1-2b
q
sy =q ͼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 ͼ 1-5
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x
xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
二、 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两 面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也 相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出 简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)
第二章弹性力学基础知识
19
用矩阵表示：
yxx
xy y
xz yz
z
zx
zy
其中，只有6个量独立 z。x zy z
xy yx yz zy 剪应力互等定理 zx xz
应力符号的意义(P8)
x
z
yx xz
y yz x
zy
yz
xy yx y
zx
O
y z
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
符号：
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影 k
Q
Z
X S Y
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
i Oj
y
x
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
正负号： X Y Z 的正负号由坐标方向确定。
16
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
x
X
X
Y
Y
y
O(z)
x
Y
X
X
Y
y
17
2. 应力
5
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,具
有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型 工程结构，须用弹力方法进行分析。
6
2.1弹性力学的基本假定 为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 k X V Y
单位： N/m3
kN/m3
i Oj
y
弹性力学基础
弹性力学基础弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力后的变形和恢复能力。
本文将介绍弹性力学的基本概念、公式和应用。
一、基本概念弹性力学研究的对象是弹性体，即当受到外力作用后，可以恢复原状的物质。
弹性体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在外力作用下，物体发生变形但不改变其内部结构，当外力消失后，物体可以完全恢复原状。
塑性变形是指在外力作用下，物体发生变形会改变其内部结构，当外力消失后，物体无法完全恢复原状。
二、弹性模量弹性模量是衡量物体弹性变形程度的物理量，常用的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。
其中，杨氏模量是衡量物体在拉伸或压缩时的弹性变形程度的量值，剪切模量是衡量物体在受到切割力时的弹性变形程度的量值，泊松比是物体在受到拉伸或压缩时在垂直方向上的变形程度与水平方向上的变形程度之比。
三、胡克定律胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了物体受到力的作用下的弹性变形。
根据胡克定律，当物体受到力的作用后，物体发生的弹性变形与力的大小成正比，与物体的初始长度成反比。
胡克定律可以用数学公式表示为F = kx，其中F为外力的大小，k为弹性系数，x为物体的弹性变形量。
四、应力和应变应力是物体受到外力作用后单位面积上的力的大小，用σ表示。
应变是物体受到外力作用后单位长度变化量与原始长度的比值，用ε表示。
根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，称为胡克定律。
五、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有广泛的应用，例如在结构设计中，通过弹性力学的理论分析，可以确定结构的稳定性和安全性。
在材料科学中，弹性力学可以帮助研究材料的强度和刚度，为材料的选择和设计提供指导。
此外，弹性力学还在地震学、电子学和生物学等领域中有着重要的应用。
总结：弹性力学是研究物体受力后的变形和恢复能力的学科。
本文介绍了弹性力学的基本概念，包括弹性体、弹性变形和塑性变形等概念；弹性模量、杨氏模量、剪切模量和泊松比等物理量；胡克定律、应力和应变的关系；以及弹性力学在工程、材料科学和其他学科中的应用。
弹性力学基本概念
弹性力学基本概念弹性力学是力学的一个分支领域，研究材料在受力时的弹性变形和恢复变形的行为规律。
本文将介绍弹性力学的基本概念，包括应力、应变、胡克定律和杨氏模量等。
一、应力和应变在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，用来描述物体在受力时的变形情况。
应力是单位面积上的力，通常用希腊字母σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种。
正应力是指垂直于受力面的力，它可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
正应力的单位是帕斯卡（Pa），1Pa等于1牛顿/平方米。
剪应力是指平行于受力面的力，它也可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
剪应力的单位也是帕斯卡（Pa）。
应变是物体由于受力而发生的变形程度，通常用希腊字母ε表示。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指物体在受力下发生的长度变化与原长度之比。
线性应变的计算公式为：ε = ΔL / L，其中ΔL表示长度变化，L表示原长度。
剪切应变是指物体在受到剪应力时，各层之间相对位置的变化。
剪切应变的计算公式为：γ = Δx / h，其中Δx表示位置变化，h表示物体的厚度。
二、胡克定律胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了材料的应力和应变之间的关系。
胡克定律可以用公式表示为：σ = Eε，其中σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
杨氏模量是衡量材料硬度和刚度的重要物理量，表示单位应力下材料的单位应变。
杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）。
胡克定律表明，当材料处于弹性变形状态时，应力和应变之间成正比。
杨氏模量越大，材料的刚度越高，抵抗变形的能力也越强。
三、弹性常数除了杨氏模量，弹性力学还有其他一些描述材料力学性质的常数。
泊松比是描述材料在受到正应力时，在垂直方向上的应变情况的比值。
泊松比的计算公式为：ν = -ε_2 / ε_1，其中ε_1表示垂直方向上的线性应变，ε_2表示平行方向上的线性应变。
弹性体模量是描述材料在受力时的刚度的物理量，定义为单位体积的材料在受力时所发生的应变与应力之比。
弹性力学基础讲解
弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。
弹性力学基础
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没 有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序 也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电 路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较 多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题 的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。 掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此 外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分 析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功 及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解 的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近 似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等， 特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的 发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。
大学弹力力学知识点总结
大学弹力力学知识点总结弹性力学是力学的一个分支，主要研究物体在外力作用下的形变和应力，以及这些形变和应力之间的关系。
在这一领域中，我们主要研究弹性体的性质，包括拉伸、压缩、扭转和弯曲等。
弹性力学不仅在工程领域有着广泛的应用，也是现代物理学、材料学和地质学等领域的基础。
1.基本概念在弹性力学中，我们首先需要了解一些基本概念，包括应力、应变、杨氏模量和泊松比等。
应力是单位面积上的外力，通常用符号σ表示。
应力可以分为正应力、剪切应力等。
应变是单位长度上的形变量，通常用符号ε表示。
应变也可以分为正应变、剪切应变等。
杨氏模量是描述材料刚度的参数，通常用符号E表示。
杨氏模量越大，说明材料越难以变形。
泊松比描述了材料在垂直拉伸时横向收缩的程度，通常用符号ν表示。
2.拉伸在弹性力学中，拉伸是一个非常重要的概念，它描述了物体在外力作用下的长度变化。
拉伸实验通常利用应变计来测量物体的应变，从而得到应力-应变曲线。
根据应力-应变曲线，我们可以得到杨氏模量和屈服强度等重要参数。
3.压缩压缩是拉伸的逆过程，它描述了物体在外力作用下的长度减小。
同样，通过压缩实验可以得到物体的杨氏模量和屈服强度等参数。
4.扭转扭转是指物体在外力作用下的扭转形变。
扭转实验可以得到物体的剪切模量。
5.弯曲弯曲是物体在外力作用下产生的弯曲形变。
在弯曲实验中，我们通常关注的是杨氏模量和截面惯性矩等参数。
弯曲实验还可以用来研究材料的疲劳性能。
6.弹性体的稳定性在弹性力学中，我们还需要研究弹性体的稳定性问题。
通常情况下，我们关注的是杆的稳定性和壳的稳定性。
通过分析弹性体的形变和应力分布，我们可以得到弹性体的稳定性条件。
7.应力分析应力分析是弹性力学的重要内容，它主要研究物体内部的应力分布。
应力分析可以帮助我们理解物体在外力作用下的形变特性，以及预测物体的破坏情况。
总之，弹性力学是一门重要的力学分支，它不仅在工程领域有着广泛的应用，也在物理、材料和地质等领域发挥着重要作用。
弹性力学的基本原理
弹性力学的基本原理弹性力学是研究物体在受力后能够恢复原状的力学分支。
它的基本原理可以总结如下：背景介绍弹性力学是力学学科的一个重要分支，研究物体受力后能够恢复原状的性质和行为。
弹性力学的研究对象可以是实物材料，如金属、塑料等，也可以是抽象的理想模型。
本文主要内容本文将讨论弹性力学的基本原理，包括以下几个方面：1. 倍力定律：弹性力学的基本原理之一是倍力定律。
倍力定律指出，在弹性变形范围内，物体受力与其变形之间存在着线性关系。
换句话说，物体受力越大，变形也越大，且两者之间成正比。
2. 弹性恢复：另一个基本原理是弹性恢复。
当外力作用于物体时，物体会变形，但在外力消失后，物体会努力恢复到原来的形状和尺寸。
这种恢复性质是弹性力学的核心特征。
3. 施加力和变形的关系：弹性力学研究物体受力后的变形情况。
在弹性力学中，施加力的方式和大小与物体的变形密切相关。
不同的力学作用方式将导致不同类型的变形，如拉伸、压缩、弯曲等。
4. 弹性模量：弹性力学的另一个关键概念是弹性模量。
弹性模量是衡量物体对外力的抵抗程度的指标。
不同材料具有不同的弹性模量，例如金属具有较高的弹性模量，而橡胶具有较低的弹性模量。
结论弹性力学的基本原理包括倍力定律、弹性恢复、施加力和变形的关系以及弹性模量等重要概念。
理解这些原理可以帮助我们更好地理解物体的弹性行为和性质。
请注意，本文的内容仅为简要介绍弹性力学的基本原理，详细的数学理论和推导过程超出了本文的范围。
参考文献：。
弹性力学基础教学课件PPT
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
公共基础知识弹性力学基础知识概述
《弹性力学基础知识概述》一、引言弹性力学作为固体力学的一个重要分支，主要研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移。
弹性力学的理论和方法在工程结构设计、材料科学、地球物理学等众多领域都有着广泛的应用。
本文将对弹性力学的基础知识进行全面的阐述，包括基本概念、核心理论、发展历程、重要实践以及未来趋势。
二、基本概念1. 弹性体弹性体是指在外力作用下，能够产生弹性变形，当外力去除后，能够完全恢复到原来形状和尺寸的物体。
弹性体的变形通常是微小的，其应力与应变之间存在着一定的关系。
2. 应力应力是指单位面积上所承受的力。
在弹性力学中，应力通常分为正应力和切应力。
正应力是垂直于作用面的应力，切应力是平行于作用面的应力。
应力的单位是帕斯卡（Pa）。
3. 应变应变是指物体在受力作用下，形状和尺寸的改变量与原来形状和尺寸的比值。
应变通常分为正应变和切应变。
正应变是长度的改变量与原来长度的比值，切应变是角度的改变量。
应变是无量纲的量。
4. 弹性模量弹性模量是衡量材料弹性性质的指标，它表示材料在受力作用下产生弹性变形的难易程度。
弹性模量通常分为杨氏模量、剪切模量和体积模量。
杨氏模量是正应力与正应变的比值，剪切模量是切应力与切应变的比值，体积模量是体积应力与体积应变的比值。
三、核心理论1. 平衡方程平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在受力作用下的平衡状态。
平衡方程可以表示为：$\sigma_{ij,j}+f_i=0$其中，$\sigma_{ij}$是应力张量，$f_i$是体积力，$j$表示对坐标的偏导数。
2. 几何方程几何方程描述了弹性体在受力作用下的变形情况。
几何方程可以表示为：$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$其中，$\epsilon_{ij}$是应变张量，$u_i$是位移矢量，$j$表示对坐标的偏导数。
3. 物理方程物理方程描述了应力与应变之间的关系。
第3章 弹性力学基本知识
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。
因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
一、 平衡微分方程：(1) 平面问题的平衡微分方程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ-+++=+++=1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。
弹性力学的基本概念与应用
弹性力学的基本概念与应用弹性力学是力学的一个分支，研究固体材料在外力作用下的形变和应力分布规律，以及材料的弹性恢复性能。
本文将介绍弹性力学的基本概念和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、弹性力学的基本概念弹性力学研究的主要内容包括应力、应变、胡克定律以及材料的弹性恢复性能。
应力是指固体材料单位面积内的内力，是对材料对外力作用的反应。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力指作用垂直于材料截面的力引起的应力，剪应力指作用于材料截面平行于截面的力引起的应力。
应变是指物体在受力作用下发生的形变，是描述材料变形程度的物理量。
应变也可以分为正应变和剪应变。
正应变指物体在受到力的拉伸或压缩时引起的长度变化与原始长度之比，剪应变指物体在受到力的剪切时引起的形变与原始长度之比。
胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了弹性材料的应力与应变之间的关系。
胡克定律认为，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。
这个比例常数就是弹性模量，用E来表示。
胡克定律的数学表达式为：应力 = 弹性模量 ×应变。
弹性恢复性能是指材料在受力后能够恢复原状的性质。
这是弹性力学研究的核心问题之一。
材料的弹性恢复性能可以通过弹性模量和杨氏模量来刻画。
弹性模量是描述固体材料整体抗拉或抗压性能的物理量，而杨氏模量是描述固体材料在压缩或拉伸时改变形状的能力的物理量。
二、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下将从结构设计、材料选择和力学分析三个方面介绍其应用。
1. 结构设计：弹性力学的概念和原理在结构设计中发挥着重要作用。
通过研究材料的弹性模量和弹性恢复性能，设计结构可以更好地满足相应的荷载需求，并实现材料和结构的优化。
2. 材料选择：弹性力学的理论可以指导工程师选择合适的材料。
通过分析材料的弹性模量和杨氏模量等参数，可以确定材料的力学性能和应力分布规律，从而选择最适合的材料，提高结构的性能和寿命。
3. 力学分析：弹性力学的原理在力学分析中发挥着重要作用。
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一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
二、基本方程 1、平衡方程应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。
设P 为弹性体内任意点，由P 点沿三坐标轴的正向分别取长度为dx 、dy 和dz 的三条棱边，由此构成一个微长方体。
微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。
按前节应力定义，过P 点的X 平面（平面的法线方向与X 轴平行，即平面与YOZ 坐标面平行。
）上的应力分量为：),,(z y x xx xx ττ=、),,(z y x xy xy ττ=和),,(z y x xz xz ττ=。
（图3）与该平面平行而相距dx 的X 平面上的应力分量为：),,(''z y dx x xx xx +=ττ、),,(''z y dx x xy xy +=ττ和),,(''z y dx x xz xz +=ττ。
将这三个应力分量在P 点作幂级数展开，并略去二次以上小量，得：dx x xx xx xx ∂∂+=τττ'、dx xxy xy xy ∂∂+=τττ'和dx x xz xz xz ∂∂+=τττ'。
同理可得其它四个面上的应力分量。
微长方体平衡必须满足三个方向上的力的平衡和三个方向上的力矩平衡。
在X 方向上力的平衡，按牛顿第二定律有：dxdydz tudxdydz f dxdy dz zdxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz x zx zx zx yx yx yx xx xx xx 22)()()(∂∂=+∂∂++-∂∂++-∂∂++-ρτττττττττ整理得：22tuf z y x x zx yx xx ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ，其中ρ为弹性体体积密度。
同理可得其它两个方向的平衡方程：22t v f z y x y zyyy xy∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ；22tw f z y x z zz yz xz ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ。
讨论力矩平衡时，为计算方便，将坐标原点移到微长方体的重心处。
由于体积力、惯性力和正应力的合力都通过微长方体的重心，因此它们对三个坐标轴的力矩都为零，即力矩平衡方程中仅包含剪应力。
由于剪应力yx τ和zx τ与X 轴平行，因此对X 轴的力矩为零。
绕X 轴的力矩平衡方程为：（图4）021)(2121)(21=∙∂∂+-∙-∙∂∂++∙dz dxdy dz z dz dxdy dy dxdz dy y dy dxdz zy zy zy yzyz yz ττττττ； 整理得：022=∂∂--∂∂+dz zdy yzy zy yz yz ττττ；略去高阶小量，得：022=-zy yz ττ；即：zy yz ττ=。
同理可得对于其它两个坐标轴的力矩平衡方程：yx xy ττ=；xz zx ττ=。
由此导出剪应力互等定理，九个应力分量中只有六个是独立的。
2、几何方程应用变形几何关系，表达应变与位移之间的关系。
（图5）X 方向正应变：变形前微线段长度为dx l =∆；变形后长度为dx xuu dx x u u dx l )1()('∂∂+=-∂∂++=∆。
按正应变定义，X 方向正应变为：x udx dx dx x u l l l l xx ∂∂=-∂∂+=∆∆-∆=→∆)/1('lim 0ε。
同理可得：yvyy ∂∂=ε；z w zz ∂∂=ε。
XY 平面剪应变：在小变形的前提下，dx 和dy 线段变形后的转角分别为：xv xu x vu dx dx x u u v dx xvv xy xy ∂∂≈∂∂+∂∂=-+∂∂+-∂∂+=≈1)()(tan αα；y u y v y u yx yx ∂∂≈∂∂+∂∂=≈1tan αα。
剪应变：)(21)(21xv y u yx xy yx xy ∂∂+∂∂=+==ααεε。
同理可得：)(21ywz v zy yz ∂∂+∂∂==εε；)(21z u x w xz zx ∂∂+∂∂==εε。
共六个独立应变分量。
1、本构方程材料物理性质的数学表达，又称广义虎克定理，表达应变与应力之间的关系。
设材料的弹性模量为E ，剪切弹性模量为G ，泊松比为ν，三个材料常数之间的关系为：)1(2ν+=EG 。
可以证明，各向同性材料只有两个独立的材料常数，常用的材料常数有五个，统称拉梅系数，用其中任意两个可表达其余三个系数。
如X 方向受到简单拉伸，按虎克定理和横向收缩系数的泊松比关系为：xx xx E ετ=；xx zz yy νεεε-==。
当受到纯剪时，剪应力与剪应变的关系为：xy yx xy xy G G εεετ2)(=+=。
如所有应力都存在，则按迭加原理可得应力－应变关系式：E zz yy xx xx /)]([ττντε+-=；E xx zz yy yy /)]([ττντε+-=；E yy xx zz zz /)]([ττντε+-=；G xy xy 2/τε=；G yz yz 2/τε=；G zx zx 2/τε=。
或以应变表达应力的关系式：)]()1[()21)(1(zz yy xx xx Eεενεννντ++--+=；xy xy G ετ2=；)]()1[()21)(1(xx zz yy yy Eεενεννντ++--+=；yz yz G ετ2=；)]()1[()21)(1(yy xx zz zz Eεενεννντ++--+=；zx zx G ετ2=。
定义体积应变为zz yy xx εεεθ++=，则应变表达应力的关系式又可表达为：xx xx G ελθτ2+=；xy xy G ετ2=；yy yy G ελθτ2+=；yz yz G ετ2=；zz zz G ελθτ2+=；zx zx G ετ2=；其中拉梅系数)21)(1(νννλ-+=E 。
2、边界条件和初始条件弹性力学问题的边界条件分成两类：力边界条件和位移边界条件。
力边界条件：设P 为弹性体表面受到表面力区域中的一点，取一包含P 点的微四面体，四面体的三个界面平行于坐标平面，另一面则为包含P 点的弹性体表面曲面（图6）。
由于四面体很小，表面曲面可近视为三角形斜面。
设表面在P 点的外法线方向为N ，方向余弦分别为x n 、y n 和z n ，表面力强度为{}Tz y x s s s =s ，斜面面积为dS ，三个界面的面积分别为x dS 、y dS 和z dS 。
各面积间有关系：dS n dS x x =，dS n dS y y =和dS n dS z z =。
如体力为0，则微四面体在X 方向的力平衡方程为：z zx y yx x xx x dS dS dS dS s τττ++=； 代入面积间有关系，得：z zx y yx x xx x n n n s τττ++=；同理可得Y 、Z 方向的力平衡方程：z zy y yy x xy y n n n s τττ++=；z zz y yz x xz x n n n s τττ++=。
位移边界条件：u u =；v v =；w w =，或n u n u ∂∂=∂∂；n v n v ∂∂=∂∂；nvn v ∂∂=∂∂对于动力学问题还需加上初始条件，0=t 时有：),,(0z y x u u =；),,(0z y x v v =；),,(0z y x w w =；),,(0z y x u tu t =∂∂；),,(0z y x v t v t =∂∂；),,(0z y x w t w t =∂∂。
三、基本解法［3，p49］三组基本方程（本构方程、几何方程、平衡方程）共15个方程，三组基本变量（位移、应力、应变）共15个变量，加上边界（及初始）条件构成弹性力学问题的基本数学形式，理论上可求解。
实际工作中将问题简化，一般以三个位移分量或六个应力分量为未知数求解，称为“位移法”或“力法”。
1、位移法以三个位移分量为基本未知量，将其它未知量的方程和边界条件用位移来表示。
将几何方程代入本构方程，消去应变分量，得：x u G z w y v x u xx ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(x vy u G xy ∂∂+∂∂=τ； y v G z w y v x u yy ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(y w z v G yz ∂∂+∂∂=τ； zwGz w y v x u zz ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(z u x w G zx ∂∂+∂∂=τ； 将各应力代入平衡方程，X 方向的平衡方程为：222222222222222222222)()()()()()()(2)(tu f u G z w y v x u x G f z u y u x u G z x w y x v x u G z w y v x u x f z uz x w G y x v y u G x u G z w y v x u x f z y x x xx x zx yx xx ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρλλλτττ同理：222)()(t v f v G z w y v x u y G y ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+ρλ；222)()(tw f w G z w y v x u z G z ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+ρλ；2、力法四、圣维南（Saint-Venant ）原理[1，p152]又称局部影响原理。