弹性力学基础讲解

一、基本物理量

应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量

的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变

弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：l

l

l l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长

或缩短。

弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。

应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分

量，得：⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。

关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力

体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}T

z y x V V f f f V

=∆∆=→∆F f 0lim

。

表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}T

z y x S S s s s S

=∆∆=→∆F s 0lim 。

二、基本方程 1、平衡方程

应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。

设P 为弹性体内任意点，由P 点沿三坐标轴的正向分别取长度为dx 、dy 和dz 的三条棱边，由此构成一个微长方体。微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。

按前节应力定义，过P 点的X 平面（平面的法线方向与X 轴平行，即平面与YOZ 坐标面平行。）上的应力分量为：),,(z y x xx xx ττ=、),,(z y x xy xy ττ=和),,(z y x xz xz ττ=。（图3）

与该平面平行而相距dx 的X 平面上的应力分量为：),,(''z y dx x xx xx +=ττ、),,(''z y dx x xy xy +=ττ和

),,(''z y dx x xz xz +=ττ。将这三个应力分量在P 点作幂级数展开，并略去二次以上小量，得：

dx x xx xx xx ∂∂+

=τττ'、dx x

xy xy xy ∂∂+=τττ'和dx x xz xz xz ∂∂+=τ

ττ'。 同理可得其它四个面上的应力分量。

微长方体平衡必须满足三个方向上的力的平衡和三个方向上的力矩平衡。 在X 方向上力的平衡，按牛顿第二定律有：

dxdydz t

u

dxdydz f dxdy dz z

dxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz x zx zx zx yx yx yx xx xx xx 22

)()()(∂∂=+∂∂++-∂∂++-∂∂++-ρ

τ

ττττττττ

整理得：22t

u

f z y x x zx yx xx ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ，其中ρ为弹性体体积密度。

同理可得其它两个方向的平衡方程：

22t v f z y x y zy

yy xy

∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ；22t

w f z y x z zz yz xz ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ。 讨论力矩平衡时，为计算方便，将坐标原点移到微长方体的重心处。由于体积力、惯性力和正应力的合力都通过微长方体的重心，因此它们对三个坐标轴的力矩都为零，即力矩平衡方程中仅包含剪应力。

由于剪应力yx τ和zx τ与X 轴平行，因此对X 轴的力矩为零。绕X 轴的力矩平衡方程为：（图4）

02

1

)(2121)(2

1

=∙∂∂+-∙-∙∂∂+

+∙dz dxdy dz z dz dxdy dy dxdz dy y dy dxdz zy zy zy yz

yz yz ττττττ； 整理得：022=∂∂-

-∂∂+

dz z

dy y

zy zy yz yz ττττ；略去高阶小量，得：022=-zy yz ττ；即：zy yz ττ=。

同理可得对于其它两个坐标轴的力矩平衡方程：yx xy ττ=；xz zx ττ=。

由此导出剪应力互等定理，九个应力分量中只有六个是独立的。 2、几何方程

应用变形几何关系，表达应变与位移之间的关系。（图5）

X 方向正应变：变形前微线段长度为dx l =∆；变形后长度为dx x

u

u dx x u u dx l )1()('∂∂+=-∂∂+

+=∆。按正应变定义，X 方向正应变为：x u

dx dx dx x u l l l l xx ∂∂=-∂∂+=∆∆-∆=→∆)/1('lim 0ε。

同理可得：y

v

yy ∂∂=

ε；z w zz ∂∂=ε。

XY 平面剪应变：在小变形的前提下，dx 和dy 线段变形后的转角分别为：

x

v x

u x v

u dx dx x u u v dx x

v

v xy xy ∂∂≈∂∂+

∂∂=-+∂∂+-∂∂+

=≈1)()(tan αα；y u y v y u yx yx ∂∂≈∂∂+∂∂=

≈1tan αα。 剪应变：)(21)(21x

v y u yx xy yx xy ∂∂+∂∂=+=

=ααεε。 同理可得：)(21y

w

z v zy yz ∂∂+∂∂=

=εε；)(

21z u x w xz zx ∂∂+∂∂==εε。 共六个独立应变分量。 1、本构方程

材料物理性质的数学表达，又称广义虎克定理，表达应变与应力之间的关系。

设材料的弹性模量为E ，剪切弹性模量为G ，泊松比为ν，三个材料常数之间的关系为：

)

1(2ν+=E

G 。

可以证明，各向同性材料只有两个独立的材料常数，常用的材料常数有五个，统称拉梅系数，用其中任意两个可表达其余三个系数。

如X 方向受到简单拉伸，按虎克定理和横向收缩系数的泊松比关系为：xx xx E ετ=；xx zz yy νεεε-==。当受到纯剪时，剪应力与剪应变的关系为：xy yx xy xy G G εεετ2)(=+=。

如所有应力都存在，则按迭加原理可得应力－应变关系式：

E zz yy xx xx /)]([ττντε+-=；E xx zz yy yy /)]([ττντε+-=；E yy xx zz zz /)]([ττντε+-=；

G xy xy 2/τε=；G yz yz 2/τε=；G zx zx 2/τε=。

或以应变表达应力的关系式：