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2015-2016学年浙江省宁波三中高二上学期期中数学试卷与解析

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浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷(理科)

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷(理科)

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·承德期中) 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A . 若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B . 若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C . 若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D . 若a＜b，则a﹣1＜b﹣12. （2分）己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.A . 充分非必要条件．B . 必要非充分条件．C . 充要条件．D . 既非充分又非必要条件．3. （2分）命题p: ，则是（）A .B .C .D .4. （2分）给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：任意,都有，则“非”：存在，使；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题：存在，使；命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题．其中正确的个数是（）A .B .C .D .5. （2分）“”是“函数在区间上单调递增”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M在AB上，且，点P在平面ABCD内，动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离的平方差等于1，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 抛物线C . 双曲线D . 直线7. （2分）己知抛物线方程为，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，与x 轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则p的值为（）A . 2C . 2或D . 2或8. （2分）(2019·淮南模拟) 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，=3，·=2，则⋅的值是（）A . 4B . 6C . 8D . 109. （2分）已知平面α的法向量为=(1,2,-2)，平面β的法向量为=(-2,-4,K)，若α⊥β，则k=（）A . 4B . -4C . 5D . -510. （2分）将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（）A . ﹣1B . 7C . 9D . 111. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 已知向量 =（cosθ，﹣sinθ）， =（3cosθ，sinθ），θ∈（0，π），若⊥ ，则θ=（）B .C . 或D . 或12. （2分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．14. （1分）向量 =（﹣1，2，﹣4）， =（2，﹣2，3）是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量 =（2，3，1），则l与α是否垂直？________（填“是”或“否”）．15. （1分）已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是________ ．16. （1分）下列结论中：①若（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），则在映射f下，（3，1）的原象为（1，1）；②若函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零点个数为m，则m的值不可能为1；④函数f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣8，﹣6]．其中正确结论的序号是________ （请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题 (共6题；共51分)17. （10分） (2018高二上·定远期中) 已知,命题，命题.（1）若p为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数m的取值范围.18. （10分） (2020高一上·乐清月考) 已知函数， .（1）若不等式的解集为，且，求a的值；（2）当时，求关于x的不等式的解集.19. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．20. （1分） (2019高二上·江西月考) 正四棱柱的底面边长为1，若与底面所成角为，则和底面ABCD的距离是________.21. （10分）(2017·广西模拟) 已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小．22. （10分） (2020高二上·沛县月考)（1）若点到直线的距离比它到点的距离小，求点的轨迹方程.（2）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差绝对值等于，求曲线的标准方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共51分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

浙江省宁波市慈溪中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(1班) 含解析

浙江省宁波市慈溪中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(1班) 含解析

2015—2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二(上）期中数学试卷（1班）一、选择题（本大题共8小题，共40分)1．设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时,n等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（) A．2 B．3 C．4 D．54．设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关,统计得到P（n)=,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0）的值是（)A．0 B．1 C．D．6．设双曲线﹣=1，(a＞0,b＞0）的左焦点F(﹣c,0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8,35，440，2015等均为“幸运数”）,将所有“幸运数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个二、填空题（本大题共7小题，9—12小题每小题6分,13—15每小题6分，共36分）9．多项式(x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的展开式中，x4项的系数=，x项的系数=．10．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n=;展开式中的第4项为．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积=．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为．13．某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有种．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有个(S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜,否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分，共74分）16．某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求:（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2)至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人?17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA｜=|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．（1）求椭圆的方程;（2）若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明:•为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,BC的中点为O，A1O垂直于底面ABC．(1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．19．如图已知,椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．20．数列｛a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3,a4,a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式(n∈N*，n≥2）；（3）求证：(1+）（1+）…（1+)＜3（n∈N*）2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二（上）期中数学试卷(1班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．设（1+x）+(1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时，n等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列的求和;二项式定理的应用．【分析】观察已知条件a0+a1+a2+…+a n=254,可令（1+x）+（1+x）2+(1+x）3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．【解答】解：∵（1+x）+（1+x)2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n∴令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n,而a0+a1+a2+…+a n=254==2n+1﹣2，∴n=7故答案为：C2．6个人排成一排,其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】所有的排法共有种,其中甲乙二人相邻的排法有•种，相减即得甲、乙两人中间至少有一人的排法．【解答】解：所有的排法共有=720种，其中甲乙二人相邻的排法有•=240种，故甲、乙两人中间至少有一人的排法有720﹣240=480种，故选A．3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得(2x2﹣)n的展开式的通项公式，则由题意可得x的幂指数等于零有解，从而求得正整数n的最小值．=•2n x2n﹣2r•(﹣）【解答】解:根据(2x2﹣)n的展开式的通项公式为T r+1r•=（﹣)r••,则由题意可得2n=有解,r=0、1、2、3…n,故正整数n的最小值为5,故选：D．4．设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是（)A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β,m∥n且n⊥β，则m∥α D．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．【解答】解:若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α,n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β,则m∥α或m⊂α,故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n,则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻,有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P（n）=，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（）A．0 B．1 C．D．【考点】几何概型．【分析】利用概率之和等于1可得到关于P（0）的方程，解出即可．【解答】解:∵P（1）=P（0）,P(2）=P(0），P（3)=P（0），P(4）=P（0）,P（5)=P(0）．∴P（0）=1﹣（P(1）+P（2）+P（3）+P（4)+P（5））=1﹣（1﹣（)5)P（0），∴P（0）=．故选C．6．设双曲线﹣=1，(a＞0，b＞0）的左焦点F(﹣c，0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A,直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为(）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意,y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a,b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解:由题意，y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a，b),∴AF的斜率为，∵=，∴B为线段FA的中点，∴OB⊥AF，∴•（﹣）=﹣1,∴e2﹣e﹣2=0，∵e＞1，∴e=2．故选：A．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和转化为:抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线x=1的距离之和，x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF,抛物线y2=4x的焦点F（1，0）过P作4x﹣3y+6=0垂线,和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离．【解答】解：x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF，抛物线y2=4x的焦点F（1,0）过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P,所以点P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2:x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，所以最小值==2．直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2：x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是：2﹣1=1故选：A．8．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8，35,440,2015等均为“幸运数"),将所有“幸运数”从小到大排成一列a1,a2,a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个【考点】计数原理的应用．【分析】利用“幸运数”的定义，分类列举出“幸运数”，即可得到结论．【解答】解：由题意，一位数:8；二位数时,17,26，35，44,53,62,71，80有8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0,1，7）有4个,（0，2，6)有4个，（0,3，5）有4个，(0，4，4）有2个，（1,1，6）有3个，（1，2，5）有6个,（1,3，4）有6个，（2,2，4)，有3个,（2，3，3）有3个，合计1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015:（0，0，1，7)有3个,(0，0，2，6）有1个,（0,1,1，6）有6个,(0，1，2，5）有7个，（0,1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个,（1,1，3，3)有3个，（1,2,2，3）有3个，合计有3×4+6×3+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83故选:A二、填空题（本大题共7小题,9-12小题每小题6分，13—15每小题6分，共36分）9．多项式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）(x﹣5）的展开式中，x4项的系数=﹣15，x项的系数=274．【考点】计数原理的应用．【分析】本题可通过选括号(即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）进行求解即可解答第一问;类似求解第二问．【解答】解：含x4的项是由（x﹣1)（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+(﹣3)+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．含x的项是由（x﹣1)（x﹣2）(x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的5个括号中4个括号出常数仅1个括号出x，∴展开式中含x的项的系数是：1×2×3×4+2×3×4×5+1×2×4×5+1×3×4×5+1×2×3×5=274．故答案为:﹣15，27410．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= 8；展开式中的第4项为﹣7．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=8，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的第4项．【解答】解：在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大,则n=8．展开式中的第4项为T4=••=﹣7，故答案为：8，﹣7．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积= 2++．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面,画出图形结合图形即可求出它的体积与表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图,得；该四棱锥是底面是对角线为2的正方形,且一条侧棱垂直于底面,如图所示；所以,该四棱锥的体积是××22×1=；表面积是S△PBC +S△PDC+S△PAB+S△PAD+S正方形ABCD=××1+××1+××+××+×22=++2．故答案为:,2++．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为5x+3y+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】分别设出A和B的坐标,代入抛物线解析式和方程中,分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．即可求出直线的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）,则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①,x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③;同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．直线的斜率为：．故答案为：；5x+3y+1=0．13．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有576种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成,第一步：第五次测试的有几种可能; 第二步:前四次有一件正品有几种可能; 第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．【解答】解:对四件次品编序为1，2,3,4．第五次抽到其中任一件次品有C41种情况．前四次有三次是次品，一次是正品共有C16C33种可能．前4次测试中的顺序有A44种可能．∴由分步计数原理即得共有C14（C16C33)A44=576种可能．故答案为：576．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点,S是以F1为中心的正方形,则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设P为正方形的顶点，且P在椭圆上，根据正方形的顶点到中心的距离相等,以及椭圆的对称性,便可得到椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点,只能有一个，是P关于对称轴的对称点，从而得出正方形S的四个顶点能落在椭圆上的个数最多2个．【解答】解：如图，若P是正方形的顶点,P在椭圆上；则根据椭圆的对称性，椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点只能为P关于对称轴的对称点P′；∴S的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有2个．故答案为:2．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12］∪[24，+∞)．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．【解答】解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→(2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1,∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为,∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞,12]∪［24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24,+∞)三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分,共74分）16．某班共有36名学生,其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】(1）现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种,恰有1名班干部当选代表的C301C61种，根据概率公式计算即可；(2）没有班干部的种数C302种,根据互斥概率公式计算即可；（3）设男生有n人，则女生有36﹣n人，得到关于n的方程,解得即可．【解答】解：(1)现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种，恰有1名班干部当选代表的C301C61种，恰有1名班干部当选代表的概率：=，（2)没有班干部的种数C302种，故至少有1名班干部当选代表的概率为：1﹣=,（3)设男生有n人，则女生有36﹣n人，则有条件可知：=，解得n=15或n=21，而n＞18，所以n=21所以男生比女生多6人．17．已知椭圆+=1（a＞b＞0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且｜OA|=|OF｜，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．(1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P,证明：•为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】(1）由题意可得b=c，bc=1,解方程可得b，c,由a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设出直线MC的方程，代入椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值4．【解答】解：（1）由题意可得b=c,bc=1，解得b=c=，a==2，即有椭圆的方程为+=1；（2)由题意直线MC的斜率存在，设其方程为y=k（x+2),代入椭圆方程x2+2y2=4，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，由x P（﹣2）=,解得x P=﹣,y P=,令x=2，解得y M=4k，即M（2,4k)，所以•=2•（﹣）+4k•=4为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=,BC=4，BC的中点为O，A1O 垂直于底面ABC．（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；(2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接AO,在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，可得OE⊥BB1．由A1O ⊥平面ABC,得A1O⊥BC，再由AB=AC，OB=OC,得AO⊥BC，进一步得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE,由线面垂直的判定可得OE⊥平面BB1C1C，由射影定理求得AE; (2）分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,可得平面BB1C1C的法向量是（），再求出平面A1CB1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【解答】(1)证明:连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1．∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥BC，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE，∴OE⊥平面BB1C1C，又,，∴；（2）解：如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）,C（0，﹣2，0），A1（0，0,2)，B（0，2,0）．由（1）可知，得点E的坐标为（），由（1）可知平面BB1C1C的法向量是(），设平面A1CB1的法向量,由，令y=1,得x=2，z=﹣1，即，∴cos＜＞==，所求二面角的平面角与＜＞互补,所求的余弦值是．19．如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率;（Ⅱ)若，求的最大值和最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ)因为在焦点三角形AF1F2中,，所以∠F1AF2=90°，又因为∠AF1F2=60°,所以的三边关系可以找到,根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．(II）若,则椭圆方程为两个,可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上,分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积,用坐标表示，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．【解答】解:（I）∵，∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°,∴F1F2=2AF1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2a=AF1+AF2，2c=F1F2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）∵,∴c=1，点F1(﹣1,0),F2（1，0）．①若AB垂直于x轴，则,﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）由消去y得：（2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0∵△=8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1）,B（x2，y2）．∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=（1+k2)（x1x2+x1+x2+1）==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵,∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合①、②可得：．所以当直线l垂直于x时,取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N＊）（1）求a2，a3，a4，a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2);（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*)【考点】数列的求和．【分析】（1）运用排列数公式，计算即可得到所求;（2）由排列数公式，提取n，即可得到所求a n与a n﹣1之间的关系式；(3)运用（2）的结论和阶乘的定义,结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a2=+=2+2=4,a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；(2)a n=++…+=n+n（n﹣1)+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n［（n﹣1）+(n﹣1）(n﹣2）+…+（n﹣1）！]=n+na n；﹣1（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3(n≥2)．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．2017年1月15日。

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷

浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）直线与圆切于点，则的值为（）A . 1B . -1C . 3D . -32. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知方程x2﹣4x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（）A . 双曲线、椭圆B . 椭圆、抛物线C . 双曲线、抛物线D . 无法确定3. （2分）(2017·上海模拟) 一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·诸暨期中) 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A .B .C .D .5. （2分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2015高二上·新疆期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A . 120°B . 90°C . 60°D . 30°7. （2分）过点P(1,1)的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是（）A . x+y-2=0B . y-1=0C . x-y=0D . x+3y-4=08. （2分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·西宁期末) 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A .B .C . 2D . 410. （2分）(2020·定远模拟) 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·丰台模拟) 双曲线的焦点坐标是________．12. （1分）已知A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则△APN的外接圆的圆心坐标是________．13. （1分）(2017·南阳模拟) 椭圆C：的上、下顶点分别为A1、A2 ，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．14. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 在正三棱柱中，各棱长均相等，与的交点为，则直线与平面所成角的大小是________．15. （1分）(2018·济南模拟) 一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．16. （1分） (2017高二上·靖江期中) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，原点到直线l的距离为，则此双曲线的离心率等于________．17. （1分） (2017高二上·越秀期末) 经过点M（2，1）作直线l交于双曲线x2﹣ =1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）设l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．19. （15分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20. （5分）(2017高二上·黑龙江月考) 在直三棱柱中，,∠ACB=90°,Ｍ是的中点，Ｎ是的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21. （10分）(2017·南充模拟) 已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．22. （10分）(2018·南宁模拟) 已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷一．选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣33．（5分）如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行6．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．8．（5分）过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．（5分）若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能10．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x，则圆C上有几个点到直线l的距离为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=．12．（4分）圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是．13．（4分）若点p（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y ＜3表示的平面区域内，则m=．14．（4分）如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是．15．（4分）过点P（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．16．（4分）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是．17．（4分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A（3，4）关于直线l的对称点A′的坐标．19．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC 1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．20．（15分）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．21．（15分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．22．（15分）已知圆C：与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+1=0的倾斜角是（）A．0°B．90°C．45°D．不存在【解答】解：直线x+1=0的倾斜角是90°．故选：B．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．3．（5分）如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．4．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选：C．5．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故A错误；平行于同一直线的两个平面平行或相交，故B错误；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故C错误；由直线与平面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选：D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．8．（5分）过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：当直线经过原点时，满足条件，其方程为：y=﹣2x．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为：x+y=a，代入点（﹣2，4）可得a=2，此时直线方程为x+y=2．综上可得：满足条件的直线有两条．故选：B．9．（5分）若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，∴，∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内，故选：C．10．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，直线l：y=﹣x，则圆C上有几个点到直线l的距离为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆C的方程是x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，圆心为（2，2），r=3．又因为（2，2）到直线y=﹣x的距离d=＜3．所以圆与直线相交，而到直线l的距离为的点应在直线两侧，且与已知直线平行的直线上．两平行线与圆相交的只有一条．故满足条件的点只有两个．故选：B．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m=或．【解答】解：∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C（1，0），半径r=．∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴点C到直线的距离等于半径，即=，解之得m=或．故答案为：或12．（4分）圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是2x﹣3y﹣13=0．【解答】解：由于弦AB的中点为P（2，﹣3），故直线OP的斜率为=﹣，∴弦AB的斜率为，故弦AB所在直线的方程是y+3=（x﹣2），即2x﹣3y﹣13=0，故答案为：2x﹣3y﹣13=0．13．（4分）若点p（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y ＜3表示的平面区域内，则m=﹣3．【解答】解：∵点M（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，∴，解得：m=7或m=﹣3．当m=7时，2×7+3＜3不成立；当m=﹣3时，2×（﹣3）+3＜3成立．综上：m=﹣3．故答案为：﹣3．14．（4分）如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值是0或﹣1．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．15．（4分）过点P（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为4．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心坐标为（2，3），半径为3．点P （1，1）在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9内部．∵圆心到直线的距离的最大值为|CP|==，∴|AB|有最小值2=4，故答案为：4．16．（4分）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是m≤﹣2或m≥．【解答】解：直线mx+y﹣m=0等价为y=﹣m（x﹣1）则直线过定点A（1，0），作出对应的图象如图：则由图象可知直线的斜率k=﹣m，满足k≥k AQ或k≤k AP，即﹣m≥=2或﹣m≤=﹣，则m≤﹣2或m≥，故答案为：m≤﹣2或m≥．17．（4分）设m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 其中正确的命题的序号是②③．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题正确；对于③，若α∩β=a，则因为m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，所以m∥a，n∥a，∴m∥n，这与m、n是异面直线矛盾，故结论正确对于④，α∩β=a，m⊂α，n⊂β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故结论不正确故正确的命题为：②③故答案为：②③三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A（3，4）关于直线l的对称点A′的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k=tan135°=﹣1，由此可得l直线l的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化简得x+y﹣2=0；（Ⅱ）设点A（3，4）关于直线l的对称点为A'（a，b），∵AA'与直线l相互垂直，且AA'的中点（，）在直线l上，∴，解得，可得A'的坐标为（﹣2，﹣1）．19．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．【解答】解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，则M为A 1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（4分）（2）∵AB=BB1，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1．（8分）（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，又DE⊂平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE．（14分）20．（15分）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，由（1）可得AH⊥平面BEF，∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△ABC中，为AC中点，∴∠ABE=30°，∴．在Rt△BCD中，BC=CD=1，∴．∴在Rt△ABD中，∴．∴在Rt△AFH中，，∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．21．（15分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）、作平面区域如下，，结合图象可知，点C（2，1），r==，故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（2）由题意作图如右图，结合图象可知，CB∥x轴，故由（x﹣2）2+（1﹣1）2=5解得，x=2+或x=2﹣；故B（2+，1）或B（2﹣，1）；故l的方程为y﹣1=x﹣2﹣或y﹣1=x﹣2+；即x﹣y﹣1﹣=0或x﹣y﹣1+=0．22．（15分）已知圆C：与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．【解答】解：（1）由题意知A（2t，0），∴，所以△OAB的面积为定值．（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN．∵k MN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是．又因为圆心C（t，），所以，解得：t=2或t=﹣2．①当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点．②当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．。

【全国百强校】浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(1,2班)(解析版)

【全国百强校】浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(1,2班)(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某工厂的10名工人生产同一零件，生产的件数分别为15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】C.考点：平均数，中位数，众数的概念．2.设随机事件A 、B 的对立事件为A 、B ，且()()0P A P B ≠，则下列说法错误．．的是（ ） A. 若A 和B 独立，则A 和B 也一定独立B. 若()()0.2P A P B +=，则()() 1.8P A P B +=C. 若A 和B 互斥，则必有()()P A B P B A =D. 若A 和B 独立，则必有()()P A B P B A= 【答案】D. 【解析】试题分析：A ：A 和B 独立()()1()1(()()())P AB P A B P A B P A P B P AB ⇒=+=-+=-+- (1())(1())()()P A P B P A P B =--=⇒A 和B 也一定独立，故A 正确；B ：∵()()()()112P A P A P B P B +++=+=，∴()()20.2 1.8P A P B +=-=；C ：∵()(|)()P AB P A B P B =， ()(|)()P AB P B A P B =，A ，B 互斥，∴()0P AB =，∴C 正确；D ：∵A 和B 独立，∴(|)()P A B P A =，(|)()P B A P B =，∴D 错误，故选D ．考点：互斥事件，独立事件，条件概率．3.某校开设九门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，若学校规定每位学生选修四门，则不同的选修方案共有（ ）A. 15种B. 60种C. 75种D. 100种【答案】C.考点：1.乘法原理；2.分类讨论的数学思想．4.若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A. 1B. 53-或1 C.2或53- D.【答案】B.【解析】试题分析：由题意得4(1)ax +的一次项与二次项系数之和为10，其二项展开通项公式14r r r r T C a x +=， ∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B. 考点：二项式定理．5.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）A.144种B. 96种C. 48种D.34种【答案】B.【解析】试题分析：首先将B ，C 捆绑在一起作为整体，共有22A 两种，又∵A 只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为2424296A A ⨯⨯=种，故选B. 考点：1.计数原理；2.排列组合．【思路点睛】对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素（同时对相邻元素内部进行自排），再与其它元素进行排列；对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）6.已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A. 1142π-B. 3142π+C. 112π-D. 112π+ 【答案】A.考点：1.复数的性质；2.条件概率．7.已知()1,f x x x x C =-+∈，若()94f zi i -=-，则在复平面中，复数z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D.【解析】 试题分析：设z a ib =+，4()()9a f zi f b ia b ia b =-⎧-=--=+⇒-= 44a b =-⎧⇒⎨=-⎩，∴复数z 对应的点在第四象限，故选D. 考点：1.复数的运算；2.复平面．【方法点睛】对于复数问题的求解，一般将复数化为一般形式，明确复数的实部与虚部，根据相应的条件对复数的实部与虚部施加相应的限制条件，列出相应的等式、方程或不等式，然后对相应的问题进行求解，有时也需数形结合，画出相应图形，从其几何意义考虑.8.将六个点A ，B ，C ，D ，E ，F 随机分布在圆周上，每个点的位置相互独立，则ABC ∆与DEF ∆无公共点的概率为（ ）A.310B. 120C. 35D. 320【答案】A.考点：古典概型．【思路点睛】 利用古典概型解题的常用方法：（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(,)x y 可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同；（3）排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．二、填空题（本大题共7小题，共29分.）9.已知复数z 满足21iz i =-，则z【答案】1【解析】试题分析：212i z i i-==+，故虚部为1，||z ==． 考点：复数的计算．10.已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y = ； 标准差()Y σ= .【答案】1.考点：1.二项分布；2.期望与标准差．11.亲情教育越来越受到重视. 在公益机构的这类活动中，有一个环节要求父(母)与子(女)各自从1，2，3，4，5中随机挑选一个数以观测两代人之间的默契程度. 若所选数据之差的绝对值等于1，则称为“基本默契”，若所选数据相同，则称为“非常默契”，则结果是“非常默契”的概率为_____；结果为“基本默契”的概率为 . 【答案】15，825. 【解析】试题分析：用(,)x y 表示两代人所选的数据，则可知总的基本事件共5525⨯=个，符合非常默契的基本事件共有(1,1)，(2,2)，……(5,5)共5个，符合基本默契的基本事件共有(1,2)，(2,1)，(2,3)，……(4,3)，(4,5)，(5,5)共8个，故非常默契的概率为51255=，基本默契的概率为825． 考点：古典概型． 12.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样抽取样本，若粮食类需要抽取8种，则样本容量为_____；抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为_____.【答案】20，6.【解析】 试题分析：根据分层抽样的定义可知，样本容量为1(40103020)205+++⨯=，植物油类与果蔬类食种数之和为1(1020)65+⨯=种． 考点：分层抽样．13.在()()()()56781111x x x x ---+---的展开式中，含3x 的项的系数是 .(用数字作答)【答案】121.考点：二项式定理．14.对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有 种.【答案】30.【解析】试题分析：不妨假设AB 边染黄色，BC 边染红色：①若CD 边染黄色，则DE 边染蓝色，AE 边染红色，或DE 边染红色，AE 边然蓝色，共2种情况；②若CD 边染蓝色，则DE 边染红色，AE 边染蓝色，或DE 边染黄色，AE 边染红色或DE 边染黄色，AE 边染蓝色，共3种情况，根据对称性，不同的染色方案共有(23)3230+⨯⨯=种．考点：1.排列组合；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】面对一个问题时，首要有意识地区区分该问题是“排列”还是“组合”，同时要分清是无条件限制还是有条件限制问题，如果是有条件限制问题，那么被限制的元素或位置就是解题的突破口，而且注意随时利用分类与分步这两个基本原理，以达到分清层次，分解复杂问题的目的.15.若2a i =+，3b i =+，4c i =+，x =，则a bx ++【解析】试题分析：2221(21)31x x x x x =⇒+=⇒+=-⇒+=-，∴2222|2(3)(4)||44(2)(1)||2|a bx cx i i x i x x x x i x x x ++=+++++=++-+++=+===． 考点：复数的计算．【方法点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.三、解答题 （本大题共5小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.盒中共有9个球，其中4个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外全相同.（1）从盒中一次取2个球，求这2个球颜色相同的概率；（2）每次随机取一球，取后放回，共取了3次，求三次取到球颜色不全相同的概率；（3）从盒中一次取4个球，其中红、黄、绿个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中最大与最小数的差，求X 的分布列.【答案】（1）518；（2）7081；（3）②详见解析．考点：1.古典概型求概率；2.随机变量的概率分布．17.有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成. 编码规则如下表. 明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成. (如：明文取的三个字母为AFP ，则与它对应的五个数字(密码)就为11223)(1)假设密码是11211，求这个密码对应的明文；(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求()=2P ξ；②求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）AEM ；（2）①827，②详见解析．考点：1.古典概型求概率；2.随机变量的概率分布及其期望．18.抛物线()2:20C y px p =>的准线1:2p l x =-过双曲线2212x y -=的一个焦点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设M 为抛物线C 上任意一点.①设2:4360l x y -+=，求M 到1l 与2l 距离之和的最小值；②以M 为切点的抛物线的切线l 与1l 交于点N ，试问x 轴上是否存在定点Q ，使Q 在以MN 为直径的 圆上. 若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①2，②详见解析．【解析】2212()42a ay x y x a a =+⇒=+，令1x =-，212y a a =-+，即21(1,)2N a a --+，设以MN 为直径的圆与x 轴的交点为(,0)Q x ，∴2(,)4a MQ x a =-- ，21(1,)2NQ x a a =+- ， 20(1)(2)014a MQ NQ x x x ⋅=⇒-+-=⇒= ，∴存在定点Q ，其坐标为(1,0).考点：1.抛物线的概念及其性质；2.抛物线的切线方程；3.平面向量数量积；4.定点问题．【方法点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．19.设2n ≥，n N ∈，2012112323n n n n x x a a x a x a x ⎛⎫⎛⎫+-+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . （1）求012n a a a a ++++ ；（2）记k a (0k n ≤≤)的最小值为n T .①求8T ； ②若n 为奇数，求n T .【答案】（1）510()()23n n -；（2）①84||0T a ==，②1123n n n T =-.考点：1.二项式定理；2.数列的单调性；3.分类讨论的数学思想．【思路点睛】求系数和问题，一般 采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到等式，然后根据需求得到结果，需要注意展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式定理给出的是恒等式，对于a ，b 的一切值都成立，因此，可将a ，b 设定一些特殊的值，在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1”，“1-”或“0”，有时也可视具体情况取其他值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =，它的上顶点为A ，左、右焦点为1F ，2F ，直线1AF ，2AF 分别交椭圆于点B ，C .（1）判断BO 是否平分线段AC ，说明理由；（2，()02P ，，过P 的动直线l 交椭圆于M ，N 两点，在线段MN 上取点Q ，使MP MQ PN QN=. ①写出椭圆E 的方程；②求点Q 的轨迹方程.【答案】（1）平分，理由详见解析；（2）①22132x y +=，②1y =，(x ∈.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.求轨迹方程．【附加题A 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：A 班同学做，B 班做了也没分☹设三角形的三边长分别是整数m ，n ，k ，且m n k >>，已知333100100100m n k ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，其中{}[]x x x =-，而[]x 表示不超过x 的最大整数，求这种三角形周长的最小值.【答案】123．【解析】试题分析：根据条件可知3m ，3n ，3k 的末两位数字相同，再分析末两位数字出现的规律，从而求解． 试题解析：分析题意可知，3m ，3n ，3k 的末两位数字相同，分析*3()x x N ∈的末两位数字，可知出现的规律为：03，09，27，81，43，29，87，61，83，49，47，41，23，69，07，21，63，89，67，01，03……，从而可知末两位数字每隔20次循环一次，∵m n k >>，∴2040m n n k m k -=-=⇒=+，20n k =+，又∵m ，n ，k 为三角形三边长，∴204020n k m k k k k +>⇒++>+⇒>，∴k 的最小整数值为21，即周长的最小值min ()(614121)123m n k ++=++=.考点：1新定义问题；2.转化的数学思想．【附加题B 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：B 班同学做，A 班做了也没分☹求((2015+的十进制表达式中的个位数字.【答案】9．考点：1新定义问题；2.转化的数学思想．：。

2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)

2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)

2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷（数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有__________条．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．2．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】在正方体中举出反例，可以得到命题①和命题③是错误的；根据平面与平面平行和直线与平面平行的定义，得到②是正确的；根据直线与平面平行的判定和空间直线平行的传递性，通过举出反例可得④是错误的．由此可得正确答案．【解答】解：对于命题①，若a⊥β，β⊥γ，则a与γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，比如：正方体的上、下底面分别是a与γ，右侧面是β则满足a⊥β，β⊥γ，但a∥γ，∴“a⊥γ”不成立，故①不正确；对于命题②，∵a∥β，m⊂β∴平面a与直线m没有公共点因此有“m∥a”成立，故②正确；对于命题③，可以举出如下反例：在正方体中，设正对我们的面为γ，在左侧面中取一条直线m，上底面中取一条直线n，则m、n都与平面γ斜交时，m、n在γ内的射影必定互相垂直，显然“m⊥n”不一定成立，故③不正确；对于命题④，因为a⊥β，所以它们是相交平面，设a∩β=l当m∥a，n∥β时，可得直线l与m、n都平行，所以m∥n，“m⊥n”不成立，故④不正确．因此正确命题只有1个．故选B【点评】本题借助于命题真假的判断为载体，着重考查了平面与平面垂直的定义与性质、直线与平面平行的判定定理和直线在平面中的射影等知识点，属于基础题．4．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果．【解答】解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE，所以四边形ACEB是平行四边形．由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，所以AB⊥平面BDE．CE∥ABCE⊥平面BDE．所以△CDE是直角三角形．又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE•BDcos∠DBE解得cos∠DBE=所以∠DBE=60°即二面角的度数为：60°故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于基础题型．5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．【解答】解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．综上可知：①④正确．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．7．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC 与DE不垂直，可得C不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．8．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）先求出，的坐标，根据•=0，得到3x﹣16﹣32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．【解答】解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），若OC⊥AB，则•=0，∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），∵四点A，B，C，O共面，∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），∴，解得x=8，故答案为：16； 8【点评】本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是90°；若E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是30°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1D与BC1夹角的大小和异面直线EF与A1C1夹角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，2），∴•=0，∴B1D⊥BC1，∴B1D与BC1夹角的大小是90°；∵E（2，1，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），∴=（﹣2，1，1），=（﹣2，2，0），设异面直线EF与A1C1夹角的大小为θ，则cosθ=||=||=，∴θ=30°．∴异面直线EF与A1C1夹角的大小为30°．故答案为：90°；30°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为、、，则△BCD的面积为；三棱锥A﹣BCD的内切球半径为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，求出a，b，c，即可求△BCD的面积，利用等体积求出三棱锥A﹣BCD的内切球半径．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，△ABC中，BC上的高为，∴△DBC中，BC上的高为=，∴△BCD的面积为=．设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则=×（++）r∴r=故答案为：；．【点评】本题是中档题，考查三棱锥A﹣BCD的内切球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为；若S 为五边形，则此时CQ取值范围（，1）．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．【解答】解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）•=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有3条．【考点】异面直线的判定．【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件．【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=60°，∠EPD=120°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°∵60°＞30°，∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，和直线为∠EPD的角平分线，故答案为：3．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD ∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP ∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到V A﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD．【解答】（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD=4．【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1…分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）所以，，1）设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM ⊥MD得：GM=GD•cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．【解答】解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．【考点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．【解答】解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用线面平行的判定定理可得A′E∥平面B′FC，DE∥平面B′FC，又A′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A′ED∥平面B′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）及F（2，2，0），，B′F=3，可得到点B′的坐标，分别求出平面A′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE=E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC．（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．∵F（2，2，0），，B′F=3．∴解得．∴B′（0，1，2）．∴．∴=．设平面A′DE的法向量为，又有．∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角∴=．∴θ=135°．【点评】熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．。

2015-2016年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面2．（4分）如图，直线y=ax+的图象可能是（）A．B．C．D．3．（4分）教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交4．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=3 B．（x﹣1）2+（y+2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=125．（4分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（4分）已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2=25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（）A．15 B．10 C．D．58．（4分）已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的取值集合是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.9．（6分）直线l：x+y+3=0的斜率为，倾斜角α为．10．（6分）若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为、．11．（6分）在下面给出的条件中，若条件足够能推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：（1）条件：a∥b，b∥c，c⊂α，，结论：a∥α，（2）条件：α∩β=b，a∥b，a⊂β，，结论：a∥α．12．（6分）直线（m+3）x+my﹣6=0过定点，它与圆x2﹣4x+y2﹣1=0的位置关是．（填：相交、相切、相离或不确定）13．（4分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．15．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知：A（8，﹣6），B（3，﹣1）和C（t，7）（Ⅰ）若A，B，C三点共线，试求t的值．（Ⅱ）若点C在直线AB的中垂线上，试求t的值．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB∥平面EFG（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小．18．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．19．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC 中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．20．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面【解答】解：对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；对于C，空间四边形不一定能确定一个平面，故B不正确对于D，根据平面的基本性质公理3的推论，可知两条相交直线可唯一确定一个平面，故D正确；故选：D．2．（4分）如图，直线y=ax+的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知a≠0．假设a＞0，则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都大于0，则A，C，D都不符合．假设a＜0，则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都小于0，只有B符合．综上：只有B正确．故选：B．3．（4分）教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交【解答】解：由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直．故选：A．4．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=3 B．（x﹣1）2+（y+2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=12【解答】解：因为圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0的圆心坐标（1，﹣），所以2×1﹣=0，m=4．所以圆的半径为：=3，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9故选：B．5．（4分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．7．（4分）已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2=25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（）A．15 B．10 C．D．5【解答】解：如图所示：直角三角形CAO中，CO=10，半径OA=5，∴∠ACO=30°，CA==5．设点C到直线AB的距离为h=CD，直角三角形ACD中，cos∠ACO=cos30°==，∴h=CA•cos30°=，故选：C．8．（4分）已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的取值集合是（）A．B．C．D．【解答】解：若三条直线有两条平行或三条直线经过同一个点，则不能构成三角形，①三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0有两条平行，则﹣m=﹣4，=﹣4，或=﹣m．解得m=4，m=﹣，或m∈∅．此时m=4，或﹣．②三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0共点，联立，解得，代入直线2x﹣3my﹣4=0，可得：3m2+m﹣2=0，解得m=，﹣1．综上可得：实数m的取值集合是．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.9．（6分）直线l：x+y+3=0的斜率为，倾斜角α为．【解答】解：由直线l：x+y+3=0，可得直线l的斜率为k=﹣．设其倾斜角为α（0≤α＜π），则tan，∴．故答案为：，．10．（6分）若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为（0，﹣1）、1．【解答】解：∵圆的方程为．∴r2=1﹣k2＞0，r max=1，此时k=0．∴圆心为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1），1．11．（6分）在下面给出的条件中，若条件足够能推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：（1）条件：a∥b，b∥c，c⊂α，a⊄α，结论：a∥α，（2）条件：α∩β=b，a∥b，a⊂β，OK，结论：a∥α．【解答】解：∵a∥b，b∥c，c⊂α，∴由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α，∵α∩β=b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α．故答案为：a⊄α，OK．12．（6分）直线（m+3）x+my﹣6=0过定点（2，﹣2），它与圆x2﹣4x+y2﹣1=0的位置关是相交．（填：相交、相切、相离或不确定）【解答】解：直线（m+3）x+my﹣6=0可化为m（x+y）+（3x﹣6）=0，令，解得x=2，y=﹣2，所以该直线过定点（2，﹣2），因为22﹣4×2+（﹣2）2﹣1=﹣1＜0所以直线与圆相交故答案为：（2，﹣2），相交13．（4分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有4个直角三角形．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．【解答】解：x2+y2﹣4x+1=0等价为（x﹣2）2+y2=3，则圆心C（2，0），半径R=，x2+y2的几何意义为圆上的点到原点距离的平方．原点到圆心的距离d=2，则圆上点到圆的最小值为|R﹣d|=2﹣，则x2+y2的最小值为．故答案为：．15．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知：A（8，﹣6），B（3，﹣1）和C（t，7）（Ⅰ）若A，B，C三点共线，试求t的值．（Ⅱ）若点C在直线AB的中垂线上，试求t的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（8，﹣6），B（3，﹣1），∴直线AB方程为y=﹣x+2，…（3分）∴C代入，可得7=﹣t+2，∴t=﹣5…（5分）（Ⅱ）∵AB的中点为（5.5，﹣3.5）∴直线AB中垂线方程为y=x﹣9…（8分）∴7=t﹣9，∴t=16…（10分）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB∥平面EFG（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小．【解答】（本题满分10分）证明：（Ⅰ）∵在△PDC中，E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面ABP，且AB⊂平面ABP，∴EF∥平面ABP，…（2分）同理EG∥平面ABP，…（4分）又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG．…（5分）解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴∠PAD是二面角P﹣AB﹣C的平面角…（7分）在RT△ADP中，，∵∠PAD∈[0，π）∴…（9分）∴二面角P﹣AB﹣C的大小为…（10分）18．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．19．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF∥CD，且，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD（2）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．20．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圆的方程为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

浙江省宁波市2015届高三数学上学期期中试卷理含解析

浙江省宁波市2015届高三数学上学期期中试卷理含解析

2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞ 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣ 4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 5．（5分）（2015•中山二模）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ． 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B ． 若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β C ． 若α⊥β，m∥n 且n⊥β，则m∥α D ． 若m ⊂α，n ⊂β且m∥n，则α∥β 6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm37．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣1128．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= ．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N． 解答： 解：集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A ． 点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据题意，由指数与对数的性质逐一判定A 、B 、C 、D 选项，即可得出正确的答案．解答： 解：对于A ，a ＞1时，a 7＜a 9，∴﹣a 7＞﹣a 9，即（﹣a ）7＞（﹣a ）9，∴A 错误；对于B ，1＞b ＞0时，0＜b 9＜b 7＜1，∴b ﹣9＞b ﹣7，∴B 错误；对于C ，a ＞1＞b ＞0时，0＜＜1＜，∴lg ＜lg ，∴C 错误； 对于D ，a ＞1＞b ＞0时，lna ＞0，lnb ＜0，∴＞，∴D 正确．故选：D ． 点评： 本题考查了指数函数与对数函数的性质的应用问题，解题时要对每一个选项认真分析，以便作出正确的选择． 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析：由已知和平方关系可得sinα和cosα的值，进而可得tanα，代入二倍角的正切公式计算可得．解答：解：cosα+3sinα=，∴cosα=﹣3sinα+．∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+=1，解得，或．∴tanα=﹣2，或tanα=．当tanα=﹣2，tan2α==；tanα=，tan2α==，故选：A．点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为四棱锥，结合直观图判断棱锥的高与底面四边形的形状，判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，∴四棱锥的体积V=××2×2=2（cm3）．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键．7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣112考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，即可得出结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=﹣80；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，可得（﹣1）×（﹣2）5=32∴（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是﹣80+32=﹣48．故选：B．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先计算甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回的情况种数，再计算甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况种数，进而代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：∵袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，共12颗，故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有=220种不同情况；其中甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况有：3×4×5=60种，故甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率P==，故选：D点评：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数零点的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：函数f（x）=x（x﹣1），有两个不同的零点x=0和x=1，g（x）=x（x+1）有两个不同的零点x=0和x=﹣1，则f（x）和g（x）恰有一个共同的零点x=0，但f（x）+g（x）=2x2，有两个相同的零点，∴充分性不成立．若f（x）+g（x）=2x（x﹣1），则满足有两个不同的零点x=0和x=1，但当f（x）=x （x﹣1），g（x）=x（x﹣1）时，f（x）和g（x）恰有2个共同的零点，∴f（x）和g（x）恰有一个共同的零点，不正确，∴必要性不成立．即“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数零点的定义和性质是解决本题的关键，本题可以使用特殊值法进行判断．10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的对称性，可得结论．解答：解：∵F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，∴根据椭圆的对称性，即可知S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个，故选：B．点评：本题考查椭圆的简单性质，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= 2 ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把等式两边同时乘以z﹣2，求得z，然后利用复数代数形式的除法运算化简，最后代入复数模的公式求解．解答：解：由=i，得（1﹣i）z=﹣2﹣2i，∴，∴|z|=．故答案为：2．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+5y，得y=x+表示，平移直线y=x+，当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max=2×3+5×5=31．当直线y=x+经过点C时，直线y=x+的截距最小，此时z最下，由得，即C（3，3），此时z min=2×3+5×3=21．即z的取值范围是[21，31]故答案为：[21，31]点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1=0 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别设出A和B的坐标，代入抛物线解析式和方程中，分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①，x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．故答案为：5x+3y+1=0．点评：此题考查学生会求动点的轨迹方程，考查抛物线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望解答：解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，∴随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 5P故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d，可得弦心距d=，利用弦长公式求出半径r的值，可得圆C的面积．解答：解：两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d==2，∴弦心距d=∴半径r==∴圆C的面积是π•r2=27π，故答案为：27π．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条平行直线间的距离公式，属于中档题．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），求出，利用数量积公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．解答：解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），∵=3，∴M（a，0），∴=（a，﹣b）•（4a，﹣b）=4a2+b2，∵，∴cos∠BAM===∴cos∠BAM最小值为，∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，∴sin∠BAM的最大值是为．点评：本题考查通过结论坐标系解决向量问题；利用基本不等式求最值，属于一道中档题．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．解答：解：如图所示，∵=x+y，且x+2y=1，∴﹣=y（﹣2），∴=y（+），取AC的中点D，则+=2，∴=2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC=．故答案为：，点评：本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA 的关系，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案．解答：解：（ I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•=5c∴3a=7c，∵，∴3sinA=7sinC，∴3sinA=7sin（A+B），∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•+7cosA∴﹣sinA=cosA，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a=7c，∴BD==，∴，∴c=3，则a=7，∴．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，由此能证明BM∥平面PCD．（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD，（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD 于点F，∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角，由此能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．解答：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．…3分又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．…5分（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD．…7分不妨设PA=AB=1，则PC=．由于tan，所以CD=．…9分（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．…12分由题意知PE=3EC，ME=，EF==，所以tan∠EFM==，即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…15分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．则，，．若设=（x1，y1，z1）和=（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．同理，得=（2，﹣，1）．…12分所以cos＜＞==，故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…15分点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l 1，l 2交于点F ，其斜率k 1，k 2满足k 1k 2=﹣．设l 1交椭圆Γ于A 、C 两点，l 2交椭圆Γ于B 、D 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC 的长|AC|关于k 1的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（Ⅰ）由已知条件推导，a+c=3，由此能求出椭圆Γ的方程． （Ⅱ）由已知条件推导出F （1，0）．将通过焦点F 的直线方程y=k （x ﹣1）代入椭圆Γ的方程，（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+（4k 2﹣12）=0，由此利用韦达定理结合函数的单调性能求出四边形ABCD 的面积的最大值解答：（本题满分15分） 解：（Ⅰ）设右焦点F （c ，0）（其中），依题意，a+c=3，解得a=2，c=1．…（3分）∴，∴椭圆Γ的方程是．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．将通过焦点F的直线方程y=k（x﹣1）代入椭圆Γ的方程，得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，其判别式△=（8k2）2﹣16（k2﹣3）（3+4k2）=144（k2+1）．特别地，对于直线l1，若设A（x1，y1），C（x2，y2），则=，k1∈R且k1≠0．…（10分）又设B（x3，y3），D（x4，y4），由于B、D位于直线l1的异侧，∴k1（x3﹣1）﹣y3与k1（x4﹣1）﹣y4异号．∴B、D到直线l1的距离之和：==．…（12分）综合可得，四边形ABCD的面积：．∵，∴，∴，当时，f （t ）单调递减，∴当，即时， 四边形ABCD 的面积取得最大值．…（15分）点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合运用．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R ，函数f （x ）=lnx ﹣，其中x ∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f （x ）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx 的图象上取点P n （n ，lnn ）（n ∈N *），记线段P n P n+1的斜率为k n ，S n =++…+．对任意正整数n ，试证明：（ⅰ）S n ＜； （ⅱ）S n ＞．考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出k n ，再利用（Ⅰ）的结论对S n 放缩即可得出结论． 解答：解：（Ⅰ）λ=2时，，求导可得…（3分）所以，f （x ）在（1，+∞）单调递增，故f （x ）的最小值是f （1）=0．…（5分）（Ⅱ）依题意，． …（6分）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x ＞1时f （x ）＞0，即．于是 ，即知．…（8分）所以 ． …（9分）（ⅱ）取λ=3，则，求导可得当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即．…（12分）注意到，对任意正整数n ，，于是，即知．…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．21。

2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．2．（5分）在直角坐标系中，m＞n＞0是方程=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若平面α与β的法向量分别是=（1，0，﹣2），=（﹣1，0，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断4．（5分）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y 的值是（）A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．15．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个6．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是（）A．x+2y+8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．x﹣2y+8=07．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD1与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，其中9、10、11、12每小题6分，13、14、15每小题6分，共36分将答案填在横线上）9．（6分）设点B是A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点，则B点坐标为，=．10．（6分）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是，准线方程为．11．（6分）若向量与向量的夹角的余弦值为，则z=，=．12．（6分）已知椭圆C1：的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，记为F，设点M是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF|=，则M点的横坐标是，a+b=．13．（4分）已知椭圆M过定点B（﹣4，0），且和定圆（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为．14．（4分）设p：（4x﹣3）2﹣1≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0，若￢p 是￢q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（4分）双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A，B两点，若△ABF1为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且经过点P（3，0），求椭圆方程；（2）与双曲线x2﹣2y2=2有公共渐近线，且过点M（2，﹣2），求此双曲线的标准方程．17．（14分）已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．18．（14分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：．（1）若AD=BC，求直线CD与平面PAB所成角的大小；（2）设PD=a，且二面角A﹣PB﹣C的大小为，求AD长．19．（14分）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．20．（18分）已知抛物线T：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）为T上异于原点的任意一点，点D为x的正半轴上的点，且有|FA|=|FD|，若x0=3时，D 的横坐标为5．（1）求T的方程；（2）直线AF交T于另一点B，直线AD交T于另一点C，试求△ABC的面积S 关于x0的函数关系式S=f（x0），并求其最小值．2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选：A．2．（5分）在直角坐标系中，m＞n＞0是方程=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m＞n＞0，则方程=1表示椭圆，前者是后者的充分条件；方程=1表示椭圆，只需m≠0，n≠0，且|m|≠|n|即可，后者不能推出前者，故前者是后者的充分非必要条件故选：A．3．（5分）若平面α与β的法向量分别是=（1，0，﹣2），=（﹣1，0，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断【解答】解：∵=（1，0，﹣2），=（﹣1，0，2），∴+=（1﹣1，0+0，﹣2+2）=（0，0，0），即+=由此可得∥∵、分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．4．（5分）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y 的值是（）A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1【解答】解：由题意可得=4+4y+2x=0，且=6，∴x=4，或x=﹣4，当x=4时，y=﹣3，当x=﹣4时，y=1，∴x+y=1，或x+y=﹣3，故选：A．5．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．6．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是（）A．x+2y+8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．x﹣2y+8=0【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程+=1，+=1相减得直线l斜率：k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．故选：B．7．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x=﹣的距离也为5，即|1+|=5，解可得p=8；即抛物线的方程为y2=16x，易得m2=2×8=16，则m=4，即M的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y=±x；而K AM=，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有=，解可得a=；故选：B．8．（5分）已知点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD1与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以B为原点，BC，BA，BB1，分别为x、y、z轴建立空间坐标系，设P（x，y，z），A（0，2，0），|PA|=2|PB|，∴=∴，∴点P的轨迹为：以点Q为球心，以半径为的球与正方体表面的交线，即为如图的弧段EMG，GSF，FNE，要使得PD1与底面ABCD所成角最大，则PD1与底面ABCD的交点R与点D的距离最短，从而点P在弧段ENF上，故点P在弧段ENF上，且在QD上．设正方体的边长为2，从而DQ=，从而tanθ最大值为1，故θ最大值为．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，其中9、10、11、12每小题6分，13、14、15每小题6分，共36分将答案填在横线上）9．（6分）设点B是A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点，则B点坐标为（2，3，﹣5），=10．【解答】解：点B是A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点，则B点坐标为（2，3，﹣5）．=5﹣（﹣5）=10．故答案为：（2，3，﹣5）；10．10．（6分）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是，准线方程为y=﹣．【解答】解：抛物线y=4x2即x2=y，焦点坐标为（0，），准线的方程为y=﹣，焦点到准线的距离是．故答案为：；y=﹣．11．（6分）若向量与向量的夹角的余弦值为，则z=0，=．【解答】解：∵向量与向量的夹角的余弦值为，∴====，解得z=0，∴=（1，0，0）﹣（4，2，4）=（﹣3，﹣2，﹣4），||==．故答案为：0，．12．（6分）已知椭圆C1：的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，记为F，设点M是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF|=，则M点的横坐标是，a+b=2+．【解答】解：抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），准线x=﹣1．设M（x0，y0），由|MF|=，∴x0+1=，解得x0=．∵椭圆C1与抛物线C2的交点M在第一象限内，∴y0==．∴M（，）．代入椭圆方程可得+=1，又c=1，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=，即有a+b=2+．故答案为：，2+．13．（4分）已知椭圆M过定点B（﹣4，0），且和定圆（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为﹣=1（x≤﹣2）．【解答】解：动圆圆心为M，半径为r，已知圆圆心为C，半径为4 由题意知：MA=r，MC=r+4，或MA=r+3，MC=r，所以|MC﹣MA|=4即动点M到两定点的距离之差为常数4，M在以A、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为：﹣=1．故答案为：﹣=1．14．（4分）设p：（4x﹣3）2﹣1≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．【解答】解：由：（4x﹣3）2﹣1≤0，得﹣1≤4x﹣3≤1，解得，即p：≤x≤1．由x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0，得（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0，即m≤x≤m+1，∴q：m≤x≤m+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，即，解得0，即实数m的取值范围是．故答案为：．15．（4分）双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A，B两点，若△ABF1为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．【解答】解：如图，△ABF1为等腰三角形，∴AF1=AB=AF2+F2B，∴AF1﹣AF2=F2B=2a，∵BF1﹣BF2=2a，∴BF1=4a，∵直线AB的倾斜角为60°，∴∠F′F2B=60°∵F1F2=2C，在三角形F1F2B中，根据余弦定理得：（4a）2=（2a）2+（2c）2﹣2•（2a）•2c•cos60°整理得，3a2+ac﹣c2=0同除以a2得，﹣﹣3=0，即e2﹣e﹣3=0，解得，（舍）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且经过点P（3，0），求椭圆方程；（2）与双曲线x2﹣2y2=2有公共渐近线，且过点M（2，﹣2），求此双曲线的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a=6b，所以椭圆的标准方程为或，把P（3，0）代入椭圆方程分别得：=1或=1，解得b=1或b=3所以椭圆的标准方程为或；（2）依题意可在知双曲线的焦点在y轴，设出双曲线的方程为，根据已知曲线方程可知其渐近线方程为y=±x∴=，a=b把点（2．﹣2）代入得：中求得b=2，a=，∴双曲线的方程为：17．（14分）已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为．（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面GBCD，∴FM⊥平面GBCD∴FM∥PG由得GM⊥MD，∴GM=GD•cos45°=∵，∴k=318．（14分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：．（1）若AD=BC，求直线CD与平面PAB所成角的大小；（2）设PD=a，且二面角A﹣PB﹣C的大小为，求AD长．【解答】解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC，又AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）∵AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：，AD=BC，设BC=，则D（0，0，0），A（，0，0），C（0，2a，0），P（0，0，2a），B（，2a，0），，，．设平面PAB的一个法向量为，由，取z=1，得x=，y=﹣1．∴，设直线CD与平面PAB所成角的大小为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．∴；（2）由PD=a，得DC=a，BC=，设AD=t，则D（0，0，0），A（t，0，0），P（0，0，a），C（0，a，0），B（，a，0）．，，．设平面PAB的一个法向量为，则，取x=1，得z=，y=，则；设向量PBC的一个法向量为，则，取z=1，得y=1，x=0，则．∵二面角A﹣PB﹣C的大小为，∴cos==，解得：t=．∴AD长为．19．（14分）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．【解答】解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x2﹣1；（3分）（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，得x2﹣kx﹣1=0（4分）∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=﹣k2∵M坐标为（0，﹣1），可得，∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0因此，，即MA⊥MB（7分）（3）设直线MA方程为y=k1x﹣1，直线MB方程为y=k2x﹣1，且满足k1k2=﹣1∴，解得，同理可得因此，=（10分）再由，解得，同理可得∴=（13分），即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）20．（18分）已知抛物线T：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）为T上异于原点的任意一点，点D为x的正半轴上的点，且有|FA|=|FD|，若x0=3时，D 的横坐标为5．（1）求T的方程；（2）直线AF交T于另一点B，直线AD交T于另一点C，试求△ABC的面积S 关于x0的函数关系式S=f（x0），并求其最小值．【解答】解：（1）∵|FA|=|FD|，x0=3时，D的横坐标为5，∴3+=5﹣，∴p=2，∴T的方程是y2=4x；（2）知F（1，0），设A（x0，y0），故D（x0+2，0），设直线AB方程为：x=ty+1，联立抛物线方程，得：y2﹣4ty﹣4=0，设B（x1，y1），则y0+y1=4t，从而x0x1=1|AB|=|AF|+|BF|=（x0+x1）+2=+2，直线AD的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），∴x=﹣y+2+x0，代入抛物线方程可得=0，设C（x2，y2），∴y0+y2=﹣，∴y2=﹣，x2=+4，∴C到直线AB：x=ty+1的距离d==4（+），∴△ABC的面积S关于x0的函数关系式S=f（x0）==（+2）≥16，当且仅当x0=1时取等号，∴△ABC的面积S的最小值为16．。

【全国百强校】浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)

【全国百强校】浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数323aii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】C.考点：复数的计算．2.椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A.14 B.12C.2D.4 【答案】A. 【解析】试题分析：∵长轴长是短轴长的两倍，∴1414m m =⇒=，故选A ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．3.已知椭圆1422=+y x 的两个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（ ）A.23 B.3 C.27D.4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵P 是椭圆上的点，∴12||||24PF PF a +==，又∵1PF x ⊥轴，∴211||2b PF a ==，∴217||422PF =-=，故选C ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．4.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A.221169x y -=B.221916x y -=C.22134x y -=D.22143x y -= 【答案】B.考点：双曲线的标准方程及其性质．5.已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）C.2 1- 【答案】D. 【解析】试题分析：如下图所示，设P 是抛物线上任意一点，抛物线焦点坐标为(1,0)F ，∴1111PA PB PC PB PF PB FB FD +=-+=+-≥-≥-，而FD ==，1，故选D ．考点：抛物线的标准方程及其性质．【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的两类问题（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.6.过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A.23 B.23C.34D.43 【答案】D.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.直线的斜率．7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（ ）A.恒等于2aB.恒大于2aC.恒小于2aD.不确定【答案】C.考点：双曲线的标准方程及其性质．【思路点睛】解析几何中证明不等式、定值或等式问题的一些题目从已知到结论不易证明或解决，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求每一步结论成立的充分条件．直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止.8.已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左，右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221||||PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.[2,)+∞B.(1,3]C.(1,2]D.[3,)+∞ 【答案】B. 【解析】试题分析：设1||PF x =，则2||2PF x =+，∴2221||(2)4448||PF x x x x PF +==++≥=，当且仅当42x x x =⇒=时，等号成立，又由题意221||||PF PF 的最小值为8，∴双曲线左支上存在一点P ，使得1||2PF =， ∴1min ||123PF c c =-≤⇒≤，∴离心率(1,3]ce c a==∈，故选B ． 考点：双曲线的标准方程及其性质．【思路点睛】曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．二、填空题（本大题共7小题，共29分.）9.复数2(34)z i =+的虚部为 ，z 的共轭复数z = . 【答案】24，724i --.考点：复数的概念及其计算．10.双曲线2212xy -=的焦距是 ，渐近线方程是. 【答案】y x =±. 【解析】试题分析：∵c ==，∴焦距为，渐近线方程为y x ==． 考点：双曲线的标准方程．11.已知点(,)P x y 在椭圆22:24C x y+=上，则2x y+的取值范围是 ，椭圆C上的点到(1,0)M 的距离的最大值为 . 【答案】[-. 【解析】试题分析：令2x y t +=，∴2y t x =-，又∵2224x y +=，∴22222(2)46440x t x x tx t +-=⇒-+-=，∴2221624(4)012t t t t ∆=--≥⇒≤⇒-≤≤2x y +的取值范围是[-，而PM ===，∴当1x =-时，max PM =考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.不等式的综合运用．12.抛物线x y C 2:2=的准线方程是 ，经过点)1,4(P 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F AF BF += 【答案】12x =-，9.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.直线与抛物线的位置关系．13.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二，第四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 .【解析】试题分析：由题意，12221212221224()8412AF AF a AF AF AF AF AF AF c +==⎧⇒-=⇒-=⎨+==⎩2C的离心率e ==． 考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质．14.已知椭圆22:13x C y +=的弦AB 过点(1,0)-，则弦AB 中点的轨迹方程是 .【答案】2230x x y ++=.考点：点差法求中点轨迹方程．【方法点睛】点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有12x x +，12y y +，1212y y x x --三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．15.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = . 【答案】2或8. 【解析】试题分析：设(,)M x y ，||55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ， ∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒= 216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．三、解答题 （本大题共5小题，共51分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分10分）已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数,a b 的值.【答案】（12）7a =-，13b =-．考点：复数的计算．17.（本题满分10分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为y =，右焦点(4,0)F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点（不同于1A ，2A ），直线1A P ，2A P 分别与直线1x =交于M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证： FM FN ⋅为定值，并求此定值.【答案】（1）221412x y -=；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）根据条件中的渐近线方程以及焦点坐标及222c a b =+，即可求得a ，b 的值，从而求解；（2）设00(,)P x y ，则010:(2)2y A P y x x =++，020:(2)2y A P y x x =--，进而表示出M ，N 两点的坐标，考点：1.双曲线的标准方程；2.平面向量数量积的坐标表示．18.（本题满分10分）已知抛物线24y x =，作斜率为1的直线l 交抛物线于A ， B 两点，交x 轴于点M ，弦AB 的中点为P .（1）若(2,0)M ，求以线段AB 为直径的圆的方程； （2）设(,0)M m ，若点P 满足111AM BM PM+=，求m 的值. 【答案】（1）22(4)(2)24x y -+-=；（2）2m =+ 【解析】试题分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立，求得中点坐标，再求得||AB ，即直径的长度，即可得到圆的方程；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，12111Py y y +=，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 后利用韦达定理即可求解．试题解析：（1）2122248044y x y y y y y x=-⎧⇒--=⇒+=⎨=⎩，∴中点为(4,=， ∴圆的方程：22(4)(2)24x y -+-=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，224404y x m y y m y x =-⎧⇒--=⎨=⎩12124161604y y mm y y =-⎧⎪⇒∆=+>⎨⎪+=⎩1m ⇒>-，由题意：0m ≠，考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.圆的方程；3.分类讨论的数学思想．19.（本题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形. （1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为12-的直线分别交椭圆于M ，N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）根据椭圆经过点以及两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形可列得方程组222221112b c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，从而求解；（2）若直线MN 斜率存在时，可设22:22y kx m MN x y =+⎧⎨+=⎩ 222(12)4220k x kmx m ⇒+++-=，再利用韦达定理以及条件斜率乘积为12-，可得到m ，k 满足的关系式，即可得证，再验证当MN 斜率不存在也符合即可．试题解析：（1）根据题意22222222221111221b c a x y a b b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪+=⇒⇒+=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩；（2）当MN 的斜率存在时，设22222:(12)422022y kx m MN k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，2212221228(21)04122212k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，∴21212222MA NA k k x x x ⋅===----， ∴221212(21)(2)20k x x km x x m ++++=⇒200m m +=⇒=或m =（舍）∴:MN y kx =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0).考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆中定点问题．【思路点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．20.（本题满分11分）已知动圆Q 过定点(0,1)F -，且与直线1y =相切；椭圆N 的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O ，F 是其一个焦点，又点(0,2)在椭圆N 上.（1）求动圆圆心Q 的轨迹M 的方程和椭圆N 的方程;（2）过点(0,4)-作直线l 交轨迹M 于A ，B 两点，连结OA ，OB ，射线OA ，OB 交椭圆N 于C ，D 两点，求OCD ∆面积的最小值.（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N 上一动点P 作圆22(1)1x y +-=的两条切线，切点分别为,G H ，求PG PH ⋅的取值范围.【答案】（1）2:4M x y =-，22:143y x N +=；（2）127；（3）563,]9．考点：1.抛物线的定义；2.椭圆的标准方程；3.直线与椭圆的位置关系；4.函数最值．【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．：。

2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（3分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．43．（3分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．44．（3分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．（3分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣16．（3分）过点A（﹣2，3）作直线与抛物线y2=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．7．（3分）双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值与2a的大小关系为（）A．恒等于2a B．恒大于2a C．恒小于2a D．不确定8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，3]B．（0，3]C．（1，2]D．（1，+∞）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分．9．（4分）复数z=（3+4i）2的虚部为，z的共轭复数=．10．（4分）双曲线的焦距是，渐近线方程是．11．（4分）已知点P（x，y）在椭圆C：2x2+y2=4上，则2x+y的取值范围是，椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．12．（4分）抛物线C：y2=2x的准线方程是，经过点P（4，1）的直线l 与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则=．13．（3分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．14．（3分）已知椭圆的弦AB过点（﹣1，0），则弦AB中点的轨迹方程是．15．（3分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）已知复数，（1）求|z|；（2）若z（z+a）=b+i，求实数a，b的值．17．（10分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：为定值，并求此定值．18．（10分）已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值．19．（10分）已知椭圆方程C：+=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．20．（11分）已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．2015-2016学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：因为===，是纯虚数，所以a=2．故选：C．2．（3分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a2=1，b2=m，则a=1，b=，又长轴长是短轴长的两倍，∴2=，即m=．故选：A．3．（3分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣，0）所以点P的坐标为（﹣，），所以=．根据椭圆的定义可得，所以．故选：C．4．（3分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C．5．（3分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选：D．6．（3分）过点A（﹣2，3）作直线与抛物线y2=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2m，又导数y′=2••，则在切点处的斜率为，∴=即m+2=2m﹣3，解得=2（﹣舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为=，故选：D．7．（3分）双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值与2a的大小关系为（）A．恒等于2a B．恒大于2a C．恒小于2a D．不确定【解答】解：取坐标原点（0，0），可得P到两个焦点的距离之差的绝对值为0＜2a，故选：C．8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，3]B．（0，3]C．（1，2]D．（1，+∞）【解答】解：设|PF1|=n，（n≥c﹣1）则：根据双曲线的定义：|PF2|=2+n，则：=≥8，当且仅当n=2时成立．所以：c﹣1≤2，即1＜c≤3即解得：1＜e≤3双曲线的离心率的取值范围为：（1，3]，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分．9．（4分）复数z=（3+4i）2的虚部为24，z的共轭复数=﹣7﹣24i．【解答】解：z=（3+4i）2=﹣7+24i，其虚部为24，z的共轭复数=﹣7﹣24i．故答案分别为：24；﹣7﹣24i．10．（4分）双曲线的焦距是2，渐近线方程是．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．11．（4分）已知点P（x，y）在椭圆C：2x2+y2=4上，则2x+y的取值范围是，椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．【解答】解：由2x2+y2=4，得，∵动点P（x，y）在椭圆上，∴可设x=co sθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π]．∴2x+y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+φ）（tanφ=）．∴2x+y∈；===．当cosθ=﹣时，（|PM|2）max=6，∴椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为．故答案为：．12．（4分）抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则=9．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．13．（3分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C 1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==．故答案为：．14．（3分）已知椭圆的弦AB过点（﹣1，0），则弦AB中点的轨迹方程是x2+x+3y2=0．【解答】解：设直线l交椭圆与A（x 1，y1），B（x2，y2）两点，AB的中点为（x0，y0），则代入，作差得：+2y0（y1﹣y2）=0，①∵k AB=②，①②整理得：x02+x0+3y02=0，即x2+x+3y2=0．∴弦的中点的轨迹方程x2+x+3y2=0．故答案为：x2+x+3y2=0．15．（3分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为y2=4x或y2=16x．【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案为：y2=4x或y2=16x．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（10分）已知复数，（1）求|z|；（2）若z（z+a）=b+i，求实数a，b的值．【解答】解：（1）；（2）（3﹣i）（3﹣i+a）=（3﹣i）2+（3﹣i）a=8+3a﹣（a+6）i=b+i，可得．17．（10分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：为定值，并求此定值．【解答】解：（1）（2），所以，所以．18．（10分）已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值．【解答】解：（1）直线方程为：y=x﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，所以中点为所以圆的方程：（x﹣4）2+（y﹣2）2=24．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为：y=x﹣m，，，可得，所以，解得：，19．（10分）已知椭圆方程C：+=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．∴a=b，∴+=1，又∵椭圆经过点P（1，），代入可得b=1，∴a=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）直线MN过定点（0，0），证明：设过椭圆右顶点A（，0）的直线l1的方程为y=k1（x﹣），代入椭圆方程，消去y，得（1+2k12）x2﹣4k12x+4k12﹣2=0，则x M=，y M=k1x M﹣k1=﹣，则M（，﹣），由于l2的方程为y=k2（x﹣），且k1•k2=﹣，代入椭圆方程，则将上面的k1换成﹣，有N（﹣，），则有M，N两点关于原点对称，连接MN，必过原点（0，0）．故直线MN恒过定点（0，0）．20．（11分）已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．【解答】解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，依题意可设椭圆N的标准方程为+=1（a＞b＞0），显然有c=1，a=2∴b=，∴椭圆N的标准方程为：；轨迹；（2）所以x1x2+y1y2=0⇒OA⊥OB设，所以，同理可得：，所以，令t=1+k2（t≥1），，所以当（3）（附加题）设∠GPH=2α，圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为E，如图：当P在椭圆上顶点时PE最小为1，在椭圆下顶点时，|PE|的最大值为3，PE∈[1，3]，PEcosα=PG，sinα=．∴==，当且仅当|PE|=时取等号．因为|PE|∈[1，3]，所以．。

2015-2016年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．32．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=，=，则用向量，，可表示向量为（）A．++B．﹣++C．﹣+ D．﹣+﹣5．（5分）圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（）A．6πB．5πC．3πD．2π6．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线7．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．（5分）已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：①△ADE 是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．）9．（6分）一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为侧面积为．10．（6分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．外接球半径为．11．（6分）已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=，r=．12．（6分）各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为．13．（4分）一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=．15．（4分）如右图，在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别为棱SC，BC的中点，AM⊥MN，若，则正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．17．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC，E 为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（I）求证：BE⊥平面PAC；（II）求证：CM∥平面BEF．19．（15分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EF；（Ⅱ）若AF=1，且二面角B﹣EF﹣C的大小为30°，求CE的长．20．（15分）如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．3【解答】解：解：设原球的半径R，∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，则半径扩大为原来的倍，∴体积扩大为原来的2倍．故选：B．2．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．3．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．4．（5分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=，=，则用向量，，可表示向量为（）A．++B．﹣++C．﹣+ D．﹣+﹣【解答】解：===﹣．故选：B．5．（5分）圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（）A．6πB．5πC．3πD．2π【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=3π，故选：C．6．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a⊂α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．7．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选：D．8．（5分）已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A 1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：①△ADE 是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，做直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，①不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；②不妨令AD=AE=DE=a（a＞6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；③假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA ═A，EP⊂平面ACC1A1，EA⊂平面ACC1A1，则平面ACC1A1与平面BCC1B1垂直，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．）9．（6分）一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为侧面积为9π．【解答】解：一圆柱的底面直径和高都是3，底面半径为：；则它的体积为：V=SH=（）2π•3=．侧面积为：3π×3=9π．故答案为：π；9π．10．（6分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．外接球半径为．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V=××2×1×2=．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②（x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是，故答案为：，．11．（6分）已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=15，r=﹣．【解答】解：向量=m+5﹣=（m，5，﹣1），=3++r=（3，1，r），∥，则==解得m=15，r=﹣故答案为：15，﹣12．（6分）各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）根据前面的分析，4•V1=V2，所以，4••S•r=•S•（R+r），所以，R=3r，因为棱长为1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱长为1的正四面体的外接球体积为π•（）2=、内切球的表面积为4π•（）2=，故答案为：，13．（4分）一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．【解答】解：欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程的最大值S=5+=．故答案为：．．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=45°．【解答】解：如图，过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°﹣60°=30°．由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=．∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QPC=．再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=．∴∠MPC=45°．故答案为：45°．15．（4分）如右图，在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别为棱SC，BC的中点，AM⊥MN，若，则正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=，∴R=，∴V=πR3=π×=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，∴A 1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D117．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO=，∴∠OCB=60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°．18．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC，E 为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（I）求证：BE⊥平面PAC；（II）求证：CM∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC⊂平面ABC∴AC⊥PB．由∠BCA=90°，得AC⊥BC又∵PB∩BC=B∴AC⊥平面PBC∵BE⊂平面PBC∴AC⊥BE∵PB=BC，E为PC中点∴BE⊥PC又∵PC∩AC=C，且PC、AC∈平面PAC∴BE⊥平面PAC（2）取AF的中点G，连接CG、GM∵FA=2FP∴GF=AF=FP又∵E为PC中点∴EF∥CG∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF∴CG∥平面BEF同理可证：GM∥平面BEF又∵CG∩GM=G∴平面CMG∥平面BEF∵CM⊂平面CGM∴CM∥平面BEF．19．（15分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EF；（Ⅱ）若AF=1，且二面角B﹣EF﹣C的大小为30°，求CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴AF∥CE，∴四边形ACEF在同一平面内，∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACEF，∴BD⊥EF；（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设CE=a，则B（1，0，0），F（0，0，1），E（1，1，a），∴=（﹣1，0，1），=（0，1，a），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，1），由，得，∴=（1，﹣a，1），由（I）知=（1，﹣1，0）是平面CEF的一个法向量，∴|cos＜，＞|==cos30°=，∴a=2，即CE=2．20．（15分）如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【解答】法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1•Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO∴A1O⊥底面ABCD∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），A1（0，0，）…（2分）∵，，∴∴BD⊥AA1…（4分）（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量设⊥平面AA1D，，则由得到，∴…（6分）∴所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（8分）（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1设，则得…（9分）设⊥平面DA1C1，，则由得到，∴…（10分）又因为平面DA1C1，则•，∴，∴λ=﹣1即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP …（13分）法二：（Ⅰ）证明：过A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD又底面为菱形，所以AC⊥BD∵A1O∩AC=O∴BD⊥平面AA1O∵AA1⊂平面AA1O∴AA1⊥BD…（4分）（Ⅱ）解：在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°，∴AO=AA1•cos60°=1所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE，故∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C 的平面角…（6分）在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=在Rt△AEO中，OE=OA•sin∠EAO=DE=∴cos∠DEO=∴二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（9分）（Ⅲ）解：存在这样的点P，连接B1C，∵A1B1AB DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP …（11分）∵B1B CC1，…（12分）∴BB1CP∴四边形BB1CP为平行四边形∴BP∥B1C，∴BP∥A1D∵BP⊄平面DA 1C1，A1D⊂平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1…（13分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

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2015-2016学年浙江省宁波三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）直线2x﹣my+1﹣3m=0，当m变动时，所有直线都通过定点（）A．（，3）B．（，3）C．（，﹣3）D．（﹣，﹣3）3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0表示的平面区域是（）A．B．C．D．5．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（5分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，则直线AB的方程为（）A．y=x+或y=﹣x﹣B．y=x+或y=﹣x﹣C．y=x+1或y=﹣x﹣1 D．y=x+或y=﹣x﹣8．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可知此几何体的表面积是（）A．24 B．C．6+2+2D．24+8+89．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=010．（5分）已知曲线﹣=1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）二、填空题（每题4分，共28分）11．（4分）若两平行直线3x﹣2y﹣1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则c 的值为．12．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．13．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条．14．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．15．（4分）若直线l1：4x+y﹣4=0，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的值是：．16．（4分）已知0＜k＜4，直线l 1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．17．（4分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE ⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是．三、解答题（本题共72分）18．（15分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试确定m，n的值，使其分别满足如下条件：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1；（3）l1与l2相交于点P（m，﹣1）．19．（14分）若变量x，y满足约束条件，（1）求目标函数z=的最大值和最小值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．20．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=，E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．（1）证明：AC⊥BF；（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F﹣ACD的体积．21．（14分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程．22．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD；（2）求证：；CD⊥SA（3）若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．2015-2016学年浙江省宁波三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2．（5分）直线2x﹣my+1﹣3m=0，当m变动时，所有直线都通过定点（）A．（，3）B．（，3）C．（，﹣3）D．（﹣，﹣3）【解答】解：直线2x﹣my+1﹣3m=0，化为2x+1﹣m（y+3）=0，令，解得x=﹣，y=﹣3．当m变动时，所有直线都通过定点．故选：D．3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；则原来的平面图形上底是1，下底是1+，高是2，∴它的面积是×（1+1+）×2=2+．故选：D．4．（5分）不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0表示的平面区域是（）A．B．C．D．【解答】解：不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）≤0等价于或者，由二元一次不等式与区域的判断规则知，就选C故选：C．5．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（5分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（5分）已知点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，则直线AB的方程为（）A．y=x+或y=﹣x﹣B．y=x+或y=﹣x﹣C．y=x+1或y=﹣x﹣1 D．y=x+或y=﹣x﹣【解答】解：因为点A（﹣1，0），B（cosα，sinα），且|AB|=，所以（cosα+1）2+sin2α=3，所以2cosα=1，cos，sin，所以K AB==±，所以直线AB的方程：y=（x+1）．即y=x+或y=﹣x﹣．故选：B．8．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可知此几何体的表面积是（）A．24 B．C．6+2+2D．24+8+8【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是直四棱锥，如图所示；根据图中的数据，底面ABCD是边长为4的正方形，其面积为42=16；且侧面PAB⊥底面ABCD，又侧面PAB是等腰三角形，且高为4，其面积为×4×4=8；△PBC与△PAD的面积相等，为×4×=4；△PCD的面积为×4×=8；所以该几何体的表面积是16+8+4×2+8=24+8+8．故选：D．9．（5分）已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣18=0B．2x﹣y﹣2=0C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0【解答】解：设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0由已知及点到直线的距离公式可得，∴|5k﹣2|=|k+6|∴5k﹣2=k+6或5k﹣2=﹣k﹣6∴k=2或k=﹣∴所求的直线方程为2x﹣y﹣2=0或2x+3y﹣18=0故选：D．10．（5分）已知曲线﹣=1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）【解答】解：作出曲线﹣=1对应的图象如图所示：由图象可知直线y=2x+m经过点A（﹣2，0）时，直线和曲线有一个交点，此时﹣4+m=0，即m=4，此时要使两曲线有两个交点，则m＞4，直线y=2x+m经过点B（2，0）时，直线和曲线有一个交点，当直线经过点B时，4+m=0，即m=﹣4，此时要使两曲线有两个交点，则m＜﹣4，综上，m的取值范围是m＞4或m＜﹣4．故选：A．二、填空题（每题4分，共28分）11．（4分）若两平行直线3x﹣2y﹣1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则c 的值为2或﹣6．【解答】解：由题意得，=≠，∴a=﹣4，c≠﹣2，则6x+ay+c=0可化为3x﹣2y+=0，由两平行线间的距离公式，得=，即|+1|=2解得c=2或﹣6，故答案为：2或﹣6．12．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2413．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．【解答】解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：614．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．【解答】解：建立如图坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，∴D1（0，0，5），B（3，4，0），A（3，0，0），C（0，4，0），∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．∴cos＜，＞==﹣．∴AC与BD1所成角的余弦值．故答案为：．15．（4分）若直线l1：4x+y﹣4=0，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的值是：4、或﹣、或﹣1、或．【解答】解：①当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l2：mx+y=0时，m=4．②当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，m=﹣，③当l2：mx+y=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，﹣m=，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（，）代入l3：2x ﹣3my﹣4=0得﹣3m×﹣4=0，解得m=﹣1或，综上，满足条件的m为4、或﹣、或﹣1、或，故答案为：4、或﹣、或﹣1、或．16．（4分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．17．（4分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE ⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是①②④．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正确．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正确．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正确．③AF⊥BC不正确；用反证法证明：假设AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．故③不正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本题共72分）18．（15分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试确定m，n的值，使其分别满足如下条件：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1；（3）l1与l2相交于点P（m，﹣1）．【解答】解：（1）∵直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0平行，∴，解得：m=4，n≠﹣2或m=﹣4，n≠2．（2）m=0时，两条直线方程分别化为：l1：8y+n=0，2x﹣1=0，此时两条直线相互垂直．对于直线l1，令y=﹣1，解得n=8．∴m=0，n=8．m≠0时，由于两条直线相互垂直可得：×=﹣1，无解，舍去．综上可得：m=0，n=8．（3）把x=m，y=﹣1分别代入两条直线方程可得：m2﹣8+n=0，2m﹣m﹣1=0，解得m=1，n=7．19．（14分）若变量x，y满足约束条件，（1）求目标函数z=的最大值和最小值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（1）z=的几何意义为可行域内的动点到原点的距离，联立，解得C（3，4），∴|OC|=5，又O到直线x+y=1的距离d=，∴；（2）∵直线x+y=1的斜率为﹣1，直线2x﹣y=2的斜率为2，∴要使目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则，解得﹣4＜a＜2．∴a的取值范围为a∈（﹣4，2）．20．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=，E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．（1）证明：AC⊥BF；（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F﹣ACD的体积．【解答】解：（1）连接BD，设AC∩BD=0，连接PO，则PO⊥面ABCD，∴AC⊥PO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，BD∩OP=O∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BF，（2）连接DE交AC于G点，连接FG，∵PE∥平面ACF，∴PE∥FG∴=，又CE==，BC∥AD∴==，∴=，过F作FH⊥DB垂足为H则FH∥OP∴==，∴FH=OP==S△ACD•FH=×=．∴v F﹣ACD21．（14分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程．【解答】解：因为射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，所以OA、OB所在的直线方程分别是：x﹣y=0，x+y=0，①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x=1，易知A（1，1），B（1，），所以AB的中点C显然不在直线y=x上，不满足条件；②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k≠0且k≠1，则直线AB的方程为y=k（x﹣1），分别联立，，解得A（，），B（，），所以AB的中点C的坐标是（，），因为AB的中点C恰好落在直线y=x上，所以=×，解得k=，则直线AB的方程为：y=（x﹣1），即（3+）x﹣2y﹣3﹣=0，所以直线AB的方程为（3+）x﹣2y﹣3﹣=0．22．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD；（2）求证：；CD⊥SA（3）若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解答】证明：（1）取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC．在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR=BC．所以QR∥PD且QR=PD，则四边形PDRQ为平行四边形．所以PQ∥DR．又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD．…（4分）（2）因为四边形ABCD为正方形，则CD⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SA．…（8分）解：（3）N为SC的中点连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，因为PD∥CM，并且PD=CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO．又因为N为SC中点，所以NO∥SP．…（12分）因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，…（13分）又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）。

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