基本不等式测试题苏教版必修

基本不等式测试题苏教

版必修

SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

基本不等式测试题

A 组

一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若xy>0,则

x y

y x

+的最小值是 。 .提示：

x y y x +≥y x

=2. 2. 已知a ，b 都是正数，则

a ＋b

2、

a 2＋

b 2

2

的大小关系是 。

≤

a 2＋

b 2

2

。提示：平方作差，利用a 2+b 2≥2ab 可得。

3.若x ＋y ＝4，x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y 的最大值是 。

.提示：lg x ＋lg y =lg xy ≤lg(2

x y +)2

=lg4. 4.已知

12

1(0,0),m n m n

+=>>则mn 的最小值是

4. 121mn m n =

+≥≥ 5.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿

.提示： 6 = 22x y +≥2， ∴22x y ≤9 。 故2x y +的最大值是9，此时x=y=2log 3。

6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物

的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处

.提示 由已知y 1=

x

20

；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)， 费用之和y =y 1+y 2=0 8x +

x 20≥2x x 208.0⋅=8，当且仅当0 8x =x

20

即x =5时“=”

成立。

7.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。

7.[9,)+∞。提示：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即

230-≥13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

8. 给出下列命题：

①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥才成立。

②y=x+

1

x

的最小值为2。

③y=sinx+2sin x (02x π

<≤)的最小值为

④当x>0时，y=x 2+16x ≥,当x 2＝16x 时，即x=16,y 取最小值512。 其中错误的命题是 。

8. ①②③④。提示： ①a+b ≥成立的充要条件是0,0a b ≥≥；

②当x>0,y=x+1x ≥2;当x<0时,y=x+1x =-(-x-1

x

)≤=-2;

③y=sinx+

2sin x ≥，等号成立的条件是sinx ＝2

sin x

，即sinx ＝

，

而当02

x π

<≤时，0

判断y=t+

2t (t=sinx)在](0,1上单调递减，从而y min =1+2

1

=3;

④“”不是定值，因此该命题也不对。y=x 2+16x 在x (0,)∈+∞单调递增，无最小值。

二．解答题(本大题共4小题，共54分)

9. 已知: 在ABC ∆中, ∠A,∠B,∠C ， 的对边分别是a, b, c ，则求满足下列

条件的∠B 的 范围分别是什么。

⑴若 a=2, b=1。 ⑵若 2b ac =。

9.解：⑴ ∵cosB=22224124a c b c ac c +--+== 13

()4c c

+1324c c ≥=

故∠B 取值范围分别是 (0,]6

π

。 取等号时.

⑵ ∵cosB=2222a c b ac +-=

2221

222

a c ac ac ac ac ac +--≥= 故∠B 取值范围分别是 (0,]3

π

. 取等号时 a=c.

10．已知直角△ABC 中，周长为L ，面积为S ，求证：4S ≤2(3L -.

10．设直角△ABC 的两直角边为x ，y

S=12

xy ， ∴

L=x y +

∴4S

22(3L =-

11.已知正数y x ,满足12=+y x ,求

y

x 1

1+的最小值有如下解法： 解：∵12=+y x 且0,0>>y x .

∴

242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xy y x y x y x ∴24)1

1(min =+y

x .

判断以上解法是否正确说明理由；若不正确，请给出正确解法． 11. 解：错误.

∵ xy y x 1211≥+ ① 等号当且仅当y x =时成立，又∵xy y x 22≥+②

等号当且仅当y x 2=时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：∵12=+y x 且0,0>>y x . ∴

22322323)2)(11(11+=⋅+≥++≥++=+y

x x y y x x y y x y x y x ， 当且仅当y x x y =2，即y x 2=，又12=+y x ，∴这时⎪⎩⎪⎨⎧-=

-=2221

2y x ∴ 223)1

1(min +=+y

x ．

12．某食品厂定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉6t ，每t 面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每t 每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少

12．设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨， 由题意知，面粉的保管等其他费用为：

3[66(1)6261]9(1)x x x x +-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=+.

设平均每天所支付的总费用为y 元， 则1900

[9(1)900]61800910809y x x x x

x

=+++⨯=

++≥10989，