最新2011数值分析第一次作业及参考答案

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《数值分析》第一章答案

《数值分析》第⼀章答案习题11．以下各表⽰的近似数，问具有⼏位有效数字？并将它舍⼊成有效数。

（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。

解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。

→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。

数值分析课第一次作业答案answer1

2 2 答案：利用重节点均差（差商）表。P (x) = 1 4 x (x − 3) 。
计算机习题： 1. 作多项式 p，以 −1，0，1 为零点，首项系数为 2，并计算 p(3)。 4
答案：p = poly ([−1, 0, 1])，s = polyval(p, 3)。 2. 已知函数在下列各点的值为 xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
a 6 6e+154 0 1 1
b 10 10e+154 1 -1e+5 -4
c -4 -4e+154 1 1 3.999999
-1e+155 -7e+155 1e+155 答案：第二种方法更准确，因为第一种方法是一个累加的过程。 matlab 的 x = a : h : b 和 x = a + (0 : n) ∗ h 是第二种方法实现的。代码： format long e a = 0; b = 8; n = 9; h = (b-a)/n; x(1) = a; y(1) = a; for j = 1:n, x(j+1) = x(j) + h; y(j+1) = y(1) + j*h; end [x',y',(a:h:b)',a+(0:n)’*h] 第二章插值法 1. 当 x = 1, −1, 2 时，f (x) = 0, −3, 4，求 f (x) 的二次插值多项式。（计算两遍，分别用拉格朗日插值和牛顿插值）
5
f (xi ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 求 4 次牛顿插值多项式 P4 (x) 并画图。答案：代码： x=0.2:0.2:1.0; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; n = length(y); if length(x)~=n, error('x and y are not compatible'); end D = zeros(n,n); D(:,1)=y(:); for j=2:n for i=j:n D(i,j) = (D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end p=D(1,1)*[zeros(1,n-1),1]; for k=2:n p=p+D(k,k)*[zeros(1,n-k),poly(x(1:k-1))]; end x=0.2:0.01:1.0; z=polyval(p,x); plot(x,z) 比较：p = polyf it(x, y, 4)。

福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1

得分评卷人
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ，则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、确定求积公式尽量高,则 A0=_

1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （（ c ） c ）

《数值分析》参考答案

参考答案第1章一、选择题1. D2. C3. A4. B5. B二、填空题1. 函数题头 H1行帮助信息函数体注释部分函数题头2. nargin varargin3. A=rand(4)4. 单引号三、解答题1. for 语句和while 语句均可以实现循环执行的功能。

二者的区别在于，for 循环语句一般适用于已知道循环次数，而不知道循环运算的目标的问题，而while 循环语句则相反，一般适用于已知循环目标，而循环次数未知的问题。

2. 程序如下：function [highavg,weightavg]=avg_high_weight(varargin) n=length(varargin); highsum=0; weightsum=0; for i=1:n highsum=highsum+varargin{i}(1);weightsum=weightsum+varargin{i}(2);endhighavg=highsum/n; weightavg=weightsum/n;第2章一、选择题1. A2. B3. A4. C5. D二、填空题1. 1.7 1.73 1.7322. 3 13. 5％4. 3三、解答题1. 解：1*()()nn x nxx x ε-≈-1***()()n nr nxx x x x x nnxxε---≈=()0.02r ne x n ==2数值分析2. 解：*1 1.1021x =有五位有效数字；*20.031x =有两位有效数字；*3385.6x =有四位有效数字；*47 1.0x =⨯有一位有效数字。

3. 解：（1）*******124124()()()()x x x x x x εεεε++≤++433111101010222---=⨯+⨯+⨯3*1.0510ε-=⨯=（2）*********123231113()()x x x x x x x x x ε⋅⋅≈⋅-+⋅****221233()()x x x x x x -+⋅-*0.197ε≈=（3）******2242244**2441(/) |()()|()x x x x x x x xx ε≤---****2224**44|()()|r r x x x x xxεε=-***224*4||[|()||()|]r r x e x e x x≤+331110100.0312256.4800.03156.480--⎡⎤⨯⨯⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦5*10ε-≤=4. 解：33**34433()43r R RV Rππεπ-=*2**2R R R R R RRR R-++=⋅*223R R R RR-≈⋅*3R R R-=⋅1%=故*1300R R R-=5. 解：设Y =*27.983Y =，*31102Y Y δ-=-≤⨯，028Y =，*028Y =，*0000Y Y δ=-=*111282827.983100Y Y ⎛⎛⎫-=---⨯ ⎪⎝⎝⎭1100δ≤，**22111127.983100100Y Y Y Y ⎛⎛⎫-=-⨯--⨯ ⎪⎝⎝⎭**111()()100Y Y Y Y =---112100100100δδδ≤+=仿此可得：*100n n n Y Y δ-≤则*31001001001101002Y Y δδ--≤==⨯即计算100Y 的误差界不超过31102-⨯参考答案 36. 解：解方程25610x x -+=得：28282x =±±由第5题知27.983具有五位有效数字，故可取：1282827.98355.983x =++=21280.0178655.983x =-≈=7. 解：设正方形的边长为x ，则其面积为2y x =。

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4xx给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为xx。

数值分析习题(含标准答案)

]第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

数值分析第一次作业解答

数值分析第一次作业解答1：(a) —个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。

x ;(b) 无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。

x ；(C)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。

X ；(d) 用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。

V;(e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布。

x ;(f) 浮点数的加法满足结合律。

x(g) 浮点数的加法满足交换律。

X ;(h) 浮点数构成有效集合。

V;(i) 用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解2: 程序t=0.1;n=1:10;e=n/10-n*te = 1.0e-015 *[ 0 0 -0.0555 0 0-0.1110 -0.1110 0 0 0] 由舍人误差造成n=3，6，7 时的结果不为零。

4:两种等价的一元二次方程求解公式-b - Pb2 - 4acx =2a2cx 二-b b2 - 4ac对a=1, b=-100000000, c=1，应采用哪种算法?A二[1,-100000000,1];roots(A);可得：X1 = 100000000;x2=0a=1;b=-100000000;c=1;x1仁(-b-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x12=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x2仁2*c/(-b-sqrt(b*b-4*a*c))x22=2*c/(-b+sqrt(b*b-4*a*c))由第一种算法：X1 = 100000000;x2=7.45058 X10由第二种算法：X1 = 13417728;x2=-1.0 X108原因：太小的数作分母。

5:程序:fun cti on y=tt(x)s=0;t=x;n=1;while s+t~=s;s=s+t;t=-x A2/(( n+1)*( n+2))*tn=n+2;endntt(2n 1)eps)(a)t小于计算机的计算精度。

数值分析习题集及答案[1](精)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案

f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)

(完整版)数值分析第一次作业

问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868；（2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。

分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。

边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。

对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]）解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。

数值分析第一次作业答案

作业1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式2. P55 11题.给出概率积分⎰-=xxdxey 022π的数据表用2次插值计算，试问：(1) 当x = 0.472时，积分值等于多少? (2) 当x 为何值时，积分值等于0.5？解：(1) 取x 0 = 0.47， x 1 = 0.48, x 2 = 0.4980.4955530040.04093346-80.1809899240.355496540.51166830.50274980.4937452=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈)48.049.0)(47.049.0()48.0472.0)(47.0472.0()49.048.0)(47.048.0()49.0472.0)(47.0472.0()49.0472.0)(48.047.0()49.0472.0)(48.0472.0()472.0())(())(())(())(())(())(()472.0(2120210221120121210y Lxx xx xxy x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y(2)90.4769359350.05272367-80.4362204360.093439170.50274980.51166830.49374520.51166830.50274980.49374520.49 0.51166830.50274980.49374520.50274980.51166830.49374520.48 0.51166830.49374520.50274980.49374520.51166830.50274980.47=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈))(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0()5.0())(())(())(())(())(())(()5.0(212210221120121210Lyyy y yy xy y yy y y xyyyy yy xy y y y y y x3. 证明方程e x +10x －2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？4. 设x t ＝451.01为准确值，x a ＝451.023为x t 的近似值，试求出x a 有效数字的位数及相对误差作业答案1.解：N 2(x ) = f (0)+f [0，1](x -0)+ f [0，1，2](x -0) (x -1) 1＋1×(x -0) ＋3×(x -0) (x -1)＝3x 2-2x +1 为求得P 3(x )，根据插值条件知，P 3(x )应具有下面的形式 P 3(x )＝N 2(x )＋k (x -0) (x -1) (x -2)，这样的P 3(x )自然满足：P 3(x i )= f (x i )由P 3’(1 )=3P 3’(1 )= N 2’(1 )+k (1-0) (1-2) =N 2’(1 )－k = 4－k=3∴ k =1∴ P 3(x )＝N 2(x )＋ (x -0) (x -1) (x -2)=x 3+1 3. 证明令f (x )＝e x +10x －2，∵ f (0)=-1<0，f (1)=e+8> 0∴ f (x )= e x +10x －2 =0在[0，1]有根。

2011年秋研究生数值分析试题A卷答案

2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。

二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。

三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。

8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。

2011数值分析试题及答案

122446
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
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数值分析(2011)试题A卷参考答案

装订线年级学号姓名专业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一二三四五六七八九十总分年级2011级研究生份数拟题人王吉波审核人装订线年级学号姓名专业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

数值分析第一章绪论习题答案

数值分析第一章绪论习题答案第一章绪论1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。

* * e* x * _x解：近似值x*的相对误差为:.=e*x* x*1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e*x*进而有；(ln x*)::.2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。

解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1n A.x nx .又7 f '(x)= nx n」C p|=nn又；；r((x*) n) ： C p ；,x*)且e r (x*)为2.；r((x*)n) 0.02 n3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0.解：x；=1.1021是五位有效数字；X2 =0.031是二位有效数字；X3 =385.6是四位有效数字；x4 = 56.430是五位有效数字；x5 -7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-ix2x3,(3) x2/ x4.* * * *其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:*1 4；(x-| ) 102* 1 3;(x 2) 102* 1 1；(x 3) 10 * 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102 (1)；(为 X 2 X 4)=；(为)亠：(x 2)亠：(x 4)=1 10 4 110 J 丄 10^2 2 2= 1.05 10”* * * (2)(X 1X 2X 3)* * * ** * ** *X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2)1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10(3) XX 2/X 4)X 40.031 110” 56.430 丄10’2 256.430 56.430=10°5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 43解：球体体积为V R 3则何种函数的条件数为=1.1021汉 0.031 汉 * 汉10」+0.215RV' R 4 - R2Ik -3；r(V*) ： C pL；r(R*) =3；r(R*)1故度量半径R时允许的相对误差限为；r(R*) 1 ：0.3336?设Y0=28，按递推公式丄J783 (n=1,2,…)100计算到Y oo。