最新2011数值分析第一次作业及参考答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1）
2）
解：（1）三个参数，代入
18、已知 ，
（1）推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。
（2）求上述求积公式的代数精确度。
（3） 用上述公式计算 。
解：（1）过 三点的二次插值为
故有
其中
故求积公式为
（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将 代入有
故该求积公式的代数精度为3次。
97.8
解：
12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求 在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）
解： 构造正交多项式
于是
所以， 在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为
13、求 在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）
解 先计算 。
，
（3）台劳级数项数的节约
应用 的台劳展开，取 ，得
作为 的近似，其误差为
，
由于
则
其中
用 做 的逼近多项式，其误差为
若再用 代入 可求出
16.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）
略。
17． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
15、求函数 在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）
解：三种方法，见参考讲义。
（1）截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
，
它可用数值积分方法计算，得到
由 及 的公式得到
（2）拉格朗日插值余项的极小化
由 的4个零点
做插值点可求得
解：
一阶差商
二阶差商
0
1
－1
5
－4
2
－1
－2
1
（3）用对角线上的数据写出插值多项式
2.在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 应取多少？
解：
3.求 在［a,b］上的分段线性插值函数 ，并估计误差。
解：
4.已知单调连续函数 的如下数据
－0.11
0.00
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式 ，
由题意可设
为确定待定函数 ，作辅助函数：
则 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点 为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点 使 ，从而得 。
故误差估计式为
6.设函数 在节点 的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数 ：
数值计算方法第一次作业及参考答案
1.已测得函数 的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange插值基函数为
同理
故
（2）令 ，则一阶差商、二阶差商为
实际演算中可列一张差商表：
（1） （2）
解：（1）取 处的一阶导数 作为参数， 。由于
以及由三转角方程
得 由于 从而
解之可得
故
（2）取 处的二阶导数 作为参数， 。由于
以及由三弯矩方程
由于 代入方程可得
故
7．编程实现题：
略。
8、试求 最佳一次一致逼近多项式。
解：因为 在 内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
式中
从而
9、给定 ，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在 上求 的三次最佳一致逼近多项式。
（3）
19、如果要用复化梯形公式计算积分 ，试问应将积分区间［a,b］分成多少份，才能保证误差不超过 。
解：已知将［a,b］分成n份的复化梯形公式的余项为
记 ，则按要求应满足
故 ，为上取整。
20、已知勒让德（Legendre）正交多项式 有三项递推关系式：
试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式
的求积系数和节点，并利用此公式写出 的计算式（无需计算结果）。
解：令
设 为 在 上的三次最佳一致逼近多项式，由于 的首项系数为 ，故
10、设 ，分别在 上求一函数，使其为 的最佳平方逼近，并比较其结果。
解：
由结果知（1）比（2）好。
11、用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
；Hale Waihona Puke Baidu
；
；
；
又有
，
， ，
得 均方误差
14、 A、B、C三点连成一条直线，AB长为 ，BC长为 ，某人测量的结果为 米， 米，为控制丈量的准确性，又测量 米，试合理地决定 和 的长度。（小数点后取四位有效数字）
解：令 为AB的所求值， 为BC的所求值，则
在最小二乘意义下，要 达到极小，
即求 的极小点。
令
解的 。故应取 。
解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式 令 ，其三个零点为
则所求的高斯求积公式为
因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对 均精确成立，
所以三点的高斯－勒让德求积公式为
对 ，作变换 ，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即
用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有
21、 建立高斯型求积公式 。（参考讲稿与参考书）
1.50
1.80
－1.23
－0.10
1.17
1.58
用插值法计算 约为多少时 （小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数 则问题转化为 为多少时， 此时可作新的关于 的函数表。由 单调连续知 也单调连续，因此可对 的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
故
5.设函数 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式 ，使其满足 ， ， , 。并写出误差估计式。
2）
解：（1）三个参数，代入
18、已知 ，
（1）推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。
（2）求上述求积公式的代数精确度。
（3） 用上述公式计算 。
解：（1）过 三点的二次插值为
故有
其中
故求积公式为
（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将 代入有
故该求积公式的代数精度为3次。
97.8
解：
12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求 在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）
解： 构造正交多项式
于是
所以， 在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为
13、求 在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）
解 先计算 。
，
（3）台劳级数项数的节约
应用 的台劳展开，取 ，得
作为 的近似，其误差为
，
由于
则
其中
用 做 的逼近多项式，其误差为
若再用 代入 可求出
16.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）
略。
17． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
15、求函数 在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）
解：三种方法，见参考讲义。
（1）截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
，
它可用数值积分方法计算，得到
由 及 的公式得到
（2）拉格朗日插值余项的极小化
由 的4个零点
做插值点可求得
解：
一阶差商
二阶差商
0
1
－1
5
－4
2
－1
－2
1
（3）用对角线上的数据写出插值多项式
2.在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 应取多少？
解：
3.求 在［a,b］上的分段线性插值函数 ，并估计误差。
解：
4.已知单调连续函数 的如下数据
－0.11
0.00
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式 ，
由题意可设
为确定待定函数 ，作辅助函数：
则 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点 为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点 使 ，从而得 。
故误差估计式为
6.设函数 在节点 的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数 ：
数值计算方法第一次作业及参考答案
1.已测得函数 的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange插值基函数为
同理
故
（2）令 ，则一阶差商、二阶差商为
实际演算中可列一张差商表：
（1） （2）
解：（1）取 处的一阶导数 作为参数， 。由于
以及由三转角方程
得 由于 从而
解之可得
故
（2）取 处的二阶导数 作为参数， 。由于
以及由三弯矩方程
由于 代入方程可得
故
7．编程实现题：
略。
8、试求 最佳一次一致逼近多项式。
解：因为 在 内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
式中
从而
9、给定 ，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在 上求 的三次最佳一致逼近多项式。
（3）
19、如果要用复化梯形公式计算积分 ，试问应将积分区间［a,b］分成多少份，才能保证误差不超过 。
解：已知将［a,b］分成n份的复化梯形公式的余项为
记 ，则按要求应满足
故 ，为上取整。
20、已知勒让德（Legendre）正交多项式 有三项递推关系式：
试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式
的求积系数和节点，并利用此公式写出 的计算式（无需计算结果）。
解：令
设 为 在 上的三次最佳一致逼近多项式，由于 的首项系数为 ，故
10、设 ，分别在 上求一函数，使其为 的最佳平方逼近，并比较其结果。
解：
由结果知（1）比（2）好。
11、用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
；Hale Waihona Puke Baidu
；
；
；
又有
，
， ，
得 均方误差
14、 A、B、C三点连成一条直线，AB长为 ，BC长为 ，某人测量的结果为 米， 米，为控制丈量的准确性，又测量 米，试合理地决定 和 的长度。（小数点后取四位有效数字）
解：令 为AB的所求值， 为BC的所求值，则
在最小二乘意义下，要 达到极小，
即求 的极小点。
令
解的 。故应取 。
解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式 令 ，其三个零点为
则所求的高斯求积公式为
因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对 均精确成立，
所以三点的高斯－勒让德求积公式为
对 ，作变换 ，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即
用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有
21、 建立高斯型求积公式 。（参考讲稿与参考书）
1.50
1.80
－1.23
－0.10
1.17
1.58
用插值法计算 约为多少时 （小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数 则问题转化为 为多少时， 此时可作新的关于 的函数表。由 单调连续知 也单调连续，因此可对 的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
故
5.设函数 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式 ，使其满足 ， ， , 。并写出误差估计式。