函数的连续性(技能大赛)
函数的连续性优质课教案
课 题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课 课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义. 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0lim x x →f(x)存在；(3)0lim x x →f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0lim x x →f(x)存在，且0lim x x →f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.由第三个条件，0lim x x →f(x)=f(x0)就可以知道0lim x x →f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0lim x x →f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续. 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b)内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f(x)在(a ，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a ，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a ，b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等于f(a)，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a ，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在b 点处左极限存在等于f(b).4.函数f(x)在［a ，b ］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x=a 处有+→a x lim f(x)=f(a)，在右端点x=b 处有-→b x lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续,或f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数.如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x ∈［a ，b ］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x ∈［a ，b ］.5.最大值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).6.最小值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x)在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b)内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性. (1)f(x)=x 1，点x=0. (2)g(x)=sinx ，点x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，函数f(x)=x 1在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义.函数g(x)=sinx 在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx ，在x=0及附近都有定义，0lim →x sinx 存在且0lim→x sinx=0而sin0=0.解：(1)∵函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义 ∴它在点x=0处不连续.解：(2)∵0lim →n sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx 在点x=0处是连续的.点评：写g(x)=sinx 在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．四、课堂练习：2,1104P五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0处有定义.②0lim x x →f(x)存在.③0lim x x →f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业：4,3,2105P。
7函数的连续性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0)
左连续
右连续
o
x
x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0 ) y
函数 y = f ( x )在点 x0 连续旳两种等价定义:
初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则 二、初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则
定理1. 在某点连续旳有限个函数经有限次和 , 差 ,
积 , 商 (分母不为 0) 运算旳成果, 仍是一种在该点
连续旳函数. ( 利用极限旳四则运算法则证明)
例如, sin x , cos x 连续 tan x , cot x 在其定义域内连续
定理3. （连续函数旳复合函数是连续旳）
若函数 u (x)在点 x0 连续，且(x0 ) u0,函数 f (u)
在点 u0 连续，则复合函数 f [(x)] 在点 x0 连续，即
lim
x x0
f
[(x)]
f [ lim (x)] x x0
f [(x0 )]
定理3可修改为下面求复合函数极限旳定理
(x) 1 f (x) g(x)
2
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知 (x), (x) 也在 [a , b]
上连续 .
二、初等函数旳连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数旳复合函数连续
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖简介本文档是一份关于函数的连续性学案的优质课竞赛一等奖作品，旨在帮助学生深入理解函数的连续性概念及其应用。
通过本课案，学生将能够掌握函数连续性的基本概念、判断函数连续性的方法以及应用连续性进行问题解决的能力。
课程目标本次学案的主要目标如下：- 理解函数连续性的定义及其在数学中的重要性；- 学会判断函数连续性的方法，包括使用函数极限、间断点的判定以及函数图像的观察等；- 掌握应用函数连续性进行问题解决的技巧，例如利用连续性求解方程、优化问题等；- 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
教学内容1. 函数连续性的定义与性质- 函数在某点连续的定义- 连续函数的性质及例子- 常见间断点的分类与例子2. 判断函数连续性的方法- 函数极限的使用- 间断点的判定方法- 函数图像的观察与分析3. 应用函数连续性进行问题解决- 利用连续性求解方程- 优化问题的连续性解法- 实际问题的函数连续性分析与解决方案教学方法本学案采用以下教学方法：- 探究式研究：通过引导学生提出问题、观察现象以及实际问题分析等，培养学生的主动研究能力和问题解决能力；- 合作研究：通过小组合作讨论、分享思路和解决方案，培养学生的合作精神和交流能力；- 实践操作：通过实例演练和问题求解的实践操作，巩固学生对函数连续性的理解和应用能力。
教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引发学生对连续性的思考，鼓励学生提出问题和观察现象。
2. 理论讲解：介绍函数连续性的定义和性质，通过示意图和具体例子加深学生的理解。
3. 小组活动：将学生分组进行小组讨论，探究函数连续性的判定方法和应用技巧，并在小组中解决一些例题。
4. 整合总结：学生进行汇报和分享，老师进行总结和概括，强调函数连续性的实际应用和意义。
5. 练与拓展：提供一些练题供学生巩固和拓展知识，同时鼓励学生进行更深入的思考和探索。
教学评估本学案采用以下方式进行教学评估：- 小组活动中的表现与合作能力评估；- 课堂练和作业的完成情况评估；- 学生提出问题和解决实际问题的能力评估；- 学生对函数连续性概念的理解程度的评估。
函数的连续性(东南大学工科数学分析教案)
lim F ( x) F ( x ) 。
1 x 2
例 5．求函数 y ln arcsinx 的连续区间，并求 lim ln arcsin x 。
解：∵ y ln arcsin x 是初等函数，其定义区间为(0, 1] ，
∴ y ln arcsin x 的连续区间为(0, 1] 。
x0
lim y 0
点 x 是函数 则称函数 f ( x )在点 x 处连续，并称 f ( x) 的连续点。
x x ； ∵ x x x ， ∴当x 0 时，有
∵ lim y lim [ f ( x) f ( x )] 0 ，
x0 x x
∴ lim f ( x) f ( x ) 。
（证明从略）
定理 3 是说连续函数的复合函数仍是连续函数。其结论为
xx
lim f [ g ( x)] f [ g ( x )] f [ lim g ( x)]
xx
" f " 在函数连续时可以交换次序。 极限符号" lim" 与函数符号
2 y sin u 例如：∵ ，u x 均为连续函数，
② lim f ( x) 存在；
xx
③ lim f ( x) f ( x ) 。
xx
若条件之一不满足，则称点 x为 f ( x) 的一个间断点
(或不连续点)。
定义 3 若 o ， 0，
x x 时，恒有
f ( x ) f ( x ) ，则称函数 f ( x )在点 x 处连续。
点 x 的函数值。 极限值 u 未必 是函数 u g ( x) 在
1 loga (1 x) 例如： y loga (1 x) x ，可看作由
高三数学专题 函数连续性问题
高三数学专题函数连续性问题函数连续性是高中数学中一个重要的专题，它和函数的性质有着密切的关系。
函数连续性问题主要包括函数的连续性、间断点和间断性等内容。
下面将重点介绍函数连续性问题的相关概念和解题方法。
1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。
也就是说，如果函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在这一点就是连续的。
函数的连续性可以用数学定义来表示，如下所示：定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
2. 间断点和间断性当函数在某一点上不连续时，该点就被称为间断点。
间断点的种类有三种：1. 可去间断点：也称为去除不连续点，指的是在某一点上存在极限，只需要对函数在该点进行修正或定义，就可以使函数连续。
2. 跳跃间断点：也称为绝对不连续点，指的是在某一点上的左极限和右极限存在，但两者不相等。
3. 无穷间断点：指的是在某一点上的左极限或右极限为无穷大，或者两者中至少有一个不存在。
3. 解题方法在解决函数连续性问题时，可以采用以下方法：1. 观察函数的定义域和值域，找出函数可能的间断点；2. 分析间断点的性质，并确定其类型；3. 运用极限的相关定理或其他相关数学知识，来判断函数在间断点是否连续；4. 根据函数在不同区间的连续性情况，综合判断函数的连续性。
需要注意的是，解决函数连续性问题时，可以利用函数在不连续点附近的局部性质来分析，同时还需要注意避免除数为零等数学错误。
结论函数连续性问题是高中数学中的重要内容之一，它涉及到函数的连续性、间断点和间断性等概念。
函数的连续性教案1
函数的连续性教案1教学目的首先使同学理解函数在某一点左连续、右连续、连续的概念及其相互关系，着重掌握函数在某一点连续必须具备的三个条件；其次使同学了解连续函数的一些简单性质．教学重点和难点函数f(x)在点x0处连续必需满足的三个条件和函数f(x)在点x0处连续的充要条件．教学过程一、复习提问作出下列各函数的图象并回答问题：(1)指出哪些函数在x＝0处有左极限；(2)指出哪些函数在x＝0处有右极限；(3)指出哪些函数在x＝0处有极限；(4)指出哪些函数在x＝0处有意义．二、新课1．根据上述五个函数的图象在x＝0处及其邻域的异同点，大致可分为两类，这两类是什么呢？(引导同学得出连续与间断两类．)进而分析“连”的特征与“断”的各种情况，引出函数y＝f(x)在点x0处连续的定义．即：如果函数y＝f(x)在点x0处及其附近有意义，而且就说函数f(x)在点x0处连续．结合例题中的图象对上述定义进行分析，得出函数f(x)在点x0处连续必须具备的三个条件是：①函数f(x)在点x0处及其附近有定义；说明：对上述三个条件中有任何一条不具备，那么函数f(x)在点x0处就不连续，点x＝x0称为该函数的间断点．2．通过对上述例题中②—⑤四个函数的图象在点x＝0处的左极限与f(0)是否存在和相等关系的分析，引出函数在点x＝x0处左连续的定义，即如果函数f(x)在点x0处及其左侧有定义，且那么就说函数f(x)在点x0处左连续．用同样方法，由同学得出右连续的定义．3．讨论左连续、右连续、连续三者关系，从而得出函数y＝f(x)在点x＝x0处连续的充要条件是f(x)在点x0处既左连续且又右连续．4．给出函数y＝f(x)在某一开区间(a，b)内连续的定义和在某一闭区间上连续的定义，即如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，就说f(x)在区间(a，b)内连续，或者说f(x)是区间(a，b)内的连续函数．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x＝a处右连续，在右端点x＝b 处左连续，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．5．连续函数的性质1：如果y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值和最小值．对上述定理只作说明不作证明；强调定理中的条件是闭区间，而这个条件只是充分条件而不必要，可通过下面例题说明．由图1－17可知f(x)在[a，b]上连续，且当x＝a时，函数有最小值f(a)，当x＝x0时，函数有最大值是f(x0)．由图1－18可知y＝log2x 在(0，＋∞)内连续，而无最大值与最小值．由图1－19可知y＝g(x)在(a，b)内连续，当x＝x0时，函数有最小值g(x0)，而无最大值．＝f(x0)±g(x0)．因此函数f(x)±g(x)在点x＝x0处连续．其余证明由同学完成．三、小结与巩固练习1．函数y＝f(x)在点x0处连续的定义和判断方法是我们这一节课的重点，应让同学牢固掌握它们．2．口答练习(1)连续函数的图象有什么特点？观察下列各函数图象(图1－20)，说明函数在x＝a 处是否连续．(2)结合下列函数的图象，说明函数在给定点或区间上是否连续：四、布置作业1．根据函数连续性的定义，说明下列函数在给定点处连续．② f(x)＝ax2+b，(x＝1)；④ f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，(x＝0)．2．说出下列函数在实数轴上哪些点处不连续．。
函数连续性课件
与路程x（单位:km）之间的关系为：
f
(x)
5 1.2x, 13.4 2.1(x
7)
0
x
x
7
7
（1）求 lim f (x) x7
（2）f (x) 是连续函数吗？
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
[出租车费]
解
因为 lim f (x) lim (5 1.2x) =13.4
17、18世纪是数学家的英雄时期，并取得了丰硕的成果 ，构成了庞大的数学分析分支.但它从概念到证明都是不够严 密的.在19世纪前后，波尔察诺、柯西、维尔斯特拉斯等人为 了使微积分更严密，发现算术本身是有巩固基础的，可以在 算术概念的基础上重新分析.这样他们正确地抓住了极限与连 续性是两个本质的概念。正如现在我们知道的，极限与连续 性是两个孪生兄弟.
x00
x00
lim f (x) lim (4.2x 420) 420
x00
x00
lim f (x) lim f (x)
x00
x00
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
[出租车费]
设某城市出租车白天的收费y(单位:元)
连续是的数学基础概念之一
连
续
是植根于工业生活骨髓的概念之一
连续是对世界认知的重要概念
《应用数学》
作业
1
在线测试
2
连续的现实例子
3 不连续应该如何认识
《应用数学》
请各位专家批评指正！
连续，否则称函数f(x)在点x0间断。
如果函数f(x)在开区间（a,b） 内每点连续，则称函数
第六节 函数的连续性-精选文档
如果函数在开区间 ( a ,b ) 内连续 , 并且在左端点
【几何表现】
闭区间[a,b]上的连 续函数的集合
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续
7
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3.【单侧连续】
x x 0 0
⑴【左连续】若 lim f ( x ) f ( x ) 存在且 f ( x ), 等 即 0 0
f ( x) f ( x ), 则 f 称 ( x ) 在 x 点 左连 . 续 0 0
x x 0
①
f ( x ) f ( x ) ② 条件 lim 0
在本质上是一样的，只是形式上的不同 条件①式清楚地反映了连续概念的实质，
即
自变量产生微小变化时，函数
的变化也很微小.
但在证明具体函数的连续性以及作理论分 析时，常应用条件②式（因为条件①要具 体计算△y,往往很麻烦）
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2
一、函数的连续与间断
（一）函数的连续性
1.【增量】
设函数 f ( x ) 在 U ( x , ) 内有定义 , x U ( x , ), 当自 0 0
x 从 初值 x 变到 终值 x x 时 , 称 x 为自变量在 x 的 0 0 0
增量 . y f ( x x ) f ( x ), 称为函 f ( x ) 相应 x 的 . 0 0 【增量的几何解释】 y y
x x 0
⑵【右连续】 若 lim f ( x ) f ( x ) 存在且等 f ( x ), 即 0 0 f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 在点 x 右连续 . 0 0 0Fra bibliotek⑶【定理】
(完整word)函数的连续性 教案示例
函数的连续性·教案示例目的要求了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数,而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x ）在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的．2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思:(1）f （x ）在点x ＝x 0处及其附近有定义;(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明,只要缺其中的任意一个条件，就说f(x ）在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象,故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x ）在开区间（a,b ）内每一点都连续,就说函数f （x ）在开区间(a,b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的．6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知,所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续,意思是说,当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f （x 0）．也可用“增量”（改变量）来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f （x ＋x 0)－f （x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续,就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识． 教学过程1．实例引入概念，图形直观说明（1）水银柱高度随温度的改变而连续变化；（2)邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加．函数值是否会因为自变量的细小变化而“大起大落"，这就是要研究的问题．引出课题： 函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答:图(1）满足3条；图（2)不满足(1)；图（3）不满足条件(2)；图(4)不满足条件（3)． 由此概括出函数在一点处连续的定义．2．函数在一点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，而且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0），就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点?3．举例应用例 讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x（2)g （x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因而它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习:教科书第97页练习第1、2题（不连续的指出不满足定义中的哪一条），第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间里连续（1）在开区间连续:如果函数在某一开区间(a,b ）内每一点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续,或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间（a ，b)内连续,在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间［a ，b ］上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质（最大值最小值定理):如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数,那么f(x)在闭区间［a ，b]上有最大值和最小值．6．归纳小结(1)函数在一点处连续的定义．（2）判定函数在一点处是否连续:方法1：由定义说明，方法2：由图象直观说明．（3）闭区间上连续函数的性质．想一想：函数在某一点的极限与连续有何关系？布置作业 教科书第98页习题2．6第1、3题。
§18函数的连续性与间断点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
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初等函数无定义旳孤立点是间断点. 分段函数旳分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要鉴定.
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例 讨论函数
f
(
x
)
2 1,
f (1) 11
如果 f ( x)在点xlixmx00处f (的x)极限f (存x0在), , xx但处 可,, 无去xli0xm定间xx0 义断fx1(1点,x,则1),.在称则xf点称(xx10x处)00为或为y的函ff连(数(x续x)的)在性fy间(点x.1断)的x点x0
x1 x 1 x1
2
如补充定义:令 f (1) 2,
1
则 所给函数在x 1处连续. O 1
x
所以x 1称为函数的可去间断点.
23
例
函数f
(x)
x, 1 x,
x 0, x 0,
lim f ( x)不存在,
x x0
则称 x0为f ( x)的间断点 .
y
f ( x)在x 0处有定义,
在高等数学中,主要旳研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这么说, 连续函数旳 特征就是它旳图形是连续旳,也就是说,能够 一笔画成.
2
一、函数旳连续性
1. 函数旳增量
自变量x0 x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 旳增量; 函数伴随从f ( x0 ) f ( x), 称差
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) 为函数旳
f ( x) C[a,b]
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有关连续函数, 有一种对某些问题旳推理 很有用旳定理.
定理2 设f ( x)在x0连续,且f ( x0 ) 0, 则存在 x0
旳一种邻域, 使得在此邻域内
y
函数的连续性67806
一种是连续变化的情况 另一种是间断的或跳跃的
温度计
例如邮寄信件时的邮费随邮 件质量的增加而作阶梯式的增 加等.
y分
80
60
40 20
40 80 120 160 x分
一、函数的连续性:(在某一点处)
1.y f (x)
y
o
x0
(1)在x0处有定义.
(2) lim xx0
f
y O
ax
类似地：
如果函数 f (x)在点 x0处及其左侧附近有定义,
并且
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
,
则称f(x)在点 x0 处左连续.
y O
ax
例如:函数
f
(x)
1(x 0) 1(x 0)
y
如图，在点x=0附近，
1
o -1
lim f (x) 1 f (0)
,点x
0;
(2) f (x) | x |,点x 0;
y
连续
不连续
o
x
(3) f (x) ax2 bx c,在开区间(, );
连续
(4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2). x2
连续
四、闭区间上连续函数的性质：
y
f ( x1)
f (x2 )
oa
x2
x1 b
-1.
y
1
-1 o 1
x
-1
再如:对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给 定的任意一个闭区间上均有最大、最小值.
本节小结：
1、设函数f(x)在 x x0 处及其附近有定义，
函数的连续性66340
2.5 函数的连续性
函数在 f (x)在点 x x0处连续必须 满足三个条件：
（1）函数 f (x)在点 x x0处有定义
（2）lim f (x)存在 x x0
（3）lim x x0
f (x)
f (x0 )
2020/4/5
函数在x=x0处连续的定义
如果函y数 f (x)在点xx0处及其附近
变式 1：为使函 f(x数 )1x2 在x1 1x
处连续，应补f充 (1)定义
x2 2xa(x1)
变式 2.已知函f(x数 ) 2(0x1)
xb(x0)
在（ -， ）上连续a,， b的求值。
2020/4/5
2.5 函数的连续性
课堂练习
1.指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？
(1)f(x)x2x6; x3
的一条连续曲线，必有一点达到最
高，也有一点达到最低。如右图： o a
x2
x1 b
x
对于任意 x [a ,b ]f( ,x 1 ) f(x )f( ,x 2 ) f(x )，这时我们说闭区间[a，b]
上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小 值f（x2）。
闭区间上连续函数的性质：
对闭区间[a,b] 上的函数f(x),如果函 数f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x有=al处ixm l ifam (xf)( x)f(bf)(a), ,就在说右函端数点fx(=xb)在处 闭区x 间b [a,b]上连续.
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2.5 函数的连续性
y
从几何直观上看，闭区间[a，b]上
性质（最大值最小值定理）：如果 f (x) 是闭区间a,b
上的连续函数，那么 f (x) 在闭区间 a,b上有最大值和最小
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a + bx x 0 练习2 设f x = sin bx 在x = 0点处连续， x0 x 问a，b应满足什么关系？
【布置作业】
P29课后练习 第2题。
Dx 0
x x0 x x0
讨论函数 在 x=2
x2 , x 2 f ( x) = x + 2, x 2 处的连续性，并作出函数的图象。
解： 根据定义的三个步骤进行验证：
（1） f ( x) 的定义域是 (-,+) ，故f ( x) 在
x = 2 及其附近有定义，f (2) = 4 ; 2 lim f ( x) = lim ( x + 2) = 4 f ( x ) = x lim lim = 4 （2） x2 x 2 x2 x2 y 4 f ( x) = 4 所以 lim x 2 3 f ( x) = f (2) （3） lim 2 x 2 1 符合定义的三个步骤。 因此 f ( x) 在 x = 2 处连续。 -2 -1 0 1 2 3 x
【组织教学】点名，强调纪律 【复习旧知】 1.函数极限定义 2.函数极限的计算方法
【讲授新知】
一.导入
请同学们结合生活当中的例子，你认为 连续在生活中有哪些体现形式呢？
函数连续初印象
二、讲授新知
1、变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量
称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。
Dy
Dx
2、函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0及其邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续
请同学们讨论：函数f x 在点x0处连续的充分必要条件是： （ 1）f x 在点x0处有定义；
Dx 0
lim D y = 0 或 lim f ( x) = f ( x0 )
x x0
提示 :f D （2） xy 在点 =f(x0x +D x)-f(x0) 0处的极限存在；
设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 （3）f x 在点x0处的极限值等于f x 在点x0处的函数值 lim D y = 0 lim [ f ( x) - f ( x0 )] = 0 lim f ( x) = f ( x0 )
6.教学重点：连续性的定义、连续性充要条件 7.教学难点：函数连续性的增量定义 8.教法：讲授法、讲练结合法 9.教具：多媒体、课件、粉笔、黑板等 10.板书设计：
函数的连续性
增量的概念 函数连续性的定义 连续性条件
课堂例题1 课堂例题2 课堂联系1 课堂练习2
11.教学过程：五大教学环节
x x0
4、函数在区间内连续（小组讨论总结）
（1）函数f x 在区间 a, b 内连续： 函数f x 在区间 a, b 内的每一点都连续
（2）函数在区间a, b内连续： 函数f x 在区间 a, b 内连续，
x a
lim f x = f a , lim f x = f b ， + x b
数理化教研室
一.教学设计
1.课型：新授课 2.授课时间：10月14日
3.课题：函数的连续性
4.课时：1 5.教学目标：
知识目标：通过本节课的学习，了解增量的概念 ，理解函数连续性的定义并掌握函数在一点处连 续的充要条件。 能力目标：培养学生总结归纳的能力。 思想目标：通过对本节课知识的学习，让学生形 成对数学的热爱。
定义 如果函数f x 在点x0的左邻域 x0 - ，x0 内有定义， 若极限 lim- f x = f x0 ，则称f x 在点x0 左连续；
x x0
同样，如果函数f x 在点x0的右邻域[x0 , x0 + ）内有定义， 并且 lim+ f x = f x0 ，则称f x 在点x0 右连续；
三、课堂小结
1.增量 2.函数在一点处连续的定义 3.函数在一点处连续的三个条件 4.左连续和右连续 5.函数在区间内连续
【巩固新知】
练习1 已知函数
x 2 - 1, x 0 f ( x ) = x, 0 x 1 2 - x, 1 x 2
讨论函数在x=0和x=1处的连续性．
-
1 x
x0+
f ( x) = lim f ( x) 欲使 f ( x) 在 x = 0 处连续，须有xlim 0 x 0
+
即 a = e ，此时 lim f ( x) = e
f ( x) = f (0) （3）lim x0
x 0
f ( x) 在x = 0 所以 a = e 时，
处连续。
3、左连续和右连续（小组讨论总结）
-
+
+
适当选取 a 的值，使函数
1 (1 + x) x , x 0 f ( x) = x + a, x 0
在 x = 0 处连续。
解： （1）f ( x) 的定义域是(-,+) ，在 x = 0
及其附近有定义 f (0) = a
（2）
x0x0+
。
lim
lim
f ( x) = lim (1 + x) = e x 0 f ( x) = lim ( x + a) = a