运筹学练习题

最优解：X*＝（3.75，0.75,0,0）T，MaxZ＝8.25
第二章
1. 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题 也一定存在可行解；
2. 如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 3. 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标 函数值；
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 minz＝4x1＋12x2＋18x3 x1 ＋3x3 ≥3 st 2 x2＋2x3 ≥5 xj≥0 (j=1,2,3) MAXZ＝－4X1－12X2－18X3 －X1 －3X3＋X4 ＝－3 ST －2 X2 －2X3 ＋X5＝－5 XJ≥0
CB 0
c j XB x4
，，，，，
（7）、单纯形法计算中，如不按θi最小原则选取换出变量，则 在下一个解中至少有一个基变量的值为负
（8）、一旦人工变量在迭代中离基，该变量及相应列在单纯 形表中的数字可以不再计算，而不会影响计算结果 （9）、对一个有n个变量、m个约束的SLP问题，其可行域的 顶点恰好为Cnm个
10 b 3/2 1 x1 0 1
5 x2 1 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/14 2/7
4 12 0 12
x2 3/2 x1 1 j x3 21/5 x1 8/5
0 1 0 0 1 0
1 0 0 14/5 2/5 -4/5
5/14
-1/7 2/7
-3/14 2/7 -18/7 -3/5 1/5 -12/5
CB 0 0
a 0
cj XB x4 x5
a
1
b 6 1
f 4
j
x1 x5
j
x1 b -1 a 1 0 0
x2 c 3 1 2 i -7
－2 x3 d e
0
0
-2 -1 1 j
x4 1 0 0 1/2 1/2 k
x5 0 1 0 0 1 l
i
① ②
③ ④ ⑤ ⑥
（3） x5为基变量， l＝0； （4）p4由第一个表的［1,0］T变为第二个表中的［1/2,1/2］T， 即① /2＝ ④ ，因此， f＝3； b＝2； c＝4； d＝－2；
CB
cj XB xm xn j xs xt j
b 6 1 f 4
x1 b -1 a g h 0
x2 c 3 1 2 i -7
x3 d e -2 -1 1 j
x4 1 0 0 1/2 1/2 k
x5 0 1 0 0 1 l
i
［解］（1）因为初始表中x4、x5为基变量，所以， m＝4；n＝5；
— 1 0 0 － -1/3 1/3 -2
1 0
— 0 -1/2 -6 － 0 -1/2 -6
j i
－18 －12 x3 x2 1 3/2
j
最优解X*＝（0，3/2，1）T ，MINZ＝36
灵敏度分析
已知线性规划问题 MaxZ ＝10x1+5x2 3x1＋4x2 ≤9 s.t 5x1＋2x2 ≤ 8 x1，x2≥0 最优表如右：
1．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系（ B） A．原问题无可行解，对偶问题也无可行解； B．对偶问题有可行解，原问题可能无可行解； C．若最优解存在，则最优解相同； D．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解。 2. 当某一cj发生改变，则（ A C） A. 原最优解可能发生改变； B. 原可行解可能改变； C. 原可行解不变； D. 不确定
CB 10 5 4 10
c j XB x2 x1
b 3/2
1
j
4 10 x1 0 1 0
10 5 x2 1 0 0
0 x3 5/14 -1/7 -5/14
0 x4 -3/14 2/7 -25/14
1、若c1＝4， c2＝10，则上述最优解是否改变？ 解：将c1＝4， c2＝10 代入单纯形表：
CB 0 0
a 0
cj XB x4 x54
j
x1 x5
j
i＝5； e＝2；
x1 2 -1 a 1 0 0
x2 4 3 1 2 i -7
－2 x3 －2 e
0
0
-2 -1 1 j
x4 1 0 0 1/2 1/2 k
x5 0 1 0 0 1 0
i
① ②
③ ④ ⑤ ⑥
（5）同理，行②＋行 ④ ＝行⑤ （6） σ2 ＝1－2a＝-7，所以，a＝4； （7）j＝6；k＝-2；
第一章
（1）、图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何意 义上理解，两者结果是一致的 （2）、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一 般将缩小；反之一般将扩大 （3）、线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点 （4）、如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可 行域的某一个顶点 （5）、如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可 行域边界上的一个点 （6）、用单纯形法求解SLP问题时，只要检验数j ＞0所对应 的变量都可以被选作入基变量
1、价值系数 c1和 c2分别在什么范围内变动，上述最优解 不变； CB 5+ 5 c2 10 c j XB x2 x1 b 3/2 1 10 x1 0 1 0
5+5 c2
x2 1 0 0
0 x3 5/14 -1/7 -5/14
0 x4 -3/14 2/7 -25/14
j
将c′2=5+ c2代入最优表中 ［解］ ′3 ＝ 0－5/14(5＋c2）+10/7≤0，c2≥ -1 ′4＝ 0＋3/14（5＋c2 ）-20/7≤0，c2≤ 25/3 当－1≤ c1 ≤25/3 ，即4≤ c2 ≤40/3时，最优解不变
CB 0 0
cj XB x4 x5
a
1
b 6 1
f 4
j
xs xt
j
x1 b -1 a g h 0
x2 c 3 1 2 i -7
－2 x3 d e
0
0
-2 -1 1 j
x4 1 0 0 1/2 1/2 k
x5 0 1 0 0 1 l
i
（2）迭代后的表中，基变量为： x1、x5，因此： g＝1 ； h＝0； s＝1；t＝5；
0 x3 5/14
0
j i
0 10 x4 x1 2/3 11/3
x4 ［ -3/14］ 2/7 -1/7 -5/14 -25/14 － -5/3 1/3 -10/3 1 0 0
0 1 0
j
得新最优解X*＝（11/3，0，0，2/3）T
练习
XB x3 x1 b 5/2 5/2 x1 0 1 0 x2 1/2 -1/2 -4 x3 1 0 0 x4 1/2 -1/6 -4 x5 0 1/3 -2
4、任何线性规划问题具有唯一的对偶问题；
5、对偶问题的对偶问题一定是原问题； 6、若LP问题有可行解且有界，则有最优解；
7、若LP及其对偶问题都具有可行解，则两者都具有 最优解 8、若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问 题也一定具有无穷多最优解；
9、已知yi为线性规划的对偶问题的最优解，若yi ＞0， 则说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽； 10. 已知yi为线性规划的对偶问题的最优解，若yi ＝0， 则说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余。
maxz＝2x1＋x2 3x1＋5x2≤15 st 6x1＋2x2≤24 x1，x2≥0
SLP：MaxZ＝2X1＋X2 3X1＋5X2＋X3 ＝15 6X1＋2X2 ＋X4 ＝24 X1，X2，X3，X4≥0
c j CB 0 XB x3 b 15
0
0 2
x4
24
j
x3 x1
3 4
j
10+10 c1 x1 j
将c′1=10+ c1 代入最优表中 ［解］ ′3 ＝ 0－25/14＋1/7（10＋c1 ）≤0，c1 ≤5/2 ′4＝ 0＋15/14－2/7（10＋c1 ）≤0，c1 ≥－25/4 当－25/4 ≤ c1 ≤5/2 ，即15/4 ≤ c1 ≤25/2时，最优解不变
1 2
x2
x1
0.75 3.75
j
2 1 0 x1 x2 x3 3 5 1 0 ［6 ］ 2 2 1 0 0 ［4］ 1 1 1/3 0 0 1/3 0 0 1 1/4 1 0 -1/12 0 0 -1/12
0 x4 0 1 0 -1/2 1/6 -1/3 -1/8 5/24 -7/24
i
15/3 24/6 3/4 12
j
已知某单纯形法求解的最优表，表中 x4 、 x5 为松驰 变量，原问题的约束为≤形式。 (1)直接写出该问题及其对偶问题的最优解；
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5
原问题最优解X*=(5/2, 0, 5/2, 0, 0)T 对偶问题最优解Y*＝（4，2，0，4，0）
XB x3 x1
1
0 0
j
得新最优解X*＝（8/5，0，21/5，0）T
CB 5 10
c j XB x2 x1
b 3/2 1
10 x1 0 1
5 x2 1 0
0 x3 5/14 -1/7 -5/14
0 x4 -3/14 2/7
j
0
0
-25/14
11 9 4、约束条件右端项由 变为 时上述最优解的变化。 19 8 5/14 –3/14 11 -1/7 -1 ［解］ B b′＝ -1/7 2/7 19 ＝ 27/7 最优基改变，用对偶单纯形法继续求解。 CB 5 10
c j XB b x2 -1/7 x1 27/7 10 5 0 0
j
x1 0 1 0
x2 1 0 0
x3 5/14
-1/7 -5/14
x4 -3/14 2/7 -25/14
CB 5 10
c j XB b x2 -1/7 x1 27/7
10 x1 0 1 0 －
5 x2 1 0 0 － -14/3 4/3 -25/3
b －3
－4 x1 －1 0 －4 － －1 0 －4 4 1/3 -1/3 -2
－12 x2 0
－18 x3 －3
0 x4 1
0 x5 0
0
x5
－5*
j i
0
-12
x4
x2
－3*
5/2
[－2] －12 6* 0
1 0 － 0 1 0
－2 －18 6 [－3]
1 -6 2* 1 0 0
0 0
XB b x1 x2 x3 x4
x2 x1
3/2 1
j
0 1 0
1 0 0
5/14
-1/7 -5/14
-3/14 2/7 -25/14
试用灵敏度分析的方法判断： 1、价值系数c1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；
1、价值系数 c1和 c2分别在什么范围内变动，上述最优解 不变； CB 5 c j XB x2 b 3/2 1 10c1 10+ x1 0 1 0 5 x2 1 0 0 0 x3 5/14 -1/7 -5/14 0 x4 -3/14 2/7 -25/14
′3 ＝0－25/14＋4/7= －3≤0 ′4 =0＋30/14－8/7＝1＞0
所以最优解改变
MaxZ ＝10x1+5x2 3x1＋4x2 ≤9 s.t 5x1＋2x2 ≤ 8 x1，x2≥0 8＋ b2
CB 0 0 5 10
c j XB
x3 x4
x2 x1
b 9 8 3/2 1
10 x1
5 x2
0 x3
0 x4
3 5
0 1 0 9 8＋Δb2 ≥0
4 2
1 0 0
1
0 5/14 -1/7 -5/14
0 1
-3/14 2/7 -25/14
j
5/14 -1/7 –3/14 2/7
2、右端向量b1保持不变， b2在什么范围内变化，最优基不变。
［解］B-1b′＝ ≥0
45/14－3/14（ 8＋Δb2 ） -9/7＋2/7（8＋Δb2）
（10）、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标 函数值更大的另一个可行解的过程
（11）、线性规划问题的可行解如为唯一最优解，则该可行解 一定是基可行解 （12）、若线性规划问题具有可行解，且可行域无界，则该 LP问题有无界解
，，，，，
2、某求极大值LP问题的初始及经过一次迭代后的单纯形表， 表如下，x4、x5为松驰变量，试求表中a-l及m-t的值。
当－7/2 ≤Δb2 ≤7，即9/2≤Δb2 ≤15时，最优基不变。
-1/7 0 0 -5/14 -25/14 j 3、问题的目标函数变为MaxZ ＝12x1+4x2时上述最优解的变化； CB c j XB b 12 x1 4 x2 0 x3 0 x4
CB 5 10
c j XB x2 x1
b 5/2 5/2
x1 0 1 0
x2 1/2 -1/2 -4
x3 1 0 0
x4 1/2 -1/6 -4
x5 0 1/3 -2
j
(2)写出原问题；