对数函数 - 简单 - 讲义

对数函数

知识讲解

一、对数函数的图像与性质

①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下

②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．

1a > 01a <<

图 象

1

o

y

x

1

o

y

x

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当1=x 时，0=y

)1,0(∈x 时 0y

)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

二、对数函数与指数函数的关系

关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）

()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）

三、对数函数有关的性质

（1）x

y a =与log a y x =；2

x x a a y --=

与(l g ()a y o x x R =∈；11x x a y a -=+与

1log 1a x

y x

+=- 关于y x =对称，

（2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫

+= ⎪+⎝⎭

（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．

典型例题

一．选择题（共8小题）

1．下列函数中，是对数函数的是（）

①y=lg x a（x＞0且x≠1）②y=log2x﹣1③y=2lg8x④y=log5x．

A．①B．②C．③D．④

2．使对数log a（一2a+1）有意义的a的取值范围为（）

A．a＞且a≠1 B．0＜a＜C．a＞0且a≠1 D．a＜

3．（2018•辽宁模拟）函数f（x）=log3（x2﹣x﹣2）的定义域为（）A．{x|x＞2或x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|x＞1或x ＜﹣2}

4．（2016秋•邹平县期中）函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．[2，+∞）D．[3，+∞）

5．（2018•天津）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b

6．（2017秋•黄陵县校级期末）若a＞0且a≠1，则函数y=log a（x+1）的图象一定过点（）

A．（1，1） B．（1，0） C．（﹣1，0）D．（0，0）

7．（2017秋•定边县校级期末）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1）D．（﹣1，1）

8．（2016秋•秀屿区校级期末）若函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定

点，则x值为（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定

二．填空题（共4小题）

9．（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为．10．（2012秋•东台市校级期中）集合A={1，log2x}中的实数x的取值范围为．

11．（2017秋•昆山市期中）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列．

12．（2016春•浦东新区期中）若对数函数y=log a x的图象过点（9，2），则a=．三．解答题（共2小题）

13．当log x﹣1（x2﹣5x﹣6）有意义时，求x的取值范围．

14．已知1＜x＜10，且a=lg2x，b=lgx2，c=lg（lgx），那么求a，b，c的大小顺序．