3.2复数的四则运算教案2

3.2《复数的四则运算》教案（2）

教学目标

1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。 教学重难点 复数的除法运算 教学过程： 一、复习巩固：

1、复数加减法的运算法则：

(1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 (2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2、复数的乘法：

(1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算律：

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3、共轭复数的概念、性质：

定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。 复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即

设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：

4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i -

【巩固练习】

1．计算:(1+2 i )2

_____=i 34-+

2．计算i 3

(1)+_____=-2+2i

3．若z C ∈且z i (3)1+=,则z _____=.-3-i

4．已知m R ∈且m i R 3

()+∈,则m _____.=33

±

5．已知z i 1322

=-

+,求z z z 322339+++的值.

8

6．计算: i +2i 2

+3i 3

+…+2008i 2008

;

解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2005i-2006-2007i+2008)=502(2-2i)=1004-1004i. 7.已知复数2

2

2(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。

解:因为420i -的共轭复数是420i +，根据复数相等的定义，可得2224,

3220.

x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩

解得32

36

x x x x =-=⎧⎨

=-=⎩或或，所以3x =-。

二、问题引入：

1i =2i

i i

=-； 11i

i +=

-2(1)2(1)(1)2

i i i i i +==+-； 11i

i -=

+2(1)2(1)(1)

2i i i i i --==--+。 三、知识新授：

1、复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为： ()().a bi

a bi c di c di

++÷++或

2.除法运算规则：

①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi

∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .

由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=++=.

,2222d c ad bc y d

c b

d ac x

于是有:(a +bi )÷(c +di )=

2

222d

c ad

bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将

di

c bi

a ++的分母有理化得：

原式=

22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i

c di c di c di c

d ++-+⋅-+-==++-+ 222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad

i c d c d c d ++-+-=

=++++.

∴(a +bi )÷(c +di )=

i d

c ad

bc d c bd ac 2

222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的

23+的对偶式

23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化.

把这种方法叫做分母实数化法

四、例题讲解：

例1.计算(12)(34)i i +÷-

解：(12)(34)i i +÷-1234i i

+=-(12)(34)(34)(34)i i i i ++=-+22236485103425i i i i

+++-+==+ 解法提炼：先写成分式形式，然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)。化简成代数形式就得结果。

例2、复数z 满足(12)43i z i +⋅=+，求z 。 解：43(43)(12)1052,12(12)(12)5

i i i i

z i i i i ++--=

===-++- ∴z=2+i.