华师大版九年级数学下第章《圆》全章导学案
【九年级】九年级数学下第27章圆全章导学案(华师大版)
【九年级】九年级数学下第27章圆全章导学案（华师大版）27.2 与圆有关的位置关系27.2.1 点和圆的位置关系【学习目标】1．掌握点和圆的位置关系，能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系；2．理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法并掌握它的运用.3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．【学习重难点】重点：点和圆的位置关系，不在同一直线上的三个点确定一个圆及其它们的运用：难点：理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法并掌握它的运用.【学法指导】本节课的学习中注重学生动手操作并让学生发现有关结论.【自学互助】自学教材P46-78（一）知识链接⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于 .⒉确定圆需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中，_ ___确定圆的位置，______确定圆的大小.3. 点确定一条直线．（二）自主学习1．阅读教材p46，思考：（1）平面上的一个圆把平面上的点分成部分，即点在圆、点在圆、点在圆 .（2）各部分的点与圆有什么共同特征？自己画图验证一下，看看能得到什么规律？2.点和圆的位置关系：平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有三种位置关系：（1）点P在⊙O外 ______；（2）点P在⊙O上 _____；（3）点P在⊙O内 ______．【展示互导】活动1：如图1所示，在中，是中线，以为圆心，为半径作圆，请判断三点与⊙C的位置关系.活动2:确定圆的条件1.阅读教材p47“试一试”内容，（小组合作）画一画：（1）过一个已知点可以作个圆；（2）过两个已知点可以作个圆，它们的圆心分布的特点是.2.经过不在同一直线上的三点作圆，并思考经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上）.作法：3.结论：______________________________________________确定一个圆．思考：经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？4.相关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的圆；则这个三角形叫做圆的__ ____；外接圆的圆心叫做三角形的，是三角形三条边的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离。
华师大版九年级(下)第27章《圆》导学案(全章)
《圆》导学案教材p34-35 课题： 圆的基本元素 教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标：1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，2.让学生深刻认识圆中的基本概念。
自主学习 合作探究（一）情境导入：圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。
同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？ 而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） (二)问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
如图28.1.2,线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。
线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵、BAC ︵，其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC ︵.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
能够重合（或半径相等）的两个圆是等圆。
如图线段 AB 是⊙O 中任意一条弦，过点O 作线段AB 的垂线段O C ，则O C 叫做弦心距（即圆心到弦的距离）， 并且弦心距O C 平分弦AB ，即AC=BC=AB 21. 交流展示 巩固训练：1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规 验证你的结论是否正确。
最新华东师大版九年级数学下册27圆全章教案(2)
内容：圆周角课型：新授第4课时【学习目标】知识与能力：学生知道什么样地角是圆周角，了解圆周角和圆心角地关系，直径所对地圆周角地特征；并能应用圆心角和圆周角地关系、直径所对地圆周角地特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系地探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
过程与方法：通过对圆心角和圆周角关系地探索及已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性。
【学习重难点】重点：认识圆周角，同一条弧地圆周角和圆心角地关系，直径所对地圆周角地特征。
难点：发现同一条弧地圆周角和圆心角地关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到地知识解决问题。
【学习过程】一、 学前准备： 1自学课本38页到41页，写下疑惑摘要：2、如图，如图23.1.12，AB 是⊙O 地直径，∠A ＝80°．求∠ABC地度数．图23.1.123、在圆中，一条弧所对地圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对地圆心角和圆周角地度数.二、自学、合作探究1、认识圆周角如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样地特征？（顶点在圆心，两边与圆相交地角叫做圆心角），今天我们要学习圆中地另一种特殊地角，它地名称叫做圆周角。
图（3）中地解就叫做圆周角，而（第1题）图（2）、（4）、（5）中地角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交地角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等地圆周角2、圆周角地度数半圆或直径所对地圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立地，即90°地圆周角所对地弦是圆地直径3、探究同一条弧所对地圆周角和圆心角地关系一条弧所对地圆周角等于该弧所对地圆心角地一半。
三、例题讲解例1、如图OA，OB，OC都是⊙O地半径，∠AOB=2∠BOC求证：∠ACB=2∠BAC本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角地一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角相等，都等于该弧所对地圆心角地一半；相等地圆周角所对地弧相等；半圆或直径所对地圆周角都相等，都等于90°（直角）。
华师大版九年级数学下《圆》全章导学案
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____27.1 圆的认识第1课时 27.1.1 圆的基本元素【学习目标】1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别；2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；3．能应用圆的有关概念解决问题.【学习重难点】重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别；难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；【学法指导】通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．【自学互助】一、自学教材P36-37（图1）（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成1．理解圆的定义：（自己动手画圆）（1）描述性定义：____________________________________________________。
从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.（2）集合性定义：__________________________________________________。
（3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______.（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小.2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。
如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。
2023年华师大版九年级数学下册第二十七章《圆幂定理》导学案
O C B P D A 新华师大版九年级数学下册第二十七章《圆幂定理》导学案知识梳理1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推理形式: ∵在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点P ∴PA.PB=PC.PD推论:如果弦与直径垂直相交时，那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项．推理形式: ∵在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点P 且AB ⊥CD ，AB 是直径 ∴PA.PB=PC ²=PD ²例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦的长为32cm ，求第二条弦被交点分成的两段的长．例2.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，直线CF 交弦AB 于P ，分别交⊙O 1于C 、D ，交⊙O 2于E 、F ，求证：PC ·PD =PE ·PF例3.如图：已知△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于F 、E ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于G ，交BE 于H ．求证：DG 2=DH ·DA练习：1．如图：⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =8，PB =9（1）若PC =4，则PD = ，CD = ．O P D C O 2O 1E F C BP D A G H E F O D AO P D C B A O B P A O C B D A （2）若PC =PD ，则CD = ．（3）若PC :PD =2:3，则PC = ，PD = ．（4）若CD =18(PC<P D )，则PC = ，PD = ．2．已知：如图AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB =11，PA =3，OP =5，则⊙O 的半径是 ．3．已知：如图点C 为弧AB 的中点，点D 为弦AB 的中点，CD =1，AB =6，则⊙O 的直径是 ．4．已知：如图AB 是直径，CD ⊥AB 于点P ，PB =4，CD =12， 则PC = ，PA = ，OP = ，AC ．5.已知：P 为CD 的中点，AB 为⊙O 的直径，F 为AB 延长线上一点，AB 与CD 相交于P ，PE ⊥DF ， 求证：AP ·PB =DE ·DF中考链接1.如图⊙O 的弦BA 、CD 交于点P ，CP =2，DP =6，AB =10，则以AP 、BP 的长为根的一元二次方程 （ ）A ．x 2+8x +12=0B ．x 2+10x +12=0C ．x 2－10x +12=0D ．x 2－10x +16=02.如图，AB 是⊙O 的弦，P 是BA 上一点，PO =5，PB =6，PA =4，则⊙O 的半径为3.如图，⊙O 的半径OA 与BC 相交于点D ，若OD =AD =3，BD :DC =2:3，则BC =4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥OB 于P ，弦EF 经过点P ，CD =46，AB =11，EP :PF =2:3， 求PB 和EF 的长．E O C B P D5.如图，⊙O 过点C 且与⊙C 相交于A 、B ，⊙O 的弦CD 交AB 于点E ．求证：CA 2=CE 2+AE ·BE ．6.已知A 为⊙O 上一点，B 为⊙A 与OA 的交点，⊙A 与⊙O 的半径分别为r 、R ，且r ＜R ．（1）如图1，过点B 作⊙A 的切线与⊙O 交于M 、N 两点，求证：AM ·AN =2R r ；（2）如图2，若⊙A 与⊙O 交于E 、F ，C 是弧EBF 上任意一点，过点C 作⊙A 的切线与⊙O 交于P 、Q 两点，试问AP ·AQ =2R r 是否成立，并证明你的结论．切割线定理：推理形式：∵在⊙O 中，PC 是切线PB 是割线 ∵在⊙O 中，PB,PD 是割线 ∴PC ²=PA.PB ∴PA.PB=PC.PD例1.已知：如图7－159，PA 切圆于A ，BC 为圆直径，∠BAD=∠P ，PA=15cm ，PB=5cm ．求 BD 的长． A B CP例2.如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长例3.(·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径练习1.(·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则线段CD的长为______2.(·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________3.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证：AB2＝AE·BC；(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长4.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．5.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
2020年华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(2)》导学案
新华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识（2）》导学案【学习目标】1、使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，知道同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
【重难点预测】重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
【自主学习】1、要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。
如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
2、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧、所对的弦的关系实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图27.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB∠=，AB=，»AB=。
实质上，AOB∠确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
【合作探究】在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？备注（教师复备栏及学生笔记栏）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角 ，所对的弦 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角 ，圆心角所对的弧（3）圆既是 对称图形，其对称中心是 ，具有旋转不变性；又是 对称图形，其对称轴是 ，有 条对称轴。
【当堂检测】1、如图，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠的度数。
2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，求∠A 的度数。
3、如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数【我的疑惑】【我的收获和发现】。
九年级数学下册271圆的认识1圆的基本元素导学案华东师大版
《圆的基本元素》【学习目标】1.明确圆的两种定义；2.理解圆中的相关概念。
重点：圆中的基本概念的认识，对各种概念的理解。
难点：“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧” 等模糊概念。
【学法指导】合作探究【学习过程】自主预习课本36—37页，完成下列各题：1.圆的两个定义各是什么？2.确定一个圆的两个条件是和，决定圆的位置，决定圆的大小。
3.圆中有哪些基本概念？请写出来。
1.举例说出生活中的圆。
2.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？一：探究什么是圆？1. 通过《课前准备》的画圆过程，你能说出圆的形成过程吗？圆的定义1（动态）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其中，这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示：以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：“圆O”．思考：分析圆的动态定义，你觉得圆到底是一个圆周还是一个圆面？2.从圆的动态定义来看，你能说出圆有什么基本性质吗？(1)(2)因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是：。
圆的定义2（静态）：到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
其中，这个定点就是圆心，这个定长就是半径。
思考：车轮为什么是圆的？二：探究圆中的相关概念1.与弦有关的概念：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中线段AC 、AB. （2）直径：经过圆心的弦叫做直径，如图中线段AB 。
思考：圆中有没有最长的弦？如果有，是什么？说出你的理由。
练习：在半径为6的圆中，弦长为d ，则d 的取值范围是 。
2.与弧有关的概念：（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、C 为端点的弧记作：AC ，读作“圆弧AC”或“弧AC”．(2)半圆： 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 思考：半圆是弧吗？（3）优弧，劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，通常用两个大写字母表示，如图中的AC ；大于半圆的弧叫做优弧，通常用三个大写字母表示，如图中的ABC ，其中表示端点的字母要写在两端。
2019秋华师大版九年级数学下册教案设计：27.1圆的认识
2019秋华师大版九年级数学下册教案设计：27.1圆的认识第27章圆27．1圆的认识27．1.1圆的基本元素教学目标☞知识与技能1．通过观察实验操作，使学生明确圆的定义．2．结合图形理解圆的基本元素弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角等有关概念．☞过程与方法通过实验观察，让学生深刻认识圆的基本概念．☞情感、态度与价值观结合本课教学重点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．重点难点☞重点圆中基本概念的认识．☞难点对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解．教学过程一、自学导纲在现实生活中有大量的物体呈现圆形，如在浩瀚的大海上，一轮红日冉冉升起；优美的圆形工艺品、优美的圆形图案等．古希腊数学认为“一切平面图形中最美的圆形”，它的完美来自于中心对称，无论在哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．想一想与圆对称有关联的还有哪些性质？为什么车轮要做成圆形的？(通过问题，引出新课)二、合作互动例如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，试比较a，b，c的大小．分析：线段BC、EF、NH分别是矩形ABOC、DEOF、HMNO的一条对角线，而矩形的另一条对角线都是半径，根据矩形的特征和“同圆的半径相等”可识别a，b，c的大小关系．解答：∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，∴BC＝OA，EF＝OD，NH＝OM.又∵点A、D、M都在半圆O上，∴OA＝OD＝OM，∴BC＝FE＝NH，即a＝b＝c.问题1圆的画法(1)据统计，某个学校的同学上学方式是：有50%的同学步行上学，有30%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有20%.请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，下图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．(2)根据你画圆的过程，阐述圆是如何形成的？(如图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形．固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆记做“⊙O”，读做“圆O”．)(3)由以上的画圆的过程，思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？(圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定．)(4)同圆的半径之间有什么关系？直径和半径之间有什么关系？(同圆的半径相等，直径是半径的2倍．)说明：明确圆的画法、记法，圆心、半径、直径的概念；同圆的半径相等；圆的确定要素．问题2 圆的基本概念(1)弦：连接圆上两点间的线段叫做圆的弦，你能指出下图中的圆的弦吗？(2)弧：①天边的一道彩虹，一轮红日从地平线下缓缓升起，此时，你所看到的是一个完整的圆吗？(不是，它是圆的一部分．)②如上图所示曲线AB，BC，BAC都是⊙O的弧，分别记作、、；其中像、这样小于半圆周的弧叫劣弧，像这样大于半圆周的弧叫优弧，优弧一般用三个字母表示(其中中间的字母可以是弧上的任意一点)；而线段AB、BC、AC都是⊙O的弦．(3)在上图中，∠AOB、∠BOC有何共同特点？你能试着给它起一个合适的名字吗？(顶点都在圆心上，顶点在圆心上的角叫做圆心角．)说明：明确弦、弧、优弧、劣弧、圆心角的概念及记法．三、反馈训练1．判断题：①同一个圆的直径的长是半径的2倍．( )②直径是弦．( )③弦是直径．( )④过圆心的线段是直径．( )2．如图1所示，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在同一直线上，则图中弦的条数有( )A．2条B．3条C．4条D．5条图1图23．如图2所示，点A、O、C以及B、O、E分别在一条直线上，请用字母表示出所有的弦，并列举一条直径、四条半径、三个圆心角、三条劣弧、三条优弧．4．如图所示，AB、AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，求证：∠BAO＝∠CAO.四、导学归纳通过本节课学习，你有什么收获或疑惑？五、作业1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．2．下列说法正确的是( )A．弦是直径B．过圆心的直线是直径C．两个半径相等的圆是等圆D．弧是半圆3．如图所示，有________条直径，________条弦，以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．4．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF.求证：OE＝OF.课后反思：教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质．27．1.2圆的对称性第1课时圆的对称性教学目标☞知识与技能知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系及它们在解题中的应用．☞过程与方法经历圆心角、弧、弦之间的关系的探索过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．☞情感、态度与价值观激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法．重点难点☞重点在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系及其应用．☞难点探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及其应用．教学过程一、自学导纲1．前面我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？2．圆是一个特殊的图形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？二、合作互动1．实验发现(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图所示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．说明：教师叙述，学生操作．思考：(1)通过上面的实验，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．学生回答：①由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；②由两圆半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA＝∠O′A′B′＝∠O′B′A′；③由△AOB≌△A′O′B′，可得AB＝A′B′；④由旋转可得＝.说明：在学生回答的基础上师生共同分析——我们在上述实验的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB 与弦A′B′重合，即＝，AB＝A′B′.(2)通过上面的操作与思考，你能得出什么结论？在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．说明：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．(3)如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(学生互相交流、讨论回答，最后教师归纳．) 结论：在同一个圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．在同一个圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．教师归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的另两组量也相等．2．典型例题例1 如图，⊙O的弦AB＝CD，求证：AD＝BC.分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系只要知道其中一组量相等，我们就可以判定其它各组量相等，从而问题得以解决．解答：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，∴＝，∴AD＝BC.总结反思：在等圆中证两条弦相等，常利用相对应的两条弦心距相等，两条弧相等或两个圆心角相等来证明．例2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.(1)求半径OD；(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？解答：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，∴ED＝CD＝12m.在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13m.(2)∵OE＝＝＝5(m)．∴将水排干需：5÷0.5＝10(小时)．总结反思：在解决圆中有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线段，从而利用垂径定理解题．另外，经常利用圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形．三、反馈训练1．请说明下面的说法是否正确？为什么？如图所示，因为∠AOB＝∠COD，所以＝.2.在⊙O中，若＝所对的圆心角分别为80°、70°，则所对的圆心角为多少度？3．如图所示，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，找出与线段OA相等的所有线段；与弧相等的所有的弧．四、导学归纳本节课你有什么收获？在学生归纳总结的基础上，教师提出注意的问题：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然同心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，圆心角相等的弦相等”等．五、作业1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．2．在⊙O和⊙O′中，若∠AOB＝∠A′O′B′，则有( )A.＝B.＞C.＜D.与的大小无法确定课后反思：圆的对称性是圆的重要性质之一，在圆的有关内容中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与直线的位置关系和数量关系的基础．在课堂教学过程中能根据教学内容的特点，采用提问、组织实践探究、学生亲身经历感受、电脑动画演示、练习等多种教学方法达到目标的完成．第2课时垂径定理教学目标1．探索垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．教学重点垂径定理、推论及其应用．教学难点发现并证明垂径定理．教学过程一、创设情境明确目标问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．二、自主学习指向目标1．自读教材．2．学习至此：请完成学生用书“基础练·巩固新知”部分．三、合作探究达成目标探究点一垂径定理及其推论的推导阅读教材第38页上半部分内容．解决问题：(1)垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的________．符号语言：如图，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴________＝________，________＝________，________＝________．(2)垂径定理的推论：________弦( )的直径垂直于弦，并且________弦所对的两条孤．符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.∵AB是直径，CE＝DE，∴________，________，________．思考：为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？【点拨升华】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．探究点二垂径定理的应用阅读教材第39页内容．思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__()__2.四、总结梳理内化目标1．垂直于弦的直径2．一种辅助线和一种数学思想方法．五、达标检测反思目标1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝__10__.2．若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是__6__．第3题图第4题图4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A )A．2 B．3 C．4 D．55．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( D ) A．7cm B．1cmC．7cm或4cm D．7cm或1cm课后自测见学生用书的“综合练·能力提升”部分．课后反思：垂径定理是一个很重要的定理，由于它涉及到的条件结论比较多，学生容易搞混肴．27．1.3圆周角教学目标☞知识与技能1．理解圆周角的定义．2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直径所对的圆周角是直角．3．能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算．☞过程与方法1．通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力．2．通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；培养学生的归纳和逻辑推理能力．☞情感、态度与价值观1．经历探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力．2．通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验．重点难点☞重点圆周角定理及运用．☞难点运用数学分类的思想证明圆周角定理．教学过程一、情景导入如图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？(顶点在圆心)，今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角．二、合作互动探究1 圆周角(1)究竟什么样的角是圆周角呢？像上图(3)中的角就叫做圆周角，而上图中(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角．上图(3)中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角．师生讨论归纳，得出结论：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角叫圆周角．(2)针对练习1 找出下图中的圆周角．探究2 直径上圆周角的性质(1)画⊙O与其直径AB，任意画一个圆周角∠ACB，互相交流一下，你们所画的图形完全一样吗？这说明了什么？(不一样，说明一条弦所对的圆周角有无数个．)(2)用量角器量量看，∠ACB的度数如何？(90°)(3)由此你能猜想出什么结论？(通过测量，让学生初步认识到直径所对的圆周角等于90°(或直角)．)(4)请用逻辑推理的方法，说明你的猜想正确．证明：如图，因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)，∠ACB总等于90°.归纳：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径．(5)针对练习2如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的度数．探究3同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系(1)如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？(∠ADB、∠ACB分别是⊙O的圆周角；∠AOB是圆心角；它们都是弧所对的角．)(2)分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下．再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化．你发现其中有什么规律吗？(3)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？(圆周角的度数没有变化．并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半．)(4)由此你能猜想出什么结论？在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．(5)如右图所示，你能为你的猜想结论说明理由吗？因为OA＝OC，所以∠A＝∠C，又由于∠AOB是△OAC的外角，所以∠AOB＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠AOB.(6)如上图中的圆心角和圆周角都有一边过圆心，这只是一种特殊情况：想一想，并画画看，还可以画出哪些不同的图形？学生小组合作交流，得出如图(1)、图(2)两种情况．(7)你能证明这种情况下猜想成立吗？教师指出这两种情况仍然成立，为此只需过C作⊙O的直径即可，具体让学生证明．结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．例如图，△ABC的三个顶点A、B、C均在⊙O的圆周上，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.分析：将结论转化为比例式，然后观察这些线段所在的三角形是否相似，根据需要可添加辅助线构造相似三角形．解答：证明：连结CE，∵AE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B，∠E所对的弧都是.∴∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB∶AE＝AD∶AC，∴AB·AC ＝AE·AD.总结反思：利用圆周角定理寻找相等的角，是解决圆的有关计算和证明常用的方法．三、反馈训练1．试分别求出下图中∠x的度数．(1)2．已知，如图(1)，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.求证：＝.3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，若∠ABD＝40°，则∠BCD＝________．说明：第1题让学生独立完成，然后统一答案讲评；第2题引导学生分析出要证＝，只需证明它们所对的圆周角相等即可，为此需连接AD，证明∠BAD＝∠CAD，然后让学生完成证明过程．四、导学归纳本节课你有什么收获？知识总结：本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题．方法归纳：在探索一个新的结论或事物的时候，往往要遵循从感性到理性、从特殊到一般的思想．五、作业1．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于( )A．140°B．110°C．120°D．130°2．半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为________．3．如图所示，AB是⊙O的直径，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°，求∠ABC的度数．4．思考：(1)用尽量多的方法找出图中所示圆的圆心．(2)在同一个圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弦相等吗，为什么？课后反思：教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟悉掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．。
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计一. 教材分析《圆的认识》是华师大版数学九年级下册第27.1节的内容。
本节主要让学生掌握圆的定义、圆的性质、以及圆的周长与面积的计算方法。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的特征，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但圆的概念较为抽象，学生对其性质和计算方法的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实际操作和探究来理解圆的特征。
三. 教学目标1.理解圆的定义和性质；2.掌握圆的周长和面积的计算方法；3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力；4.提高学生的合作交流和问题解决能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质；2.圆的周长和面积的计算方法；3.圆在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆的特征；2.利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解圆的概念；3.采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力；4.结合实际生活中的实例，让学生感受圆的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实物模型和图片，如硬币、圆规等；2.准备多媒体教学课件，包括圆的定义、性质、周长和面积的计算方法等；3.准备练习题和课后作业，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型和图片，引导学生观察和思考圆的特征。
例如，展示硬币和圆规，让学生说出它们的共同特点。
2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质。
通过多媒体课件，展示圆的定义，即到一个固定点距离相等的所有点的集合。
然后，引导学生探究圆的性质，如圆的直径、半径、圆心等。
3.操练（10分钟）让学生进行实际操作，加深对圆的认识。
例如，用圆规画圆，测量圆的直径和半径，计算圆的周长和面积等。
4.巩固（10分钟）解答学生的疑问，并通过练习题进行巩固。
可以选择一些有关圆的计算题和应用题，让学生独立完成，然后进行讲解和分析。
2023年华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(4)》导学案
新华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识（4）》导学案【学习目标】1.知道什么样的角是圆周角【学案使用说明和学法指导】课前完成【知识链接】【重难点预测】教学重点：能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题.教学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用【知识链接】圆：圆心角：【自主学习】1、圆周角的概念如下图：观察各个圆中的角有何特点？圆周角：顶点在圆，并且角的两边与圆的角叫做圆周角。
2、圆周角与圆心角的区别：如图：指出圆周角、圆心角【合作探究】1、半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90 的圆周角所对的弦是否是直径？如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？备注（教师复备栏及学生笔记栏）结论：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于°（角）。
反之过来也成立，即90°的圆周角所对的弦是圆的，所对的弧是2、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系（1）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？结论：圆周角的度数变化（2）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的的度数的。
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。
证明过程见教材3、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？4、多边形的外接圆与圆的内接多边形总结：1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
华师版九年级数学下册第27章圆【学案】圆的基本元素
圆的基本元素教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点：1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
研讨过程：一、圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。
同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由 决定的，而大小又是 决定的。
二、圆的基本元素问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，左上图完成反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
如右上图,线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。
线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵、BAC ︵，其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC ︵这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
AO三、课堂练习：1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？34、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。
5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？ 四、小结：本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业：1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？2、经过A 、B两点的圆有几个？它们的圆心都在哪里？3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
华东师大初中数学九下《27 圆全章教案 (1)
年级：九年级 科目：数学 执笔： 审核：内容：圆的基本元素 课型：新授 第1课时 学生姓名________ 【学习目标】知识与能力：学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
过程与方法：通过探索、观察、归纳、类比，总结出圆、等圆、等弧、圆心角等概念。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性。
【学习重难点】重点：圆中的基本概念的认识。
难点：对等弧概念的理解。
【学习过程】 一．学前准备：1． 自学课本34页到35页，写下疑惑摘要：图1 2.圆的位置是由 确定，圆的大小是由 确定；3. 如图1，线段 是⊙O 的半径，线段 是⊙O 弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧， 是优弧；二．自学、合作探究请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如下图，在一个平面内，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，用r(或R)表示。
这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记作“o ”，圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定。
如图经过圆上一点可以画无数弦，其中一条弦AB 经过圆心OA,则AB 就是o 直径，显然，直径是半径的2倍。
ABA1．弦：什么是弦呢？我们把一个圆上的任意两个点连结起来，就得到一条线段，如o上的线段 AB、AC、AD、EF，这些线段叫做o的弦，即连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径如图经过圆上一点可以画无数弦，其中一条弦AB经过圆心OA,则AB就是o直径，显然，直径是半径的2倍。
2．弧我们已经知道连结圆上任意两点可以得到一条弦，这条弦把圆分成两部分。
如图中的点A 和点C把o分成ABC、ADC，我们把这每一部分叫做弧，即“圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧”。
以A、C为端的弧记作AC,读作“圆弧AC”，或“弧AC”。
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学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____27.1 圆的认识第1课时 27.1.1 圆的基本元素【学习目标】1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别；2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；3．能应用圆的有关概念解决问题.【学习重难点】重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别；难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；【学法指导】通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．【自学互助】一、自学教材P36-37（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？（图1）2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成1．理解圆的定义：（自己动手画圆）（1）描述性定义：____________________________________________________。
从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.（2）集合性定义：__________________________________________________。
（3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______.（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小.2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。
如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有 ；劣弧有 。
【展示互导】活动1．学生展示自主学习内容并相互交流活动2.判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径.（ ）（3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )活动3．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝ ，ABAB12弧.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图3，点A O D 、、以及点B O C 、、分别在一条直线上，则圆中有 条弦.4. ⊙O 的半径为3cm ，则⊙O 中最长的弦长为5.如图4，在ABC ∆中，90,40,ACB A ∠=︒∠=︒以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求ACD ∠的度数.【总结提升】1、知识小结（1）圆的两种定义：①；② .（2）什么是弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧？（2E，若AB∠教师评重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题【学法指导】通过观察、动手操作、合作交流等方法探索圆中的圆心角、弦、弧之间的【自学互助】1、自学教材p37-38内容2、按照下列步骤进行小组活动：’B⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'⑵在⊙O和⊙O'中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠'''BA，连接AB、''BOA⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合在操作的过程中，你有什么发现？___________________________3、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?4、圆心角、弧、弦之间的关系：。
5的两条（（（6活动2．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【质疑互究】通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：【检测互评】1、教材P39练习1、2题2、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3、如图,在⊙O 中, , ∠1=30°,则∠2=_______4、一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
5、⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，︒=⋂60度数AC ，则∠BOD=______。
6、 在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为7、如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，∠AOE的度数是 。
【总结提升】1、知识小结（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_________；（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数________。
2、拓展提升（1）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，M,N 分别为AO,BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,垂足分别为M,N 。
求证：AC=BDC 1 2 AB D OACBD O B A C M D N（2）已知，如图，在⊙O 中，弦AD BC =，你能用多种方法证明AB CD =吗？学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____第3课时 27.1.2 圆的对称性（2）【学习目标】1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.1 (3)推论：_________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用如图3，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 3cm ，求⊙O 的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥（图（图解：【质疑互究】通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：【检测互评】1.教材p40练习1，2题2.圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则_____AB cm =．3.如图5，AB 是⊙O 的直径， CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ） A.COE DOE ∠=∠ B.CE DE = C.OE BE = D.»»BDBC = 3. 如图6，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE =8cm ，CE =2cm ，则AB =______cm ．【总结提升】 1、知识小结 （1）垂径定理是 ，定理有两个条件，三个结论。
（2）定理可推广为：在五个条件①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧中，知 推 。
2、方法小结：（1）在运用垂径定理解决问题是辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
（）如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距” 构成直角三角形，则r d a 、、的关系为 ，知道其中任意两个量，可求出第三个量.3、拓展提升（1）已知：如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE =1，（图C A B D E O（图6） （图dr aO（4）AE =5，∠AEC =30°，求CD 的长．（2）如图9，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．(1)求证：AE =BF ；(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值? 若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由． 学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____第4课时 27.1.2 圆的对称性（3）【学习目标】1．熟练掌握垂径定理及其推论；2．能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明，进一步应用垂径定理解决实际问题.【学习重难点】重点：“垂径定理及其推论”及其在实际问题中的应用难点：分清垂径定理及其推论的题设和结论、垂径定理及其在实际问题中的应用【学法指导】本节课学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中善于将实际问题转化为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。
【自学互助】阅读教材P40并完成下列各题1．垂径定理：2.推论：3.如图1，O e 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 .【展示互导】 活动1：如图3，用»AB 表示主桥拱，设»AB 所在圆的圆心是点O ，半径为R . 归纳：（1）如图4，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得 . （2）在弦长a 、弦心距d 、半径r 、弓形高h 中，知道其中任意两个，可求出其它两个.活动2 ：如图5，已知»AB ，请你利用尺规作图的方法作出»的中点，说出你的作法．作法： （图1） MB A O R B A O （图ad r h（图【质疑互究】 通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考： 【检测互评】1.（长春中考）如图6，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果20,16AB CD ==,那么线段OE 的长为（ ）圆心O 到弦的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 .A. 10B. 8C. 6D.4 2.如图7，在O e 中，若AB MN ⊥于点C ， AB 为直径,试填写出三个你认为正确的结论：， ， . 3. P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为______；•最长弦长为______．4. 如图8，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道?【总结提升】1、知识小结本节课你有哪些收获？ 你有什么收获和同学分享？还有什么问题？2、拓展提升 已知：如图11，,A B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，80AOD ∠=︒，B 是»AD 的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP PB ＋最短；(2)若4CD cm =，求AP PB ＋的最小值．学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____第5课时 27.1.3 圆周角(1)【学习目标】1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角．2．掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明. （图5） B A （图C A B D E O （图NM C A B O （图（图（图图11【学习重难点】重点：理解并掌握圆周角定理及推论；难点：圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的数学思想方法；【学法指导】本节课的学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展自己的逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力【自学互助】 阅读教材P40-43并完成以下各题1.顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在 ；（2）两边都与圆 ．2.在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？3.半圆或直径所对的圆周角都_________，都等于_______.【展示互导】活动1：(1) 完成教材p41思考问题：通过对思考问题的探讨、分析、论证可得出的结论为： 问题：对于一般的弧所对的圆周角，又有怎样的规律呢？活动2：根据问题完成p41页“试一试”内容（如图2）问题1：分别量一量图中弧AB 所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化。