点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

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点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、
为的中点
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是
即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴ ，即，解得。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则 =______。
【答案】
【解析】设及；则点到准线的距离为
得：又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又，
两式相减得
即
，即
点的坐标为。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。
13.椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2）Θ P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x kΘ直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222φk k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,(Y Y ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=Θ由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x kΘ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ，解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又Θ300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k Θ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

优质课评比正式.点差法在中点弦问题中的应用

设直线l : y kx b与圆锥曲线交于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 C
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 1 k 2 | x1 x2 |
1 k 2 （x1 x2 ) 2 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
x12 4 y12 16 2 2 x2 4 y2 16

点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
高二数学[圆锥曲线]
第一次旁遮大会
本节课的研究方向:
1.推导圆锥曲线截直线弦长公式
2.探寻中点弦问题的一般化方法
课题1:弦长问题
一.问题引入
x2 y 2 1 的左焦点作倾斜角为 600的直线, 经过椭圆 2
直线与椭圆相交于 A, B 两点,求 | AB |.
二.另僻蹊径
三.弦长公式
直线的方程．
y
2 2
B 2 , y2）（x
o
M
A 1, （x x
y1）
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
例1：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
.
探索:
y2 已知双曲线方程 2 x 1,问是否存在被点 (1,1) M 2 平分的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，说明理由

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法
椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用领域，如天文学、工程建筑和航天技术等。

椭圆的特点是其上任意两点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的焦距。

在椭圆中，我们常常需要计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法是一种通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离来计算椭圆参数的方法。

具体步骤如下：
1. 首先，在椭圆上选择两个点，记为A和B，这两个点不在椭圆的主轴上。

2. 然后，连接AB两点，得到弦AB。

3. 接下来，在椭圆上选择任意一点，记为P。

4. 然后，从P点向弦AB引垂线，垂足为H。

5. 测量弦AB的长度，并记录为L，测量PH的长度，并记录为h。

6. 根据测量结果，可以利用椭圆中点弦点差公式计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法的原理是基于椭圆的几何性质，通过测量弦长和点到弦的距离来确定椭圆的参数。

这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的数学计算，只需要准确测量即可得到结果。

椭圆中点弦点差法在实际应用中有很多用途。

例如，在天文学中，可以利用该方法计算行星和卫星的轨道参数；在工程建筑中，可以利用该方法确定椭圆形建筑物的尺寸和形状；在航天技术中，可以利用该方法确定卫星轨道的参数。

椭圆中点弦点差法是一种准确计算椭圆参数的方法，通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离，可以确定椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

该方法简单易行，广泛应用于天文学、工程建筑和航天技术等领域。

通过使用椭圆中点弦点差法，可以准确计算椭圆的参数，为相关领域的研究和应用提供重要参考。

椭圆拓展 (一) 椭圆中的中点弦点差法

椭圆拓展（一）椭圆内的中点弦点差法【学习重点】1.点差法的基本思想方法：设而不求2.点差法适用范围：斜率固定的平行线截二次曲线所得线段中点的轨迹，一般用于椭圆内的中点弦问题。

（在圆内应该用特殊方法）3.点差法的核心：求直线斜率和中点弦坐标的等量关系。

【核心推论】1.过定点直线和封闭曲线恒有公共点的充要条件是定点在曲线内部或曲线上。

过定点直线和封闭曲线恒有两个公共点的充要条件是定点在曲线内部。

2.斜率为k1的直线，交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=b2a2。

斜率为k 1的直线，交椭圆y2a2x2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k 2，则k 1•k 2=2。

3. 平行弦的中点轨迹方程是过原点的、一条无端点、取椭圆内部分的线段。

【重点例题解析】例题已知P(-3,0),过点P 作直线l 交椭圆x24+y 2=1于A 、B 两点，求A 、B 的中点M 的轨迹方程。

解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、M(x,y)x 124+y 12=1x 224+y 22=1x 12-x 224+(y 12-y 22)=014(x 1+x 2)(x 1-x 2) +(y 1+y 2)(y 1-y 2)=014(x 1+x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1-x 2)=0∴轨迹方程为：14(2x)+(2y)•k AB=014(2x)+(2y)•k MP =014(2x)+(2y)•y x+3=0x 2+3x+4y 2=0(取x 224+y 22=1的内部）。

运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤

与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。

点差法巧解椭圆中的范围问题

（λｘ０）２＋２（λｙ０＋２－２λ）２＝２．
消去
ｘ０，得
λ ＝５
３－４
ｙ０
．而
－１
≤
ｙ０
≤ １，则
１３
≤ λ≤ ３，
又且Ｍ在ＤＮ之间，则 λ＜１．
所以 λ的取值范围为１ ≤ λ＜１．３
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，
运用点差法简化了解题过程．在处理解析几何中的范围问题
２．根据待证不等式所含“ 元” 的个数我们提出“元” 数分析法，这里的“ 元” 指独立变化的字母，
当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元．以上我们介绍了用“构造函数法” 证明不等式时构造辅助
函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变通，多管齐下，多法并用．
路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们
学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．
磼１．从待证不等式形式变化的角度前文已总结出６种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元
法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强，换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式，提出了具体的操作方法．
的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的
斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是
在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“ 设而不求” 的目的，
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：

点差法求椭圆的中点弦

部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
12
+ 2

22
+ 2

=1
=1
两式相减得
(1 +2 )(1 −2 )
(1 +2 )(1 −2 )
−
2
2
=0
2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
(1 +2 )(1 −2 )
=
2
− 2

(1 +2 )(1 −2 )
2
−
(1 −2 )
(1 −2 )
因为
(1 +2 )(1 −2 )
2
=0
(1 +2 )
(1 +2 )
= ，
= =

2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
+
+
12
2
22
2
=1
=1
两式相减得
( + )( − )
整理得 (1 +2 )(1 −2 )
1
2
1
2

所以
=
2
− 2
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法椭圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。

在研究椭圆的过程中，人们发现了一种称为椭圆中点弦点差法的方法，用于确定椭圆的中点、弦和点差的关系。

本文将详细介绍这一方法的原理和应用。

我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数。

椭圆的形状由两个焦点和连接两个焦点的直线（称为主轴）所确定。

在研究椭圆的性质时，人们常常需要确定椭圆上的点与其它几何元素（如弦、中点等）之间的关系。

椭圆中点弦点差法就是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的方法。

具体而言，对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，我们可以利用椭圆的性质来推导出它们之间的关系。

首先，连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点分别连成两条直线，这两条直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D。

然后，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E。

根据椭圆的性质，我们可以得知，连接点M和点E的直线与弦AB平行。

通过上述推导过程，我们可以得到椭圆中点弦点差法的结论：对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，如果连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点连成的直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E，那么连接点M和点E的直线与弦AB平行。

椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在工程设计中，我们常常需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便进行合理的布局和设计。

通过利用椭圆中点弦点差法，我们可以准确地确定椭圆上的中点和弦的位置，从而提高工程设计的精度和效率。

除了工程设计，椭圆中点弦点差法还可以应用于数学研究和科学实验中。

例如，在椭圆轨道的行星运动研究中，我们需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便分析行星的运动轨迹和速度。

通过运用椭圆中点弦点差法，我们可以更加准确地描述行星的运动规律，从而深入理解天体运动的规律和机制。

椭圆中点弦点差法是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的重要方法。

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

下面我们来详细介绍一下椭圆中点弦点差法。

我们需要了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状像一个拉长的圆。

椭圆有两个焦点和两条主轴，其中离椭圆中心最远的两个点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。

主轴是通过椭圆中心的一条直线，其中长的主轴称为长轴，短的主轴称为短轴。

椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它描述了椭圆的扁平程度。

接下来，我们来介绍椭圆中点弦点差法的具体步骤。

首先，我们需要确定椭圆的两个主轴的长度，即长轴的长度a和短轴的长度b。

然后，我们可以计算出椭圆的离心率e，它的计算公式为e = √(1 - (b/a)^2)。

接着，我们可以计算出椭圆的焦距f，它的计算公式为f = √(a^2 - b^2)。

最后，我们可以使用椭圆中点弦点差法来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的计算公式为S = πab(1 - (2d/a)^2)，其中S表示椭圆的面积，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，d表示椭圆中点弦的长度。

根据这个公式，我们可以通过测量椭圆的相关参数来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的原理是利用椭圆中点弦的长度和椭圆的长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

中点弦是一条通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线，它与椭圆的交点分别称为弦点。

根据椭圆中点弦点差法的原理，我们可以得出椭圆的面积与中点弦的长度和长短半轴之差的平方成正比。

椭圆中点弦点差法的优点是计算简单，只需要测量椭圆的长短半轴和中点弦的长度就可以得到椭圆的面积。

而且，该方法适用于任何形状的椭圆，不受椭圆的离心率和焦距的影响。

因此，椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的应用价值。

总结来说，椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的简便方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

该方法适用于任何形状的椭圆，且计算简单方便。

巧用点差法公式解决中点弦问题

巧用点差法公式解决中点弦问题解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。

解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。

一、抛物线【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于m、n两点，点p（x0，y0）是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0=m。

注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.例1设a（x1，y1），b（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是ab的垂直平分线。

⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点f？证明你的结论。

⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。

解析：⑴∵x2=12y，∴p=14，f（0，18）。

设线段ab的中点为p（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0 若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，ab的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点f。

若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kab=-1k。

由1kab·x0=p得：-kx0=14，∴x0=-14k。

若直线l经过焦点f，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。

∴当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点f。

综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点f。

⑵当x1=1，x2=-3时，a（1，2），b（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.由1kab·x0=p得：k=14。

∴所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0二、椭圆【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于m、n两点p（x0，y0），点是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0x0=b2a2。

运用点差法解决中点弦问题,运算是解析几何学习中的难点.doc

运用点差法解决中点弦问题，运算是解析几
何学习中的难点
第一问由点M在线段PD上以及满足的条件，很容易得出M是中点，既然求点M的轨迹，就设其坐标为(x,y)，从而得到点P坐标，由于P是圆上动点，所以满足圆的方程，继而带入化简得出一个椭圆
这个题呢其实再配个图就好啦，同学们自己动手画一个呗，圆，椭圆，还有直线l的位置关系一目了然，所以解的时候自然能先想到垂直的情况是不行的，也就是斜率存在，直接设直线解析式，再由直线与椭圆相交，联立方程组，利用韦达定理得出中点坐标相关的关系式，求出k，直线方程也就求出来啦
点差法解决中点弦问题也是常规方法，注意要熟练利用韦达定理，设而不求方法和整体思想，简化计算，准确求解，方法1思路直接，但是计算量稍大，方法2，计算简捷，所列式子整齐，对称性强，但是要求灵活性高，整体意识强，运算是解析几何学习中的难点，平时必须认真训练，仔细，体会算理和一些常用技巧，提高运算的速度和准确度！
下面一题，大家自己动手试一试哦。

巧用点差法公式解决中点弦问题

１（ａ＞ｂ＞ｏ）中，若直线２与椭圆相交
二、椭圆
所求的直线ＡＢ方程为Ｙ一２＝１・（Ｘ一１），即ｘ — Ｙ＋１＝０。（２）设直线ＣＤ的方程为ｘＹ＋ｍ＝０，点Ｎ（１，２）在直线ＣＤ上，１＋２＋ｍ＝Ｏ，ｍ＝一３。．。．直线ＣＤ的方程为ｘ＋Ｙ＝０。
中点。
ｙ０
（２）当Ｘ１：１，Ｘ２＝一３时，Ａ（１，２），Ｂ（一３，１８），ｘｏ：苎Ｌ２１：一１
，
＝
：ｏ．
（１）求直线ＡＢ的方程；（２）￣ＩＩ果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于Ｃ、Ｄ两点，那么Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ四点是否共圆，为什么？
② 代人 ① ，得（一１）一 — １（２＋）＝等．
整理，得：９２ — ４５一１７：０；解之得：ｘ：早，或：一寻。
由 ② 可知，：旱不合题意。．
・
．．
若直线ｚ的斜率存在，则其方程为Ｙ＝ｋ（ｘ — ｘ０）Ｙ０，ｋＡＢ＝一 ÷。
・．
．
．
…
…
…
…
…
…
…
…
・
・
解析：（１）。・ ‘ Ｘ２
，・・ｐ ÷，Ｆ（０，寺）。
②
设线段ＡＢ的中点为Ｐ（０，Ｙｏ），直线ｆ的斜率为，则ｌ＋２＝２ｘ０若直线ｆ的斜率不存在，当且仅当ｘｌ＋ｘ２＝０时，ＡＢ的垂直平分线ｚ为Ｙ轴，经过抛物线的焦点Ｆ。

运用点差法巧解椭圆的中点弦问题

x2 y2 2 1 a2 b
基本步骤：三步走
1.设点：
2.作差：
3.求k：
点差法一般性结论
遇到弦中点,两式减一减;
例1
x y 过椭圆 1 内一点 M (2,1) 引一 16 4 条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在
直线的方程．
y
2
2
B （x2 , y2）
o
M
A （ x1 , x
（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标（点差法）。
遇到弦中点,两式减一减;
y
A
O
M B
x
点差法步骤： 1.设点A(x1,y1),B(x2,y2); 2.代入圆锥曲线方程作差; 3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线斜率代入得到式子.
点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
y
A
O
M B
x
点差法用途：可以9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5 x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
2
2
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
2.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决.
练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.

椭圆中点弦问题-----点差法(微教案)

椭圆中点弦问题-----点差法（微教案）
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦问题的方法---点差法。

2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。

3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。

二、重难点
1、重点：点差法运用。

2、难点：灵活使用点差法解决椭圆中点弦问题。

三、教具：尺子
四、学习过程
（一）课前预习。

（1）点差法的步骤：
（2）适用范围：
（二）自主学习与合作探究。

【探究】求中点弦所在直线方程问题
例1 ：过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

*结论一（椭圆中点弦斜率公式）
三（微练习）巩固与提高：
已知双曲线C：，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

（四）课堂小结：
1、点差法的具体步骤为：
2、点差法的适用范围以及注意直线是否存在的问题。

3、点差法优点：
缺点：
五、请评价自己学习效果：本节知识点掌握了%。

椭圆中点差法与中点弦专题

椭圆中点差法的运用1.如图，直线b kx y l +=:与椭圆1:2222=+by a x C 交于B A ,两点，M 为弦AB 的中点.设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②①11222222221221b y a x b y a x ⇒-②①02222122221=-+-byy a x x化简可得：2222212221ab x x y y -=--结论1：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即2222212221ab x x y y -=--由))(())((2121212122212221x x x x y y y y x x y y -+-+=--且AB k x x y y =--2121，0212y y y =+，0212x x x =+由结论一可得：2200a b k x y AB -=⋅⇒0202y a x b k AB -= 结论2：在椭圆中，弦中点),(00y x ，弦所在直线的斜率k 与22ab 知二求一，即0202y a x b k AB -=易知OM k x y =00，由2200a b k x y AB -=⋅⇒22ab k k AB OM -=⋅ 结论3：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即22ab k k AB OM -=⋅以上结论只适用于焦点在x 轴上的椭圆，对于焦点在y 轴上的椭圆，只需把结论中的b a ,位置互换即可，后面的结论4—结论6也是如此2.如图，B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于B A ,的点(且PB PA ,的斜率均存在)设),(11y x A ，),(11y x B --，),(22y x P 易知1212x x y y k PA --=，1212x x y y k PB ++=21222122x x y y k k PB PA --=⋅⇒，有结论1可知，22ab k k PBPA -=⋅⇒结论4：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即22ab k k PB PA -=⋅3.如图，点),(00y x P 为椭圆C 上的点（不在x 轴上），直线l 为椭圆在点P 处的切线在结论二中，当直线AB 向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点（极限思想）202y a x b k P -=⇒切（可通过联立方程组，由0=∆得证）⇒直线l ：)(002020x x y a x b y y --=-化简可得：12020=+byy a x x 结论5：椭圆上一点),(00y x P 处的切线方程为12020=+byy a x x ，斜率（存在时）020y a k P -=切4.如图，过椭圆C 外一点),(00y x P 引椭圆的两条切线，切点分别为),(),,(2211y x B y x A ，由结论5可知，PA 所在直线的方程为12121=+b y y a x x ，PB 所在直线的方程为12222=+byy a x x 由),(00y x P 既在PA 上，也在PB 上，将),(00y x P 代入两直线方程得：1201201=+b y y a x x 且1202202=+by y a x x上面的方程又可理解为),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+byy a x x 上所以切点弦AB 所在直线方程为12020=+byy a x x （直线系的理解）结论6：过椭圆C 外一点),(00y x P ba 注意：对于上述六个结论，选填可以直接用，大题需要有一定的证明过程巩固练习1.如果椭圆193622=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一条弦所在的直线方程是05=+-y x ，弦的中点坐标)1,4(-M ，则椭圆的离心率是（） A ．21 B ．22 C ．23 D ．55 3.中心在原点，焦点坐标为)0,2(±的椭圆被直线1+=x y 截得的弦中点横坐标为32-，则椭圆方程为（）A ．14622=+y xB ．14822=+y xC ．14222=+y xD ．12422=+y x4.已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M的坐标（） A ．)21,21(B ．)2523,21(+ C ．)21,21(-D ．)2523,21(- 5．已知以)0,2()0,2(21F F ，-为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A ．23B ．62C ．72D ．246.过点)1,1(M 作斜率为21-的直线与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 相交于B A ，两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于7.已知椭圆1416:22=+y x C 截直线l 所得线段的中点坐标为)2,1(，则直线l 的方程为8.椭圆143422=+y x 上点)1,1(P 处的切线方程为9.过)2,2(引椭圆1422=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则AB 所在直线方程为10.过)0,4(引椭圆143422=+y x 的切线方程为11.已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ，，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.12.已知椭圆1222=+y x ．（1）求过点)21,21(P 且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹．（3）过点)1,2(A 引直线与椭圆交于C B 、两点，求截得的弦BC 中点的轨迹方程．13.已知椭圆124:22=+y x C ，过坐标原点的直线交C 于Q P ，两点，点P 在第一象限，x PE ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．证明：PQG ∆是直角三角形.14.已知椭圆13422=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．参考答案1-5 DCDCC 6.227.042=-+y x 8.043=-+y x9.024=-+y x 10.043=-+y x 或043=--y x11.点差法进行证明，注意焦点位置 12.（1）0342=-+y x （2）04=+y x （3434<<-x ）（3）)22(022222≤≤-=-+-x y y x x 13.利用结论4进行证明 14.1313213132<<-m。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式.本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0)中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-,得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0,b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅。

典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点。

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程。

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用