取整函数

.

一、取整函数的性质

⑴函数y=[x]的定义域为R ，值域Z ；⑵若n ∈Z ，当n ≤x

，由这一性质可知

f （x ）=[x]是最小正周期为1的周期函数.

二、取整函数在求值中的应用1. 求值；[log

2

1]+[log

2

2]+[log

2

3]+[log

2

4]+．．．+[log

2

50

]

解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n

≤x<2

n+1

(n ∈Z)时,[x]=n,

所以[log

2

1]+[log 22

]+[log

2

3]+[log 2

4]+．．．+[log

2

50]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243

2. 由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A ，求集合A 中的元素的个数。

解析：设f （n ）=

100

2

n

，则f （n+1)-f （n ）=

100

12n ，当n ≥50时f （n+1)-f （n ）>1

所以[

10050

2

],[

10051

2

],...,[

100

100

2

]是51个互不相等的数

当 1≤n ≤49时f （n+1)-f （n ）<1,且[f （1)]=0,[f

（49）]=[24.01]=24

所以1≤n ≤49时0≤[f （n ）]≤24且能取到该范围内的任一个整数所以集合A 中的元素的个数为51+25=76.

点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键. 3、求

sin1sin 2sin3sin 4sin5

的值.

解析：

sin1、sin 2、sin3

(0,1)，sin 4、sin5

(1,0)

2

sin1

sin 2

sin3

sin 4

sin5

三、取整函数在函数的应用

.

4 、定义f （x ）=x-[x]，则以下结论正确的是（

）

A. f （3）=1.

B.方程f （x ）=0.5有且仅有一个实根

C. f

（x ）是周期函数 D. f

（x ）是增函数.

解析：因为x ∈Z 时f （x ）=0，所以排除A 、D ，又f （0.5）=f （1.5）=0.5，排除 B.选C. 点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活.

5.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数

2

()

([])

f x x x 的四个命题：

①函数

()y f x 的定义域为R ，值域为

[0,1]；

②函数()y f x 的图象关于

y 轴对称；

③函数

()y f x 是周期函数，最小正周期为1；

④函数

()y

f x 在(0,1)上是增函数．

其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）

答案：③④

7.已知 f （x ）=x[x]的定义域为[0，3]，求f （x ）的值域.

解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f （x ）=0;

⑵当1≤x<2时[x]=1,f （x ）=x,此时1≤f （x)<2; ⑶当2≤x<3时[x]=2,f

（x ）=2x,此时4≤f （x ）<6;

⑷当x=3时[x]=3,此时f （x ）=9

.综上所述,f （x ）的值域为{y|y=0或1≤y<2或 4≤y<6或y=9}. 点评：根据n ≤x

8.设f （x ）=

x

x 2

12

-

2

1，则[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为＿

解析：f （-x ）=

x

x 2

12

-

21=12

1

x

-21=

x

x

x 2

1221）（-

21=21-

x

x

212

=-f （x ）.又0<

x

x

2

12

<1,所以-2

1

1. 当-

2

1

当0

综上所述,函数[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为{-1、0}. 点评：本题以取整函数为载体

,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活.

9.对于给定的

*

N

n ，定义)

,1[,)

1][()

1()1][()1(x x x x x x n n n C x

n

，当

)3,23

[x

时，函数x

C 8的值域是

A ．]

28,3

16[

B.

)

56,3

16[

C.

]56,28[)

328,4( D.]

28,328(

]3

16,

4(解：

当

223x 时，1]

[x ，x

C x

88

]316,

4(，当32

x

时，2]

[x ,

]

28,3

28(

)

1(568

x x C x ，于是答 D.

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可

推选代表人数

y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数

[]([]y x x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ B ）

A ．

[

]

10

x y

B ．

3

[

]

10

x y C ．

4[]

10x y

D ．

5

[

]

10

x y 11.定义：若[x]表示不超过x 的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x ）表示表示不小于x 的最小整数，则称函数y=

（x ）为“上取整”函数，例如

[1.5]=1，(―2.3)= ―2,,(2.9)=3.

试用适当的符号表示如下的函数关系式：○1某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满

300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值

x 元，

而他实际付款是

y 元，试建立y 关于x 的函数关系式。

○

2一顾客拿着某超市的足够多的面值是

20元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为

x 元的物品，全部

用抵押劵支付，共付了y 张，试建立y 关于x 的函数表达式。

解

○

10,300

100

x

x x y ,

○

20,20

x

x y

.

12.已知函数

1)3()

(2

x m mx

x f 的图像与

x 轴的交点至少有一个在原点的右边.

（1）求实数m 的范围；