北师大版数学选修1-1教案：第3章-导数与函数的单调性-参考教案【1】

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高中数学选修1-1教学设计-函数的单调性与导数

3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与导数阅读教材P89～P90“思考”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )(4)在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在此区间上单调递增的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]求函数的单调区间求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x ；(3)f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0).【导学号：97792043】【精彩点拨】在定义域内解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，确定单调区间.【自主解答】 (1)函数的定义域为R ， ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＞0，解得x ＞1或x ＜13.因此f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞).令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33.又x ＞0，∴x ＞33；令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0，解得x ＜－33或0＜x ＜33，又x ＞0，∴0＜x ＜33.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax.①当a ＞0时，f ′(x )＝x ＋ax ＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a ＜0时，由f ′(x )＝x ＋a x ＞0，得x ＞－a ；由f ′(x )＝x ＋a x＜0，得0＜x ＜－a ，所以当a ＜0时，函数的单调递增区间是()－a ，＋∞，单调递减区间是(0，－a ).综上，当a ＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a ).利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集.如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f ′(x )＝0，其余点恒有f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)，则f (x )仍为增函数(减函数).[再练一题]1.(1)函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13(2)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________.【解析】 (1)y ′＝3x 2－2x －1，令y ′>0，得x <－13或x >1，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞).(2)令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π函数与导函数的图象已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图331所示，则f (x )的图象只可能是( )图331【精彩点拨】观察导函数图象→f x ＞0时f x 递增f x ＜0时f x 递减→|fx较大小f x 变化较快慢→得正确选项【自主解答】由导函数图象知，在[a ，b ]上，f ′(x )＞0.故f (x )在[a ，b ]上单调递增，又在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上，|f ′(x )|越来越大，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上增长越来越快；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上，|f ′(x )|越来越小，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上增长越来越慢，故选D.【答案】 D研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[再练一题]2.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图332所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )【导学号：97792044】图332【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确.【答案】 D[探究共研型]已知函数单调性求参数取值范围探究1 在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？【提示】不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件.探究2 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？【提示】函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0且f′(x)不恒为0单调递减f′(x)≤0且f′(x)不恒为0常函数f′(x)＝0已知函数f(x)＝x3－ax－1，(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值.【精彩点拨】(1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围；(2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值.【自主解答】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.(2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件.②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. ∴3a 3＝1，即a ＝3.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路1.将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.2.先令f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.[再练一题]3.(1)若函数f (x )＝x 2－a x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.a ＞－2B.a ≥－2C.a ≤－2D.a ＜－2【解析】 f ′(x )＝2x ＋ax 2.令f ′(x )≥0，即2x ＋ax2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2， ∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.故选B. 【答案】 B(2)若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围. 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可.则⎩⎨⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，0－12a ≤0，所以a ＞0.综上，a ≥0.1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝－x 2 B.y ＝x e x C.y ＝x 2－xD.y ＝－x ＋ln x【解析】对于y ＝x e x ，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0， ∴y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数. 【答案】 B2.已知二次函数f (x )的图象如图333所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )图333【解析】根据图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)，则f ′(x )＝2ax (a <0).故选B. 【答案】 B3.函数f (x )＝(x －1)e x 的单调递增区间是________. 【解析】 f ′(x )＝(x －1)′e x ＋(x －1)(e x )′＝x e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞0，故f (x )的增区间为(0，＋∞). 【答案】 (0，＋∞)4.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是_______.【导学号：97792045】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知f (x )在R 上单调递增，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.【答案】m≥1 35.设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解】对f(x)求导得f′(x)＝e x 1＋ax2－2ax＋ax22，若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.即a的取值范围为(0,1].。

高中数学新北师大版精品教案《1.1导数与函数的单调性》1

1.3.1函数的单调性与导数出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？（师在黑板上画出函数图像）师赞同学生2的说法，强调定义域。

师：还有其他方法吗？师：的确，定义是解决问题的最根本方法，同学们不要瞧不起定义啊！并简略回顾其步骤，但定义法较繁琐。

问题2 （幻灯片2）试确定函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间。

师：你能画出该函数的图像吗？定义法又太繁，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数 t ∈(0,0.66) h(t)单调递增 t ∈(0.66,2.24) h(t)单调递减要注意函数的定义域学生思考，并积极举手发言学生3：利用函数的单调性定义学生陷入沉思？？？由问题2 的提出发现这两种方法的局限性与缺点，产生认知冲突。

产生探究新方法的求知欲，引入新课。

Ⅱ、探究新知问题 3 仍以函数h(t)=－4.9t 2＋6.5t ＋10为例来考察单调性与导数有什么关系。

下面请结合函数的图像与导数来研究。

师生共同总结，教师板书： t ∈(0,0.66) h(t)单调递增探究活动1学生根据函数的图像，探索研究单调性与导数的关系。

学生3回答（略）⒈ 从旧知中探究发现新知。

⒉ 让学生体会，如何研究一个新问题。

并会在以后的学习中尝试运用。

体会数形结合思想的0.66 2.24yxh(t)试画出函数f(x)的图像的大致形状。

教师投影若干学生的作业情况。

并和学生共同分析。

注：“临界点”例 2 用导数研究高台跳水的函数h(t)=－4.9t 2＋6.5t ＋10 的单调性注：①教师带领学生完成，并与前面图像法对比。

②强调定义域；③作出导函数h’(t)的图像与h(t)的图像作对比。

例3 试确定函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间。

教师给与规范的板书。

（略）注：强调步骤的完整性，最后要下结论。

问题6：反思你有算法意识吗？你能归纳出用导数求函数单调区f(x)学生跟随老师，学会如何用导数求函数单调区间学生尝试解决。

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章导数的概念及其几何意义参考教案

3.2 导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( )A.0>aB.0≥aC.a<0D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是（）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根 4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: q x () = -2⋅cos x ()- 2 - ②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数与函数的单调性-参考课件(1)

例题讲解
例 1求函数f ( x) 2x3 3x 2 36x 16 的函数导数的符号有关,因此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间. 解 :由导数公式表和求导法则可得:
f ( x) 6 x 6 x 36 6( x 2)(x 3). 当x (,2)或者x (3,)时, f ( x) 0,因此,
y
40
20
3 2 O x
f ( x) 2x3 3x 2 36x 16
方法归纳由导数来求函数的单调区间步骤: 1,先求出函数的导函数. 2,由导函数得到相应的不等式. 3,由不等式得相应的单调区间.
课堂练习
2 1,确定函数 f ( x ) x 2 x 4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
令 6 x 2 12 x 0，解得 x 2或 x 0， f ( x )是增函数；因此，当 x (,0) 时，
f ( x )是增函数；当 x (2,) 时，
再令 6 x 2 12 x 0 ，解得 0 x 2 ，因此， f ( x )是减函数；当 x (0,2)时，
判断函数 f ( x) x 4x 3 的单调性
2
解(定义法）：设 x1 x2 则 2 2 f(x1 ) f(x2 ) x1 4 x1 x2 4 x2
y
图象法
Y
10
8
x1 x2
(x1 x2 )(x1 x2 4 )
6
4
2
X
O
5 10
当x1 x2 2时，f ( x1 ) f ( x2 ) 当x2 x1 2时，f ( x1 ) f ( x2 ) 函数f ( x)在(2,)上单调递增在， 2上单调递减

陕西省西安市田家炳中学高中数学《导数与函数的单调性》导学案北师大版选修1-1

陕西省西安市田家炳中学高中数学北师大版选修1-1《411导数与函数的单调性》导学案【教学目标】1.使学生了解函数单调性与导数的关系。

2.能利用导数研究函数的单调性，并利用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。

【重点、难点】重点：利用函数求导的方法判定函数的单调性。

难点：函数单调性与导数的关系。

【学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3、预习p79-p81,【自主探究】1、如果在某个区间(,)a b 内，函数()y f x =的导数()0f x '>，则在这个区间上，函数()y f x =是—————，这个区间(,)a b 称为函数()y f x =的—————。

2、如果在某个区间(,)a b 内，函数()y f x =的导数()0f x '<，则在这个区间上，函数()y f x =是—————，这个区间(,)a b 称为函数()y f x =的—————。

小结；函数的单调性与导数值的—————有关。

【合作探究】利用函数单调性与导数的关系求下列函数的单调区间。

1，()21f x x =+ 2，2()23f x x x =++3，32()233616f x x x x =--+ 4，()ln f x x x =小结；求函数单调性的步骤：2, 证明函数1()f x x x =+在区间(0,1) 是减函数，在区间(1,) + ∞是增函数。

【能力提升】1, 在区间(,)a b 内， ()0f x '>，是()f x 在(,)a b 内单调递增的 ( )A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件 D, 既不充分也不必要1，若函数3()f x ax x =+在区间[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围，本节小结：———————————————————————————————————————。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 1.1导数与函数的单调性》1

§ 函数的单调性与导数撰稿人：杨静荣高非审稿人：高二数学备课组授课人：__________授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________【学习目标】1知识与技能：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2过程与方法：了解导数的实际背景，能利用导数定义和导数公式解决函数单调性问题。

3情感态度与价值观：以实际问题为背景，让学生经历解决问题的过程，培养学生的兴趣。

【重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【方向探究】问题：图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而（），即()h t 是（）函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而（），即()h t 是（）函数．相应地，'()()0v t h t =<．【自主探究】阅读课本57页回答教学案相关问题探究1：函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系探究2：如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．（图）在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递（）；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递（）．【合作探究】小组合作讨论完成课本58页例题一并总结求函数单调性的步骤（时间3分钟）求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．【运用探究】1课本59页练习第一二三学习小组完成（时间3分钟）2优化设计25页探究一例题一第四五学习小组完成（时间2分钟）3变式训练一，二第六七八学习小组完成（时间3分钟）4第九学习小组同学负责上述纠正同学的步骤答案如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．【延伸探究】2021年天津理科：设函数f=（-13-a-b 讨论函数的单调区间【师生反思】1一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．2在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．。

北师大版数学高一北师大版选修1-1教案 3.3 计算导数2

3.3 计算导数教学过程：一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆5.函数()y f x==因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以lim x y ∆→'=推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx -'=注:这里n 可以是全体实数. 6. 基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '=⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺ '=由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章导数的四则运算法则参考教案__2

3.4 导数的四则运算法则教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→，从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 1.1导数与函数的单调性》59

导数与函数的单调性教学设计教学目标：1知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

2能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

3情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程：一、回顾与思考提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。

） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数：我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。

这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达32()233616f x x x x =--+借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已经学过）。

让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。

老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。

（该回答很切入本节课的教学重点）。

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章导数应用参考教案

复习总结：导数应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a xx log ,ln ,,,cos ,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x在x=x 0处的导数解)())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x=[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数. 解y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x）的解析式解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+ ∴b=0，d=0.②∴f （x ）=ax 4+cx2∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④由③④得a=25，c=29-∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性

1.1 导数与函数的单调性班级_________ 姓名____________【学习目标】：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【重点难点】重点：了解数学归纳法的原理 ,数学归纳法证明基本步骤难点：应用2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【自主检测】1：用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有，那么函数f(x)就是区间I上的函数. 2：常用导数公式C=；()'n x=；(sin)'x=；(cos)'x=；'x=；(log)'(ln)'x=；()'x e=；()'x a=；a【知识点拔】1.函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()=y f x=的切线的斜率就是函数()y f x的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为函数.2.一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间内为常数函数3.用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f (x )的定义域；求函数f (x )的导数f ′(x ).（2）令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【经典体验】例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）2()24f x x x =-+；（2）()x f x e x =-；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+.例2. 设函数f (x x 3a x 2ax ，其中a ∈R.若f (x )在∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。

高中数学北师大版选修1-1教案：第3章导数与函数的单

导数与函数的单调性一、学习目标1．会从几何直观探索并了解函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力.二、学习重、难点灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方式．三、学习进程1．温习增函数、减函数的概念：一般地，设函数y=)(x f 的概念域为A ，若是对于概念域A 内某个区间I 上的任意两个自变量的值21x x 、，当21x x <时，（1）若都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间I 上是（2）若都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间I 上是2．函数的单调性与导数的关系（1）设函数y=)(x f ，若在某区间上恒有0)(>'x f ，则)(x f 为该区间上的函数，若在某区间上恒有0)(<'x f ，则)(x f 为该区间上的函数，若是在某区间恒有0)('=x f ，那么)(x f 在该区间为常值函数.即由0)(>'x f 得函数y=)(x f 的单调区间，由0)(<'x f 得函数y=)(x f 的单调区间.（2）若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递增⇒ ；若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递减⇒ .例1．肯定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数.例2．求32287y x x =-+的单调区间.例3．肯定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.变式：讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．1、当堂反馈1．肯定下列函数的单调区间：（1）3)(x x x f -= （2）31232)(23+-+=x x x x f（3）x x x f cos sin )(+= （4）)3()(2-=x x x f2．证明：x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数.五、小结反思。

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计高二数学《导数与函数的单调性》教学设计【题】导数与函数的单调性【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1【教材分析】“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中程标准实验教科书数学选修1－1第四《导数应用》第一节的内容。

本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像判断函数的单调性，通过本节学习，利用导数判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。

高中数学北师大版选修1-1教案-1.1导数与函数的单调性_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
•1.理解导数与函数的单调性的关系,能用导数法确定函数的单调性;
•2.熟练掌握求可导函数单调区间的导数法;
•3.能灵活运用它们解决有关的问题.
2. 教学重点/难点
•1.理解导数与函数的单调性的关系,能用导数法确定函数的单调性;
•2.熟练掌握求可导函数单调区间的导数法;
•3.能灵活运用它们解决有关的问题.
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
知识归纳
1．用导数确定函数的单调性的定义:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内
y’>0,那么函数y=f(x) 为在这个区间内的增函数;如果在这个区间内y’<0,那么函数y=f(x)为在这个区间内的减函数.
2利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
归纳总结：利用导数讨论函数单调性时应注意以下几点:
1.首先确定函数的定义域;
2.在划分取间时,除了确定使f’(x)=0的点外,
还要注意定义区间的不连续点或不可导点; 3.注意在某一区间内f’(x)>0
或f’(x)<0是函数在该区间内为增或减函数的充分条件; 4.若y=f(x)在
(a,b)内可导,f’(x)≥0或f’(x)≤0且y=f(x)在(a,b)内使f’(x)=0的点仅有有
限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数. 课堂作业：
热身：（第83课时）：2；
作业：1，5，6，（选）9.
教学后记：。

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章疑难解析：导数概念

有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。

函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。

如果0lim →∆x xy ∆∆不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →∆x x y ∆∆存在，则称此极限值为函数在该点的导数。

2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件：①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→∆0lim x x y ∆∆及其右极限+→∆0lim x x y ∆∆都存在；③-→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x xy ∆∆，即左右极限相等。

三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。

3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： ①．函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '．③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．5．导数与连续的关系：若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问题．例1 求证：若函数在点x 0处可导，则函数)(x f 在点x 0处连续．证明：∵函数)(x f 在点x 0处可导，∴在点x 0处有： 0lim x x →[)(x f －)(0x f ] =0lim →∆x y ∆=0lim →∆x (x y ∆∆·x ∆) =0lim →∆x x y ∆∆·0lim →∆x x ∆=)(0x f '·0 = 0， ∴0lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处连续．例2 求证：函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在x 0处不可导．证明：∵①)0(f = 0；②-→∆0lim x | x | =+→∆0lim x | x | =0lim →∆x | x | = 0 ；③0lim →∆x )(x f =)0(f ． ∴)(x f = | x |在点x 0= 0处连续．① 又∵函数)(x f = | x |在点x 0= 0及其附近有意义； ②x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00=x f x f ∆-∆+)0()0(=x x f ∆∆)(=x x ∆∆||=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆-∆=∆∆0.10,1＜x xx x ＞x x ； ③-→∆0lim x xy ∆∆=－1，+→∆0lim x x y ∆∆=1，即0lim →∆x x y ∆∆不存在，所以)(x f = | x |在点x 0= 0处不可导．综上所述，函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在在x 0处不可导．综上，函数y =)(x f 在点x 0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：)(x f 在点x 0处有定义，不一定在x 0处连续；但)(x f 在点x 0处连续，一定在点x 0处有定义，即)(x f 在点x 0处有定义是)(x f 在点x 0处连续的必要而不充分的条件。