10-第十章-分式-七年级(上)-知识点汇总-沪教版
沪教版七年级上册 10.1 分式的意义与性质 讲义
分式的意义与性质【知识要点】1．分式的概念：两个整式A 、B 相除，即B A ÷时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.注：分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；2．分式有意义：分母不等于零3．分式的值：分式的分母不等于零，且分子等于零时，分式的值为零.4．分式的基本性质（初步约分）：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 5. 约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。
6. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.7. 代入计算方法（初步求值）【典型例题】例1 判断下列各式，哪些是分式？（1）x 1，（2）21，（3）212+x ，（4）πxy 3，（5）m a 1+，（6）b a 5132-，（7）b a ÷ 例2 （1）x 为何值时，下列分式有意义．（2）x 为何值时，下列分式没有意义.例3 （1）x 为何值时，下列分式的值为零．（2）求满足条件的x 的值．①分式224534x x x x -+-+的值为1； ②分式221x x -+的值为负数； （3）若23+x 的值为整数，求x 的整数值； 例4 （1）填空：22222()()22,2y a ab b xy a b xy a b +-==+-；（2）当x 、y 满足关系式 时，分式3()5()x y x y --的值等于35； （3）若x 、y 同时扩大2倍，则下列分式的值的变化情况为：例5 （1）a 为何值时，下列等式成立：（2）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数．例6 （1）化简下列分式：（2）求下列分式的值： ①12122++-x x x ，其中2005=x ； ②2224200833,1100322a b a b a b -=⎧⎨=-⎩-其中； 例7 （1）已知2=y x ，求22222y x xy y x -++的值； 【大展身手】一．选择题：1. 如果分式063=+-yx y x ，那么x ，y 应满足（ ） A. y x 2= B.y x -≠ C. y x y x -≠=且2 D. 02≠=y y x 且2. 若分式1122++x x 无意义，则（ ）A. 1=xB. 1-=xC. 11-==x x 或D.没有这样的有理数3. 下列分式a c b 4122、x y y x ++2)(5、)(322b a b a ++、b a b a --2422、a b b a --中，最简分式的个数是（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．下列等式成立的是（ ）其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。
沪教版数学七年级上册第10章第1节《分式的意义》教学设计
沪教版数学七年级上册第10章第1节《分式的意义》教学设计一. 教材分析《分式的意义》是沪教版数学七年级上册第10章第1节的内容。
本节内容主要让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算方法。
通过本节的学习，为学生进一步学习分式方程和分式函数打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究分式的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数、整式等基础知识，对数学运算有一定的掌握。
但学生对分式的理解可能还存在一定的困难，因此需要在教学中引导学生从实际问题出发，感受分式的意义，逐步培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
2.会进行分式的化简和运算。
3.能够运用分式解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：分式的概念，分式的基本性质和运算方法。
2.难点：分式的化简和运算，分式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置富有挑战性的问题，引导学生独立思考，培养学生的问题解决能力。
同时，通过案例分析和小组讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备PPT课件，用于辅助教学。
3.准备练习题和测试题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出分式的概念，例如：“甲、乙两人比赛，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑150米，请问甲每分钟比乙多跑多少米？”让学生感受分式的意义。
2.呈现（10分钟）呈现分式的定义和基本性质，通过PPT课件展示分式的表达形式，并用动画演示分式的化简过程。
同时，引导学生总结分式的基本性质，如分母不为零、分式的值等于分子除以分母等。
3.操练（10分钟）让学生进行分式的化简和运算练习，教师给予指导。
可设置一些具有挑战性的题目，让学生独立解决。
沪教版(上海)-初中数学七年级、八年级、九年级数学全册章节知识点结构思维导图集
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第二十六章 二次函数的章节知识点结构思维导图 第二十七章 圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
- 15 -
第二十八章 统计初步的章节知识点结构思维导图
- 16 -
-7-
第十四章 三角形的章节知识点结构思维导图 第十五章 平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
-8-
上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图 共八个章节
第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图
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第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
- 10 -
第十八章 正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图 第十九章 几何证明的章节知识点结构思维导图
-3-
第七章 线段与角的画法的章节知识点结构思维导图 第八章 长方体的再认识的章节知识点结构思维导图
-4-
上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图 共七章
第九章 整式的章节知识点结构思维导图
-5-
第十章 分式的章节知识点结构思维导图 第十一章 图形的运动的章节知识点结构思维导图
-6-
第十二章 实数的章节知识点结构思维导图 第十三章 相交线 平行线的章节知识点结构思维导图
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第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图 第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
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第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图 第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
- 13 -
上海市（沪教版）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年级数学全册章节思维导图 共五章
第二十四章 相似三角形的章节知识点结构思维导图
上海市（沪教版）初中数学全册思维导图集 共二十八章
10-第十章-分式-七年级(上)-知识点汇总-沪教版
第十章 分 式10.1 分式的意义1、 两个整式A/B 相除，即A÷B 时，可以表示为A / B 。
如果B 中含有字母，那么A / B 叫做分式。
A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母2、 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义10.2 分式的基本性质1、 整式和分式统称为有理式：即有理式2、 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为： A / B = A * C / B * C A / B = A ÷ C / B ÷ C（A 、B 、C 为整式，且B 、C ≠ 0 ）3、 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分4、 分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去注：公因式的提取方法：系数取分子和分母共有的系数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式5、 一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式6、 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分7、 分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子8、 最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的及单独字母的幂的乘积9、 注：(1) 约分和通分的依据都是分式的基本性质(2) 分式的约分和通分都是互逆运算过程10.3 分式的运算1、 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a / b * c / d = a c / b d2、 分式的除法法则1) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：a/b÷c/d=ad/bc2) 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数a/b÷c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关整式 分式键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
10.1分式的概念-沪教版(上海)七年级数学上册课件
的值为零？
分析：分式
A B
,当A=0,且B≠0
分式值为零．
解：由题意得：分子2x+1=0,
得
x
1
2,
当 x 12时, 分母3x-1 ≠0.
∴当x=
1 2
时,分式
2x 3x
1 1
的值为零.
活动5
探究新知3
【做一做】
y4
当y取何值时,分式 2 y 3 的值为零？
解：由题意,得分子y-4=0, y=4,
当ｘ是什么数时，分式
,即
x
1 3
时,分式
【议一议】 当m取什么值时,分式
1 有意义. m2 1
x2 5x 1 有意义. 3x 1
分析：∵ m2 0 ∴ m2 1 0
∴ m取任意数值时,分式恒有意义.
例题分析：
例、当y是什么值时，分式 y 3的值是0？
y3
分析：分式的值为0需满足的条件是分子的值为0且
分母的值不为0。
学习目标
了解分式的概念，明确分式与整式的区别。
能用分式表示现实情境中的数量关系， 体会分式的模型思想，进一步发展符号感。
了解分式的形式，并理解分式概念中的一
重点：个特点：分母中含有字母；一个要求：字
母的取值限制于使分母的值不得为0。
难点： 求一个分式有意义的条件。
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另 一边长为____32____米； (2)面积为s平方米的长方形一边长a米,则它的另 一边长为____as____米； (3)一箱苹果售价p元，总重m千克,箱重n千克.则 每千克苹果的售价是__m_－_p_n__元.
A B
为整式.
2.余下，的代数式为何不是整式？有何特征？
上海数学七年级上知识点
上海数学七年级上知识点注意：斜体为易错点、划线为难点、其余为重点第九章整式知识梳理一、代数式的有关概念（1）代数式的分类单项式代数式整式多项式分式（2）整式：没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式。
二、同类项、合并同类项所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
三、去括号及添括号（1）去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项都改变符号。
（2）添括号法则：添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是“-”，括到括号里的各项都改变符号。
四、整式的运算（1）数的运算律对代数式同样适用。
（2）整式的加减：整式的加减法实际上就是合并同类项，遇到括号，一般要先去掉括号，去括号的方法是：（3）幂的运算法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：（m、n都是整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：（m、n都是整数）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即（n都是整数）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即（都为整数）（4）整式的乘法单项式及单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式及多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即多项式及多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即（5）乘法公式平方差公式两个数的和及这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即：完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它的平方和加上（或者减去）它们积的2倍，即：五、因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
沪教版初中数学教材各章节
沪教版初中数学教材各章节六年级(第一学期)第一章数的整除第二章分数第三章比和比例第四章圆和扇形第二学期第五章有理数第六章一次方程（组）和一次不等式（组）第七章线段和角的画法第八章长方体的再认识七年级（第一学期）第九章整式第十章分式第十一章图形的运动第二学期第十二章实数第十三章相交线平行线第十四章三角形第十五章平面直角坐标系八年级（第一学期）第十六章二次根式第十七章一元一次方程第十八章正比例函数和反比例函数第十九章几何证明第二学期第二十章一次函数第二十一章代数方程第二十二章四边形第二十三章概率初步九年级（第一学期）第二十四章相似三角形第二十五章锐角的三角比第二十六章二次函数第二学期第二十七章圆和正多变形第二十八章统计初步沪教版初中数学教材各章节六年级(第一学期)第一章数的整除第一节整数和整除1.1 整数和整除的意义1.2 因数和倍数1.3 能被2，5整除的数第二节分解质因数1.4素数，合数与分解质因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第二章分数第一节分数的意义和性质2.1 分数与除数2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较第二节分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化2.8 分数，小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例第一节比和比例3.1 比的意义3.2比的基本性质3.3比例第二节百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形第一节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第二节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积六年级第二学期第五章有理数第一节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3 绝对值第二节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10 科学计算法第六章一次方程（组）和一次不等式（组）第一节方程和方程的解6.1 列方程6.2 方程的解第二节一元一次方程6.3一元一次方程及其解法6.4 一元一次方程的应用第三节一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6一元一次不等式的解法6.7一元一次不等式组第四节一次方程组6.8二元一次方程6.9二元一次方程组及其解法6.10三元一次方程组及其解法6.11一次方程组的应用第七章线段与角的画法第一节线段的相等与和，差，被，倍、7.1线段的大小的比较7.2 画线段的和，差，倍第二节角7.3 角的概念与表示7.4 角的大小的比较，画相等的角7.5 画角的和，差，倍7.6 余角，补角第八章长方体的再认识第一节长方体的元素第二节长方体直观图的画法第三节长方体棱与棱位置关系的认识第四节长方体中棱与平面位置关系的认识第五节长方体中平面与平面关系的认识七年级第一学期第九章整式第一节整式的概念9.1 字母表示数9.2 代数式9.3 代数式的值9.4 整式第二节整式的加减9.5 合并同类项9.6 整式的加减第三节整式的乘法9.7 同底数幂的乘法9.8 积的乘方9.9 幂的乘方9.10 整式的乘法第四节乘法公式9.11 平方差公式9.12 完全平方公式第五节因式分解9.13 提取公因式法9.14 公式法9.15 十字相乘法9.16 分组分解法第六节整式的除法9.17 单项式除以单项式9.18 同底数幂的除法9.19 多项式除以单项式第十章分式第一节分式10.1 分式的意义10.2 分式的基本性质第二节分式的运算10.3 分式的乘除10.4 分式的加减10.5 可化为一元一次方程的分式方程10.6 整数指数幂及其运算第十一章图形的运动第一节图形的平移11.1 平移第二节图形的旋转11.2 旋转11.3 旋转对称图形与中心对称图形11.4 中心对称第三节图形的翻折11.5 翻折与轴对称图形11.6 轴对称七年级第二学期第十二章实数第一节实数的概念12.1 实数的概念第二节数的开方12.2 平方根和开平方12.3 立方根和开立方12.4 n次方根第三节实数的运算12.5 用数轴上的点表示数12.6 实数的运算第四节分数指数幂12.7 分数指数幂第十三章相交线平行线第一节相交线13.1 邻补角、对顶角13.2 垂线13.3 同位角、内错角、同旁内角第二节平行线13.4 平行线的判定13.5 平行线的性质第十四章三角形第一节三角形的有关概念与性质14.1 三角形的有关概念14.2 三角形的内角和第二节全等三角形14.3 全等三角形的概念与性质14.4 全等三角形的判定第三节等腰三角形14.5 等腰三角形的性质14.6 等腰三角形的判定14.7 等边三角形第十五章平面直角坐标系第一节平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系第二节直角坐标平面内点运动直角坐标平面内点运动八年级第一学期第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式第二节二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程第一节一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念第二节一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程的判别式第三节一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数第一节正比例函数18.1 函数的概念18.2 正比例函数第二节反比例函数18.3 反比例函数第三节函数的表示法18.4 函数的表示法第十九章几何证明第一节几何证明19.1 命题和证明19.2 证明举例第二节线段的垂直平分线与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5 角的平分线19.6 轨迹第三节直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级第二学期第二十章一次函数第一节一次函数的概念20.1 一次函数的概念第二节一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质第三节一次函数的应用20.4 一次函数的应用阅读材料直线型经验公式第二十一章代数方程第一节整式方程21.1 一元整式方程21.2 二项方程第二节分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程第三节无理方程21.4 无理方程第四节二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法第五节列方程（组）解应用题21.7 列方程（组）解应用题阅读材料一些特殊的一元高次方程的解法第二十二章四边形第一节多边形22.1 多边形第二节平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形第三节梯形22.4 梯形22.5 等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线第四节平面向量及其加减运算22.7 平面向量22.8 平面向量的加法22.9 平面向量的减法阅读材料用向量方法证明几何问题第二十三章概率初步第一节事件及其发生的可能性23.1 确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性第二节事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例探究活动杨辉三角与路径问题九年级第一学期第二十四章相似三角形第一节相似形24.1 放缩与相似形第二节比例线段24.2 比例线段24.3 三角形一边的平行线第三节相似三角形24.4 相似三角形的判定24.5 相似三角形的性质第四节平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘24.7 平面向量的分解第二十五章锐角的三角比第一节锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义25.2 求锐角的三角比的值第二节解直角三角形25.3 解直角三角形25.4 解直角三角形的应用九年级第二学期第二十六章二次函数第一节二次函数的概念26.1 二次函数的概念第二节二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像26.3 二次函数的图像第二十七章圆和正多边形第一节圆的基本性质27.1 圆的确定27.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系第二节直线与圆，圆与圆的位置关系27.4 直线与圆的位置关系27.5 圆与圆的位置关系第三节正多边形与圆27.6 正多边形与圆第二十八章统计初步第一节统计的含义28.1 数据的整理与表示28.2 统计的意义第二节基本的统计量28.3 表示一组数据平均水平的量28.4 表示一组数据波动程度的量28.5 表示一组数据分布的量28.6 统计实习（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
沪教版(上海)七年级第一学期第十章《分式的意义与基本性质》知识点与练习
（4）xn4x2n43xn82 x21n 6xn（5）xn4x2n43xn82 x21n 6xn（6）x2n13 0x62nxn340 9x3
xn xn
2 3
5xn 10 xn2 3x2
【解析】
（1） 3m ；（2） x 2 y ；（3） a b c ；（4） xn (x 2) ；（5） xn (x 2) ；（6） 2
② a3 a2 5 3 a2 a3
⑶下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。
① x2 4x 4 x2 4
② 3aa b6 4b a3
③ x2 y2 y2
④ x2 2x 1 2x2 8x 8
【解析】（1）① 103x 2 y ② 9x 8y ； 320x 50 y 4x 30 y
是或的意义，
是且的意义）
② x2 y2 0 ，故 x 0 或者 y 0 ； ③ x2 2x 8 (x 4)(x 2) 0 ，即 x 4 且 x 2 ；
结果.
④ m2 1 0 ，即 m 为任何实数； ⑤ x 3 0 ，即 x 3 ⑥ x 2 且 x 3 当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的
m3
x 2y
abc
x2 2x 4
x2 2x 4
x
【例 6】⑴不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
① 1.03x 0.02y 3.2x 0.5y
3x 2 y ②4 3
1x 5 y 32
⑵不改变分式的值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：
① a 1 ； a2 2
⑵由题意可知
5
x
x 3
0 0
或者
5 x
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沪教版(上海)七年级第一学期10.2《分式运算》知识点与练习
基本运算：分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c±±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算。
结果以最简形式存在。
【例1】计算：（1）222934m m m m +-⋅-- （2）2342()()()b a ba b a -⋅-÷-（3）32231(4)()2mn m n ---÷- 【解析】（1）32m m +- （2）58a b - ⑶49128m n -【例2】（1）222256712228x x x x x x x x -+-+÷----（2）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+-（3）32322423()(1)2111x x x xx x x x x --÷-÷+-++分式运算例题讲解知识要点【解析】（1）21x x ++ （2）22x -- （3）23x -【例3】（1）2222135333x x x x xx x x +--+-++++ （2） 222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+- （3）222424444254a a a a a a a -++-+--+ 【解析】（1）2 （2）1 （3）1【例4】（1）2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++ （2）422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+（3）()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++- （4）abbc ac c ba ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 （5）abbc ac c ba c ac bc ab b ac b bc ac ab a c b a +----++----++----222222( a ，b ，c 都不相等) 【解析】（1）22(1)(1)a a +-- （2）1 （3）a b c a b--+ （4）2c a - （5）0 【例5】计算： （1）1122x y x y ------（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++ 【解析】（1）xyy x+（2）337 【例6】（1）求代数式22135624816x x x x x x x x ++++÷⋅++++的值，其中3x = （2）先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =。
沪教版七年级上册的知识点总结
沪教版七年级上册的知识点总结第九章整式第一节整式的概念9.1 字母表示数字母可以表示任意的数或符合某种条件的数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。
在省略乘号时，要把数字写在字母前面，×用•来代替。
例如：2×a写成2a，除法运算要用分数线来表示。
例如：C÷2r要写成。
9.2 代数式用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
例如：a。
等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式。
9.3 代数式的值代数式的值是用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果。
需要注意的是，如果代数式中省略乘号，代入后要添上“×”。
如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。
如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号。
如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。
例如某班有a人，则a必须是正整数。
求代数式的值的步骤是：代入数值，计算出结果。
9.4 整式一、单项式单项式是由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。
例如：a、4a、2ab。
单项式的系数是指单项式中的数字因数。
圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数。
当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，例如1x2y写成x2y。
单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和。
需要注意的是，没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；不能将数字的指数一同计算。
二、多项式多项式是几个单项式的和。
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
需要注意的是，多项式的每一项包括它前面的符号。
一、多项式的基本概念一个多项式含有几项，就称为几项式，例如6x^2-2x-7是一个三项式。
多项式里次数最高项的次数，称为这个多项式的次数（不是所有项的次数之和）。
注意：一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。
沪教版七年级数学上册的知识点总结
实用文档沪教版七年级数学上册的知识点总结第九章整式第一节整式的概念9.1 字母表示数字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。
在省略乘号时，要把数字写在字母前面，×用•来代替。
例如，2×a 写成2a，除法运算要用分数线来表示。
例如，C÷2r要写成C/2r。
9.2 代数式代数式是由运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
例如，a。
等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式。
实用文档9.3 代数式的值代数式的值是用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果。
如果代数式中省略乘号，代入后要添上“×”。
如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。
例如，(C/2r)²。
如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号。
如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。
例如，某班有a人，则a必须是正整数。
求代数式的值的步骤：(1) 代入数值；(2) 计算出结果。
9.4 整式一、单项式单项式是由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。
例如，a。
单项式的系数是单项式中的数字因数。
例如，5m。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的实用文档次数。
例如，x²y³。
注意：单项式中不能含有加减运算。
如果分母中含有字母，也算单项式。
二、多项式多项式是由单项式相加或相减而成的代数式。
例如，3x²+2y-5.多项式中次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。
例如，2x³+5x²y-3xy²+4y³的次数是3.多项式是由几个单项式相加而成的代数式。
其中，每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。
多项式的次数是指最高次项的次数，而一个多项式中的最高次项可能不止一个。
沪教版七年级-第十章--分式的复习
总结:
知识点 2:分式有意义和无意义的条件
分式 A 有意义的条件是:分母 B≠0. B
分式 A 无意义的条件是:分母 B=0. B
注意:本章中若无特别说明,所遇到的分式都是有意义的.
[例 2]当 x 取何值时,下列分式有意义?
(1) 1 ; x 1
(2) x 1 ; x2 1
(3) 2x . x2 1
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2a _____________________, b ∴ c _____________________, ab x ____________________. 2ab
a ___________________________________, x y
[例 1](1) x 1, 2 的最简公分母是_____________,通分为_________________________.
3x 2
ax
(2) 3a , 1 的最简公分母是_____________,通分为_________________________.
2a b
b 2a
(3) a ,
[针对性练习 1] 在下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?
(1) b ; 2a
(2) 2a b ;
(3) x 1 ; 4x
(4) 1 xy x2 y . 2
[针对性练习 2] 当 x 取何值时,下列分式有意义?
(1) 8 ; x 1
(2) 1 ; x2 9
(3) x ; 2x 3
[针对性练习 3] 若分式 x 1 的值为零,则 x =________. x 1
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沪教版(五四制)七年级数学上册 第十章 分式方程的解法讲义【无答案】
分式方程的解法学生姓名授课日期 教师姓名授课时长知识定位1．理解分式方程的概念；2．学会解决分式方程；3．会用使用换元法解决分式方程；4．学会转化思想的运用．知识梳理1分式方程的定义：是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。
如：2312x x +=+．知识梳理2解分式方程的一般步骤：是通过去分母化为 整式方程 ，去分母的方法是方程各项同时乘以 最简公分母 验根是解分式方程必不可少的步骤，这是因为 在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根。
【试题来源】【题目】 指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别．①21=+x x ②275-=y y ③2132-=x x ④ab x b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212．【试题来源】【题目】2．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有 .①0432212=+-x x ②.4=a x③;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x .A.2个B.3个C.4个D.5个【试题来源】【题目】甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时，若设乙的速度为x 千米/小时，则可列出的方程为A ．2123030=--x x B ．2123030=+-x x C ．2130230=-+x x D ．2130230=--x x【试题来源】【题目】 某校学生进行急行军，预计行60千米的路程可在下午5点钟到达，后来由于每小时加快速度的51，结果于4点钟到达，这时的速度是多少？【试题来源】【题目】 解方程114112=---+x x x ．【试题来源】【题目】解分式方程：6122x x x +=-+【试题来源】【题目】若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =【试题来源】【题目】 甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作3天，剩下的由乙单独来做，那么再有1天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的2倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？习题演练【试题来源】【题目】m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？【试题来源】 【题目】解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413yx y x【试题来源】 【题目】解分式方程：13101x x x x --+=-【试题来源】【题目】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是4-，2235x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值．A B 0 4-【题目】解分式方程：163104245--+=--x x x x【试题来源】【题目】.解方程：12111x x x -=--．【试题来源】【题目】.A 、B 两地相距7千米，甲由A 地走向B 地，刚走完了1千米到达C ，在A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在D 处追上甲后又立即返回，当乙回到A 地时，甲正好到了B 地，求C 、D 间的距离.【试题来源】【题目】甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？【试题来源】 【题目】方程1111123x x x x -=-+--的解为1x =， 方程1111134x x x x -=----的解为x=2， 方程11111245x x x x -=-----的解为3x =，… 请写出能反映上述方程一般规律的方程，并直 接写出这个方程的解是 ．【试题来源】【题目】关于x 的方程xb a 111=+)0(≠+b a 的解为_________【题目】现有一项工程由甲乙两个工程队来做，若甲队先做10天，余下的由乙队单独完成还需30天；若甲队先做9天后，因故抽走甲队一半去做其它工作，剩下任务由乙队和甲队剩余人员合做18天完成。
沪教版七年级数学上-分式 讲义+练习
分式知识点1 分式的概念 一般的，形如ba（a 、b 是整式，且b 中含有字母，b ≠0）的式子叫做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。
（注意：分式的分母不能为零，其主要特征是分式的分母必须含有字母，而分子中含不含字母都可以） 知识点2 分式有意义和分式值为零的条件1、对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零，分式的分母表示除数，由于除数不能为零，所以分式的分母不能为零，即当b o 时，分式B A 才有意义；当b=0时，分式BA无意义。
2、由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要想分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零。
1、要有转化思想，新旧知识之间的转化，分式方程与整式方程的转化，分式的基本性质，分式的约分通分和小学学过的分数的基本性质，在实际学习的过程中注意体会这种转化思想、类比思想的应用。
2、在学习分式知识的过程中，注意题中的隐含条件，分式的值为零和有意义的条件。
3、“分式的值为零”和“分式无意义”有什么区别和联系？分子为零是分式的值为零的第一个条件，而分母不为零是分式的值为零的第二个条件。
也就是说，只有在分式有意义的条件下，才谈的上分式的值为零。
而当分式的分母为零时，“分式无意义”。
如果认为“分式的值为零，就是分式没有意义”或者“只要分子的值是零，分式的值就是零”，都是错误的。
师傅和徒弟要加工200个机器零件，如果师傅每小时可以加工a 个零件，而徒弟每小时比师傅少加工10个，那么由徒弟自己加工这200个零件需要几个小时呢？不难发现，徒弟1小时加工的零件个数是（a-10）个，那么加工200个零件所用时间为200÷（a-10）小时，即10200-a ，这个代数式表示什么？它有什么样的性质呢？这就是我们接下来将要学习的分式的内容。
1、判断下列各式，哪些是分式？哪些是整式？ （1）a 4 （2）152- （3）a 32-b 51 （4）y 3（5）2+x y （6）21-x （7）ba 2、对于分式42+x x 、24x x -、42+x x 、42-x x 、x x 24（1）当x 取什么值时，以上各分式无意义？（2）当x 取什么值时，以上各分式有意义？（3）当x 取什么值时，以上各分式的值为0？3、已知一箱苹果售价a 元，箱子与苹果总重量为m 千克，箱子重量为n 千克。
(完整版)沪教版七年级数学知识点总结
第九章整式第一节整式的概念9.1.2.3、字母表示数代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母也是代数式。
代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。
2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。
3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。
代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。
注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。
2、若带入的值是负数时，应添上括号。
3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。
9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
第二节9.6整式的加减：a-p= (a≠0,p是正整数) 任何一个不等零的数的-p(p是正整数)指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。
9.10整式的乘法：⑴单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
分式的概念沪教版七年级数学(上册)-【完整版】
要使分式无意义，只要将 分母的值取为零.
活动3
探究新知2
变式: 当x取何值时，下列分式有意义？
(1) x2 1 ；
2x
x5
(2) x 2
．
分析: 分式 A中分母B≠0 B
解：(1)当2x≠0,即x ≠ 0时,分式
分式 A 有意义
x2 1
B
2x 有意义.
x5
(2)当x+2≠0,即x ≠ -2时,分式 x 2有意义.
求代数式的值： 1.代入； 2.计算．
分式 A中分母B=0 B
分式 A 无意义 B
例题分析：
例、当x取什么值时，下列分式无意义？
（1）x 2 1 2x
（2）x 5 x2
如果分母为零，那 么分式无意义。
解：（1）如果2x 0，那么x 0
所以，当x 0时，分式 x2 1 无意义。 2x
（2）如果x+2=0,那么x=-2,所以，当x=-2时，此 分式无意义。 如果分母不为零，那么分式有意义。
分 式 的 概 念 -沪教版 七年级 数学上 册-精 品课件 ppt(实 用版)
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活动6
拓展提高
x y
2.对于分式 x 2.y
(1)使分式无意义的x,y有多少对？ (2)使分式有意义的x,y有多少对？x,y应有什么关系？ (3)如果x=1,那么y取何值时,分式无意义？ (4)如果当y=1,那么x取何值时,分式有意义？
-
n
≠ 0，即m≠n.
分 式 的 概 念 -沪教版 七年级 数学上 册-精 品课件 ppt(实 用版)
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上海数学七年级上知识点1
上海数学七年级上知识点注意：斜体为易错点、划线为难点、其余为重点第九章整式知识梳理一、代数式的有关概念（1）代数式的分类单项式代数式整式多项式分式（2）整式：没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式。
二、同类项、合并同类项所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
三、去括号与添括号（1）去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项都改变符号。
（2）添括号法则：添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是“-”，括到括号里的各项都改变符号。
四、整式的运算（1）数的运算律对代数式同样适用。
（2）整式的加减：整式的加减法实际上就是合并同类项，遇到括号，一般要先去掉括号，去括号的方法是：+(a+b−c)=a+b−c−(a+b−c)=−a−b+c（3）幂的运算法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：a m a n=a m+n（m、n都是整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：(a m)n=a mn（m、n都是整数）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)n= a n b n（n都是整数）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a m÷a n=a m−n（a≠0,m、n都为整数）（4）整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即m(a+b+c)=ma+mb+mc多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
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第十章 分 式
10.1 分式的意义
1、 两个整式A/B 相除，即A÷B 时，可以表示为A / B 。
如果B 中含有字母，那么A / B 叫
做分式。
A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母
2、 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义
10.2 分式的基本性质
1、 整式和分式统称为有理式：即有理式
2、 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为： A / B = A * C / B * C A / B = A ÷ C / B ÷ C
（A 、B 、C 为整式，且B 、C ≠ 0 ）
3、 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分
4、 分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去
（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母共有的系数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式
5、 一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分
式化为最简分式
6、 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分
7、 分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公
分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子
8、 最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的及单独字母的幂
的乘积
9、 注：(1) 约分和通分的依据都是分式的基本性质
(2) 分式的约分和通分都是互逆运算过程
10.3 分式的运算
1、 分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a / b * c / d = a c / b d
2、 分式的除法法则
1) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：a/b÷c/d=ad/bc
2) 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数a/b÷c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关
整式 分式
键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分
母叫做最简公分母。
10.4 分式的加减
1、同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：
a / c ±
b /
c = a ± b / c
2、异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母
分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a / b ± c / d = ad ± cb / bd
10.5 分式方程
1、分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2、分式方程的解法
1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程)
2)按解整式方程的步骤求出未知数的值
3)验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩
大了未知数的取值范围,可能产生增根)
10.6 整数指数幂及其运算
※内容整理
分
式分式的性质
分式运算
分式方程
约分
通分
乘除法
加减法。