中国石油大学(华东)__大学物理课后习题答案

2 x0 457.3 8 0 0 3 457.3m 3
（3） 质点沿 x 轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s，初位置为 457.3 m. 1-9 一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a 2 6 x ．物体在 x 0 处的速度为
10 m s ，求物体的速度与位置的关系．
第一章习题解答
1-3 一粒子按规律 x t 3 3t 2 9t 5 沿 x 轴运动，试分别求出该粒子沿 x 轴正向运动；沿 x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔． [解] 由运动方程 x t 3 3t 2 9t 5 可得 质点的速度 粒子的加速度 由式（1）可看出 由式（2）可看出
所以， t 时刻齿尖 P 的加速度为
2 a a t2 an b2
(v0 bt) 4 R2
1-17 火车在曲率半径 R＝400m 的圆弧轨道上行驶． 已知火车的切向加速度 a t 0.2 m s 2 ， 求火车的瞬时速率为 10 m s 时的法向加速度和加速度． [解] 火车的法向加速度 火车的总加速度
z ct
由（1） 、 （2）消去参数 t 得
x2 y2 r 2
此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动． 综上可知，质点绕 z 轴作螺旋线运动． （2） 由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度


x 2t
消去参数 t，可得轨道方程
y 2 t2
y 2
1 2 x 4
（2） 由速度、加速度定义式，有 v dr / dt 2i 2tj
a d 2 r / dt 2 2 j
将 t 2s 代入上两式，得
v 2i 4 j
a 2 j
1-7 已知质点的运动学方程为 x r cost ，y r sin t ，z ct ， 其中 r、 c 均为常量． 试 、 求： （1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式． [解] （1） 质点的运动方程 xrc o st y r sin t （1） （2） （3）
vA v0 cos a nA =g
2 vA
（1） （2）
A
联立上述三式得
an A
（3）
2 v0 cos 2 A g
物体在 B 点的速度设为 v B ，法向加速度为 a nB ，曲率半径为 B ，由题图显然有
v B v0 a nB g cos
7-5
（4） （5）
2 vB
ax
d2 x A 2 sin t 2 dt
ay
d2 y B 2 c o st 2 dt
7-1
所以加速度矢量为
a 2 A sin ti B costj 2 r
可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心． 1-6 质点的运动学方程为 r 2ti 2 t 2 j （SI） ， 试求： （1） 质点的轨道方程； （2） t 2s 时质点的速度和加速度． [解] （1） 由质点的运动方程，可得
1 2 bt ，其中 v 0 和 b 都是正常量．求 t 时刻齿尖 P 的速度及加速度的大小． 2
[解] 设时刻 t 齿尖 P 的速率为 v ，切向加速度 a t ，法向加速度 a n ，则
v
ds v0 bt dt dv at b dt v 2 (v0 bt) 2 an R R
x v
0
对上式两边积分
0 d x v
化简得
v dv v dv v0 kv a
1 v x ln k v0
v v0 e kx
所以
l-13 一粒子沿抛物线轨道 y x 2 运动，且知 vx 3 m s ．试求粒子在 x 速度． [解] 由粒子的轨道方程
2 m 处的速度和加 3
1-18 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置 2 4t 3 ． （1）在 t 2s 时，它的法 向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时， 值 为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等? [解] 质点的角速度 质点的线速度
an
v 2 102 0.25 m s 2 R 400
方向指向曲率中心
2 a an a t2 0.252 0.2 2 0.32 m s 2
7-6
设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为 ，则
arctan
an 0.25 arctan 51.340 510 20 at 0.2
1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 a g Bv ，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设 t 0 时物体的初速度为零． （1）试求物体的 速度随时间变化的关系式； （2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? [解] （1） 由 a
1-12 一艘正以速率 v0 匀速行驶的舰艇， 在发动机关闭之后匀减速行驶． 其加速度的大小与 速度的平方成正比，即 a kv 2 ， k 为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x 距离时 速度的大小． [解] 根据链式法则
a
dv dv d x dv v dt d x dt dx v d x dv a
a
dv dv d y dv v dt d y dt dy vdv ad y
对上式两边积分

即 故速度 v 与 y 的函数关系为
v v0
vdv

y y0
ad y

y y0
ky d y
1 2 v v02 1 k y 2 y02 2 2
2 2 v 2 v0 k y0 y2

所以
x 52
dx

t 8
vdt
8 2t d t
t 2 8Байду номын сангаас
2 x 8t t 3 457.3 3 2 3 t 3
因而质点的运动学方程为 x 457.3 8t
（2） 将 t 0 代入速度表达式和运动学方程，得
v0 8 2 0 2 8m/s
[解] 根据链式法则
a
dv dv d x dv v dt d x dt dx
v d v a d x 2 6 x d x
对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为

v
10
vdv
2 6xd x
x 0
v 6 x 2 4 x 100
ms
（1） （2）
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当 t 3s 或 0 t 1s 间隔内粒子加速运动，在 1s t 3s 间隔内里粒子减速运动． 1-4 一质点的运动学方程为 x t 2 ， y t 1 （S1） ．试求： （1）质点的轨迹方程;（2）
g at an
at g sin 300 0.5g
an g cos 300 3g / 2
又
v2

an
所以

v2 v2 2 3v 2 an 3g 3g / 2
1-16 在一个转动的齿轮上， 一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动， 其路程随时间的变化规律 为 s v0 t
vx dx r sin t dt
dy r cost dt dz vz c dt vy
所以
v vx i v y j vz k r sin ti r costj ck
由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
vy
dy 2t 1 dt
（3）
v vx i v y j 2ti 2t 1 j
ax
所以
d2 x 2 dt2
a 2i 2 j
ay
d2 y 2 dt2
（4）
把 t 2s 代入式（3） 、 （4） ，可得该时刻质点的速度和加速度． a 2i 2 j v 4i 2 j 1-5 质点的运动学方程为 x A sin t ， y B cost ，其中 A、B、 为正常数，质点的轨 道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心． [证明] 由质点的运动方程 x A s i n t y B cost 对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度 （1） （2）
2
在 t 2 s 时，质点的速度和加速度． [解] （1） 由质点的运动方程
x t2
2
（1） （2）
y t 1
消去参数 t，可得质点的轨迹方程
y

x 1

2
（2） 由（1） 、 （2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度
vx
所以
dx 2t dt
B
联立上述三式得
a nB
（6）
B
2 v0 g cos
1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处，速度的大小为 v，其方向与水平 线的夹角为 300 ，求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径． [解] 设 A 点处物体的切向加速度为 a t ，法向加速度为 a n ，曲 率半径为，则 由图知
2 2 v vx vx 32 4 2 5 m s
与 x 轴正方向之间的夹角
arctan
由式（2）得粒子在 x
4 arctan 5308 vx 3
vy
2 m 处的加速度为 3
a 2 32 18 m s 2
加速度方向沿 y 轴的正方向． 1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为 ，初速度为 v 0 ，轨迹 为一抛物线 （如图所示） ． 试分别求抛物线顶点 A 及下落点 B 处的曲率半径． [解] 物体在 A 点的速度设为 v A ，法向加速度为 a nA ，曲率 半径为 A ，由题图显然有
dx 3t 2 6t 9 3t 3t 1 dt dv a 6t 1 dt 当 t 3s 时， v 0 ，粒子沿 x 轴正向运动； 当 t 3s 时， v 0 ，粒子沿 x 轴负向运动． 当 t 1s 时， a 0 ，粒子的加速度沿 x 轴正方向； 当 t 1s 时， a 0 ，粒子的加速度沿 x 轴负方向． v
ax
az 0
d2 x r 2 cost 2 dt
ay
d2 y r 2 s i n t 2 dt
7-2
所以
a ax i a y j az k r 2 costi r 2 sin tj
（3） 由式（1） 、 （2） 、 （3）得运动方程的矢量式 r xi yj zk r costi r sin tj ctk 1-8 质点沿 x 轴运动，已知 v 8 2t 2 ，当 t 8 s 时，质点在原点左边 52m 处（向右为 x 轴正向） ．试求： （1）质点的加速度和运动学方程； （2）初速度和初位置； （3）分析质点的 运动性质． [解] （1） 质点的加速度 a d v /d t 4t 又 v d x /d t 所以 d x vdt 对上式两边积分，并考虑到初始条件得
y x2
7-4
对时间 t 求导数
vy
dy dx 2x 2 xvx dt dt
（1）
再对时间 t 求导数，并考虑到 v x 是恒量
a
把x
d vy dt
2 2v x
（2）
2 2 vy 2 3 4 m s m 代入式（1）得 3 3 2 所以，粒子在 x m 处的速度为 3
dv 得 dt
dv dt g Bv
两边分别积分，得

v 0
dv g Bv

t 0
dt
7-3
所以，物体的速率随时间变化的关系为：
g 1 e Bt B （2） 当 a 0 时 有 a g Bv 0 （或以 t 代入） v
由此得收尾速率
v
g B
1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速 a ky ，k 为常数，y 是离开平衡 位置的坐标值．设 y 0 处物体的速度为 v0 ，试求速度 v 与 y 的函数关系． [解] 根据链式法则