一一个方程所确定的隐函数及其导数
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数学分析由方程组确定的隐函数的求导法
可以确定函数 y y( x ), z z( x ), 且
(F ,G ) dy ( x, z ) dx (F ,G ) ( y, z )
(F ,G ) dz ( y , x ) dx (F ,G ) ( y, z )
Fx Gx Fy Gy
Fy Gy Fy Gy
y x D2 2 x y. 2 1
当 D 0 时，
dy D1 z 3x , 3 y 2z dx D dz D2 2 x y , 3 y 2z dx D
xu yv 0, 例2 设 ， 求 u ， u ， v 和 v . x x y y yu xv 1 解1 直接代入公式；
u y v x
ux yv,
yu xv.
当 D J 0 时，
u D1 xu yv , x D x2 y2
v D2 yu xv , x D x2 y2
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u xv yu , y x 2 y 2
公式 公式
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 G ( x , y , u, v ) 0
何时唯一确定函数u u( x , y ), v v( x , y ) ？
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
பைடு நூலகம்
定理 13.4（隐函数组定理） 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x 0 , y0 , u0 , v 0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
95隐函数的求导法则6[8]6
![95隐函数的求导法则6[8]6](https://img.taocdn.com/s3/m/be2dfc70ce2f0066f53322dd.png)
dx
dx
dx
dy
y
dx x e y .
再如求y xsin x ( x 0)的导数. （利用对数求导法）
ln y sin x ln x, 1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x ) xsin x (cos x ln x sin x )
17
例4. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程 解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x
F1(
F1
1 z
x z2
)
F2
(
)y
z2
z F1 ， x F1 y F2
z
F2
1 z
z F2 ，
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
x F1 y F2
故
dz
z x
dx
z y
d
y
x
z F1
求 z 时，把x看成变量，其余变量均看成常量； x z
求 y 时，把y看成变量，其余变量均看成常量；
这是显函数求偏导数的方法.
2.求多元复合函数的导数的步骤：
画出变量关系图；
由关系图得出求导公式;
求出所需的偏导数(或导数); 代入公式,化简即可.
2
如 z f (u,v),u (x),v (x), 则 z f [(x), (x)]
例如求由方程e y xy e 0所确定的隐函数y的导数.
两边同时对
x 求导：dy
dx
x
y ey
.
或用微分法：e ydy
xdy
(重庆大学高等数学课件)第八章第5节隐函数的微分法
解法2 微分法. 解法2 微分法. 对方程 的两边求微分: 的两边求微分:
F′⋅ d( ) +F2′ ⋅d( ) = 0 1
zdx −xdz zdy − ydz F′⋅ +F2′ ⋅ =0 1 2 2 z z F′⋅ zdx−F′⋅ xdz +F2′⋅ zdy−F2′⋅ ydz = 0 1 1 − xF′dz − yF2′dz = −zF′dx −zF2′dy 1 1
∂z ∂z 其中 F 有连续的 一阶偏导数, 求证 x 有连续的一阶偏导数 一阶偏导数, +y = z − xy ∂y z z ∂x 证明 设 G( x, y, z) = F( x + , y + )
z z 是由方程 F( x + , y + ) y x
所确定
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程 连续偏导数 偏导数, 解法1 解法1 设G( x, y, z) =
1 +y′+z′ +2z ⋅ z′ −1 + 1 + 2y ⋅ y′ z′+3z2 ⋅ z′ −1
13
求导， 解: 方程组两边对 x 求导， 并移项得
∂u ∂u ∂v ∂v 例4. 设 xu − yv = 0, yu + xv = 1, 求 , , . , ∂x ∂ y ∂x ∂ y
∂u ∂v u+ x + −y = −u 0 ∂x ∂x ∂u ∂v − v y + v+ x = 0 ∂x ∂x −u − y ∂u −v x −xu − yv = = x −y ∂x x2 + y2 y x
x x
在点
则方程 F( x, y) = 0
隐函数的求导法则
Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法 方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导 怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若 则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y
隐函数的求导法则-取对数求导法
一.隐函数的求导法则
一.隐函数的求导法则
方法及步骤如下：
F ( x, f (x) ) 0 恒等式两边同时关于 x 求导： 从上式中解出 y , 整理得隐函数的导数. 将 y = f (x) 代入方程中, 得到恒等式： 如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,
判断：
202X
练
3.4 隐函数和高阶求导法则
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高等数学之——
演讲人姓名
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例如
特点在于：
可以表示成等式左边是只含因变量，而右边等式
只含自变量。即解析式中明显地可以用一个变量
的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
但不是所有函数都可用这种方式来表达，比如类
05.
注意：y 是 x 的函数.
二.取对数求导法
适用范围：
取对数求导法常用来求一些 复杂的根式、乘除式、幂指函数 等的导数.
运用取对数求导法
例3
两边同时对x求导,得
解
故
复杂的根式
运用取对数求导法
两边关于 x 求导：
例4
解
复杂的乘除式
整理得
运用取对数求导法
两边关于 x 求导：
故
例5
解
幂指函数
似 由方程确定的隐函数。
求由方程
所确定的隐函数的导数 y
在恒等式两边关于 x 求导：
故
例1
解
由方程 确定 y 是 x 的函数，
设为 y =f (x) ，得恒等式
第一步
第二步
第三步
求曲线
在点（2,2）处的切线方程
一.隐函数的求导法则
方法及步骤如下：
F ( x, f (x) ) 0 恒等式两边同时关于 x 求导： 从上式中解出 y , 整理得隐函数的导数. 将 y = f (x) 代入方程中, 得到恒等式： 如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,
判断：
202X
练
3.4 隐函数和高阶求导法则
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例如
特点在于：
可以表示成等式左边是只含因变量，而右边等式
只含自变量。即解析式中明显地可以用一个变量
的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
但不是所有函数都可用这种方式来表达，比如类
05.
注意：y 是 x 的函数.
二.取对数求导法
适用范围：
取对数求导法常用来求一些 复杂的根式、乘除式、幂指函数 等的导数.
运用取对数求导法
例3
两边同时对x求导,得
解
故
复杂的根式
运用取对数求导法
两边关于 x 求导：
例4
解
复杂的乘除式
整理得
运用取对数求导法
两边关于 x 求导：
故
例5
解
幂指函数
似 由方程确定的隐函数。
求由方程
所确定的隐函数的导数 y
在恒等式两边关于 x 求导：
故
例1
解
由方程 确定 y 是 x 的函数，
设为 y =f (x) ，得恒等式
第一步
第二步
第三步
求曲线
在点（2,2）处的切线方程
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
隐函数及参数方程确定
v
v
2 x
v
2 y
v02 2v0 gt0 sin g2t02 .
16
四、内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法: 参数方程
dy dx
t t
x t
y
t
17
中把隐函数的导数解出，求导时要注意y是x的函数。
例1．求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。
解：方程中每一项对x求导得 (e y)(xy)(e)(0)，
即
e y yy+xy0，
从而
y y (xe y 0)。 x ey
4
例 3．求椭圆 x 2 y 2 1 在(2, 3 3) 处的切线方程。
解 (D (,4) (4,) , 在 (, 4) (4, 1) (1, )
上 导 数 存 在；函 数 不 恒 正.)
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | ln | x 1 | 1 ln | x 1 | 2ln | x 4 | x , 3
上式两边对 x 求导 , 得
y 1 1 2 1 , y x 1 3( x 1) x 4
,
1 2
gt 2
,
y
vy v
v0
vx
求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向;
o
(2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小.
x
解 (1) 在 t0 时刻的运动方向, 即轨迹在t0 时刻的
切线方向, 可由切线的斜率来反映.
dy
y(t )
(v0t sin
1 gt2 ) 2
v0 sin
9-1由方程组确定隐函数的导数
dy dz 1 0, dx dx
dy d z dx dx 1, y dy z dz x. dx dx
dy dz 2x 2 y 2 z 0. dx dx
1 1 1 1 1 1 D , D1 , D2 y z x z y x
dy D1 dz D2 , dx D dx D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy z x dx y z
dz x y dx y z
2．再首先介绍由方程组
ì ï ï F ( x, y, u, v ) = 0 í ï ï î G ( x, y, u, v ) = 0
ì ï ï u = u ( x, y) í ï ï î v = v ( x, y)
ì ï ï F [ x, y, u( x, y ), v( x, y )] = 0, í ï ï î G[ x, y, u( x, y ), v( x, y )] = 0.
v
F G u
x x y
y x
y
¶ u ¶ v Fx + Fu + Fv ¶ x ¶ x
= 0,
¶u ¶v G x + Gu + Gv = 0. ¶x ¶x
u v , 练习: 求 y y 答案:
u y v y y u xv 2 2 x y xu yv 2 2 x y
dx dx
dz dy G x + G y + Gz = 0. dx dx
dy dz 这是一个关于 dx , dx 的二元方程， 解这个方程可求出 dy dz , . dx dx
例1 设y=y(x)与z=z(x)由方程x+y+z=0与x2+y2+z2=1确定，
dy d z dx dx 1, y dy z dz x. dx dx
dy dz 2x 2 y 2 z 0. dx dx
1 1 1 1 1 1 D , D1 , D2 y z x z y x
dy D1 dz D2 , dx D dx D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy z x dx y z
dz x y dx y z
2．再首先介绍由方程组
ì ï ï F ( x, y, u, v ) = 0 í ï ï î G ( x, y, u, v ) = 0
ì ï ï u = u ( x, y) í ï ï î v = v ( x, y)
ì ï ï F [ x, y, u( x, y ), v( x, y )] = 0, í ï ï î G[ x, y, u( x, y ), v( x, y )] = 0.
v
F G u
x x y
y x
y
¶ u ¶ v Fx + Fu + Fv ¶ x ¶ x
= 0,
¶u ¶v G x + Gu + Gv = 0. ¶x ¶x
u v , 练习: 求 y y 答案:
u y v y y u xv 2 2 x y xu yv 2 2 x y
dx dx
dz dy G x + G y + Gz = 0. dx dx
dy dz 这是一个关于 dx , dx 的二元方程， 解这个方程可求出 dy dz , . dx dx
例1 设y=y(x)与z=z(x)由方程x+y+z=0与x2+y2+z2=1确定，
一,一个方程所确定的隐函数及其导数
Fx dy =− dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy ≠ 0
Fx dy =− dx Fy
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主讲人： 苏本堂
例1 验证方程x2+y2−1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并 求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 解 设F(x, y)=x2+y2−1,则 Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0. 由隐函数存在定理, 方程x2+y2−1=0在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数 y=f(x). Fx dy dy x, =0 ; =− =− y dx x=0 dx Fy
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 定理 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F(x0 , y0 ) = 0; ③ Fy (x0 , y0 ) ≠ 0 则方程 导数 的某邻域内 某邻域内可唯一确定一个 某邻域内 并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
(P34-P35)
F Fx u Gu Gx F Fy u Gu Gy
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F(x, y, u, v) = 0 有隐函数组 设方程组 G(x, y, u, v) = 0
则
两边对 x 求导得
∂u 这 关 是 于 , ∂x
隐函数的求导法则
求 2z . x2
解 令 F (x, y, z) x2 y2 z2 4z, 则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x ,
x
Fz 2 z
2z x2
(2 z) x z
x
(2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
.
注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，生搬硬套地套公
dx Fy
y dx x0
二阶导数为
d2y dx 2
y xy y2
y x( x )
y y2
1 , y3
d2y
dx2
1.
x0
例 2 求由方程 xy ex ey
0 所确定的隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过，
这里我们直接用公式求之.
z
z(x,
y) ，
y
sin
x,
求
du dx
时要考虑到上面各种联系.
例 8 设 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) 由方程(x2, ey , z) 0 确定，
其中 f , 具有一阶连续偏导数，且 0, 求 du .
z
dx
解 由 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) ，
使 Fz0，于是得
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
例 1 证明方程 x2 y2 1 0 在点(0，1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导
数且当 x 0 时 y 1的隐函数 y f (x) ，求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值.
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数求导
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2 x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
F1
z
y
F2
(F1dx
F2d y)
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例4.【研】设
解出 dx : dx
f1 xz f2 dy 1 f1 xy f2 dz
f1 yz f2
由d y, d z 的系数即可得 x f1 xz f2 y f1 y z f
x. z
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(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
并有
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则 两边对 x 求导
在
d y Fx d x Fy
的某邻域内Fy 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
d2y dx2
隐函数及参数方程所确定的函数的求导
2.6隐函数及参数方程所确定 的函数的求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
返回 1
一、隐函数的导数
定义: y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数F ( x, y) 0称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
上式两边再对x求导，得
d2y
2sin
y dy dx
4sin y
.
dx2 (2 cos y)2 (2 cos y)3
返回
4
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
a
2， 2
b2 y0 bsin 2 2 .
曲线在点M
的切点斜率为：
0
dy dx
|t 4
（（ab
sin cos
tt）） |t
4
bcos t a sin t
|
t
4
b a 返
回
13
••• 代入点斜式方程，即得椭圆在点M0处的切线 方程
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
返回 1
一、隐函数的导数
定义: y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数F ( x, y) 0称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
上式两边再对x求导，得
d2y
2sin
y dy dx
4sin y
.
dx2 (2 cos y)2 (2 cos y)3
返回
4
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
a
2， 2
b2 y0 bsin 2 2 .
曲线在点M
的切点斜率为：
0
dy dx
|t 4
（（ab
sin cos
tt）） |t
4
bcos t a sin t
|
t
4
b a 返
回
13
••• 代入点斜式方程，即得椭圆在点M0处的切线 方程
隐函数的导数(一个方程)
dx dy oz
思路：把z看成x, y的函数对x求偏导数得丁， dx
d dx 把x
看成z, y的函数对y求偏导数得 x， dy
把y看成x, z z 的函数对 求偏导数得. 解令 u = x + y + z, v = xyz,
贝U z = f (u, v),
把z看成x, y的函数对x求偏导数得
dz _ Oz —
dy.
一一碱 1 = fu - ( +1) + fv - (xy + xz ),
u
v
整理得也=1
f
.也
fu + xzfv
小结
一个方程确定的隐函数的导数
1. F (x, y) = 0 2. F (x, y, z) = 0
） 0 dX=_Fy . （Fy 二
例1验证方程X2 + y2 -1 = 0在点(0,1)的某邻 域 内能唯一确定一个单值可导、且X = 0时y = 1 的隐函数y = f (x )，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值.
解 令 F (x, y) = x2 + y2 一 1
则 Fx = 2 x, Fy = 2 y,
则 Fx = 2x, F = 2z 一 4, g = 一? = 2 dz
x
aa2zz(2=一___z_)_+__x_—ox
(2- z)+ x・ =_________2
一
z
ax2 一 (2 一 z)2 一 (2 一 z)2
_(2 - z )2 + x2 =(2 - z )3 •
dz dx dy 例 4 设 z = f (x + y + z, xyz),求 f，・
思路：把z看成x, y的函数对x求偏导数得丁， dx
d dx 把x
看成z, y的函数对y求偏导数得 x， dy
把y看成x, z z 的函数对 求偏导数得. 解令 u = x + y + z, v = xyz,
贝U z = f (u, v),
把z看成x, y的函数对x求偏导数得
dz _ Oz —
dy.
一一碱 1 = fu - ( +1) + fv - (xy + xz ),
u
v
整理得也=1
f
.也
fu + xzfv
小结
一个方程确定的隐函数的导数
1. F (x, y) = 0 2. F (x, y, z) = 0
） 0 dX=_Fy . （Fy 二
例1验证方程X2 + y2 -1 = 0在点(0,1)的某邻 域 内能唯一确定一个单值可导、且X = 0时y = 1 的隐函数y = f (x )，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值.
解 令 F (x, y) = x2 + y2 一 1
则 Fx = 2 x, Fy = 2 y,
则 Fx = 2x, F = 2z 一 4, g = 一? = 2 dz
x
aa2zz(2=一___z_)_+__x_—ox
(2- z)+ x・ =_________2
一
z
ax2 一 (2 一 z)2 一 (2 一 z)2
_(2 - z )2 + x2 =(2 - z )3 •
dz dx dy 例 4 设 z = f (x + y + z, xyz),求 f，・
高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则
事实上,这个函数就是 y = 1 x 2 , ( 1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x dy = = , = 0, dx Fy y dx x = 0
y x 2 d y y xy′ = = y2 dx2 y2
x y = 1 dx x=0
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 4z, 解 令
Fx z x 则 Fx = 2x , Fz = 2 z 4, = = , Fz x 2 z
x z (2 z ) + x 2 (2 z ) + x z 2 z x = = 2 2 x 2 (2 z ) (2 z )
Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐 函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
z Fx = Fz x
隐函数的求导公式
Fy z = y Fz
求导公式推导:
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
Fx z = , x Fz
两边分别对 x 和 y 求导,得
z = 0, Fx + Fz x
z = 0, Fy + Fz y
Fy z = , y Fz
2z 例 3 设 x 2 + y 2 + z 2 4 z = 0,求 2 . x
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)F2Fra bibliotek(y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y
F2
(F1dxzx
F2dFFyxz )
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主讲人： 苏本堂
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能 确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y).
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第五节隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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两边对 x 求导
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则
在
的某邻域内 Fy 0
dy Fx dx Fy
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例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯
一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并
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例2. 已知方程 确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
Fx ex y, Fy cos y x
d y Fx
dx
Fy
ex y cos y x
例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数
事实上,
u
x2
y
y2
v
x2
x
y2
xuyv0
v
x y
u
yu
x
x y
u 1 u
x2
y
y2
v
x y
x2
y
y2
x2
x
y2
能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？
求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.
解 设F(x, y)x2y21,则
Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20. 由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数
yf(x).
ddyydyFFxxFxxxx ddxxdx FFyyFy yy y
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例3. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0,
求
2z x2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z) (2
2 z)3
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
3
x0
y0 y 1
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定理2 .若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
在点 P ( x0, y0, u0, v0)不等于零，则方程组
ddyydy 000 ddxxdxxx00x0
dddx2d2yx22yddx22yyyy2xyy2xyy2xyy13y13 y1d3ddxd2 2yx22yddxx2x02y0x011 1
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并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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隐函数存在定理3 设 F ( x, y, u,v) G( x, y, u,v) 在
点P( x0, y0, u0,v0) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F( x0, y0,u0,v0) = 0, G( x0, y0, u0,v0) = 0 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
x2
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例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x
F1
1 z
F1
(
x z2
)
F2 (
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z
F2
1 z
y
F1
(
x z2
dy dx
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
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d2y dx2
x0
d ( ex y ) dx cos y x
主讲人： 苏本堂
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2