2021届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题

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湖南长沙一中高三第七次月考试卷

湖南省长沙市一中高三第七次月考试卷物理命题：长沙市一中高三物理备课组时量：90分钟满分：120分得分 ________第I 卷选择题（共48分）一、选择题（本题共12个小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得 4分，选对但不全的得 2分，不选或有选错的得0分）1. 一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速行进一段给定的时间，木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。

设空间单位体积内的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下落，则落在木板面上雨点的数量与下列诸因素中无关的因素是（B ） A .车行进的速度 B .雨点下落的速度 C .木板的面积 D .单位体积中的雨点数2.一物体受到2009个力的作用而静止，已知其中两个力的大小分别为F i =6 N 、F 2=10 N ,若将这两个力的大小保持不变，而将它们的方向反向（其余力的大小及方向保持不变），则此时物体所受合力大小可能为（D ） A . 3 N B . 6 N C . 20 N D . 40 N3.A 、B 两物体以相同的初速度滑到同一粗糙水平面上，若两物体的质量 m A =3m B ,两物体与粗糙水平面间的动摩擦因数相同，则两物体能滑行的最大距离S A 与S B 的关系为（A ） B . S A = 3S BC . S B = 3S A4. 如图所示，a 、b 、c 、d 为斜面上四个点，ab =be = cd ,从a 点正上方的 O 点以速度水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点•若小球从O 点以速度2水平抛出，不计空气阻力，则它将落在斜面上的（A ）A . b 与c 之间某一点B . c 点C . c 与d 之间某一点D . d 点A . S A = SB D . S A = 9S B 5.如图所示为大型电子地磅电路图，电源电动势为 E 。

不称物体时，滑片 P 在A 端,P 滑动变阻器接入电路的有效电阻最大，电流最小；称重物时，在压力作用下使滑片下滑，滑动变阻器有效电阻变小，电流变大•这样把电流对应的重力值刻在刻度盘上，就可以读出被称重物的重力值。

湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题

湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三第七次质量检测语文试题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下列小题。

材料一:《红楼梦》是小说，是文学艺术，表达思想的方式是塑造典型形象，使用的语言是生活语言。

作者只用寥寥数笔就勾勒出人物形象，并且语言具有鲜明个性特点。

第二十四回自“贾芸出了荣国府回家”至“一面趔趄着脚儿去了”，一千八百多字，却写了四个人:贾芸的舅舅卜世人、贾芸的舅妈、醉金刚倪二和贾芸。

前面三人虽然都只是寥寥数笔，但俱各传神，卜世人夫妇的鄙吝和倪二的仗义，皆历历如绘。

人物的语言也符合各自的身份和性格。

“一碗茶也争，我难道手里有蜜！”这是初恋中的智能的语言，反映她心里的甜意。

“你忙什么！金簪子掉在井里头，有你的只是有你的。

”这是金钏的语言，反映她因受宝玉的赏爱而心悦意肯、别无他虑的心态。

“‘呦呦鹿鸣，荷叶浮萍’，小的不敢撒谎”。

这是李贵的语言，反映他护送宝玉读书，但不识字，也不理会读书，只是从旁听闻的状况。

《红楼梦》里最能言善语的要数黛玉、王熙凤、红玉、麝月几人。

林黛玉慧心巧舌、聪明伶俐；王熙凤先意承志、博取欢心；红玉伶牙俐齿，如簧百转；麝月在教训老婆子时词锋逼人，势猛气锐。

作者对这四个人的语言是精心设计的，是特写。

《红楼梦》在古典长篇小说中确已成为“绝唱”，这是毋庸争议的，但它还是一首不用韵的诗。

这不仅仅是因为《红楼梦》里有许多诗，而且它从开头至八十回的叙述，也都有诗的素质，它的叙述与诗是交融的，是一体。

诗是什么？是抒情，抒喜怒哀乐各种各样的情而不是干巴巴的纪事，《红楼梦》确有这种抒情性的特点。

（摘编自冯其庸《<红楼梦>的语言魅力》）材料二:《红楼梦》主题历来众说纷纭，正如鲁迅所言，经学家见《易》，道学家见淫，才子见缠绵，革命家见排满……持自传说、索引说、阶级斗争说者亦众，此现象实属正常。

有些文学作品就像饺子，就为了中间那口馅儿，有些文学作品就像点缀在西瓜里的那些子儿，人间百态尽在其中。

《精编》湖南省长沙一中高三第七次月考数学试题文人教A版.doc

湖南省长沙市一中2021届高三月考试卷(七)数学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.z ＝11＋2i (i 为虚数单位)所对应的点在( ) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，那么以下关系中正确的选项是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.那么以下判断正确的选项是( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假 C.p 真q 真 D.p 假q 假4.以下函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )A.y ＝10xB.y ＝tan xC.y ＝sin2xD.y ＝|cosx|5.某公司2021 ～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021利润x 16 18支出y 1A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，那么双曲线的离心率为( ) A.62B.3 3 ()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞){},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，那么{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如以下列图，那么此几何体的体积是 cm 3.12.假设{a n }为等差数列，S n 是其前nS 11＝22π3，那么tan a 6的值为 . l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，那么△ABC 面积最大值为 .l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，那么实数a 的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为 .f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点〞.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点〞就是对称中心.〞请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为；(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，那么g (12021)＋g (22021)＋g (32021)＋g (42021)＋…＋g (20212021)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0). (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.17.(本小题总分值12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.18.(本小题总分值12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.19.(本小题总分值13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题总分值13分)f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)假设b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)假设c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m 的范围；假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值13分)动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过，请说明理由.(3)线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2△ABC 面积的最大值.数学(文科)答案选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D B D C A C D二、填空题：10.5. 11.4π cm 3.12... 14. 2 ； ρ2－4ρcos θ＋2＝0 . 15.(1) (1,1) ；(2) 2021 . 三、16.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos (x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分) 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分) 17.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD .因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，那么∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分) 18.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分) (3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的根本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的根本领件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x， ∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x 26－x.(4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92) 02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0.当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间 (0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ； ②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92. 综上，假设0<c <3，那么当日产量为c 万件时，日盈利额最大；假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)20.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，(2分)∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ②②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23. 综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分) 21.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线. ∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k 2. OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b k＝－9， ∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0.∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)，∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分)。

湖南省长沙市一中高三月考数学(文科)试卷(五)有答案

湖南省长沙市一中高三月考数学（文科）试卷（五）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．因为是虚数单位，复数，则的共轭复数是（）
A． B． C． D．
3．某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）
A． B． C． D．
4．已知，，则（）
A． B． C． D．
5．在中，，，是边上的高，则（）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上，则判断框中可填写的条件是（）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足，，且时，，则
（）
A． B． C．1D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
9．“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（［注释］三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）
平面，又平面，故．
当时，得．
，，．
四边形为正方形，故．
又、平面，且，故平面．

湖南省长沙岳麓区高三数学第七次月考试题文新人教A版

数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；（3）请勿折叠答题卡。

保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

3．本试题卷共6页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足等式(2),i z i z -⋅=则复数在复平面内对应的点的坐标为A ．12(,)55- B ．12(,)55--C ．12(,)55D ．12(,)55- 2．设全集(3),{|31},{|x x U R A x B x y A B -==<==则=A ．{|19}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|29}x x ≤<3．把二进制数110 011（2）化为十进制数等于A ．49B ．50C ．5 1D ．524．已知||1,||2,a b a b ==与的夹角为60°，则a b a +在方向上的投影为A ．-2B ．2C ．1D ．-15．已知实数x ，y 满足不等式组0,10,122,y y x y x x y ≥⎧-⎪-≥⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是 A ．[1,12-） B ．（11,2-） C ．[11,2-] D ．[11,2-）6．已知函数(2)1,1,()()(,)log , 1.aa x x f x f x x x --≤⎧=-∞+∞⎨>⎩若在上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．(2,)+∞7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率等于A B C ．32 D 8．已知函数()(,2]f x -∞在上为减函数，且(2)f x +是R 上的偶函数，若()(3)f a f ≥，则实数a 的取值范围是A ．a ≤1B ．a ≥3C ．1≤a ≤3D ．a ≤1或a ≥39．若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的212,()()1x f x f x =使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=x 是“依赖函数”；②1y x=是“依赖函数”；③2x y =是“依赖函数”；④ln y x =是“依赖函数”；⑤若(),()f x y g x ==都是“依赖函数”，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是cos (1sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴连立极坐标系，则圆心C 的极坐标是 .11．已知25lg lg 1,x y x y+=+则的最小值为。

湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学(理)试题

（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；
（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为，求随机变量的分布列和数学期望.
C． D．
3．已知集合，，则中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
4．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
5．过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线交抛物线于点，且点在第一象限内，已知，则的值为（）
A．1B． C．2D．
6．某个四面体的三视图如图所示，则该四面体各个面中面积最大面的面积为（）
【详解】
椭圆方程为，双曲线方程可变为，
椭圆焦点为即，
又双曲线与椭圆共焦点，
解得，双曲线方程为，
双曲线的离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线和椭圆的综合应用，考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．C
【分析】
由题意可得，代入抛物线方程即可得解.
【详解】
由题意焦点，
直线过点且倾斜角为60°，，
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三下学期第七次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数， .若为实数，则实数的值为（）.
A． B． C． D．

2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第七次月考数学(文)试题(含答案)

情况，
满足取出的 2 个数之和为 5 的有 1和 4 、2 和 3 两种情况，所以概率为 p
2
1 ，故选 C．
63
点评：
本题考查的是概率的计算，可以先通过计算出所有的可能的总数，再计算出满足题目条
件的总数，两数相除即可得出概率．
4．若双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线为 x 4y 0 ，则实数 m （
22
1z
由图可知，当直线 y= x﹣ 过点 A（﹣ 1， 1）时，直线在
22
y 轴上的截距最小，
z 有最大值为﹣ 3．
故答案为﹣ 3
点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法 .
15．已知函数 f ( x) sin x 3cos x 在 x 处取最小值，则 sin _________.
x2 x y 0 则 z x 2 y 的最大值为 ______． xy20
答案： 3
分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
详解：由 x， y 满足约束条件
x 2, x y 0, 作出可行域如图， x y 2 0,
1z
化目标函数 z=x ﹣ 2y 为 y= x﹣ ，
的面积为 3 ，则
abc
的值为 (
)
sin A sin B sinC
A． 2 39 3
B． 39 3
C． 2 3 3
D． 2 13 3
答案： A
根据面积可求得 c 4 ，然后根据余弦定理得到 a 13 ，再由正弦定理的变形可得所
求的值．解：
∵ ABC 的面积为 3 ， A 60 ,b 1，

湖南省长沙市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学(文科)试题 Word版含答案

长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
长沙市一中高三文数备课组组稿
时量：120分钟满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i 为虚数单位，若复数2
)1(1i z -+=,则=||z
A. 1
B. 2
C. 2
D. 5 2.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A
A. 21|≤≤-x x
B. {2,1,0}
C. {2,1-}
D. {1,0}
3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：
附表：
随机变量：))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关"
D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为
A.0
B.2
C.-2
D.1。

湖南省长沙市第一中学2023届高三月考卷(七)数学含答案

长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1- B.1C.3D.3-3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +> D.12x x >5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.22C.1D.26.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.16807.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.1328.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b < B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=-B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望()E X.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.22.已知函数()()ln f x x n x =+.（1）若1n =，求函数()()()()12g x f x k x k =-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n =时，若方程()f x b =有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：213e 2e 123b x x b-+<-<++.长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合M ，根据M N N ⋂=得出N 为M 的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】{}{}2131M x x x x =+<=<，因为M N N ⋂=，所以N 为M 的子集，所以1a ≤.故选：C.2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1-B.1C.3D.3-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义求解.【详解】(i)(3i)3(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+，所以3234x y xy -=⎧⎨+=⎩，则1xy =，故选:B.3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍【答案】C 【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅=则()33334444201011101010F c M c MF =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +>D.12x x >【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，结合()()12f x f x >可得2212x x >，举例说明即可判断选项A 、B ，将选项C 、D 变形即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为R ，则函数22()sin )sin =()(f x x x x x f x -=-+=+-，所以函数()f x 是偶函数，当0x >时，2()sin f x x x =+，2()12sin cos (sin cos )0f x x x x x =+'=+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减.若()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >.A ：若1212x x ==-，，满足12x x >，但(1)(2)(2)f f f <-=，反之也不成立，故选项A 错误；B ：若1245x x ==，，满足21x x >，则(4)(5)f f <，反之，若()()12f x f x >，不一定21x x >，故选项B 错误；C ：由120x x +>可得12x x >-，但不一定有()()12f x f x >，所以充分性不成立，故选项C 错误；D ：由12x x >可得()()12f x f x >，但由()()12f x f x >不一定能推出12x x >，故D 正确.故选：D.5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】利用M 到切线的距离等于1列方程，结合根与系数关系，求得ST 的表达式，进而求得ST 的最小值.【详解】解：由题知，切线的斜率存在，设切线方程为()1y k x t =++，即0kx y k t -++=.设圆心M 到切线的距离为d ，则1d ==，化简得228610k tk t ++-=，则2Δ4320t =+>，设两条切线,PA PB 的斜率分别为,PA PB k k ，则34PA PBk k t +=-，21·8PA PB t k k -=.在切线()1y k x t =++中，令0x =，解得y k t =+，所以()()PA PB PA PBST k t k t k k =+-+=-84===，即84ST =，所以min22ST =，此时0.t =故ST 的最小值为2.故选：B.6.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【答案】B 【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有43224⨯⨯=种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有,,,,,,BE BG BH CE CH DE DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714⨯=种，根据分步计数原理,共有2414336⨯=种,故选：B7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.132【答案】C 【解析】【分析】设2,AF m BF m ==，通过几何分析可求得tan BEAFP AE∠==AB 的方程，联立AB 的方程和抛物线方程即可求弦长AB .【详解】如图，过点,A B 分别作准线=1x -的垂线，垂足为,C D ,过B 作AC 的垂线，垂足为E ，因为AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，所以90APF BQF ∠=∠= ,且AFP BFQ ∠=∠,所以QFB △与PFA 相似，且相似比为:1:2FQ PF =，所以2AFBF=,设2,AF m BF m ==，所以CE BD BF m ===，则AE m =，所以BE ==，tan BE AEBAE ∠==tan BEAFP AE∠==,所以直线AB 的斜率为，所以AB 的方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得22520x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1252x x +=，所以1292AB x x p =++=，故选:C.8.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b <B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<【答案】D 【解析】【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<，当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >；()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b aa b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可，设()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111x g x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a ba b <--，结论得证，D 正确故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=- B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-【答案】ACD 【解析】【分析】根据正态分布的性质和()()f x P X x =≤逐个分析判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以()()1()f x P X x f x -=>=-，所以A 正确，对于B ，因为()2(2)f x P X x =≤，()22()f x P X x =≤，所以B 错误，对于C ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以当0x >时，随x 的增大，()P X x ≤的值在增大，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，所以C 正确，对于D ，因为()()1f x f x -=-，所以()()()[]12121()2()1P X x P x X x f x f x f x ≤=-≤≤=--=--=-，所以D 正确，故选：ACD10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得1B D ⊥平面1ACD ，分析可得点E 即为1ACD △的中心，结合1113PB D ACD S S =△△可得13PE a =，从而可得点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，转化为PD 是以底面半径为13a ，高为33a 的圆锥的母线，分析求得θ的范围即可得出结果.【详解】如图所示，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ；由题意可知1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥；又因为AC BD ⊥，11,BB BD B BB BD ⋂=⊂，平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1B D ⊂平面11BDD B ，所以1AC B D ⊥；同理可证11AD B D ⊥，又1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1ACD ，所以1B D ⊥平面1ACD ；又因为111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥性质可得点E 即为1ACD △的中心，连接1OD ；因为O 为AC 的中点，1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，所以选项A 正确；即PE 为1PB D 的高，设PE d =，由正方体棱长为a 可知，1,B D AC ==，且1ACD △的内切圆半径66r OE a ==；所以112111,22222PB D ACD S PE ad S B D a ⋅===⨯=V V ；又1113PB D ACD S S =△△，即可得13d a r =<，所以点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，所以B 正确，C 错误；由1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，所以33DE a ==，因此PD 是以底面半径为13a ，高为3a 的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为α，则33tan 13a a α==，所以π3α=；即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3，又因为异面直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与AC 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为11//AC A C ，所以直线PD 与11A C 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎣⎦；即D 正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：（1）通过比较PE 与1ACD △的内切圆半径的大小，得出动点P 的轨迹；（2）将直线PD 与11A C 所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角.12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，B 证明数列{}n a 为单调递减数列即得解；对于选项C ，证明随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，即得解；对于选项D ，证明112+>n n a a ，即得解.【详解】解：对于选项A 、B ，因为11a =，0n a ∴≠，所以11n n a a ne e a +-=，设()e 1e xxg x x =--，g ()e e e e x x x xx x x ∴='=---当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g <=，则e e 1x x x >-，所以ee 1nn a a n a >-，当0n a >时，1e 1e e n nn a a a na +->=，1n n a a +∴>，当0n a <时，1e 1e e n nn a a a na +-<=，1n n a a +∴<，因为11a =，所以这种情况不存在，则数列{}n a 满足当0n a >时，1n n a a +>，为单调递减数列，故A 选项正确，B 选项错误；对于选项C ，()1ln 1ln ena n n n na a a a +-=---令,(0,1]n x a x =∈，设()()ln 1ln ,(0,]e 1xf x x x x =---∈则e 111()10e 1e 1x x x f x x x'=--=-<--，所以函数()f x 单调递减，所以随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，所以2023202220222021->-a a a a ，即2021202320222a a a +>，所以C 选项正确，对于选项D ，由前面得101n n a a +<≤<，下面证明112+>n n a a ，只需证明112e 1ln 11e 111ln e 2e 22n n n n a a a a n n n nn n na a a a a a a +--->⇔>⇔>⇔>，令e na b =，则1e b <≤，所以1112221ln 0ln b b b b b b-->⇔-->，令1122()ln ,(1,e]m b b bb b -=--∈，则1()202m b b ⎫'=>⎪⎭，m()m(1)0b ∴>=成立，则112+>n n a a 所以2023122212202120211112222S a a a a a a ⎛⎫>++++=+- ⎪⎝⎭ ()()2021112ln e 1ln e 122=+--->所以D 选项正确；故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【答案】12b【解析】【分析】根据题意，求得cos 601a =，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故答案为：12b14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【答案】0或2e -##2e -或0【解析】【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x '=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故答案为：0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【答案】36π【解析】【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故答案为：36π．16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.【答案】①.22163x y -=②.()2,6【解析】【分析】设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而结合题意得2tan 2b a θ==，进而结合2223,c b a c =+=即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而将问题转化为12IA F AB BS ABS += △，最后联立方程，求解弦长AB 的范围即可得答案.【详解】解：设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由0a b >>得10b a >>，π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，22tan tan 21tan θθθ==-，解得tan 2θ=或tan θ=所以，22b a =，即a =，因为2223,c b a c =+=，所以223,6b a ==，即双曲线E 的标准方程为22163x y -=；由:30l kx y k --=得():3l y k x =-，故直线l 过点()23,0F ，所以，如图，设1F AB 的内切圆与11,,AF BF AB 分别切于D C E ,,点，则11,,AD AE BC BE F C F D ===，1111,AD F D AF BC F C BF +=+=，由双曲线的定义得1212AF AF BF BF -=-=所以1122AF BF AF BF AD BC AE BE -=-=-=-，即22AF BF AE BE -=-，所以，点2,E F 重合，即2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，所以，2IF 为1F AB 的内切圆半径，因为()121112F AB S IF AF BF AB =⋅++ ，212IAB S IF AB =⋅△所以1112IABF AB S BAF BF ABS ABA +==++=△，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()223163y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222212121860k x k x k -+--=，所以，()()()42221444121862410k kkk ∆=----=+>且2120-≠k ，即22≠±k ，22121222121860,02121k k x x x x k k ++=>=>--，即2210k ->所以()222132136222121k AB k k ⨯-+====+>--，所以，()14622,6I B ABF A S S AB=+∈ △故1F AB 与IAB△的面积的比值的取值范围是()2,6.故答案为：22163x y -=；()2,6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而根据面积公式求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）2b =；（2）.【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +-+---∴===，可得sin B ===，11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC = ，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为2，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989【解析】【分析】（1）由已知可建立以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（2）根据已知可建立以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设[]10,1CP CC λλ=∈，，根据线面关系求得PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，即得λ的值，利用空间向量坐标运算即可求得此时二面角Q AP C --的余弦值.【小问1详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以111120BAC B A C θ∠=∠==︒，又,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以1AA AQ ⊥，又⊥AQ AB ，如图，以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由于11126AB AA A B ===，所以AQ =，则()()130,,,,,622Q C C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又123CP CC = ，所以()()233,,,61,4322P P P x y z ⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则()2,4P -，所以()2,0,4PQ =-- ，又y ⊥轴平面11AA B B ，故()0,1,0n =可为平面11AA B B 的一个法向量，又0000PQ n ⋅=++=，且PQ ⊄平面11AA B B ，所以//PQ 平面11AA B B ；【小问2详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以11190BAC B A C θ∠=∠==︒，如图，以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]10,1CP CC λλ=∈ ，，则()()0,3,60,3,6CP λλλ=-=-，则()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=-+- ，又x ⊥轴平面11AA C C ，所以()1,0,0m = 可作为平面11AA C C 的一个法向量，设PQ 与平面11AA C C 所成角为α，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos ,PQ m PQ m PQ mα⋅===⋅，又函数sin y α=与tan y α=均在π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当15λ=时，sin α=有最大值为53，此时tan α也取到最大值，又2cos 3α==，则()max 5tan 2α=；设此时平面APQ 的法向量为(),,p x y z =，又()()1262763,3,0,3,3,03,,0,,5555AQ AP AQ PQ ⎛⎫⎛⎫==-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以3300276200559x y x y AQ p y z y z AP p +==-⎧⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令9z =，则()2,2,9p =- ，()1,0,0m =是平面APC 的一个法向量，所以289cos ,89m pm p m p ⋅===⋅，由图可知二面角Q AP C --为锐角，即二面角Q AP C --的余弦值为28989.所以PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为52，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【答案】（1）2049（2）()537125E X =.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；。

2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题(解析版)

2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{||2|2}A x x x =+=+，{}2|9=<B x x ，则A B =I （） A ．()3,3- B ．(2,3)-C ．(3,2]-D ．[2,3)-【答案】D【解析】首先确定集合,A B 中的元素，再由交集定义求解．【详解】由题意{|2}A x x =-…，{|33}B x x =-<<，∴[2,3)A B ⋂=-，故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素． 2．已知实数a ，b 满足11abi i=+-（i 为虚数单位）则复数z a bi =+的共轭复数为（） A ．12i - B ．2i -C ．2i +D ．12i +【答案】B【解析】已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出,a b ，得z 后可得其共轭复数．【详解】由题意,a b ∈R ，且(1)(1)(1)(1)a i bi b b i =-+=++-，则11a b b =+⎧⎨=⎩，21a b =⎧⎨=⎩，∴2z i =+，2z i =-，故选：B ．【点睛】本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．3．设曲线C 为双曲线，则“C 的方程为221x y -=”是“C 的渐近线方程为y x =±”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，而渐近线为y x =±时，C 方程不一定为221x y -=，故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键．4．如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则2(4)f x x -的单调递增区间为（） A ．(0,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(2,4)【答案】C【解析】根据反函数知识求出()f x ，得复合函数2(4)f x x -，由对数型复合函数的性质可求得增区间．【详解】由題知，()ln f x x =，故()()224ln 4f x x x x -=-，定义域为(0,4)，(0,4)x ∈时，24y x x =-在(0,2)是递增，∴2(4)f x x -的单调递增区间为(0,2)．故选：C ．【点睛】本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键． 5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（）【答案】B【解析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（） A ．528π B ．6336πC ．704πD ．2112π【答案】B【解析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，【详解】设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =，∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得．7．已知向量(1,1)a =-r，OA a b =-u u u r r r ，OB a b =+u u u r r r ，若OAB V 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB V 的面积为（）．A ．1B ．2CD ．【解析】OAB V 为等腰直角三角形，则有||||OA OB =u u u r u u u r 及OA OB ⋅u u u r u u u r，【详解】由题知，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=u u u r u u u r r r r r r r ，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒=u u u r u u u r r r r r ，故||||2==u u u r u u u rOA OB ，则2OAB S =△，故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（）A ．343-B 343+ C 433- D 433+ 【答案】C【解析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值．【详解】由题知，3cos 5α=，4sin 5α=，cos 32β=-，1sin 2β=，则334cos()cos cos sin sin 1010βαβαβα-=+=-+43310-=，【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）A ．25B ．710C ．815D ．715【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．11．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于P ，Q 两点，则||||AB PQ +的最小值为（） A ．16 B ．12C ．20D ．10【答案】A【解析】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是1212,y y y y +，由弦长公式求得弦长AB ，由垂直得2l 方程，同理可得PQ ，求出AB PQ +，应用基本不等式可得最小值．设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入得2440y my --=，故124 y y m +=，124y y =-．则()222||1161641AB m m m =++=+，同理21||41PQ m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，221||||4216AB PQ m m ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当1m =±时取“=”，故选：A ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．12．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，25PM =，则A 的值为（）A ．1633B 833C ．8D ．16【答案】A【解析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据25PM =Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ．【详解】解：设(2,0),0Q a a >，Q 函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足PQR π∠=，∴(0,2a)R -， Q M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =Q ，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，）， 18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω． Q 函数经过(20)(08)P R -，，，，∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩， ||2πϕ≤Q ，,3πϕ∴=-，解得A =，故选A ．【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．二、填空题13．已知数列{}n a 满足1(1)n n na n a +=+，且612a =，则12a =__________．【答案】24【解析】已知式变形为1n n a a +=，得一常数列{}n a，从而易得a ，得a【详解】由题知11n n a a n n +=+，故626n a an ==，故1224a =．故答案为：24．【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是已知等式变形后构造出一个常数列． 14．已知直线3450x y ++=与圆222:()0O x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，则r =__________．【答案】2【解析】求出圆心到弦的距离，在等腰三角形中易求得半径．【详解】直线到圆心距离1d ==，由120AOB ∠=︒，故22r d ==．故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理．15．在平行四边形ABCD 中，BD CD ⊥，AB BD ⊥，2AB CD ==，BD =．沿BD 把ABD △翻折起来，形成三棱锥A BCD -，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为__________．【答案】323π【解析】由于题中的垂直及折叠后的平面垂直，因此把三棱锥可补形为长、宽、高分别为2，2的长方体，其外接圆直径易得，即半径易得．由此可求得体积．【详解】该三棱锥可补形为长、宽、高分别为，2，2的长方体，故其外接圆直径为24R ==，2R =，故体积为343233V R ππ==．故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是把几何体补成一个长方体，长方体的对角线就是外接球直径．16．设函数eln,0()2020,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-⎩…，函数2()[()]()2g x f x mf x=-+，若函数()g x恰有4个零点，则整数m的最小取值为__________．【答案】4【解析】作出()f x的图象，结合已知条件得方程2()20g t t mt=-+=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，可得m的取值范围．【详解】作出()f x的图象，易知要使()0g t=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，故112(3,)m tt=+∈+∞，故m的最小整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查函数零点个数，考查转化思想，通过作出函数图象，问题转化二次方程根的分布问题，由此可得m的取值范围．三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设(),k k A k a ，(,0)k B k ，*k N ∈，记以k A ，k 1A +，k B ，1k B +四点为顶点的四边形面积为k S ，求1321n S S S -+++…．【答案】（1）21n a n =+（2）()213212n S S S n n -+++=+…【解析】（1）由11a -，21a -，41a -成等比数列求得公差d ，可得通项公式；（2）求出四边形面积k S ，可得()132112212n n S S S a a a -+++=+++L …，由等差数列前n 项和公式可得．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则1312162a a d d -=--=-，216a d -=-，416a d -=+，依题意，()()()2214111a a a -=--，即2(6)(62)(6)d d d -=-+，化简得：220d d -=，又0d ≠，故2d =．3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）由题知，四边形11k k k k A A B B ++为直角梯形，故()111122k k k k k a aS a a +++=+⋅=，故()()2132112211(341)22222n n n nS S S a a a n n -++⋅+++=+++=⋅=+L …．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，及等比数列的性质．掌握等差数列通项公式和前n 项和公式是解题基础．18．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1236AB AA BC CD ====．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面11DAA D ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）363（2）存在，113DM DB = 【解析】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ，由面面垂直求出棱柱的高，然后由体积公式计算体积；（2）连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．可证得DNMC 是平行四边形，从而得线线平行后得线面平行．【详解】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ,由平面ABCD ⊥平面1ABB A 知，1A H ⊥平面ABCD ，133A H =故1111-=ABCD A B D C V S 梯形11(26)3333632⋅=⨯+⨯⨯=ABCD A H （2）当113DM DB =时，CM ∥平面11DAA D ，证明：连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．则11MN A B ∥，且2MN =．则MN DC =∥，故四边形CMND 为平行四边形．故CM DN ∥，CM ⊄平面11AA D D ，DN ⊂平面11AA D D ．故CM ∥平面11AA D D ．【点睛】本题考查求棱柱的体积，考查线面平行和证明．求体积时，利用面面垂直得线面垂直，从而得棱柱的高．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2tan CB=-．（1）证明：2223a c b =-；（2）若cos A =，且ABC V，求c ．【答案】（1）见解析（2）c =或【解析】（1）已知等式切化弦后应用正弦定理和余弦定理化角为边，进行翴的恒等变形可得；（2）由余弦定理及（1）的结论得b =或b =，由面积可得bc ，然后可求得c ．【详解】（1）证明：由题知，tan 2tan C B =-，即sin cos 2sin cos C B B C ⋅=-⋅，由正弦定理和余弦定理知，222222222a c b a b c c b ac ba+-+-⋅=-⋅，即222222222a c b a b c +-=--+，即2223a c b =-．（2）由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=，又2223a c b =-，代入消去a得，22203b c-+=，即(2)0b b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭．即b=或b=．又sin(0,))9A Aπ=∈，且1sin218ABCS bc A==△，ⅰ．当b=时，则2182⋅=c=；ⅱ．当b=时，2183⋅=c=．故c=或【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．属于中档题．20．已知函数21()2xf x ax e b=-+．（1）若该函数在(1,(1))f处的切线为y ex=，求,a b的值；（2）若该函数在1x，2x处取得极值()120x x<<，且213xx…，求实数a的取值范围．【答案】（1）2a e=，b e=．（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】（1）求出导函数，由导数几何意义可得,a b；（2）由极值点得1212x xe eax x==，研究()xeh xx=的性质得1201x x<<<，结合213x x…．分类：113x<≤和1113x<<．前者由()h x的单调性可得a的最小值，后者转化为1213x x<<，则由单调性121(3)()()h x h x h x<=，这样可得1x的取值范围，然后可求得a的范围．最后总结可得结论．【详解】（1）由题知：()x f x ax e '=-，故()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：()(1)2ay a e x e b =--+-+，即()2ay a e x b =--+．易知：2a e =，b e =．（2）由题知：1x ，2x 为()f x 的极值点，则12120xx ax e ax e-=-=．即1212x x e e a x x ==．令()x e h x x=，2(1)()x e x h x x '-=．故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．则1201x x <<<，且213x x …． ⅰ．若1103x <„，由2(1,)x ∈+∞，故123x x >， ()h x 在(0,1)单调递减，故13a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭…． ⅱ．若1113x <<，此时1213x x <„，()h x 在(1,)+∞单调递增，故()1213112133x x x e e e h x x x x ==„，即123x e „，11ln32x „．此时，ln 32ln 3ln 32ln 32e a h ⎛⎫== ⎪⎝⎭…．故实数a的取值范围为ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性、函数的极值．由不等式恒成立转化为求函数的最小值．解题时注意极值点到a 的关系．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与x 轴交于点1A ，2A ，过x轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，121PP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线11A P 与直线22A P 交于点P ，是否存在定点M 和N ，使||PM PN ||-||为定值．若存在，求M 、N 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）存在，M为(0)，N ．【解析】（1）12PP 是椭圆的通径，由此已知条件可表示为,,a b c 的两个等式，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．P 在直线11A P 可得00,,,P P x y x y 的关系，同理由P 在直线22A P 又得一关系式，消去00,x y 可得P 点轨迹方程，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答．【详解】（1）由题知：2221c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．则P ，1P ，1A 三点共线，022P P y y x x =++，①同理：0022P P y y x x -=--，②⨯①②得：22022044P P y y x x -=--，又1P 在椭圆上，()2200144y x =-，代入整理得：2214P P x y -=．即P 点的轨迹为双曲线2214x y -=，取M 、N 为该双曲线的左、右焦点．即(M，N ．此时||||||4PM PN -=为定值，故M为(0)，N ．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P 的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论． 22．已知过点()0,0P x 的直线l 的倾斜角为6π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos p θ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数0x 的值．【答案】（1）2220x x y -+=．012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）01x =±【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得C 的直角坐标方程，由一点的坐标及倾斜角可得直线的参数方程；（2）由（1）中参数方程几何意义，把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得12t t ，12t t PA PB =，由此再求得0x【详解】（1）由2cos ρθ=，22cos ρρθ=．得曲线C 的方程为：222x y x +=，即2220x x y -+=．直线l的参数方程可为：012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）把直线l 的参数方程代入2220x x y -+=得：2200020t t x x ++-=．由>0∆，得013x -<<．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12||||2t t PA PB =⋅=．即20022x x -=，即20022x x -=±．解得：01x =±又0(1,3)x ∈-，故01x =± 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程．掌握直线的标准参数方程中参数t 的几何意义是解题关键． 23．设函数()|21|f x x =-．（1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+„的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[2,2]a ∈-（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论去绝对值符号得()F x ，分析其有最小值的条件是左减右增，于是可得a 的范围．（2）由不等式在3[,2]4上恒成立得||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．转化为22x m -+剟．max min (2)(2)x m x ---+剟，即可得结论．【详解】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩…，使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩…„．即[2,2]a ∈-．（2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+„在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．即||21(21)x m x x ++--„．即||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．则22x m -+剟．故max min (2)(2)x m x ---+剟．得1104m -剟．故实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查含绝对值的函数与不等式，解题时可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后再分析求解．。

湖南省长沙市第一中学高三数学文科第七次月考试卷人教版

湖南省长沙市第一中学高三数学文科第七次月考试卷人教版时量：120分钟分值：150分第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知()sin cos ,()12f x x x f π=+-则的值为（）A ．6B ．21 C ．22D ．23 2．同时满足下列三个条件：①“有反函数”②“是奇函数”③“定义域与值域相等”的函数是（）A ．||)(x x f =B ．3)(x x f -= C ．2)(x x e e x f -+= D ．xxx f -+=11ln )(3．已知集合},,01243|),{(*N y x y x y x ∈<-+=，则集合M 的真子集个数是（） A ．8 B ．7C ．6D ．44．如图1所示四个图像：与下列所给3件事吻合最好的图象顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学 ②我骑着车以常速行驶，在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间 ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（4）（1）（3）D ．（4）（1）（2）5．已知抛物线b a c bx ax y ,0(2>++=、R c ∈），则“此抛物线顶点在直线x y =下方”是“关于x 的不等式ax 2+bx +c<x 有实数解”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑴时间离开家的距离时间离开家的距离 ⑶时间离开家的距离⑷ ⑵时间离开家的距离6. 要从10名男生、5 名女生中选出6名学生组成课外学习小组，若按性别分层随机抽样，则组成此课外学习小组的概率为（）A ．42105615C C C B ．33105615C C C C ．610615C AD ．42102615A A C 7. a 、b 是不相互垂直的异面直线，α、β是分别过a 、b 的平面，则下列四种情况： ①α//β ②α⊥β ③a//β ④a ⊥β 其中可能出现的有（） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种8.设c,e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线22221x y a b-= (a>0,b>0)的一个实轴项点A到它的一条渐近线的距离是（） A.a c B.bc C. a e D.be9.设曲线y=x 2与曲线y=-x 2+ x+1(x>0)在它们的交点处的两切线的夹角为α，则tan α=( )A.2B.12 C.3 D.1310. 已知f (x )是奇函数,且当x ＜0时f (x)=x 2+3x+2.若当x ∈[1,3]时n ≤f (x)≤m 恒成立, 则m -n 的最小值为 ( )A.34 B. 94 C. 2 D.14第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡上. 11．9(2x x+的展开式中的常数项为．（用数字作答） 12．在数列{a n }中，a 1=2,且a n －a n －1=2n (n ≥2；n ∈N*)，则a n =13．若x,y 满足28,39,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则z=x+2y 的最大值为14．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在球O 的大圆面上，顶点P 在球面上，已知球的体积为323π，则正四棱锥P ABCD -体积的最大值为_________。

2021届湖南省长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷(全国卷)高三月考数学(文)试题(九)(解析版)

2021届湖南省长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷（全国卷）高三月考数学（文）试题（九）一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【详解】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.2．若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i【答案】C【详解】试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．【解析】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3．设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．<<a b c B ．<<c b a C ．<<c a b D ．<<b c a【答案】B【分析】分别判断a ，b ，c 与0,1的大小关系得到答案. 【详解】0.40661a =>=0.40.40.40log 1log 0.5log 0.41b =<=<=88log 0.4log 10c =<=<<c b a故答案选B【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小，01分界是一个常用的方法. 4．函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【详解】利用排除法：由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当2x π=时，22sin12021142f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭，选项B 错误，本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：饮品第1杯第2杯第3杯第4杯第5杯第6杯好评率 0.13 0.52 0.22 0.45 0.98 0.30 差评率0.870.480.780.550.020.70根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是（） A ．第1杯与第3杯 B ．第2杯与第4杯 C ．第1杯与第5杯D ．第3杯与第5杯【答案】B【分析】分歧大，意味着好评率与差评率的差值小，以此为依据可得出答案. 【详解】第1杯饮品好评率与差评率的差值为0.870.130.74-=，第2杯饮品好评率与差评率的差值为0.520.480.04-=，第3杯饮品好评率与差评率的差值为0.780.220.56-=，第4杯饮品好评率与差评率的差值为0.550.450.1-=，第5杯饮品好评率与差评率的差值为0.980.020.96-=，第6杯饮品好评率与差评率的差值为0.700.300.4-=，其中较小的差值为第2杯与第4杯. 故选：B .6．已知ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ．14π-C ．8π D ．18π-【答案】B【详解】根据几何概型得：取到的点到O 的距离大于1的概率：221214d P D ππ-====-⨯圆外部分的面积矩形的面积，故选B.7．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为8π米，一只手臂长约为4π米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）A ．1516米 B 152C 153米 D 153米【答案】C【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.【详解】掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的AB及弦AB，取AB的中点，连接OC.由题设可得AB的弧长为5828πππ+=，而1516OA=，故52815316AOBππ∠==，故AB的长度为1515315322sin1638216BCπ=⨯=⨯=，故选：C.8．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（）A．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的1.5倍D．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一【答案】C【分析】通过条形图中的数据信息，对四个选项进行逐一分析判断，即可得到答案. 【详解】对于A中，由条形图可以看出，条形的高一次在增高，所以2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收逐年增加，所以A正确；对于B中，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国新闻出版业营收为1935.3亿元，因为1935.5238715720.9⨯=<，所以B 正确；对于C 中，2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.5亿元，因为16635.5 1.523595.8⨯>，所以C 错误；对于D 中，因为123595.878655720.93⨯≈>，所以2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收为超过三分之一，所以D 正确. 故选：C.9．若b a 0<<，则下列结论不正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．11a b< D ．a b a b +>+【答案】D【分析】利用作差法证明A 、B 正确，根据不等式证明C 正确，D 错误【详解】由题意，对于A 中，因为b a 0<<，()()22a b a b a b 0∴-=-+<，故A 正确，对于B 中国，因为b a 0<<，()2ab b b a b 0∴-=-<，故B 正确，对于C 中，因为b a 0<<，两边同除以ab ，可得11a b<，故C 正确，对于D 中，因为a b a b |+=+，故D 错误，故选D ．【点睛】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系，其中解答中熟记不等关系与不等式，熟练应用作出比较法进行比较是解答的关键，属于基础题，着重考查推理与运算能力． 10．已知函数ln ln ()a xf x x +=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 A ．10a e<<B ．0a e <≤C ．a e ≤D ．a e ≥【答案】D【分析】先求导，由函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，转化为f ′（x ）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．【详解】函数()ln ln a x f x x +=在[)1,+∞上为减函数,f’(x)＝21lna lnxx --，则f '（x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna ﹣lnx ≤0在[1，+∞）上恒成立， ∴lnx ≥1-lna=ln ea恒成立， ∴ln0ea≤，即e a ≤1，∴a ≥e 故选D ．【点睛】本题考查用导数研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f ′（x ）≥0在D 上恒成立；当函数是减函数时，则f ′（x ）≤0在D 上恒成立． 11．如图，AB 是圆(O O 为圆心)的一条弦，由下列一个条件能确定AB AO ⋅值的有（）A ．已知圆的半径长B ．已知弦长ABC ．已知OAB ∠大小D ．已知点O 到弦AB 的距离【答案】B【分析】作出弦心距，利用数量积表示出212AB AO AB ⋅=，结合选项可得答案. 【详解】作OC AB ⊥于C ，则12AC AB =，设OAC θ∠=，则cos AC AO θ=；21cos 2AB AO AB AO AB AC AB θ⋅===.故选：B.12．已知函数()2sin (0)6f x x t πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，点P ，Q ，R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且223PQ QR π==.若对0,2a b c π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,,，以()f a ，f b ，()f c 的值为边长可以构成一个三角形，那么实数t 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()3,+∞D ．()4,+∞【答案】D【分析】先根据223PQ QR π==求出周期，得到2ω=，结合,,a b c 的范围求出()f a ，f b ，()f c 的范围，最后利用构成三角形的条件求出实数t 的取值范围.【详解】函数()2sin (0)6f x x t πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由223PQ QR π==，解得3PQ π=，∴T PQ QR π=+=，∴22T πω==.∴()2sin 26f x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴[]()1,2f x t t ∈-++，由题意可得()()()f a f b f c +>对任意的,,0,2a b c π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()()()()()max min f a f b f c +>，∵()()1122f a f b t t t +≥-+-+=-+，()2f c t ≤+， ∴222t t -+>+，解得4t >.【点睛】求解三角函数值域的步骤：（1）先化简目标式为标准型()sin y A x B ωϕ=++; （2）根据x 的范围求解x ωϕ+的范围，结合简图可得()sin x ωϕ+的范围；（3）根据()sin x ωϕ+的范围可得y 的值域.二、填空题13．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则公比q 等于___________.【答案】2【分析】由23S =，415S =得1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩可得q 的值.【详解】因为23S =，415S =，4212S S -=，所以1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩，即()()12113112a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可得24q =，因为数列是正项等比数列，所以2q .故答案为：2.14．若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________. 【答案】28y x =【分析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求4p =，进而可得抛物线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为2px =-，点()02,P y 到其准线的距离为22p +，由题意可得242p+=，解得4p =，故抛物线的标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =.15．已知直线12,l l 是双曲线22:14xC y -=的两条渐近线，点P 是双曲线C 上一点，若点P 到渐近线1l 的距离的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到渐近线2l 的距离的取值范围是__________．【答案】48,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设点P （x 0，y 0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P 的坐标满足双曲线的方程，可得P 到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．【详解】设点()00,P x y ，由题可设渐近线1:20l x y -=，渐近线2:20l x y +=，由点P 到直线1l的距离1d =P 到直线2l的距离2d =12d d ==220045x y -，又220014x y -=，即220044x y -=，则1245d d =，则2145d d =，由2d 与1d 成反比，且11,12d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以248,.55d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：48,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、双空题16．如图，在平面四边形PQRS 中，2QPS π∠=，2QSR π∠=，2PQ PS SR ===.将该平面图形沿线QS 折成一个直二面角P QS R --，三棱锥P QRS -的体积为___________；三棱锥P QRS -的外接球的体积为___________.【答案】4343π【分析】由平面PQS ⊥平面QRS ，QS SR ⊥，得SR ⊥平面PQS ，由棱锥的体积公式可得PQRS 的体积；由已知得SR ⊥平面PQS ，得SR PQ ⊥，又PQ PS ⊥，得PQ ⊥平面PRS ，从而PQ PR ⊥，可得QR 是外接球的直径，求得球的体积.【详解】因为平面PQS ⊥平面QRS ，QS SR ⊥，则SR ⊥平面PQS ，四面体PQRS 的体积111222332PQSV SSR ==⨯⨯⨯⨯=43；由SR ⊥平面PQS 可得SR PQ ⊥，因为PQ PS ⊥，且PS PS S =，则PQ ⊥平面PRS ，从而PQ PR ⊥，取QR 的中点O ，则OR OQ OS OP ===，所以O 是外接球的球心，QR 是外接球的直径，在Rt QSR △中，2223QR QS SR =+=，则球半径3R =，所以外接球的体积34433V R ππ==，故答案为：①43；②43π.【点睛】本题考查了球的内接问题，关键点是确定球心的位置，考查了学生的空间想象能力和计算能力.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b=. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n n b n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.18．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,22AA AC A B A D ====，点E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2221【分析】（1）由22211AA AB A B +=得1AA AB ⊥，由22211+=AA AD A D 得1AA AD ⊥可得答案；（2）当11A EED=时得点E 为1A D 的中点时，可得1//A B 平面EAC ，转化为求点1A 到平面EAC 的距离，设AD 的中点为F ，则1//EF AA ，得EF ⊥平面ACD ，利用可求得3-=E ACD V D EAC E ACD V V --=可得答案．【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，所以1112,22=====AA AC AB A B A D 22211AA AB A B +=知1AA AB ⊥，由22211+=AA AD A D 知1AA AD ⊥，又因为AB AD A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD ．（2）当11A EED=时，1//A B 平面EAC ．证明如下：连结BD 交AC 于O ，当11A EED=时，即点E 为1A D 的中点时，连结OE ，则1//OE A B ，OE ⊂平面EAC ，1A B ⊄平面EAC ，所以1//A B 平面EAC ，所以直线1A B 与平面EAC 之间的距离等于点1A 到平面EAC 的距离，因为点E 为1A D 的中点，可转化为D 到平面EAC 的距离，D EAC E ACD V V --=，设AD 的中点为F ，连结EF ，则1//EF AA ，所以EF ⊥平面ACD ，且1EF =，可求得3ACD S =△，所以131333E ACD V -=⨯⨯=，又2AE =，2AC =，2CE =，72ABCS=，所以1333ABC S d ⋅=△（d 表示点D 到平面EAC 的距离），2217d =，所以直线1A B 与平面EAC 之间的距离为2217．19．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如图的频数直方图．将周平均网购次数不小于4次的民众称为网购迷．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，且网购迷中有5名市民的年龄超过40岁．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提条件下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计（2）现从网购迷中按分层抽样选5人代表进一步进行调查，若从5人代表中任意挑选2人，求挑选的2人中有年龄超过40岁的概率．附：()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ )20k 0.500.455【答案】（1）填表见解析；能；（2）25．【分析】（1）根据已知条件完成2×2列联表，并求得卡方值，与3.297进行比较，判断相关性；（2）由频数分布直方图知，网购迷共有25人，现从网购迷中按分层抽样选5人代表，记其中年龄超过40岁的1名市民为A ，其余4名年龄不超过40岁的市民为,,,c d e f ，现从5人中任取2人，列举出所有的情况，找到满足情况的种类数，从而求得概率. 【详解】（1）根据已知条件完成2×2列联表，如下：计算22100(2030545) 3.29725756535K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为3．297 2.706>，所以据此列联表判断，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为网购迷与年龄不超过40岁有关．（2）由频数分布直方图知，网购迷共有25人，现从网购迷中按分层抽样选5人代表，记其中年龄超过40岁的1名市民为A ，其余4名年龄不超过40岁的市民为,,,c d e f ，现从5人中任取2人，基本事件是,Ac Ad 、Ae 、Af 、cd 、ce 、cf 、de 、df ，ef 共有10种，其中有市民年龄超过40岁的基本事件是,,Ac Ad Ae Af ,共4种，故所求的概率为42105P ==． 20．已知函数2()ln f x ax x bx ax =--.（1）曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为102x y ++=，求a ，b 的值；（2）若0a ≤，12b =时，()12,1,x x e ∀∈，都有()()12123f x f x x x -<-，求a 的取值范围. 【答案】（1）1a =，12b =；（2）30e a -≤≤. 【分析】(1)对f (x )求导，由给定的切点、切线方程列出关于a ，b 的方程而得解； (2)将给定不等式等价转化，构建新函数，利用函数单调性即可求得.【详解】（1）由题意，()(1ln )2ln 2f x a x bx a a x bx '=+--=-，切线斜率为-1，切点3(1,)2-，即()121f b '=-=-，得12b =，又()312f b a =--=-，1a =，即1a =，12b =；（2）当0a ≤，12b =，()1,x e ∈时，()ln 0f x a x x '=-<，()f x 在()1,e 上单调递减，不妨令12x x <，则()()12f x f x >，原不等式即为()()12213f x f x x x -<-，即()()122133f x f x x x -<-，即()()112233f x x f x x +<+，令()()3g x f x x =+，则()g x 在()1,e 上为单调增函数， ∴有()()3ln 30g x f x a x x ''=+=-+≥在()1,e 上恒成立，即3ln x a x -≥，()1,x e ∈，令3()ln x h x x -=，()1,x e ∈，23ln 1()(ln )x xh x x +-'=，令3()ln 1t x x x=+-，22133()0x t x x x x -'=-=<，∴()t x 在()1,e 上单调递减，()()30t x t e e>=>，则()0h x '>，()h x 在()1,e 上为单调增函数， ∴()()3h x h e e <=-，即3a e ≥-，综上，30e a -≤≤.【点睛】含双变量且具有斜率意义的函数不等式恒成立问题，分离变量，构建函数是关键，再研究函数单调性是方法.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为22b a -，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆E ：22143x y +=.（1）已知点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标.（2）过点()作直线l 与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1A O 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B .当11AOB 的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由.（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T .已知点P 满足：OP OT λ=，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围.【答案】（1）⎭和⎛ ⎝⎭；（2）直径12A A 与直径12B B 共轭，理由见解析；（3）λ>λ<【分析】（1）设所求直线方程为：y kx =依题意可得12k =-，即可得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求出交点坐标即可；（2）设l：x my =()111,A x y ､()122,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则12S y =-，再利用基本不等式求出面积最大值，即可求出参数m 的值，即可判断；（3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，设CD l ：y kx =，则MN l ：34y x k=-，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，从而得到P 点坐标，再由P 在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）由题设知32AB k =，设所求直线方程为：y kx =，则34AB k k ⋅=-，则12k =-.故共轭直径所在直线方程为：12y x =-.联立椭圆与12y x =-，即2212143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：23x =，x =故端点坐标为⎭和⎛⎝⎭. （2）由题设知，l 不与x 轴重合，故设l：x my =()111,A x y ､()122,B x y联立方程：()22223430143x my m y x y ⎧=⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，则12y y +=，122334y y m -=+，2122121234m x x m -=+，12S y -==63=≤=当且仅当2313m +=，即223m =时取等号，此时121221222123312124A A B B y y b k k x x m a-⋅===-=--，故直径12A A 与直径12B B 共轭. （3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，当CD 不与坐标轴重合时，设CD l ：y kx =，则MN l ：34y x k=-. 联立2222211221212,3434143y kxk x y x y k k =⎧⎪⇒==⎨+++=⎪⎩. 同理可得：22221634k x k =+，222934y k =+. 由椭圆的对称性，不妨设C 在第一象限，则M 必在第二象限或第四象限，则1x =1y = 若M在第二象限，则2x =2y =从而T ⎪⎝⎭，则P ⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 又P在椭圆外，则223412⎫⎪⎪+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：22λ>，即λ>λ<若M 在第四象限，同理可得22λ>，即λ>λ<当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C，(M ，则P λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.又P 在椭圆外，则2223341224λλλ+⋅>⇒>，即λ>λ<综上：λ>λ<【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．在以原点O 为极点；x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为2cos sin ρθθ= （1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）过原点O 且倾斜角为α 64ππα⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点（A ，B 异于原点），求||OA ・||OB 的取值范围【答案】（1）2x y =；（2）4⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）等式两边同时乘以ρ，由cos ,sin x y ρθρθ==即可得到直角方程；（2）写出直线l 的极坐标方程，与曲线C 1，C 2联立，可得||OA 与||OB ，利用正切函数图像的性质即可得到取值范围.【详解】（1）由曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=，两边同乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，故曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（2）射线l 的极坐标方程为,64ππθαα=<≤，把射线l 的极坐标方程代入曲线1C 的极坐标方程得4cos A OA ρα==，把射线l 的极坐标方程代入曲线2C 的极坐标方程得2sin cos B OB αρα==． 2sin ||||4cos 4tan cos OA OB αααα∴⋅=⋅=，,tan 64ππαα⎤<≤∴∈⎥⎝⎦，||||OA OB ∴⋅的取值范围是4⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，以及利用同角三角函数关系式和正切函数图像的性质求范围问题，属于基础题.23．选修4－5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．（1）求a 的值；（2）若p ，q 是正实数，且满足p q a +=，求证：1143p q +≥ 【答案】(1) 3a = (2)见证明【分析】（1）利用绝对值三角不等式即可得到函数的最小值；（2）由（1）得3p q +=，则111133p q p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式即可得到证明. 【详解】（1）因为()()112123x x x x +++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．（2）证明：由（1）知3p q +=，又因为p q ⋅是正实数，所以1111112433333333p q q p p q p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32p q ==时，等号成立．【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.。

湖南省2021年高三上学期第一次月考数学(文)试卷(附答案)

湖南省高三上学期第一次月考数学（文）试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知A={x|x 2＜1}，B={x|x ≥0}，全集U=R ，则A ∩（∁U B ）=（） A ． {x|x ＜0} B ． {x|x ＜﹣1} C ． {x|﹣1＜x ＜0} D ．{x|0＜x ＜1} 2．若R b a ∈,，i 是虚数单位，且i i a b +=-+1)2(，则b a +的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 3．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（） A 3- B 1- C 1 D 3 4．设集合A ，B 是两个集合，①A=R ，B={y|y ＞0}，f ：x →y=|x|；②A={x|x ＞0}，B={y|y ∈R}，f ：x →y=±； ③A={x|1≤x ≤2}，B={y|1≤y ≤4}，f ：x →y=3x ﹣2．则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．已知A 为△ABC 的内角，54cos -=A ，则sin2A=( ) A ．B ．C ．D ．6．已知△ABC 中,222a cb >+, 且角A 为三个内角中的最大角,则角A 的取值范围是 ( A. )180,120(0B. )120,90(0C. )90,60(0D. )60,45(07．设命题甲：关于x 的不等式x 2+2ax+1＞0对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数y=log （4﹣2a ）x 在（0，+∞）上递减，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知命题p ：∀x ∈（-∞，0），2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．￢p ∧q C ．p ∧￢q D ．￢p ∧￢q 9．在等腰△ABC 中，BC=4，AB=AC ，则=（）A ．﹣4B ． 4C ． ﹣8D ．810．函数f(x)=)sin(φω+x 的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为（）A ．43,41(+-k k ),Z k ∈ B ．)41,45(--k k ,Z k ∈C ．432,412(+-k k ),Z k ∈D ．412,452(--k k ）, Z k ∈11．设y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=4x++3，则对于y=f （x ）在x ＜0时，下列说法正确的是（） A ．有最大值7 B ．有最大值﹣7 C ．有最小值7 D ．有最小值﹣712．已知函数f(x)=﹣k|x|（k ∈R ）有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+)0(2)0)(1(log 123x x x x ，则f （10）+f （-1）= ．14．在等差数列}{n a 中，98=a ,89=a ，则=17a ． 15．已知函数y=f(x+1)是R 上的偶函数，且x>1时()'0f x <恒成立，又f(4)=0,则(x+3)f (x+4)<0的解集是 .16．给出下列命题：①若函数f （x ）=asinx+cosx 的一个对称中心是（，0），则a 的值为﹣；②函数f （x ）=cos （2x+）在区间[0，]上单调递减；③已知函数f （x ）=sin （2x+ϕ）（﹣π＜ϕ＜π），若﹣|f （）|≤f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则ϕ=或﹣；④函数f （x ）=|sin （2x ﹣）+1|的最小正周期为π．其中正确结论的序号是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明或演算步骤）17．(10分)设关于x 的函数f （x ）=lg （x 2﹣2x ﹣3）的定义域为集合A ，函数g （x ）=x —a ，（0≤x ≤4）的值域为集合B ．（1）求集合A ，B ；（2）若集合A ，B 满足A ∩B=B ，求实数a 的取值范围．18 (12分) 已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？19．(12分) 已知等差数列}{n a 的前n 项之和为q p q n pn S n ,(,22+-=是常数, )*∈N n （1）求q 的值；（2）若等差数列}{n a 的公差2=d ，求n S 。

湖南省长沙市重点高中2021-2022学年高三下学期第七次月考数学试题

2022届高三月考试卷（七）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}1,0,1,2A =-，{}3,2,3B =-，则()U AC B =（）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1- 2.已知sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A.79B. 79-C. 9D. 9-3. 某种活性细胞的存活率()%y 与存放温度()0x C 之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算，回归直线的斜率为-3.2，若这种活性细胞的存放温度为06C ，则其存活率的预报值为（） A. 32% B. 33% C. 34% D. 35%4. 已知双曲线()22:1016x y C k k -=>，若对任意实数m ，直线430x y m ++=与C 至多有一个交点，则C 的离心率为（） A.54 B. 53 C. 43 D.5. 已知函数()()1,221,2x x f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（） A.13 B. -6 C. 16D. -3 6. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其中1AA ⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为2π，AD 的长度为BC 的长度的3倍，13AA =，2CD =，则该曲池的体积为（）A.92π B. 6π C. 112π D. 5π 7. 考察下列两个问题：①已知随机变量(),XB n p ，且()4E X =，()2D X =，记()1P X a ==；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记()|P A B b =，则（） A. 3a b = B. 4a b = C. 5a b = D. 6a b =8. 在ABC ∆中，角,B C 的边长分别为,b c ，点O 为ABC ∆的外心，若222b c b +=，则BC AO 的取值范围是（）A. 1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. ()0,2C. 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图所示，用一个与圆柱底面成02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，3πθ=，则（）A. 椭圆的长轴长等于4B. 3C. 椭圆的标准方程可以是221164y x += D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为423-10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（） A. ()f x 是以4为周期的周期函数 B. ()()202120222f f +=-C. 函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D. 当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+11. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωπϕ⎛⎫=+>>-<<-⎪⎝⎭的部分图象如图所示，把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数()y g x =的图象，则（）A. 3g x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数 B. ()g x 的最小正周期是π C. ()g x 的图象关于直线23x π=对称 D. ()g x 在区间7,12ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 12. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球球心为O ，E F 、分别是棱1AB CC 、的中点，G 在棱BC 上移动，则（）A. 对于任意点G ，//OA 平面EFGB. 存在点G ，使OD ⊥平面EFGC. 直线EF 的被球O 3D. 过直线EF 的平面截球O 所得截面圆面积的最小值为2π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数z 满足()142z i i -=+，则z =_________（用代数式表示）.14. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.15. 已知直线l 过点()0,1P ，且与圆22:3O x y +=相交于,A B 两点，设OC OA OB =+，若点C 在圆O 上，则直线l 的倾斜角为__________.16. 已知函数()2xf x x ae =-+.（1）若对任意实数x ，()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________；（2）若存在实数()1212,x x x x ≠，使得()()120f x f x ==，则a 的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知()22sin sin sin sin sin A B C B C -=+.（1）求角A 的值；（2）设BAC ∠的平分线交BC 边于D ，若1AD =，62BC =ABC ∆的面积. 18.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知12a =，()11n n n n a a a +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1nn n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求满足100n S >的正整数n 的最小值. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆是边长为2的正三角形，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为l . （1）证明：直线l ⊥平面PAC ；（2）设点Q 在直线l 上，直线PQ 与平面AEF 所成的角为α，异面直线PQ 与EF 所成的角为θ，求当AQ 为何值时，2παθ+=.20.（本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内（单位：千元），按[)(](](](][]0,55,10,10,15,15,20,20,25,25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷 20 非网购迷 45 合计100（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++. 临界值表：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =. （1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC 的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数()3ln f x x a x =+，其中3a ≥-为常数.（1）设()f x '为()f x 的导函数，当6a =时，求函数()()()9g x f x f x x'=-+的极值；（2）设点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ()121xx >≥，曲线()y f x =在点,A B 处的切线的斜率分别为12,k k ，直线AB 的斜率为k ，证明：122k k k +>.参考答案一、选择题1. D 【解析】由题设，{}2,1,0,1U C B =--，则(){}1,0,1U A C B =-，选D.2. A 【解析】2sin 2sin 2cos 22sin 63233πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2872sin 121399πα⎛⎫=+-=⨯-= ⎪⎝⎭，选A.3. C 【解析】设回归直线方程为ˆ 3.2yx a =-+，由表中数据可得，1,50x y ==.因为回归直线经过样本点中心()1,50，则 3.253.2a y x =+=.所以当6x =时，ˆ 3.2653.234y=-⨯+=，选C.4. B 【解析】据题意，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线y x=平行或重合，则43=，即9k =，从而5c ==，所以C 的离心率53e ==，选B. 5. A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，选A.6. B 【解析】设AD 所在圆的半径为R ，BC 所在圆的半径为r ，因为3AD BC =，则3R r =. 因为22CD R r r =-==，则1,3r R ==，所以该曲池的体积()22364R r V ππ-=⨯=，选B.7. C 【解析】由()()()412E X np D X np p ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则()171885118112222a P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()()()331231|22n AB A b P A B n B C ====⨯，所以5a b =，选C. 8. D 【解析】取BC 的中点D ，则OD BC ⊥，所以()()()()()2222111222BC AO BC AD DO BC AD AC ABAC AB AC AB b c =+==-+=-=- ()22221112224b b b b b b ⎛⎫⎡⎤=--=-=-- ⎪⎣⎦⎝⎭. 因为2220c b b =->，则()20b b -<，即02b <<.所以124BC AO -≤<，选D. 二、选择题9. BCD 【解析】设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则2cos43a π=，得4a =.又2b =，则22212c a b =-=，得c =.所以椭圆的长轴长等于8标准方程可以是221164y x +=，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4a c -=-BCD. 10. ACD 【解析】因为()()11f x f x +=--，则()()2f x f x +=--.又()f x 为偶函数，则()()2f x f x +=-，从而()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，A 正确. 因为()f x 的周期为4，则()()202110f f ==，()()()2022202f f f ==-=，所以()()202120222f f +=，B 错误；作函数()2log 1y x =+和()y f x =的图象，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当[]3,4x ∈时，[]40,1x -∈，则()()()()()224442918f x f x f x x x x x =-=-=-+--=-+，D 正确.选ACD.11. BC 【解析】由图知，()2,01A f ==-，则2sin 1ϕ=-，即1sin 2ϕ=-，因为2ππϕ-<<-，所以56πϕ=-. 因为56x π=为()f x 的零点，则()5566k k Z πωππ-=∈，得615k ω=+.由图知，5226T πππω<=<，则1215ω<<，所以1k =，115ω=，从而()1152sin 56f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题设，()1110552sin 2sin 251166g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则52sin 22sin 23366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为非奇非偶函数，()g x 的最小正周期22T ππ==. 当23x π=时，5262x ππ-=，则()g x 的图象关于直线23x π=对称.当7,12x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，572,636x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()g x 不单调，选BC. 12. BD 【解析】正方体内切球的球心O 即正方体的中心，且球半径1R =，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ，此时直线OA 与平面EFG 相交，A 错误；当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1EG BB ⊥，则EG ⊥平面11BB D D ，所以1EG B D ⊥；同理，1FG B D ⊥，所以1B D ⊥平面EFG ，即OD ⊥平面EFG ，B 正确；取EF 的中点M ，由对称性可知，OE OF =，则OM EF ⊥.因为OE =12EM EF ===，则2OM ==，所以直线EF 的被球O 截得的弦长为==C 错误；设截面圆半径为r ，球心O 到截面的距离为d ，则2221r d R +==.因为d OM ≤=，则22112r d =-≥，所以截面圆面积22S r ππ=≥，D 正确，选BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 13i +【解析】()()()()()()221422113111i i i z i i i i i i +++===++=+--+.14. 126 【解析】据题意，甲可收集1种或2种资料.第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有123343108C C A =种；第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有233318C A =种. 所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.15. 30°或150°【解析】因为OC OA OB =+，OA OB =，则四边形OACB 为菱形，所以OC AB ⊥.设D 为垂足，因为点C 在圆O 上，则2OC OD ==.设直线l 的方程为1y kx =+2=，得213k =，即k =±，所以直线l 的倾斜角为30°或150°.16.（1）(),e +∞；（2）()0,e【解析】（1）由()20xf x x ae =-+<，得2x x a e +>，设()2x x g x e +=，则()1xx g x e+'=-，当(),1x ∈-∞-时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1g x g e =-=.因为()a g x >恒成立，则a e >，所以a 的取值范围是(),e +∞. （2）据题意，()f x 有两个不同零点，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个不同交点，因为当2x >-时，()0g x >；当2x <-时，()0g x <；当x →+∞时，()0g x →，由图可知，c 的取值范围是()0,e .四、解答题17. 【解析】（1）设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，由已知及正弦定理，得()22a b c b c -=+，即222a b c bc --=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A --=-，则2cos 1A -=，即1cos 2A =-. 因为0A π<<，所以23A π=. （2）因为AD 为BAC ∠的平分线，则3BAD CAD π∠=∠=，又1AD =，由ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+，得1211sin sin sin 232323bc b c πππ=+，即bc b c =+. 在ABC∆中，由余弦定理，得()()222222222cos3a b c bc b c bc b c bc bc bc π=+-=++=+-=-，因为a =()272bc bc -=，即()()980bc bc -+=，因为0bc >，则9bc =，所以ABC ∆的面积12sin 23S bc π==. 18. 【解析】（1）解法一：因为()11n n n n a a a +-=+，则()111n n na n a +=++，即()()()1111n n n a n a ++=++，即1111n n a a n n +++=+，所以数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列. 因为12a =，则11131n a a n ++==，所以数列{}n a 的通项公式是31n a n =-.解法二：因为()11n n n n a a a +-=+，则()111n n na n a +=++，即()1111n n a a n n n n +-=++. 当2n ≥时，()3122111112232112231n n n a a aa a a a a n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++++⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112132231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得31n a n =-，又12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是31n a n =-. （2）由题设，()()131nn b n =--，设k 为奇数，则()()131323k k b b k k ++=--++=.当n 为奇数时，()()()()12342113133122n n n n n n S b b b b b b b n ---+=+++++++=⨯--=-. 由311002n +>，得19916633n >=，则67n ≥. 当n 为偶数时，()()()123413322n n n n nS b b b b b b -=++++++=⨯=.由31002n >，得20026633n >=，则68n ≥. 综上分析，n 的最小值为67.19.【解析】（1）因为,E F 分别是,PC PB 的中点，则BC EF ∥，从而BC ∥平面AEF .因为BC ⊂平面ABC ，平面AEF 平面ABC l =，则BC ∥l ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BC AC ⊥，则BC ⊥平面PAC ，所以直线l ⊥平面PAC . （2）因为BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥.又EF BC ∥，则EF PC ⊥.因为PAC ∆为正三角形，E 为PC 的中点，则AE PC ⊥.从而PC ⊥平面AEF .连接EQ ，则PQE α∠=，因为l EF ∥，l PA ⊥，则PQA θ∠=，在Rt PEQ ∆中，1sin PE PQ PQ α==，在Rt PAQ ∆中，cos AQPQθ=. 因为2παθ+=，则sin cos αθ=，得1AQ =.所以当1AQ =时，2παθ+=.解法二：以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，过点C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则点()()2,0,0,0,4,0A B ，(13133,,0,,,2,2222P E F ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而33,0,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0EF =. 设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则330220AE m x z EF m y ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩，取3z =(3m =.设点()2,,0Q a ，则(1,,3PQ a =-，所以2sin cos ,24PQ m PQ m PQ mα====+cos cos ,2PQ EF PQ EF PQ EFθ====.因为2παθ+=，则sin cos αθ=，得1a =，所以当1AQ =时，2παθ+=.20.【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为()0.010.020.0450.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为()0.040.0350.35+⨯=，所以中位数位于区间(]15,20内. 设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x --=，得 2.5x -，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.因为非网购迷人数共有100-35=65，其中男性45人，则女性有20人，所以补全的2×2列联表如下：因为()22100452015204009006006.593 5.0246040356524356591K ⨯-⨯⨯===≈>⨯⨯⨯⨯⨯，查表得()2 5.0240.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）解法一：由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12,23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为,X Y ，据题意，12,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()1212E X =⨯=，()24233E Y =⨯=，因为X Y ξ=+，则()()()73E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73.解法二：设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为,X Y ，则X Y ξ=+.因为,X Y 的可能取值为0，1，2，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4.由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12,23. 则()()2211100,02336P P X Y ξ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()2221122121116110,11,023323366P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=222221122121211113232332336C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()22211221212112131,22,123233363P P X Y P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()22124142,223369P P X Y ξ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11131170123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即ξ的数学期望为73. 21.【解析】设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-. 因为AB BC =，则212232111x x k x x k -+=-+，得()2312x x k x x -=-，① ()()()()20,21,12,0P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，② 因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k=--③ 将②③代入①，得()224242x k k x k +--，即()()32221212k k x k k k-+---，则()()32211k x k k --+，所以()()()()22222122cos 451421AB AC AB AC AB x x kk x k ===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k ++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121k k k +≥+，当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.22.【解析】（1）当6a =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x'=+，则()3236ln 3g x x x x x =+-+.()()()()()()()34322222223221311231163360x x x x x x x x g x x x x x x x x x -+--+--+'=+--===>，则当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()g x 的极小值为()11g =，且无极大值. （2）由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-，又121x x >≥，则所证不等式化为()()()()()1212220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为()3ln f x x a x =+，()23a f x x x'=+，则()()()()()()22121212*********a a x x f x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫''-+--=-+++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()33332212111221212122122ln ln 332ln x x x x a x x a x x x x x x x a a x x x ⎛⎫-+--=--++-- ⎪⎝⎭()3121122122ln x x x x x a x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.令12x t x =，()12ln h t t t t =--，因为121x x >≥，则1t >，()()22211210t h t t t t -'=+-=>，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，从而()()10h t h >=，即12ln 0t t t-->，因为()23,1,1,1a x t g t ≥-≥>>，则()()33312112221212ln 12ln x x x x x a x t a t t x x x t ⎛⎫⎛⎫-+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()33213132ln 36ln 110t t t t t t g t t t ⎛⎫≥----=-++-=-> ⎪⎝⎭，从而()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以122k k k +>.。

高三数学月考试题七文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校雅礼2021届高三月考试卷〔七〕数学〔文科〕本卷须知：1.2.答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在套本套试卷上无效。

3.答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

4.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

第一卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集B A U ⋃=，那么集合)(B A C U 中的元素一共有〔〕 A.3个 B.4个C.5个D.6个【答案】A 【解析】【分析】利用交集与并集定义先求B A 与B A ，再利用补集定义求)(B A C U .【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=，{}1,2,4A B ⋂=，所以(){}0,3,5U C A B ⋂=应选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公一共元素、所有元素、B A 的补集中的元素，此题考察集合的根本运算.12iz i+=，那么z 等于〔〕 A.2i -- B.2i -+C.2i -D.2i +【答案】D 【解析】【分析】由复数的四那么运算，将复数化成bi a z +=的形式，再利用一共轭复数的定义可得答案.【详解】∵()121221i ii z i i ++===--，∴2z i =+. 应选D.【点睛】此题考察复数的计算，同时考察实部和虚部以及一共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的一共轭复数，意在考察学生对这一局部知识的掌握程度. 3.p ：12x +>，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a 的取值范围是〔〕A.1a ≥B.1a ≤C.3a ≥-D.3a -≤【答案】A 【解析】【分析】首先解不等式x 12+>，求出p ⌝和q ⌝对应的不等式，再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解. 【详解】p ⌝是q⌝q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，而p ⇒q ，p 化简为1x >或者3x <-，所以当1a ≥时，q p ⇒.应选A. .4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：那么x 、y 的函数关系与以下哪类函数最接近？〔其中a 、b 为待定系数〕〔〕A.y a bx =+B.x y a b =+C.b ax y +=2D.by a x=+【答案】B 【解析】【分析】可以逐一验证,假设选A ，那么y 的值增加幅度应比较接近；假设选C ，那么x=1,-1的值应比较接近；假设选D ，那么x=0不可取.【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x=时，bx无意义，∴D 不成立；对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经历证它与各教据比较接近. 应选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，那么p 的值是A.2-B.2C.4-D.4【答案】D 【解析】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，那么4p =，应选D 。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考(七)数学试题(解析版)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，利用函数的解析式判断单调性.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案.
【详解】根据题意，在直线上取点，且满足，过分别作直线的垂线，交曲线于，，交曲线于，在曲线上取点，使，如图所示：
，令，则，
，令，则，
因此，和两人组成一队参加比赛的概率为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）树状图法；
（4）排列、组合数的应用.
6.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）
A. 第4行第10列的数为94B. 第7行的数构成公差为15的等差数列
C.592不会出现在此矩阵中D. 第10列中前10行的数之和为1255
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中所给的性质，结合此矩阵所给的数据、等差数列的通项公式进行逐一判断即可.
【详解】根据题意，第i行的等差数列的公差为．第j列的等差数列的公差等于．

湖南省长沙市一中高三第七次月考数学试题(文科)

湖南省长沙市一中2008届高三第七次月考试题文科数学注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共9页。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、准考证号分别填写在答题卡及答题纸上。

3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上。

4．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1、函数y=log 21-x 定义域是A ．（0，1]B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞)2、下列函数中最小正周期不为π的是 A ．x x x f cos sin )(⋅=B ． g （x ）=tan （2π+x ）C ． x x x f 22cos sin )(-=D ．x x x cos sin )(+=ϕ3、某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼各有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行重量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有A ．6条B ．8条C ．10条D ．12条4、设半径为R 的地球表面上两点A ，B 间的球面距离为3πR ，则地心到线段AB 的距离等于 A ．R 23B ．RC ．R 33D ．R 63 5、若a 、b ∈R ，a ＞1，b ＞1的充要条件是A ．a 2+b 2＞2B ．a+b ＞2 a+b ＞2a+b ＞2C ． ab ＞1D ． (a-1)(b-1) ＞06、如果（3x 2-32x）n的展开式中非零常数项为第5项，则正整数n 为A ．10B ．2C ．12D ．137、已知P 是椭圆92522y x +=1上的点，F 1、F 221||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△F 1PF 2的面积为 A ．33B ． 32C ．3D ．338、将“2008奥运会”所有数字（注：两个0）与汉字重排，在所有全排列中，汉字“奥，运，会”相邻的全排列个数是A ．720B ．360C ．1440D ．3209、已知△ABC 满足|BC |3+|BA |3=|CA |=1，△ABC 则必定为 A ．直角三解形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不确定10、设圆x 2+y 2=2过点（1，1）的切线也是抛物线y=ax 2的切线，则a 等于A ．81B ．81-C ．21D ． 21-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）2、若数列{a n }满足：a 2=2，a 4=4， a n+1= 2a n -a n-1，（n=1，2，3…）。

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（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与直线交于点，是否存在定点和，使为定值．若存在，求、点的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知过点的直线的倾斜角为，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程并写出直线的一个参数方程；
【点睛】
本的渐近线的概念是解题关键．
4．C
【分析】
根据反函数知识求出，得复合函数，由对数型复合函数的性质可求得增区间．
【详解】
由题知，，故，定义域为，时，在是递增，∴ 的单调递增区间为．
故选：C．
【点睛】
本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．
19．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求．
20．已知函数．
（1）若该函数在处的切线为，求的值；
（2）若该函数在，处取得极值，且，求实数的取值范围．
21．已知椭圆的离心率为，与轴交于点，，过轴上一点引轴的垂线，交椭圆于点，，当与椭圆右焦点重合时，．
13．已知数列满足，且，则 __________．
14．已知直线与圆相交于，两点，且，则 __________．
15．在平行四边形中，，，，．沿把翻折起来，形成三棱锥，且平面平面，则该三棱锥外接球的体积为__________．
16．设函数，函数，若函数恰有4个零点，则整数的最小取值为__________．
A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3D．为定值2
10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在区间，现在从课余使用手总时间在样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）
2．B
【分析】
已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出，得后可得其共轭复数．
【详解】
由题意，且，则，，
∴ ，，
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．
3．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
的渐近线方程为，而渐近线为时，方程不一定为，故选：A．
A． B． C． D．
7．已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为（）．
A．1B．2C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（）
A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）
A． B． C． D．
11．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（）
A．16B．12C．20D．10
12．如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
3．设曲线为双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为（）
A． B． C． D．
5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则、的值分别为（）
（2）若直线和曲线交于、两点，且，求实数的值．
23．设函数．
（1）若函数有最小值，求的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先确定集合中的元素，再由交集定义求解．
【详解】
由题意，，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知实数，满足（为虚数单位）则复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列，满足，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设，，，记以，，，四点为顶点的四边形面积为，求．
18．如图所示，四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面平面，，．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5
6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积（底面的圆周长的平方高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）
5．B
【分析】
由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得的关系，从而可得结论
【详解】
两组数据和相等，则，即，则，．只有B适合．
故选：B．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．
6．B
【分析】
求出底面半径，由圆柱体积公式计算，
【详解】