2021届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学(文)试题
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A． B． C． D．
11．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（）
A．16B．12C．20D．10
12．如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 为 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．B
【分析】
已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出 ，得 后可得其共轭复数．
【详解】
由题意 ，且 ，则 ， ，
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．
3．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
的渐近线方程为 ，而渐近线为 时， 方程不一定为 ，故选：A．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键．
4．C
【分析】
根据反函数知识求出 ，得复合函数 ，由对数型பைடு நூலகம்合函数的性质可求得增区间．
【详解】
由题知， ，故 ，定义域为 ， 时， 在 是递增，∴ 的单调递增区间为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ， ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积为（）．
A．1B．2C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，角 和角 均以 为始边，终边分别为射线 和 ，射线 ， 与单位圆的交点分别为 ， ．若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体 中，E，F分别为线段CD和 上的动点，且满足 ，则四边形 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
13．已知数列 满足 ，且 ，则 __________．
14．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 __________．
15．在平行四边形 中， ， ， ， ．沿 把 翻折起来，形成三棱锥 ，且平面 平面 ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
16．设函数 ，函数 ，若函数 恰有4个零点，则整数 的最小取值为__________．
（2）若直线 和曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值．
23．设函数 ．
（1）若函数 有最小值，求 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先确定集合 中的元素，再由交集定义求解．
【详解】
由题意 ， ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设 ， ， ，记以 ， ， ， 四点为顶点的四边形面积为 ，求 ．
18．如图所示，四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
19．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 ．
20．已知函数 ．
（1）若该函数在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若该函数在 ， 处取得极值 ，且 ，求实数 的取值范围．
21．已知椭圆 的离心率为 ，与 轴交于点 ， ，过 轴上一点 引 轴的垂线，交椭圆 于点 ， ，当 与椭圆右焦点重合时， ．
3．设曲线 为双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如果函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调递增区间为（）
A． B． C． D．
5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则 、 的值分别为（）
A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3D．为定值2
10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在 区间，现在从课余使用手总时间在 样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）
A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5
6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积 （底面的圆周长的平方 高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足 （ 为虚数单位）则复数 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
5．B
【分析】
由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得 的关系 ，从而可得结论
【详解】
两组数据和相等，则 ，即 ，则 ， ．只有B适合．
故选：B．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．
6．B
【分析】
求出底面半径，由圆柱体积公式计算，
【详解】
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与直线 交于点 ，是否存在定点 和 ，使 为定值．若存在，求 、 点的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知过点 的直线 的倾斜角为 ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的一个参数方程；
11．已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（）
A．16B．12C．20D．10
12．如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 为 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．B
【分析】
已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出 ，得 后可得其共轭复数．
【详解】
由题意 ，且 ，则 ， ，
∴ ， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．
3．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
的渐近线方程为 ，而渐近线为 时， 方程不一定为 ，故选：A．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键．
4．C
【分析】
根据反函数知识求出 ，得复合函数 ，由对数型பைடு நூலகம்合函数的性质可求得增区间．
【详解】
由题知， ，故 ，定义域为 ， 时， 在 是递增，∴ 的单调递增区间为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ， ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积为（）．
A．1B．2C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，角 和角 均以 为始边，终边分别为射线 和 ，射线 ， 与单位圆的交点分别为 ， ．若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体 中，E，F分别为线段CD和 上的动点，且满足 ，则四边形 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
13．已知数列 满足 ，且 ，则 __________．
14．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 __________．
15．在平行四边形 中， ， ， ， ．沿 把 翻折起来，形成三棱锥 ，且平面 平面 ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
16．设函数 ，函数 ，若函数 恰有4个零点，则整数 的最小取值为__________．
（2）若直线 和曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值．
23．设函数 ．
（1）若函数 有最小值，求 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先确定集合 中的元素，再由交集定义求解．
【详解】
由题意 ， ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设 ， ， ，记以 ， ， ， 四点为顶点的四边形面积为 ，求 ．
18．如图所示，四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
19．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 ．
20．已知函数 ．
（1）若该函数在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若该函数在 ， 处取得极值 ，且 ，求实数 的取值范围．
21．已知椭圆 的离心率为 ，与 轴交于点 ， ，过 轴上一点 引 轴的垂线，交椭圆 于点 ， ，当 与椭圆右焦点重合时， ．
3．设曲线 为双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如果函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调递增区间为（）
A． B． C． D．
5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则 、 的值分别为（）
A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3D．为定值2
10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2021年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在 区间，现在从课余使用手总时间在 样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）
A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5
6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积 （底面的圆周长的平方 高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）
2020届湖南省长沙市第一中学高三第七次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足 （ 为虚数单位）则复数 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
5．B
【分析】
由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得 的关系 ，从而可得结论
【详解】
两组数据和相等，则 ，即 ，则 ， ．只有B适合．
故选：B．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．
6．B
【分析】
求出底面半径，由圆柱体积公式计算，
【详解】
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与直线 交于点 ，是否存在定点 和 ，使 为定值．若存在，求 、 点的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知过点 的直线 的倾斜角为 ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的一个参数方程；