高级宏观笔记
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− βt
=∫ e
t =0
∞
c(t )1−θ dt 1−θ
(2.10)
其中 B ≡ A(0)1−θ L(0) H ，
β ≡ ρ − n − (1 − θ )g
将(2.5)式除以 A(0) L(0) H 可得新的预算约束为
∫
∞
t =0
e−R(t)c(t)e(n+g)t dt ≤ k(0) + ∫ e−R(t) w(t)e(n+g)t dt
U = ∫ e − ρt u (C (t ))
t =0
∞
L(t ) dt H
(2.1)
u (C (t )) =
C (t )1−θ 1−θ
4
， θ > 0 ， ρ − n − (1 − θ )g > 0
(2.2)
C (t ) 是每人的消费， L(t ) 是经济体中的总人口，H 是经济中的家庭数， ρ 为贴现率。
2.2
厂商与家庭的行为
∂F ( K , AL) = f ′(k (t )) ∂K ∂F ( K , AL) = A(t )[ f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t ))] W (t ) = ∂L
厂商：真实利息率为 真实工资率为
r (t ) =
(2.3) (2.4)
每有效劳力(effective labor)的工资为 w(t ) = 家庭的预算约束：
∫τ
t
r (τ )dτ
在时刻 s 家庭的资本拥有量为
K (s) K ( 0) ∞ R ( s ) − R ( t ) = e R(s) +∫ e [W (t ) − C (t )] L(t ) dt = t 0 H H H
则家庭的预算约束又可写为
(2.7)
lim s →∞ e − R ( s )
家庭的效用最大化：
f ′(k GR ) = n + g + δ = n + g 6
& = 0 带入(2.17)式可得 将c
(2.19)
f ′(k * ) = ρ + θg
(2.20)式减去(2.19)式并带入(2.2)式中的假设得
(2.20)
f ′(k * ) − f ′(k GR ) = ρ − n − (1 − θ )g > 0
W (t ) = f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t )) A(t )
(2.5)
∫
∞
t =0
e − R ( t ) C (t )
L(t ) K ( 0) ∞ − R ( t ) L(t ) dt ≤ + ∫ e W (t ) dt t =0 H H H
=0
(2.6)
其中 R (t ) =
又 f ′(•) 是减函数，故
t
τ =0
(2.14)
将上式(2.14)左右两边对 t 求导得
− β −θ
&(t ) c = − r (t ) + (n + g ) c(t )
(2.15)
即
&(t ) r (t ) − n − g − β r (t ) − ρ − θg c = = θ θ c(t )
(2.16)
5
这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上 简化成了我们这里使用的方法。 5
又
(1.7)
α K (k * ) = k * f ′(k * ) f (k * ) 为在 k = k * 时的资本产出弹性，
*
在 k = k 时 sf ( k * ) = (n + g + δ )k * 故
α K (k * ) s ∂y * s f ′(k * ) f (k * ) k * f ′(k * ) f (k * ) = = (1.8) = y * ∂s f (k * ) (n + g + δ ) − sf ′(k * ) 1 − k * f ′(k * ) f (k * ) 1 − α K (k * )
由一阶条件可得5
∂L = 0 ⇒ Be − βt c(t ) −θ = λe − R ( t ) e (n+ g )t ∂c(t )
对上式(2.13)取对数得
(2.13)
ln B − βt − θ ln c(t ) = ln λ − R(t ) + (n + g )t = ln λ − ∫ r (τ )dτ + (n + g )t
& = 0 可分别得到图中的竖线和弧线。图中的红 & = 0及k 经济的动态可由图 2.1 显示。 令c
色箭头显示了 c 与 k 的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力） ，由图中可见， 消费只能取 k(0)线与鞍线交点处的值， 否则经济体会要么资本趋向于零， 要么消费趋向于零。 最终，经济体会收敛到 E 点的平衡状态上，c 与 k 再也不发生变化，达到平衡增长路径。
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
2.3
经济体的动态
c 的变化： 由于所有的家庭都是一样的，故式(2.16)实际上显示了整个经济体的消费的变化。 将利息的表达式(2.3)带入(2.16)得
&(t ) f ′(k (t )) − ρ − θg c = θ c(t )
k 的变化： k 的变化应为实际投资减去持平投资(n+g)k
2
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
⇒
∂k * f (k * ) = ∂s (n + g + δ ) − sf ′(k * ) ∂y * ∂k * f ′(k * ) f (k * ) = f ′(k * ) = ∂s ∂s (n + g + δ ) − sf ′(k * )
(1.6)
⇒
3
(1.14)
运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow 剩余” 。
2．Ramsey-Cass-koopmans 模型
2.1 假设
厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为 Y=F(K,AL)。生产函数的设定与 Solow 模型中相同。见式(2.2)(2.3)及注释 1，但资本折旧为零。 家庭：家庭的效用函数为
[
]
数量分析之收敛速度：
&=k &( k ) 资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为 k
&≈ 将其在 k 处展开成一阶泰勒级数为 k
*
&( k ) ∂k ∂k
k =k
*
* k −k
(
)
(1.9)
令λ = −
&(k ) ∂k ∂k
k =k *
&(t ) = −λ k (t ) − k * 则 k
3 4
K ( s) ≥0 H
(2.8)
这里的推导用到了 α L (t ) + α K (t )
=1
4
这种效用函数被称为 Constant-relative-risk-aversion（或 CRRA）效用函数
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
设 c(t ) 为每有效劳力的消费，则每人的消费 C (t ) = A(t )c (t ) ，则
实际投资sf(k)
k*
图 1.1 Solow 增长模型
k
黄金率：
c * = f (k * ) − (n + g + δ )k * ∂c * ∂k * ( s, n, g , δ ) = f ′ k * ( s, n, g , δ ) − (n + g + δ ) ∂s ∂s
(1.4)
[ (
)
]
黄金水平的资本存量 k GR 应使 f ′ k GR ( s, n, g , δ ) = n + g + δ
t =0
∞
(2.11)
家庭的行为： 家庭选择 c(t ) 的路径以最大化在(2.11)约束下的效用(2.10)。 建立 Lagrangian 函数如下求解最大化问题
L = B ∫ e − βt
t =0
∞
Fra Baidu bibliotek
c(t )1−θ dt 1−θ
(2.12)
∞ ∞ + λ k (0) + ∫ e − R ( t ) w(t )e (n+ g )t dt − ∫ e − R ( t ) c(t )e (n+ g )t dt t =0 t =0
[
]
(1.10)
k (t ) ≈ k * + e − λt k (0 ) − k *
[
]
λ≡−
&( k ) ∂k ∂k
k =k
*
= − sf ′(k * ) − (n + g + δ ) = (n + g + δ ) −
[
]
(n + g + δ )k * f ′(k * )
f (k * )
(1.11)
2.4
平衡增长路径
福利: 由于 Ramsey-Cass-Koopmans 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的 均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient） 。 平衡增长路径的特征
6
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
当 Ramsey-Cass-Koopmans 模型收敛到 E 点时，模型的表现行为与 Solow 模型一致。每 有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以(n+g)的速率增长；人 均的资本、产出和消费以 g 的速率增长。 黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital） 在 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能 的。由第一章的式(1.5)可知：
* *
(
)
(1.5)
数量分析之长期的影响：
sf k * ( s, n, g , δ ) = (n + g + δ )k * ( s, n, g , δ ) ⇒ sf ′(k * ) ∂k * ∂k * + f (k * ) = (n + g + δ ) ∂s ∂s
(
)
2
其中： k
lim k → 0
= K AL , y = Y AL , f (k ) = F (K ,1) 。 f (k ) 满足稻田（Inada）条件： f ′(k ) = ∞ 及 lim k →∞ f ′(k ) = 0
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
高级宏观经济学笔记
(v1.0)
徐
高
1
2003 年 11 月
1
Xu_gao2000@yahoo.com.cn 1
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
第一部分 经济增长
1．Solow 增长模型
Y (t ) = F (K (t ), A(t ) L(t ) )
此式可写为： y = f ( k )
2
(1.1)
& (t ) = gA(t ) , K & (t ) = nL(t ) , A & (t ) = sY (t ) − δK (t ) L
则
(1.2) (1.3)
&(t ) = sf (k (t ) ) − (n + g + δ )k (t ) k
每有 效劳 力的 投资 持平投资(n+g+δ)k
C (t )1−θ [ A(t )c(t )] = 1−θ 1−θ
1−θ
[A(0)e ] =
gt 1−θ
c(t )1−θ
1 −θ
= A(0)
1−θ
e
(1−θ ) gt
c(t )1−θ 1−θ
(2.9)
将上式带入效用函数(2.1)得
U = ∫ e − ρt
t =0
∞
C (t )1−θ L(t ) L(0) ∞ − ρt (1−θ )gt nt c(t )1−θ e e e dt dt = A(0)1−θ 1−θ H H ∫t =0 1−θ
(2.17)
&(t ) = f (k (t )) − c(t ) − (n + g )k (t ) k
c
(2.18)
dc/dt=0 贴现率下降
saddle path E E1 dk/dt=0 E2 政府购买永久增加
k(0)
图 2.1
k* k*1
k、c 的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响
k
经济的动态：
≡ α K (t )
(1.12)
& (t ) & (t ) K L + α L (t ) + R(t ) K (t ) L(t )
(1.13)
3
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
& (t ) L & (t ) & (t ) L & (t ) K Y − = α K (t ) − + R(t ) Y (t ) L(t ) K (t ) L(t )
= 1 − α K (k * ) (n + g + δ )
由上二式可以估算收敛的速度。 增长计量（Growth Accounting） ：
[
]
& (t ) & (t ) = ∂Y (t ) K & (t ) + ∂Y (t ) L & (t ) + ∂Y (t ) A Y ∂K (t ) ∂L(t ) ∂A(t ) & (t ) & (t ) K (t ) ∂Y (t ) K & (t ) L(t ) ∂Y (t ) L & (t ) A(t ) ∂Y (t ) A Y = + + Y (t ) Y (t ) ∂K (t ) K (t ) Y (t ) ∂L(t ) L(t ) Y (t ) ∂A(t ) A(t )
=∫ e
t =0
∞
c(t )1−θ dt 1−θ
(2.10)
其中 B ≡ A(0)1−θ L(0) H ，
β ≡ ρ − n − (1 − θ )g
将(2.5)式除以 A(0) L(0) H 可得新的预算约束为
∫
∞
t =0
e−R(t)c(t)e(n+g)t dt ≤ k(0) + ∫ e−R(t) w(t)e(n+g)t dt
U = ∫ e − ρt u (C (t ))
t =0
∞
L(t ) dt H
(2.1)
u (C (t )) =
C (t )1−θ 1−θ
4
， θ > 0 ， ρ − n − (1 − θ )g > 0
(2.2)
C (t ) 是每人的消费， L(t ) 是经济体中的总人口，H 是经济中的家庭数， ρ 为贴现率。
2.2
厂商与家庭的行为
∂F ( K , AL) = f ′(k (t )) ∂K ∂F ( K , AL) = A(t )[ f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t ))] W (t ) = ∂L
厂商：真实利息率为 真实工资率为
r (t ) =
(2.3) (2.4)
每有效劳力(effective labor)的工资为 w(t ) = 家庭的预算约束：
∫τ
t
r (τ )dτ
在时刻 s 家庭的资本拥有量为
K (s) K ( 0) ∞ R ( s ) − R ( t ) = e R(s) +∫ e [W (t ) − C (t )] L(t ) dt = t 0 H H H
则家庭的预算约束又可写为
(2.7)
lim s →∞ e − R ( s )
家庭的效用最大化：
f ′(k GR ) = n + g + δ = n + g 6
& = 0 带入(2.17)式可得 将c
(2.19)
f ′(k * ) = ρ + θg
(2.20)式减去(2.19)式并带入(2.2)式中的假设得
(2.20)
f ′(k * ) − f ′(k GR ) = ρ − n − (1 − θ )g > 0
W (t ) = f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t )) A(t )
(2.5)
∫
∞
t =0
e − R ( t ) C (t )
L(t ) K ( 0) ∞ − R ( t ) L(t ) dt ≤ + ∫ e W (t ) dt t =0 H H H
=0
(2.6)
其中 R (t ) =
又 f ′(•) 是减函数，故
t
τ =0
(2.14)
将上式(2.14)左右两边对 t 求导得
− β −θ
&(t ) c = − r (t ) + (n + g ) c(t )
(2.15)
即
&(t ) r (t ) − n − g − β r (t ) − ρ − θg c = = θ θ c(t )
(2.16)
5
这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上 简化成了我们这里使用的方法。 5
又
(1.7)
α K (k * ) = k * f ′(k * ) f (k * ) 为在 k = k * 时的资本产出弹性，
*
在 k = k 时 sf ( k * ) = (n + g + δ )k * 故
α K (k * ) s ∂y * s f ′(k * ) f (k * ) k * f ′(k * ) f (k * ) = = (1.8) = y * ∂s f (k * ) (n + g + δ ) − sf ′(k * ) 1 − k * f ′(k * ) f (k * ) 1 − α K (k * )
由一阶条件可得5
∂L = 0 ⇒ Be − βt c(t ) −θ = λe − R ( t ) e (n+ g )t ∂c(t )
对上式(2.13)取对数得
(2.13)
ln B − βt − θ ln c(t ) = ln λ − R(t ) + (n + g )t = ln λ − ∫ r (τ )dτ + (n + g )t
& = 0 可分别得到图中的竖线和弧线。图中的红 & = 0及k 经济的动态可由图 2.1 显示。 令c
色箭头显示了 c 与 k 的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力） ，由图中可见， 消费只能取 k(0)线与鞍线交点处的值， 否则经济体会要么资本趋向于零， 要么消费趋向于零。 最终，经济体会收敛到 E 点的平衡状态上，c 与 k 再也不发生变化，达到平衡增长路径。
XG’s“高级宏观经济学(2e)”学习笔记©
2.3
经济体的动态
c 的变化： 由于所有的家庭都是一样的，故式(2.16)实际上显示了整个经济体的消费的变化。 将利息的表达式(2.3)带入(2.16)得
&(t ) f ′(k (t )) − ρ − θg c = θ c(t )
k 的变化： k 的变化应为实际投资减去持平投资(n+g)k
2
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⇒
∂k * f (k * ) = ∂s (n + g + δ ) − sf ′(k * ) ∂y * ∂k * f ′(k * ) f (k * ) = f ′(k * ) = ∂s ∂s (n + g + δ ) − sf ′(k * )
(1.6)
⇒
3
(1.14)
运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow 剩余” 。
2．Ramsey-Cass-koopmans 模型
2.1 假设
厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为 Y=F(K,AL)。生产函数的设定与 Solow 模型中相同。见式(2.2)(2.3)及注释 1，但资本折旧为零。 家庭：家庭的效用函数为
[
]
数量分析之收敛速度：
&=k &( k ) 资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为 k
&≈ 将其在 k 处展开成一阶泰勒级数为 k
*
&( k ) ∂k ∂k
k =k
*
* k −k
(
)
(1.9)
令λ = −
&(k ) ∂k ∂k
k =k *
&(t ) = −λ k (t ) − k * 则 k
3 4
K ( s) ≥0 H
(2.8)
这里的推导用到了 α L (t ) + α K (t )
=1
4
这种效用函数被称为 Constant-relative-risk-aversion（或 CRRA）效用函数
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设 c(t ) 为每有效劳力的消费，则每人的消费 C (t ) = A(t )c (t ) ，则
实际投资sf(k)
k*
图 1.1 Solow 增长模型
k
黄金率：
c * = f (k * ) − (n + g + δ )k * ∂c * ∂k * ( s, n, g , δ ) = f ′ k * ( s, n, g , δ ) − (n + g + δ ) ∂s ∂s
(1.4)
[ (
)
]
黄金水平的资本存量 k GR 应使 f ′ k GR ( s, n, g , δ ) = n + g + δ
t =0
∞
(2.11)
家庭的行为： 家庭选择 c(t ) 的路径以最大化在(2.11)约束下的效用(2.10)。 建立 Lagrangian 函数如下求解最大化问题
L = B ∫ e − βt
t =0
∞
Fra Baidu bibliotek
c(t )1−θ dt 1−θ
(2.12)
∞ ∞ + λ k (0) + ∫ e − R ( t ) w(t )e (n+ g )t dt − ∫ e − R ( t ) c(t )e (n+ g )t dt t =0 t =0
[
]
(1.10)
k (t ) ≈ k * + e − λt k (0 ) − k *
[
]
λ≡−
&( k ) ∂k ∂k
k =k
*
= − sf ′(k * ) − (n + g + δ ) = (n + g + δ ) −
[
]
(n + g + δ )k * f ′(k * )
f (k * )
(1.11)
2.4
平衡增长路径
福利: 由于 Ramsey-Cass-Koopmans 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的 均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient） 。 平衡增长路径的特征
6
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当 Ramsey-Cass-Koopmans 模型收敛到 E 点时，模型的表现行为与 Solow 模型一致。每 有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以(n+g)的速率增长；人 均的资本、产出和消费以 g 的速率增长。 黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital） 在 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能 的。由第一章的式(1.5)可知：
* *
(
)
(1.5)
数量分析之长期的影响：
sf k * ( s, n, g , δ ) = (n + g + δ )k * ( s, n, g , δ ) ⇒ sf ′(k * ) ∂k * ∂k * + f (k * ) = (n + g + δ ) ∂s ∂s
(
)
2
其中： k
lim k → 0
= K AL , y = Y AL , f (k ) = F (K ,1) 。 f (k ) 满足稻田（Inada）条件： f ′(k ) = ∞ 及 lim k →∞ f ′(k ) = 0
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(v1.0)
徐
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1
2003 年 11 月
1
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第一部分 经济增长
1．Solow 增长模型
Y (t ) = F (K (t ), A(t ) L(t ) )
此式可写为： y = f ( k )
2
(1.1)
& (t ) = gA(t ) , K & (t ) = nL(t ) , A & (t ) = sY (t ) − δK (t ) L
则
(1.2) (1.3)
&(t ) = sf (k (t ) ) − (n + g + δ )k (t ) k
每有 效劳 力的 投资 持平投资(n+g+δ)k
C (t )1−θ [ A(t )c(t )] = 1−θ 1−θ
1−θ
[A(0)e ] =
gt 1−θ
c(t )1−θ
1 −θ
= A(0)
1−θ
e
(1−θ ) gt
c(t )1−θ 1−θ
(2.9)
将上式带入效用函数(2.1)得
U = ∫ e − ρt
t =0
∞
C (t )1−θ L(t ) L(0) ∞ − ρt (1−θ )gt nt c(t )1−θ e e e dt dt = A(0)1−θ 1−θ H H ∫t =0 1−θ
(2.17)
&(t ) = f (k (t )) − c(t ) − (n + g )k (t ) k
c
(2.18)
dc/dt=0 贴现率下降
saddle path E E1 dk/dt=0 E2 政府购买永久增加
k(0)
图 2.1
k* k*1
k、c 的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响
k
经济的动态：
≡ α K (t )
(1.12)
& (t ) & (t ) K L + α L (t ) + R(t ) K (t ) L(t )
(1.13)
3
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& (t ) L & (t ) & (t ) L & (t ) K Y − = α K (t ) − + R(t ) Y (t ) L(t ) K (t ) L(t )
= 1 − α K (k * ) (n + g + δ )
由上二式可以估算收敛的速度。 增长计量（Growth Accounting） ：
[
]
& (t ) & (t ) = ∂Y (t ) K & (t ) + ∂Y (t ) L & (t ) + ∂Y (t ) A Y ∂K (t ) ∂L(t ) ∂A(t ) & (t ) & (t ) K (t ) ∂Y (t ) K & (t ) L(t ) ∂Y (t ) L & (t ) A(t ) ∂Y (t ) A Y = + + Y (t ) Y (t ) ∂K (t ) K (t ) Y (t ) ∂L(t ) L(t ) Y (t ) ∂A(t ) A(t )