高中物理竞赛习题集10(电路)

第十一章 恒定电流例题：有三个非线性的电阻元件A 、B 、C ，它们都不服从欧姆定律，其电压与所流过的电流的平方成正比，即222,,,A A B B C C U aI U bI U cI ===其中a 、b 、c 为常数。

现将A 和B 并联再和C 串联后接在一电动势为E 的电源上，不计电源内阻，求电源的电功率。

解：设流过A 、B 的电流为1I 和2I ，则有222212112()aI bI aI I I c E =++=解得：12I I +=12()p I I E =+=例题：为了使圆柱形长导体的电阻不随温度变化，可将两根横截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率510 4.010m ρ-=⨯Ω，铁的电阻率720 1.010m ρ-=⨯Ω；碳和铁电阻系数分别为3110.810a --=-⨯℃，312 6.010a --=⨯℃，问两棒的长度之比应为多少？解：由电阻率随温度的变化关系0(1)t ρρα=+可知，导体由于温度的变化引起电阻的变化应为0R R t α∆=∆要使复合棒的电阻不随温度变化，应有1012021210120200R t R t l l s sααραρα∆+∆=+= 732021532101 1.010********.81053l l ραρα----⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 例题: 用均匀电阻线作成的正方形的网络，如图所示，由9个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为8r =Ω。

(1)在A 、B 两点间接入电压 5.7U V =，求流过A 点的总电流强度为多少？(2)若用导线连接C 、D 点，问通过此导线的电流强度为多少？（此导线电阻忽略不计）解：(1)当A 、B 两点间接入电压后，在正方形网络中产生电流，相对于CABD 来说，该网络中的上下两半部具有对称性，如图(a)所示，故1与1'、2与2'、3与3'、4与4'、5与5'和O 与O '均分别为等位点，因而图(a)可简化为图(b)，即图(b)是图(a)沿CABD 折叠而成，图(b)中每一个电阻值为42r=Ω，再考虑到3点与O 点电势相等，图(b)又可进一步简化为图(c)。

这样，AB 两端的等效电路为(45)8 5.75.7,1()(45)8 5.7AB AB AB U R I A R ⨯⨯==Ω===⨯+(2)当用导线连C 、D 两点时，图(c)中只要把C 、D 用导线相连即可，图中最上面的支路等效电阻为18R =Ω，第2行的支路等效电阻为212R =Ω，A 、B 间上半部电路的等效电阻812812.8812AB R ⨯=+=Ω+上通过CD 间导线的电流为212 5.7120.267()12.820CD AB R U I A R R R =⨯=⨯=+上例题：蓄电池充电刚结束时，充入的电流强度为3 A ，而与此电池组相连的电压表指出电压为4.25 V ；这蓄电池开始放电时的电流强度为4 A ，而电压表指出电压为3.9 V ，求蓄电池的电动势和内阻（通过的电流可略）解：蓄电池充电时，外加电压要克服蓄电池的反电动势，如图（a ）所示：放电时的电动势等于充电刚结束时的反电动势，（b ）所示。

于是有即 4.253 3.94E r E r =+=-联立求得 4.1 V 0.05 E r ==Ω例题: “220V ，100W ”的白炽灯泡A 和“220V ，60W ”的白炽灯泡B 的伏安特性曲线如图所示。

(1)若将两灯泡并联接在110V 的电源上时，两灯泡实际消耗的电功率分别为A P =_________，B P =__________。

(2)若将两灯泡串联接在220V 的电源上时，两灯泡实际消耗的电功率分别为AP '=_________，B P '=_________。

解： (1)因灯丝的电阻在不同温度下阻值并不相同，欧姆定律不适用。

两灯泡是并联接在110V 的电源上，所以A 、B 两灯泡的电压相等，在图(a)上110V 处作平行于电流轴的直线，和A 、B 两曲线交于两点，其对应的电流强度分别为0.36,0.22A B I A I A ==，即为两灯并联在110V 电源上时通过两灯的实际电流值，此时两灯实际消耗的功率为40,24A A B B P I U W P I U W====(2)当两灯泡串联接在220V 的电源上时，通过两灯的电流强度相等，并且两灯上的电压之和为220V 。

所以取(0，220V)为新坐标系的原点，作出B 曲线的反转曲线，两曲线相交于C 点，如图(b)所示。

得0.245,55A I A U V ==，则165B U V =。

此时A 、B 两灯的消耗率分别为：13.5,AA P IU W '== 40.4BB P IU W '== 例题: 如图所示的电路中，13599245,R R R R R R =====Ω==6R=9810010,5,10R R V ==Ω=Ω=E ，内阻不计。

(1)求2R 上的电功率；(2)找出各电阻上电功率的分配规律。

解：(1)从最右端的“格子”看起，不难得知每个“格子”的等效电阻均为5Ω，故整个网络的总电阻为10Ω。

2101,0.5102I I A I A R =====总总总E ，则 2222 2.5P I R W ==(2) 各电阻上电流分配关系：奇数号电阻上的电流通式为21112n n I A --=，奇号电阻的阻值为215n R -=Ω，则功率22121212252n n n n P I R W ----==（n 取值自1至50）偶号电阻上电流通式为212m m I A =，阻值210m R =Ω，则功率 22222122515222m m mm m P I R W --===（m 取值自1至49） 从上述奇、偶号电阻上的功率表达式可看出，两者功率相差一半，整体构成一个等比数列，因此合并得152K K P W -=（K=1，2，3，4， (99)又因为1009910099,R R I I ==，所以100999852P P W ==例题：在0℃时，第一个导体的电阻比第二个导体的电阻小n 倍，比第三个导体的电阻小m 倍。

导体的温度系数分别为1α、2α、3α。

问当这三个导体串联时，它们的电阻温度系数是多少。

解：设0℃时第一个导体的电阻为R ，则第二、第三个导体的电阻分别为nR 、mR .t ℃时电阻分别为123123123123123(1)(1)(1)()() (1)(1)1 (1)(1)1t t t t R R t R nR t R mR t R R nR mR n m Rtn m n m R n m Rtn m n m n m R t n mαααααααααααα=+=+=+=+++++++=+++++++++=+++++三个导体串联后的电阻温度系数为1231n m n mααα++++8. 8个同为r 的电阻连成如图所示网络，（1）若电流I 从O 流入、A 流出，求通过各电阻的电流。

（2）若电流从A 流入、B 流出，则各电阻通过的电流又如何？解法：（1）由对称性可知，B 、D 二点电势相等，画出等效电路。

设通过R 6的电流为0I3000240223I I I r I rI I I r=+=== 001000034778115I r I rI I rI I I I I +==+==124675*********415I I I I I I I I I I I=======该题也可以先求出总电阻，进而求出各电阻的电流。

（2）若电流从A 流入、B 流出，O 点可断开，电阻1R 、4R 串联，电阻2R 、3R 串联，易得''''1423''''576841 , ,1515328, , .151515I I I I I I I I I I I I I ========例题：将同种材料的粗细均匀的电阻丝连接成立方体形状，如图所示，每段电阻丝的阻值为r ，求（1）AG 两点间等效电阻R AG （2）BF ，CG 和DH 之间被短路时的等效电阻（3）在BF ，CG ，DH 未被短路时AD 两点间的等效电阻R AD解：这是一个复杂电路，但可借助对称性求解。

（1）由图a 可见，只要把电路系统以AG 为轴线每转过1200，则所得系统与原系统完全相同。

设端点A 流入电流为I ，这时在AB ，AD ，AE 上分别存在分流电流I 1，I 2，I 3，在绕AG转过1200后，电流I 1变成I 3，I 2变成I 1，I 3变成I 2。

因为这时电路没有发生任何变化，故I 1=I 2,I 2=I 3,I 3=I 1，即I 1=I 2=I 3=I/3。

由于AB ，AD ，AE 电阻相等，B ，D ，E 电势相等，故用导线将B ，D ，E 短路，对电路不会产生任何影响，同样可证F ，C ，H 三点电势相等，用导线联接不会产生任何影响，这时AG 间电阻联接情况可简化为如图b 所示图形，故53636AG r r r R r =++= （2）若BF ，CG ，DH 被短路，则B 与F ，C 与G ，D 与H 等相势，这时BC 与FG 合并为一根电阻为r/2的导线，同样DC 与HG 也合并为电阻为r/2的导线，整个网络如图c 所示，从图中可见B 点与D 点具有轴对称，故B ，D 等电势（即B ，F ，D ，H 等电势），则A 与G 间等效电路如图d 所示。

由图可知11113/2AB R r r r=++' 故 38ABR r '= 又R BG =r/4，故58AGAB BG R R R r '=+=c d（3）从对称性可知，电流从A 流向B 并从B 流出的情况是与电流从A 流向E 并从E 流出的情况完全相同的（如图a 所示）。

由此可知B 和E 等电势，与此类似，可知C 与H 等电势，若由导线将B 与E 及C 和H 相连接，不会产生任何影响，这时的等效电路如图e 所示。

由图可见1111/2/2EH R r r r r r=++++ 故 25EH R r =，又 111/22/5/2AD R r r r r =+++ 故 712AD rR =例题：如图所示，12121212,8,1,0.5,3,V V r r R R ===Ω=Ω=Ω=＆＆31.5,4R Ω=Ω，求通过各个电阻的电流。

解：设通过电阻1R 的电流为1I ，方向向右，通过电阻2R 的电流为2I ，方向向左，如图所示，则根据节点电流，通过3R 的电流312I I I =+，方向向下，图中的I 、II 是所取的两个回路的绕向。

在回路I中，根据回路电压方程11111123()0I r I R I I R -++++=＆在回路II 中，根据回路电压方程22222123()0I r I R I I R -++++=＆ 将上述两式联立，可解得1231.25,0.5, 1.75I A I A I A ===例题：如图已知各电阻阻值，电容器的电容值，A 、B 二点电压。