极化恒等式在向量问题中的应用
向量复习专题二极化恒等式
向量复习专题二 极化恒等式 一、极化恒等式：222214
a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦
二、极化恒等式的应用
ABC D BC E F AD BA CA=4BF CF=-1BE CE ∆⋅⋅⋅ 例1.如图，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是
AB O M O CD AB=8CD=6.MA MB ⋅∈
例2.若是的直径，是的弦上的一个动点，，则
例 4.在中,,,已知点是内一点,则 的最
小值是_______.
()
ABCD OB OC ⋅ 例5.如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x 轴，y 轴正半轴含原点滑动，则的最大值为
.3,2,()P ABO OA OB P AB OP OA OB ∆==⋅- 例3为所在平面内一点，线段在线段的垂直平分线上，则
的值为
例6.（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙，则
A. 2π=
∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =
例7.已知圆的半径为，是圆上的两点，且，是圆的任意一条直径，
若点满足，则的最小值为
O 1,A B 3AOB π
∠=MN O C 1(1)()2
OC OA OB R λλλ=+-∈ CM CN ⋅。
极化恒等式在向量问题中的应用
极化恒等式在向量问题中的应用目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2）（1）（2）两式相加得：??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢b a ?＝()()--+2241b a b a ————极化恒等式几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=?（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=?（三角形模式）目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?=____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：2241BC AM AC AB -=?=9-10041?= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ?目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围.________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ?解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB 又由极化恒等式得：341222-=-=?PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD所以]6,2[-∈?PB PA【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
中线定理和极化恒等式
中线定理和极化恒等式中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍这两个定理的概念、证明和应用。
一、中线定理中线定理是指在一个三角形中，连接三角形两边中点的线段被称为中线，三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
中线定理指出，三角形的重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三边长之和的三分之一。
证明：设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，三角形的重心为G，连接AG、BG、CG，分别交BC、AC、AB于D、E、F。
由于AD=BD=BC/2，BE=CE=AC/2，CF=AF=AB/2，所以三角形DEF是三角形ABC的中心三角形，且DEF的周长等于ABC的周长的一半。
因此，AG+BG+CG=2(GD+GE+GF)=2(DE+EF+FD)=3(AD+BE+CF)=3(a+b+c)/ 2。
应用：中线定理可以用于计算三角形的重心坐标，以及求解三角形的面积和周长等问题。
二、极化恒等式极化恒等式是指任意两个向量的内积可以表示为它们的模长和夹角的三角函数的乘积之和。
具体地，设向量a和b的模长分别为|a|和|b|，夹角为θ，则有a·b=|a||b|cosθ。
证明：设向量a和b的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则有a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|(a1/|a|b1/|b|+a2/|a|b2/|b|+a3/|a|b3/|b|)cosθ=|a||b|cosθ。
应用：极化恒等式可以用于计算向量的内积、向量的模长和夹角等问题，也可以用于证明向量的正交性和判断向量的方向等问题。
中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这两个定理的概念、证明和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。
向量点积另类方法--极化恒等式
向量点积另类方法--极化恒等式向量点积另类方法 - 极化恒等式背景向量点积是在线性代数中常用的操作，它可以计算两个向量之间的相似性或夹角。
传统的向量点积方法是将两个向量的对应元素相乘并求和，得到一个标量值。
然而，存在一种另类的向量点积方法，即极化恒等式方法。
极化恒等式方法极化恒等式方法是一种通过向量的乘法和加法操作来计算点积的方法。
具体而言，对于两个向量a和b，我们可以使用极化恒等式进行点积计算如下：a ·b = 1/4[(a + b)^2 - (a - b)^2]这个公式可以分解为两个部分，分别是(a + b)^2和(a - b)^2。
其中，(a + b)^2可以通过向量加法和乘法来计算，而(a - b)^2同样也可以通过向量加法和乘法来计算。
优势和应用极化恒等式方法相对于传统的点积方法具有以下优势：1. 可扩展性：极化恒等式方法可以扩展到高维向量计算，适用于更复杂的问题。
2. 简化计算：极化恒等式方法通过将点积计算分解为乘法和加法操作，简化了计算过程，降低了计算复杂度。
3. 稳定性：极化恒等式方法在计算过程中避免了大量的乘法操作，从而降低了数值计算中的误差累积。
极化恒等式方法在各种应用中都有着广泛的应用，特别是在机器研究、计算机视觉和信号处理等领域。
通过将点积计算分解为加法和乘法操作，可以提高计算效率，同时保持结果的准确性。
结论极化恒等式方法是一种另类的向量点积计算方法，通过将点积计算分解为加法和乘法操作，提供了一种简化计算、提高效率的解决方案。
在各种应用中都有着广泛的应用前景。
以上是关于向量点积另类方法 - 极化恒等式的文档内容，希望对您有所帮助。
向量数量积替代方式--极化恒等式
向量数量积替代方式--极化恒等式在向量运算中，数量积是一种常见的操作，用于计算两个向量之间的数量关系。
然而，当我们处理复杂的运算时，使用极化恒等式可以简化计算过程，提高效率。
本文将介绍向量数量积替代方式--极化恒等式的原理和应用。
1. 极化恒等式的原理极化恒等式是基于向量的线性性质和数量积的定义而推导出来的。
根据极化恒等式，任何一个向量数量积都可以表示为两个向量的线性组合。
具体而言，对于任意向量a和b，其数量积可以表示为a与b的和与差的线性组合。
2. 极化恒等式的应用极化恒等式在向量运算和证明中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：2.1 向量的模长计算根据极化恒等式，可以将向量的模长计算转化为数量积的计算。
通过取向量与自身的数量积开根号，即可得到向量的模长。
2.2 向量的垂直判定对于两个向量a和b，如果它们的数量积为零，则可以判断它们是垂直的。
这是因为根据极化恒等式，数量积为零意味着两个向量的和与差相等，即它们的夹角为90度。
2.3 向量的投影计算通过极化恒等式，可以将向量的投影计算转化为数量积的计算。
具体而言，将待投影向量与投影方向的单位向量进行数量积运算，即可得到向量在该方向上的投影长度。
3. 总结极化恒等式是一种简化向量运算的有效方法。
通过将数量积表示为两个向量的线性组合，我们可以利用向量的线性性质进行更加简洁和高效的计算。
在实际应用中，极化恒等式常用于向量的模长计算、垂直判定和投影计算等问题。
希望本文对您理解向量数量积替代方式--极化恒等式有所帮助。
巧用极化恒等式,妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是 以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上， 若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。
极化恒等式的应用
极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。
极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。
具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。
极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。
2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。
3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。
极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。
通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。
2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。
通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。
3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。
通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。
极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。
通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。
极化恒等式(教师版)
巧用极化恒等式秒杀向量高考题一、极化恒等式：1.极化恒等式：设b a ,是两个平面向量，则有恒等式])()[(4122b a b a b a --+=⋅ （1） 2.极化恒等式的几何意义：向量a 和b 的数量积b a ⋅等于以a 和b 为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 ][41])[(41])()[(41222222BC AD BC AD b a b a b a -=-=--+=⋅在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即22222241])2[(41])()[(41BC AM BC AM b a b a b a -=-=--+=⋅极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解 二、极化恒等式的应用1.（2012年浙江高考15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB解法1：（基底法）)()()()(MA MB MA MB MA MC MA MB AC AB --⋅-=-⋅-=⋅1625922-=-=-=MB MA解法2：（坐标法）以点M 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(C B -，设)sin 3,cos 3(θθA ，则)sin 3,cos 35(),sin 3,cos 35(θθθθ--=---=AC AB16259sin 925cos 9)sin 3()cos 35)(cos 35(222-=-=+-=-+---=⋅θθθθθAC AB 解法3：（极化恒等式）=⋅AC AB 161004194122-=⨯-=-BC AM2.（2011年上海高考11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3=AB ，1=BD ，则=⋅AD AB解法1：（基底法）)3132(AC AB AB AD AB +⋅=⋅ AC AB AB ⋅+=313222152********=⨯⨯⨯+⨯= 解法2：（基底法）)(BA BD BA AD AB -⋅-=⋅215921132=+⨯⨯-=+⋅-=BA BD BA解法3：（坐标法）以BC 的中点O 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,23(-B , )233,0(),0,21(A D -，所以)233,21(),233,23(--=--=AD AB所以21542743=+=⋅AD AB 解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC 的中点E ，则BD AE ⊥所以=⋅AD AB ED EB AE EB ED AE AE ED AE EB AE ⋅+⋅+⋅+=+⋅+2)()(2152123)233(22=⨯+=⋅+=ED EB AE 解法5：（极化恒等式）取BD 的中点M ，则由极化恒等式知215411)233(412222=-+=-=⋅BD AM AD AB 3.（2016年江苏高考13题）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，F E ,是AD 上两个三等分点，4=⋅CA BA ，1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE解法1：（基底法）设b AC a AB ==,，则4=⋅=⋅=⋅b a AC AB CA BA ①)32()32()()(AC AD AB AD AC AF AB AF CF BF -⋅-=-⋅-=⋅1)22(91)3231()3231()3131()3131(22-=--⋅=-⋅-=-+⋅-+=b a b a b a a b b b a a b a ② 联立①②得229,2=+b a所以))(61[])(61[)()(b b a a b a AC AE AB AE CE BE -+⋅-+=-⋅-=⋅87)5526(36122=--⋅=b a b a解法2：（基底法）设a DF b BD ==,，则49)3()3()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DA DB DA CA BA ① 1)()()()(22-=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DF DB DF CF BF ②联立①②得813,852==b a 所以874)2()2()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DE DB DE CE BE 解法3：（坐标法）以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设)0,(a B -， ),(),2,2(),3,3(),0,(y x F y x E y x A a C ，则4)(9)3,3()3,3(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CA BA ① 4)(),(),(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CF BF ②联立①②得813,85222==+a y x 所以813)(4)2,2()2,2(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CE BE 解法4：（极化恒等式）设a FD EF AE ===，则4419412222=-=-=⋅=⋅BC a BC AD AC AB CA BA ①141412222-=-=-=⋅=⋅BC a BC FD FC FB CF BF ②联立①②得81341,8522==BC a所以=⋅CE BE 87813820414412222=-=-=-=⋅=BC a BC ED EC EB4.若AB 是圆O 的直径，M 是圆O 的弦CD 上的一个动点，8=AB ，6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(B A -，设),(y x M ，则由OC OM OG ≤≤知16722≤+≤y x所以]0,9[1622-∈-+=⋅y x MB MA解法2：（极化恒等式）1641222-=-=⋅MO BC MO MB MA又OC OM OG ≤≤，即]4,7[∈OM ，所以]0,9[-∈⋅MB MA5.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 与点F ，则FB FA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(B A --， 设]2,6[),sin 2,cos 2(ππθθθ-∈F ，所以 ]6,0[sin 42)sin 21,cos 23()sin 21,cos 23(∈+=---⋅----=⋅θθθθθFB FA解法2：（极化恒等式）341222-=-=⋅FD BC FD FB FA 因为CD FD BD ≤≤，即]3,3[∈FD ，所以FB FA ⋅]6,0[∈ 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD ，顶点D A ,分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OC OB ⋅的最大值为解法1：（坐标法）设)90,0(0∈=∠θODA ，则)0,(sin θA ，)cos ,0(θD ，)sin cos ,(cos ),sin ,cos (sin θθθθθθ++C B所以22sin 1)cos (sin cos cos )cos (sin ≤+=+++=⋅θθθθθθθOC OB 当且仅当045=θ时等号成立，所以OC OB ⋅的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取AD BC ,的中点N M ,，则4141222-=-=⋅OM BC OM OC OB ，又23121=+=+≤MN ON OM所以241)23(2=-≤⋅OC OB ，即OC OB ⋅的最大值为27.（2012年南京模拟）在ABC ∆中，点F E ,分别为线段AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅的最小值是 解析：（极化恒等式）由题意知4221=⋅⇒=⋅=∆h BC h BC S ABC 2222224341BC PO BC BC PO BC PC PB +=+-=+⋅322343)2(22≥⋅≥+≥h BC BC h8.（2012年安徽高考题）平面向量b a ,满足32≤-b a ，则b a ⋅的最小值为 解法1：222249494432b a b a b a b a b a +=+⋅⇒≤⋅-+⇒≤- 由基本不等式得894449422-≥⋅⇒⋅-≥≥+=+⋅b a b a b a b a b a ，当且仅当略 所以b a ⋅的最小值为89-解法2：（极化恒等式）]92[81]22[81)2(21222-+≥--+=⋅=⋅b a b a b a b a b a89)90(81-=-≥，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3202b a b a 即b a ,反向共线且43=a 时等号成立， 所以b a ⋅的最小值为89-巩固练习：1.（2007年天津高考15题）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD解析：=⋅BC AD 25)49(21)(21)(222=-=-=-⋅+AB AC AB AC AC AB 2.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的动点，则PB PA ⋅的取值范围为 解析：过点C 作AB CD ⊥于点D ，则点D 为AB 的中点，32===BC AC AB ，PB PA ⋅341222-=-=PD AB PD因为31≤≤PD ，所以PB PA ⋅]6,2[-∈3.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围为解析：取CD 的中点E ，则441222-=-=⋅PE CD PE PC PD因为522≤≤PE ，所以]160[ ∈⋅PC PD4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PD PC ⋅的最小值为解法1：（坐标法）解法2：（极化恒等式）取CD 的中点G ，则141222-=-=⋅PG CD PG PD PC又215≤≤-PG ，所以PD PC ⋅]3,525[-∈，所以PD PC ⋅的最小值为525- 5.已知AB 是圆O 的直径，2=AB ，C 是圆O 上异于，点B A ,的一点，P 是圆O 所在的平面上任意一点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为解析：取OC 的中点D ，则21212)41(22)(222-≥-=-⨯=⋅=⋅+PD OC PD PC PO PC PB PA6.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3=OA ，5=OC ，若7-=⋅AD AB ，则=⋅DC BC解析：16417419412222=⇒-=-=-=⋅BD BD BD AO AD AB916254122=-=-=⋅=⋅BD CO CD CB DC BC7.如图，在ABC ∆中，已知4=AB ，6=AC ，060=∠BAC ，点E D ,分别在边AC AB ,上，且AD AB 2=，AE AC 3=，若F 为DE 的中点，则DE BF ⋅的值为 解法1：（极化恒等式）取BD 的中点N ，连接EB NF ,，则AE BE ⊥，所以32=BE 因为NF 是DBE ∆的中位线，所以3=FN4)1(2)41(22222=-=-=⋅=⋅FN DB FN FD FB DE BF解法2：（基底法）略 解法3：（坐标法）略备选题：1.（2008年浙江高考9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值为（ ）A.1B.2C.2D.22 解法1：（代数法）c b a c b a c b a c c b c a ⋅+=⇒=⋅+⋅+-=-⋅-)(0)()()(22所以2cos 2cos 2≤=⇒+=θθc c b a c ，故选C解法2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(y x OC c b a ====，则)1,(),,1(y x c b y x c a --=---=-所以21)21()21(0)1()1()()(22=-+-⇒=----=-⋅-y x y y x x c b c a所以点C 在以点)21,21(为圆心，222≤解法3：（几何法）设b a OD c OC b OB a OA +====,,,2==所以0)()(=-⋅-c b c a CB CA CB CA OC OB OC OA ⊥⇒=⋅⇒=-⋅-⇒00)()(所以点C 在以AB 的最大值为22.（2013年浙江高考7题）设点0P 是ABC ∆的边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00⋅≥⋅，则（ ）A.090=∠ABC B.090=∠BAC C.AC AB = D.BC AC = 解析：取BC 的中点M ，则22022004141BC M P BC PM C P B P PC PB -≥-⇒⋅≥⋅ 所以M P PM 0≥，所以AB MP ⊥0，所以BC AC =，故选D3.在平面直角坐标系xOy 中，B A ,分别在y x ,正半轴上移动，2=AB ，若点P 满足2=⋅PB PA ，则OP 解析1：（坐标法）设),0(),0,(b B a A ，),(y x P ，则422=+b a2),(),(22=--+=-⋅-=⋅=⋅by ax y x b y x y a x BP AP PB PA by ax y x +=-+⇒222324324)(4))(()()2(222222222222+≤+≤-⇒+=++≤+=-+⇒y x y x y x b a by ax y x]13,13[22+-∈+=y x解析2：（极化恒等式）取AB 的中点Q ，则121==AB OQ⇒=-=-=⋅∴2141222PQ AB PQ PB PA 3=，1313+≤+≤=≤=-∴4.梯形ABCD 中，满足AD // BC ，1=AD ，3=BC ，2=⋅DC AB ，则=⋅BD AC 解析：取BC 的两个三等分点F E ,，G 在CB 的延长线上，且1==AD BG ，则321412222=⇒=-=-=⋅=⋅AE AE BF AE AF AB DC AB=⋅BD AC 1)43()41(22=--=--=⋅-GC AE AG AC5.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为 解析：取OB 的中点D ，则41)43(41412222-≥-=-=⋅=⋅PD OB PD PB PO BP OP 161-=6.在等腰直角ABC ∆中，1==AC AB ，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则)()(AM AC AM AE -⋅-的取值范围为解析：取CE 中点D ，则]42343[，∈MD]1167[8141)()(222，∈-=-=⋅=-⋅-MD CE MD MC ME AM AC AM AE7.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是线段AB 上的动点，当AOB ∆的面积最大时，2AP AP AO -⋅的最大值为 解析：当AOB ∆的面积最大时，OB OA ⊥，所以PO PA PO AP AP AO AP AP AP AO ⋅-=⋅=-⋅=-⋅)(2取OA 的中点，则222241)41(PM OA PM PO PA AP AP AO -=--=⋅-=-⋅81)42(412=-≤。
平面向量的极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。
证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。
推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。
推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。
二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
AC+DB=2(AB+AD)$。
三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。
推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。
推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。
应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。
四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。
极化恒等式的应用
极化恒等式的应用极化恒等式（Polarization Identity）是线性代数中的一个重要定理，它对向量空间内的内积和范数的关系进行了深入的探讨和证明。
极化恒等式不仅在线性代数中具有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学、经济学等多个领域中也有着重要的应用。
本文将介绍极化恒等式的应用，包括其在向量空间的几何意义、特征向量的计算、信号处理、机器学习和经济学等方面的应用。
一、在向量空间的几何意义极化恒等式是向量空间内内积和范数的一个等式，它的几何意义是将内积（或范数）表示为向量之间的内积的线性组合。
极化恒等式表明了向量空间内的任何一个内积可以表示为向量之间的内积的线性组合，这个线性组合的系数是向量空间内的所有向量。
因此，极化恒等式是将内积和范数联系在一起的关键。
具体来说，假设V是一个有限维向量空间，u和v是V中的任意两个向量，则其极化恒等式可以表示为：⟨u,v⟩ = (||u||^2 + ||v||^2 - ||u-v||^2)/2其中，⟨u,v⟩表示u和v的内积，||u||表示u的范数。
这个等式可以表示为u和v之间的距离。
通过极化恒等式，我们可以得到向量空间中的任意两个向量之间的内积和范数的关系，从而为向量空间内的几何结构构建提供了基础。
例如，在计算几何中，利用极化恒等式可以计算任意两个向量之间的夹角，从而计算出向量空间中的长度、角度和曲线等几何问题。
二、特征向量的计算极化恒等式在计算特征向量和特征值方面也具有重要的应用。
这里，特征向量是指一个向量空间中的一个非零向量，其在线性变换下只被缩放，而不改变其方向。
特征向量的计算是线性代数中的一个关键问题，它在信号处理、图像处理和机器学习等领域中有广泛的应用。
通过极化恒等式，我们可以计算特征向量和特征值。
假设A 是一个n*n的实对称矩阵，x是非零向量，λ是实数，则其极化恒等式可以表示为：(Ax)·x = x·(Ax) = λx·x其中，·表示向量之间的内积操作。
极化恒等式(学生版)
课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。
重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。
那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
极化恒等式在向量问题中的应用专题之欧阳语创编
极化恒等式在向量问题中的应用专题阅读以下资料:引例：平行四边形是标向量加法和减法的用可模型。
你能用向量方法证明：平行四边形的对角线侨方和等于两条邻边平方和的八倍.证明：不妨设二 二贝 iAC = a + b, DB =a~b,阿二疋药+匸丨可+2茴+丨兀|丽卜粛二£易 胡2我苏冃2 (1)(2)两式相加得 :阿+阿=2(卸+”『卜2(网+阿)结论:平行四边形对角线的平方和即是两条邻边平方和的两 倍.思考］:如果将上面(1)(2)两式相减,能获得什么结 论呢?打二推+亦_ (二明 对上述恒等式，用向量运算显然容易证明。
那么基于上 面的引 例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量 积可以暗示为以这组向量为邻边的平时间:2021.03.01创作：欧阳语 (1)极化恒等式图欧阳语创编4行四边形的“和对角线〃与〃差对角线〃平方差的;.即：打寸ACf_|则]（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何暗示呢？因为AC = 2AM，所以打日如「一扣3「（三角形模式）例1・（浙江文15）在AABC中，M是BC的中点，#M=3,8C = 10,A则而•疋二一.解：因为M是BC的中点，由极化f CAB-AC=|AM|2=9\100= 16【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线,再写出极化恒等式。
目标检测例2 （自编）己知正三角形内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点，则丙•两'I勺収值范围是•解：取AB的中点D,连结CD,因为三角于正三角形，所以O为三角形ABC的重心且OC=2O£> =2,所以CD=3Z M二2®（也可用正弦定理求AB ）又由极化恒等式得：因为P在圆O上，所以当P在点C处时，I 7Y?lmax= 3当P在CO的延长线与圆O的交点处时，I PD\^= 1所以PAPBe[-2,6]【小结】涉及数量积的规模或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变成单变量，再用数形结合等办法求岀单变量的规模、最值即可。
2021--平面向量--高考极化恒等式在向量问题中的应用
高考极化恒等式在向量问题中的应用大招系列一、秒杀公式的讲解：1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式：2214a b a b a b2.极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214a b AD AB AD AB 或2214a b AC BD平行四边形模式：2214AB AD和对角线差对角线或2214AB AD AC BD3. 极化恒等式的三角形模式：在ABC 中，记M 为BC 的中点，则2214AB AC AM DB二、以例讲法典型类题 1 〖例1〗(2012浙江文)在ABC 中，M 是BC 的中点，3AM ，10BC ，则AB AC.〖例2〗(2007天津文)在ABC 中，2AB ，3AC ，D 是边BC 的中点，则AD BC.〖例3〗点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的底面1111A B C D 上一点，则PA PC的取值范围是 ；〖例4〗(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是.A ,33 .B ,66 .C ,33 .D ,33〖例5〗(2010福建文数)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为.A 2 .B 3 .C 6 .D 8〖例6〗已知A ，B 是圆221x y 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则2AO AP AP 的最大值是.A 1 .B 0 .C 18 .D 12〖例7〗(2017新课标Ⅱ理)已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC的最小值是.A 2 .B 32 .C 43.D 1〖例8〗(2010全国Ⅰ理)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB的最小值为( )．.A 4 .B 3 .C 4 .D 3〖例9〗(2013浙江理)设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB，且对于边AB 上任一点P ， 恒有00PB PC P B P C，则( )．.A 90BAC .B 90BAC .C AB AC .D AC BC高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680〖例10〗(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA， 1BF CF ，则BE CE的值是 ▲ .〖例11〗(2020天津)如图，在四边形ABCD 中，60B，3AB ，6BC ，且AD BC ，32AD AB ，则实数 的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ，则DM DN的最小值为 .NMDCBA高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680『强化练习』在Rt ABC 中，2CA CB ,M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ，CM CN的取值范围是 ；正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面积上的动点，当弦MN 最大时，PM PN的最大值为 ；(2011上海理)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ，则AB AD；(2010福建理数)若点O 和点(2,0)F 分别为双曲线2221x y a (0a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ).A 3 .B3 .C 7,4 .D 7,4(2018天津理数)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD ． 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为.A 2116 .B 32 .C 2516.D 3 E DCBA。
极化恒等式向量
极化恒等式向量一、引言在数学领域，极化恒等式向量是一个重要的概念。
它在向量空间的研究中扮演着关键角色，被广泛应用于线性代数、函数分析等领域。
本文将深入探讨极化恒等式向量的性质、公式以及应用。
二、极化恒等式的定义极化恒等式是指在向量空间中，通过对向量之间的运算进行分解和组合，可以得到一个等于原向量的表达式。
具体而言，对于任意向量x和y，存在唯一的两个向量u和v，使得以下恒等式成立：x = (u + v)/2y = (u - v)/2其中u被称为x和y的极化向量，v被称为x和y的反极化向量。
三、极化向量的性质极化向量具有以下几个重要的性质：1. 唯一性对于给定的向量x和y，极化向量u和反极化向量v是唯一确定的。
这意味着通过极化恒等式可以唯一地确定原向量的分解。
2. 直交性极化向量和反极化向量是相互垂直的，即u和v的内积为零。
这一性质使得极化向量在许多应用中非常有用，例如在正交变换和傅里叶变换中。
3. 平均性质极化向量可以看作是两个向量平均的结果。
通过将两个向量相加再除以2，可以得到极化向量。
这一性质在向量平均、中心化等问题中起到重要作用。
4. 线性性质极化向量具有线性性质，即对于任意的标量a和b，有：a(x + y) = ax + ayb(x + y) = bx + by这一性质使得极化恒等式在向量空间的运算中非常方便。
四、极化向量的计算方法为了计算极化向量u和反极化向量v，可以利用极化恒等式中的等式关系进行求解。
具体步骤如下：1.根据极化恒等式，将等式两边分别乘以2，得到：2x = u + v2y = u - v2.将上述两个等式相加和相减，得到关于u和v的方程组：2x + 2y = 2u (1)2x - 2y = 2v (2)3.解方程组(1)和(2)，得到u和v的数值解。
这可以通过矩阵求解方法，例如高斯消元法或矩阵逆的计算。
通过以上步骤，我们可以求得给定向量x和y的极化向量u和反极化向量v。
五、极化恒等式的应用极化恒等式在许多数学和工程问题中都有着重要的应用。
以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面向量问题
以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面向量问题“曲中求直，蓄而后发，此谓借力打人，四两拨千斤也”。
出自武术大家李亦畲的《五字诀》，用于说明太极之奥义。
今天介绍一个平面向量的极化恒等式，亦有“四两拨千斤”之妙。
一个公式，六种用法，小公式，大力量！求解数量积常用的方法基底法、坐标法和图形法（几何意义法），但有时其解题过程运算复杂、过程繁冗，经常导致错误。
此时若能巧用极化恒等式，往往化繁为简，快速找到解题突破口。
本文以近几年高考、模拟试题为例，对极化恒等式在数量积问题中的应用进行分类整理，有助于学生成绩快速提升！定理：设a，b是平面内的两个向量，则有a·b= 1/4［（a+b）²-（a-b）²］.推导方式比较容易，只需将右侧平方公式打开即可！几何意义：△ABC中，AD为中线。
则有：极化恒等式的几何意义即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，揭示了三角形中线与边的关系，也可以理解为向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1/4。
特征：两个向量必须共起点，点D是两个向量夹角所对第三向量（这两个向量之差）上的中点。
题型一：三角形中数量积【点评】利用极化恒等式构造方程组，从而求出数量积的值。
对于从中线与底边这两个方向寻找基底向量的数量积问题，可以运用极化恒等式，把数量积转化为数量的运算，大大简化计算量！【分析】此题是最值问题，标准答案是坐标法。
计算量较大，此时利用极化恒等式直接将数量积转化，利用均值非常简单。
以下是几道三角形模型适合极化恒等式关于数量积的练习题。
用来给学生练习使用。
题型二四边形中数量积配套练习题型三圆形中数量积配套练习题型四圆锥曲线中数量积配套练习题型五立体几何中的数量积配套练习题型六多动点数量积【分析】此题初看是可以使用极化恒等式求解，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，此题需要结合转化的思想，挖掘静态条件，从而进行突破。
例谈极化恒等式在解高考题中的应用
3, 则 a · b 的最小值为 . 解 由极化恒等式可得: a · b = 2a · b = 1 (|2a + b|2 − 28
|2a − b|2)
−|2a − b|2
32
9
− = − , 第一个等号当且仅
8
8
8
当 2a = −b 时成立, 第二个等号当且仅当 |2a − b| = 3 时成
立,
两个等号可以同时成立,
2
的中点为 E, 连接 CE, 因为 AC = CD 且 E 是 AD 的中点,
所以 CE⊥AD. 因为 −A→B · −C−→D = −√2−C→A · −C−→D =√ −2(CE2 −
DE2) = 0, 所 以 CE = DE =
2 CD =
2BC, 所以
CE
=
d
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|2 · √
a+5 2
−
a|
= BC, 若 P 为线段 BC
−−→3 P0A
·
−−→ P0 C ,
则线段
BC
的
长为 .
解 如 图 1, 设 AC 中 点
为 E, 连 接 P0E, 过 点 A 作
AD⊥BC 于点 D, 由极化恒等
式可得 −P→A·−P−→C = P E2 −AE2,
图1
−→ −−→ 因 为 AC 为 定 长, 所 以 当 P E⊥BC 时 P A · P C 最 小,
=
√ √2 ( 2a
+
5
2 )2 −5
+
a2
=
√
22 + 12
2
2
2
BC, 解得 a = 3 或 a = −1, 因为 a > 1, 所以 a = 3.
高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题
高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。
1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。
224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。
此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。
2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。
例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=（年浙江省数学高考理科试题第15题）2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162AB AC AM BC ⋅=-=-=-。
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极化恒等式在向量问题中的应用
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极化恒等式在向量问题中的应用
学习目标
1. 掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；
2. 掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；
3. 分析题目形式，理解使用极化恒等式的缘由.
✧ 典型考题
（2014年高考全国II 卷文（理）科第4（3）题）设向量a ，b 满足
10a b +=，6a b -=，则a b •等
于 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
✧ 背景展现
普通高中课程标准实验教科书《数学·必修4·A 版》（人民教育出版社，2007年2月第2版）第108页习题2.4中的A 组第3题：
已知2a =，5b =，a b •=-3，求a b +，a b -.
D
A B
C
E F
【课堂练习·高考再现】
一、求数量积的值
1.（2016年高考江苏卷第13题）如图1，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是
AD 的两个三等分点，BA CA •=4，
BF CF •=-1，则BE CE •= .
2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC •= .
3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB AD •= .
4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 为矩形ABCD 所在
平面上一点，满足PA =2，PC =21，则PB PD •= .
二、界定数量积的取值范围
5.（2015年郑州市高三第一次质量检测理科第11题）在Rt ABC ∆中，3CA CB ==,M N ，是斜边AB 上的两个
动点，且2MN
=,则CM CN •的取值范围为 （ ）
A.52,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.[]2,4
C.[]3,6
D.[]4,6
A
B
C
M N
三、探求数量积的最值
6.（2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则()
PA PB PC •+的最小值是 （ ）
A.-2
B.32-
C.4
3
- D.-1
7.（2016年高考浙江卷理科第9题）已知向量a ，b ，a =1，，b =2，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ••+≤，
则a b •的最大值是 .
四、处理长度问题
8.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c •--=，
则
c
的最大值是 （ ）
A.1
B.2
C.2
D.2
2
9.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+,若1
2
OP <
,则
OA 的取值范围是 （ ）
A.502⎛⎤ ⎥ ⎝
⎦
， B.5722⎛⎤ ⎥
⎝⎦， C.522⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， D.722⎛⎤
⎥ ⎝⎦
，
10.（2017年高考浙江卷第15题）已知向量a ，b 满足：a =1，，b =2，则a b a b
++-的最小值是 ，
最大值是 .
11. （1999年上海市理科实验班招生试题第6题）如图2，在Rt ABC ∆中，
90
BAC ∠=，M N ，是BC 上的点，BM
MN NC ==,
如果4AM =,3AN =,则MN = .
12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD 中，AD =1，=60
BAD ∠，E 为CD 的中点.
若
=1AC BE •,则AB = .
五、解决综合性问题
13.（2012年高考江西卷理科第7题）在Rt ABC ∆中，点
D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
22
2
PA PB PC
+等于 （ ）
A.2
B.4
C.5
D.10
14.（2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC ∆中，0P 是AB 上一定点，满足01
4
P B AB =
,且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC
P B PC ••≥,则 （ ） A.=90ABC ∠ B.90BAC ∠= C.=AB AC D.=AC BC
15.（2014年高考浙江卷理科第8题）记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=
⎨
<⎩，,min{,},y x y
x y x x y
≥⎧=⎨<⎩，设a ，b 为平面向量，则 （ ）
A. {}{}
min ,min ,a b a b a b +-≤
B. {}{}min ,min ,a b a b a b +-≥
C. {}2
222
max ,a b a b
a b +-≤+
D. {}22
2
2
max ,a b a b a
b +-≥+
16.（浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图3，在等腰梯形
ABCD 中，AB =2，CD =4，
BC =5，点,E F 分别为AD ，BC 的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8
个不
同的点P ，使得=PE PF λ•成立，那么λ的取值范围是 （ ）
A.59420⎛⎫- ⎪⎝⎭，-
B.911204⎛⎫- ⎪⎝⎭，
C.91204⎛⎫- ⎪⎝⎭，-
D.51144⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
C
D
A B
E
F
P
【反馈训练·课后模拟】
1.（2015年全国高中数学联赛安徽赛区预赛第3题）设平面向量 α，β满足1≤α，β，αβ+≤3，则αβ
•的
取值范围是 .
2.（2012年高考安徽卷理科第14题）若平面向量a ，b 满足：23a b -≤，则a b •的最小值是 .
3.（2004年高考全国II 卷文科第9题）已知向量a ，b 满足：a =1，，b =2，a b -=2，则a b
+等于
（ ）
A.1
B.2
C.5
D.6
4.（2014年高考高考江苏卷第12题）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，3CP PD =,AP BP •=2，
则
AB AD •的值是 .
D
A
C
B
P
5.（2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成平面角大小为60
的二面角，则边BC 的中点与点A 的距离为 .
6.（2011年“北约”自主招生试题第1题）已知平行四边形ABCD 的两边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另
一条对角线的长度.
7.（2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB 与抛物线2
y x =交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，C
为抛物线上的一个动点，若点0C 满足{}00min C A C B
CA CB
••=，则下列一定成立的是（其中l 是抛物线过点0
C
的切线） （ ）
A.0C M AB ⊥
B.0C M l ⊥
C.00C M C B ⊥
D.01
=
2
C M AB
8.（2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC ∆中，已知46=
3AB ，6
cos =6
B ，A
C 边上的中线5B
D =，
求sin A 的值.
9.（2011年高考山东卷理科第22题）已知直线l 与椭圆C ：22
132
x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，
且POQ ∆的面积6
2
S
=
,其中O 为坐标原点.
（I ）求证：2
21
2
x x +和22
12y y +均为定值； （II ）设线段PQ 的中点为M ，求
OM
PQ
•
的最大值.。