4.1.2指数函数图像与性质-学生版

合集下载

4.2.2指数函数的图像与性质2课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

1 3
1
∴当 t＝ (此时 x＝1)时，取到最小值 g2＝，
2
4
2
当 t＝2(此时 x＝－1)时，取到最大值 g(2)＝3，
3
∴f(x)的最小值为，最大值为 3.
4
角度2 指数函数图象和性质的综合运用
2
例3
函数 f(x)＝a－ x .
2 ＋1
(1)求证：不论 a 为何实数，f(x)总为增函数；
训练1
(1)函数y＝ax在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝
A.－1 或 2
√
B.2
1
C.
2
y＝ax在[1，2]上是单调函数，
当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1).
当0<a<1时，a－a2＝2，方程无解.
综上知a＝2.
1
D.
4
(2)函数
1x
1x

f(x)＝4 －2 ＋1
2 ＋1
2 ＋1
x
故函数 f(x)的值域为(－1，1).
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
(1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间；
(2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人?
解: (1)视察图，发现20年约为10万人，经过40
年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口
所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一
函数值变 x > 0时，y > 1
化情况
x < 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
过定点
角度1 定义域、值域、最值ห้องสมุดไป่ตู้题

学案6：4.1.2　指数函数的性质与图像（二）

4.1.2 指数函数的性质与图像（二）素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从_______到______相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数___________．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： ①函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有_______的定义域．②当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有_______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1； (4)55，33，2．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是_________，值域是_________．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤x 0，g x ，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数m 的取值范围．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．参考答案必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)下上(2)由大变小知识点解指数型不等式(1)单调性(2)单调性(3)①相同②相同相反思考：提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a ＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1解：(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝122＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝122＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．对点训练1．解：(1)∵y ＝0.3x 为减函数，又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1． (2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212 ，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 解：令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞．对点训练2．【答案】 [1，＋∞) ⎝⎛⎦⎤－∞，32【解析】令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1) 【答案】B【解析】因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2) 解：①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．对点训练3．解：(1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2．(2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]，若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)≥f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．参考答案。

指数函数的图像与性质教案

2.1.2 指数函数的图像与性质（教案）一、教学目标：1、知识与技能：掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

2、过程与方法：通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图象特征与性质。

3、情感态度价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

二、教学重点：指数函数的图象与性质。

三、教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。

四、教学过程：（一）创设情境 1、复习（1）指数函数的定义；（2）指数函数解析式的特征。

2、导入（二）探究新知1、作函数图象：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、xy )21(=的图象。

2、观察指数函数x y 2=、x y )2(=的图象特征。

f (3、观察不同底数的指数函数的图象特征。

结论：①图象在x 轴的上方.②当0<a<1时，图象是下降的；当a>1时，图象是上升的 . ③过定点（0，1）.4、归纳总结指数函数的图象和性质。

（三）典例讲解例题1 比较下列各题中两个数的大小。

（1）35.27.17.1和（2）2.01.08.08.0--和（3）1.33.09.07.1和（四）课堂总结这节课主要学习了什么内容，你有哪些收获？（五）作业布置：教材59页第7题。

；，点这两个函数的图象都过轴的上方；这两个函数的图象都在)10()2()1(x 的图象自左向右下降。

的图象自左向右上升；x x y y )21(2)3(==。

指数函数的图象和性质教学设计 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

指数函数的图象和性质教学设计学情分析从学生来看，主要体现在三个层面：1. 学生已了解指数函数的概念和简单的指数运算技能，探讨了指数函数图像及性质，通过幂函数的学习掌握了研究函数的一般方法；2. 学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。

3. 学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。

从条件资源来看，我们有多媒体、几何画板等软件，以及生活中大量的贴合实际的素材展示给学生，帮助学生理解指数函数的深刻内涵。

教学目标1. 掌握指数函数的性质，掌握指数函数性质的应用。

2. 体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题.3. 发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理. 教学重难点1. 重点：指数函数的图象和性质及其实际应用2. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用. 教学思路与方法本节课主要采用问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。

通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。

通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。

课前准备PPT ，几何画板教学过程（一）复习导入 1、指数函数的定义？预设答案：一般的，函数 01)(,x a a a >≠且y=叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域为R .追问：指数函数对于底数的要求是什么? 为什么要这样要求?【设计意图】学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a 的限制条件。

通过复习指数函数引入指数函数的图象和性质的研究。

2、幂函数的研究过程和方法？类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：背景→定义→图象→性质（单调性、奇偶性、特殊点等）→应用注意：（1）引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路；（2）突出数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用.（3）通过熟悉的旧知识引入知识，调动学生学习的积极性，用旧方法研究新问题，培养学生类比迁移的学习能力.3、1xxy a ya⎛⎫== ⎪⎝⎭结论：与的图象关于y轴对称。

新教材人教b版必修第二册412指数函数的性质与图像课件1

1
.
10
(x
√
)
y=(sin 30°)x在定义域上是增函数.( ✕ )
提示:sin 30°= 1 ,故函数y=(sin 30°)x在定义域上是减函数.
2
y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向右平移1个单位长度得到. ( ✕ )
提示:应该是向左平移1个单位长度.
1 |与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
1.(★★☆)解下列方程.
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
(2)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,解得t= 1 或t=-1(舍去),
破疑典例
(★★☆) (1)设a,b,c,则a,b,c的大小关系是 ( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
(2)下列大小关系正确的是 ( B )
3<3<π03<π0<3
3<π00<33
解析 (1)00,又函数yx在(-∞,+∞)上是减函 ,即b<a<c.故选C.
(2)30=1=π0=30<3,故选B.
t <1,∴函数的值域为[0,1).
2|与指数函数有关的复合函数的单调性

课件4：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)

单调性
在 R 上是_增__函__数__
在 R 上是__减__函__数__
3．比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的_单__调__性__来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的__图__像____的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过_中__间__值__来判断．
3．从左向右，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？ [提示] 当 0<a<1 时，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当 a>1 时，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凸．
法二：(解方程法)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图像过定点 (0,1)；在 f(x)＝ax－1＋2 中，令 x－1＝0，即 x＝1，则 f(x)＝3，所以函数 f(x)＝ax－1＋2(a>0 且 a≠1)的图像过定点(1,3)．
2．指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？ [提示] 不可能．因为指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．
(2)令 t＝2x－x2，则 y＝12t，而 t＝－(x－1)2＋1≤1，
所以 y＝12t≥12，故所求函数的值域为12，＋∞.
因为
＝12t，由于二次函数 t＝2x－x2 的对称轴为 x＝1，
可得函数 t 在(－∞，1]上是增函数，函数 y 在(－∞，1]上是减函数，故函数 y 的减区间是(－∞，1]．函数 t 在(1，＋∞)上是减函数，函数 y 在(1，＋∞)上是减函数，故函数 y 的增区间是(1，＋∞)．

4.1.2指数函数的性质与图象课件-高一数学人教B版必修第二册

f ( x) a x 1 1(a 1) 的图象必经过点 (1,0) .故选 D.
4.当 x [1,1] 时，函数 f ( x) 3x 2 的取值范围是(
C)
5
A. 1,
3
B. [1,1]
5
C. ,1
3
D. 0,1
解析：因为指数函数 y 3x 在区间 [1,1] 上单调递增，所以 31 3x 31 ，于是
以作出 y＝2x 的图象，如右图所示.
x
1
给出研究指数函数 y 的性质与图象的方法，并用该方法
2
得出这个函数的性质：
（1）定义域是
R
；
（2）值域是（0，＋∞）；
（3）奇偶性是非奇非偶函数
；
（4）单调性是
减函数
．
x
1
y

（5）然后在图中作出
的图象.
2
x
x
1
1
x
注意到 2 x ，因此不难看出 y 和 y 2 是有联系的：当这两个函数
2
2
的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等. 也就是说，如果点 ( x0 ，y0 )
x
1
在 y 的图象上，那么这个点关于 y 轴的对称点 ( x0 ，y0 ) 一定在 y 2 x 的图象
体生存时，会持续不断地吸取碳 14，从而其体内的碳 14 含量会保持在一定
的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸取碳 14，其体内的碳 14 含量就
会逐渐减少，而且每经过大约 5730 年后会变为本来的一半．
你能用函数表示有机体内的碳 14 含量与其死亡时间之间的关系吗？一

人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.1.2 指数函数的性质与图像课件(共104张PPT)

c=0.22.1，则a，b，c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.b>a>c
C.b<a<c
D.c>a>b
【解析】选B.a=0.52.1∈(0，1)，b=20.5>1，c=0.22.1， 0.52.1>0.22.1，所以a>c，所以b>a>c.
【加练·固】
已知
a

(
3
)
1 3
,
b

(
3 )
1 4
类型一指数函数的概念【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值为________. 2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π，e)，则f(-π) =________.
【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程求解. 2.设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(-π).
A.[3，9] C. [ 1，3]
3
B.[ 1，9]
3
D. [ 1，1]
93
3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为________.
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域. 2.先确定函数的单调性，再求最值. 3.分情况表示出最大值、最小值，列方程求a的值.
【加练·固】
函数y= 1－(1)x 的定义域为________.
3
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- (1)x ≥0，则
3
(1)x ≤1，即x≥0，
3
所以函数的定义域为[0，+∞).
第2课时指数函数的性质与图像的应用

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件

轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，

第4章专题2 指数函数的图像与性质(一)

指数函数的图像与性质（一）考向一指数函数的概念1．下列函数一定是指数函数的是（）A.12x y +=B.3y x =C.32x y =⋅D.3x y -=【答案】D【解析】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误； B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；故选：D. 2．函数()1()4x f x =，x ∈N ＋，则f (2)等于( ) A.2B.8C.16D.116 【答案】D3．函数()(23)xf x a a =-⋅是指数函数，则()1f = A.8B.32C.4D.2【答案】D【解析】函数()()23xf x a a =-⋅是指数函数，∴231a -=，解得2a =， ∴()2xf x =，∴()12f =．故选D ．4．下列函数：①y ＝4x 2，②y ＝6x ，③y ＝32x ，④y ＝3·2x ，⑤y ＝2x ＋1.(以上各函数定义域为x ∈N ＋)其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意可得y ＝6x ，y ＝32x =9x 为正整数指数函数，题中所给的其余函数不是正整数指数函数，即正整数指数函数的个数为2.本题选择C 选项.5、函数()()21x f x m m a =--是指数函数，则实数m =（） A.2B.1C.3D.2或1-【答案】D 【解析】由指数函数的定义，得21=1m m --，解得2m =或1-，故选D.6、函数f (x )＝a x ＋b 的图像过点(1,3)，且在y 轴上的截距为2，则f (x )的解析式为_____．【答案】f (x )＝2x ＋1【解析】由题意得a ＋b ＝3，又当x ＝0时，f(0)＝1＋b ＝2，∴b ＝1，a ＝2.∴f(x)＝2x ＋1. 所以函数的解析式为f(x)＝2x ＋1.7、给出下列命题:① n 都等于a (n ∈N*);②222a b ab ⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指数函数；④若m n a a <（0a >且1a ≠），则m n <．其中正确的是____.【答案】③.【解析】①错误,当n 为偶数,0a <时不成立,②错误, 2222a b a b ab +⋅=≠,③正确,两个函数均不符合指数函数的定义,④错误,当1a >时,m n <,而当01a <<时,m n >. 故答案为③.8、已知指函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)，(1)求f(0)的值；(2)如果f(2)＝9，求实数a 的值.【答案】(1)1;(2)3.【解析】(1)()001f a ==.考向二指数函数的图像1、函数y =2x 与y =（12）x 关于对称( ) ． A ．x 轴B ．y 轴C ．y =xD ．原点【答案】B2、若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2x y m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤,即1m ≤-,故选：D3、函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a >0且a ≠1.当0<a <1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a,在y 轴上的截距大于0且小于1；当a >1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D.4、函数x x y a x=(01)a <<的图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】D(0,)x ∈+∞函数为减函数，图象下降；(,0)x ∈-∞函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.5、函数x y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，xy a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，xy a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C6、已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．【解析】因为f (x )的图象过(0，－2)，(2，0)且a >1，－3.考向三指数函数的性质1、函数f(x)＝a x−3 ＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(3,2)【答案】D【解析】当x－3＝0，即x＝3时，＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.2、若函数y=a x−1−2(a>0，且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标为________．【答案】(1,−1)【解析】令x-1=0,得x=1,再把x=1代入y=a x−1−2得y=1-2=-1,所以图象恒过点P（1，-1）.故答案为(1,−1).3、已知函数f(x)＝a x(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为0<a<1，所以函数f(x)=a x在(−∞,+∞)上递减，可得③正确；x>0时，0<f(x)<a0=1，可得①正确；x<1时，f(x)>a0=1，可得②正确；即①②③都正确，故选D.4、若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为() ．A．a<12B．12<a<1C．a>1 D．a≥1【答案】C【解析】由题意2a−1>1⇒a>1，应选答案C 。

指数函数的图像和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

3．函数 y＝121－x 的单调增区间为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A [令 u(x)＝1－x，则 u(x)在 R 上是减函数，又 y＝12u(x)是减函数，故
y＝121－x 在 R 上单调递增，故选 A.]
4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系为________.
课堂小结 1、指数函数y ax与y ( 1 )x的图象关于y轴对称
a
a>1
0<a<1
指数
图
y
y
函
象
1
1
数
o
x
o
x
图象与
(1)定义域:
性 (2)值域:
R (0,+∞)
性
(3)过定点:
(0,1)
质
(4)单调性：增函数 (4)单调性：减函数
质 (5)奇偶性：非奇非偶 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1. (6)当x>o时，0<y<1,
则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0 ＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移 |－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
(2)因为y=0.6x是单调递减函数，且-1.2>-1.5, 所以0.6-1.2<0.6-1.5
(3)因为1.70.2>1.70=1，0.92.1<0.90=1，所以1.70.2>0.92.1

课件6：4.1.2　指数函数的性质与图像

∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.

由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3

1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3

1
2
2 −2−3

1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1

4.2 指数函数的图像与性质(1)

4.2 指数函数的图像与性质（1）一、教学内容分析指数函数是在学习了函数的定义及图像、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到有理数、实数范围之后，学习的又一个重要的基本初等函数，是函数的重要内容。

本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图像、性质及简单应用；第二、三课时为指数函数性质进一步应用。

本课为第一课时。

本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。

在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。

二、教学目标设计1.理解指数函数的概念和意义；学会描绘指数函数的图像；掌握指数函数的基本性质及简单应用；2.通过对指数函数的学习，体会数形结合的思想；3.形成由特殊到一般，再由一般到特殊来研究问题的思维习惯。

三、教学重点及难点重点：指数函数的图像和性质难点：指数函数的图像性质与底数的关系。

四、教学用具准备多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ y=2x问题2：已知一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次下去，问截的次数x 与剩余尺子长度y 之间的函数关系如何?（假设原来长度为1个单位）x1y 2⎛⎫ ⎪⎝⎭＝讨论：y=2x与x1y 2⎛⎫⎪⎝⎭＝这类函数的解析式有何共同特征？答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。

（若用a 代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到……）二、学习新课--4.2 指数函数的图像与性质（1）1．指数函数的定义一般地，函数y=a x (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R 。

课件2：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)

(2)定义域为 R，y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34，因为 2x>0，所以当 2x＝12时，即 x＝－1 时，y 取最小值34，所以 y＝4x－2x＋1 的值域为34，＋∞.
【规律方法】解此类题的要点是设 ax＝t，利用指数函数的性质求出 t 的范围．从而把问题转化为 y＝f(t)的问题．
【规律方法】 y＝af(x)的定义域即 f(x)的定义域，求 y＝af(x)的值域可先求 f(x)的值域，再利用 y＝at 的单调性结合 t＝f(x)的范围求 y＝at 的范围．
【跟踪训练】求下列函数的定义域与值域： (1)y＝0.3x－1 1；(2)y＝3 5x－1. 解：(1)由 x－1≠0，得 x≠1，所以所求函数的定义域为{x|x≠1}．由x－1 1≠0，得 y≠1，所以所求函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}． (2)由 5x－1≥0，得 x≥15，所以所求函数的定义域为xx≥15. 由 5x－1≥0，得 y≥1，所以所求函数的值域为{y|y≥1}．
【规律方法】函数 y＝ax 的图像主要取决于 0<a<1 还是 a>1.但前提是 a>0 且 a≠1.此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．
【跟踪训练】已知函数 f(x)＝4＋ax＋1 的图像经过定点 P，则点 P
的坐标是( )
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【跟踪训练】求下列函数的定义域与值域． (1)y＝ 1－12x； (2)y＝aaxx－＋11(a>0，且 a≠1)．
解：(1)因为 1－12x≥0，所以12x≤1，解得 x≥0，所以 y＝ 1－12x的定义域为[0，＋∞)．令 t＝1－12x (x≥0)，则 0≤t<1，所以 0≤ t<1，所以 y＝ 1－12x的值域为[0，1)．

指数函数的图像和性质教学设计 (2)

指数函数的图像和性质教课方案一、教材分析( 一 ) 教材的地位和作用本课时主要学习指数函数的图像和性质看法，经过指数函数图像的研究归纳其性质。

“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数 ( 指数函数的反函数 ) 的准备知识。

本节课的要点是指数函数的图像及性质，难点在于弄清楚底数 a 关于函数变化的影响。

经过这部分知识的学习进一步深入学生对函数看法的理解与认识，使学生获取较系统的函数知识并领会研究函数较为完好的思想方法，其余还可类比学习后边的其余函数。

( 二) 教课目标知识维度：初中已经学习了正比率函数、反比率函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，可以从初中运动变化的角度认识函数初步转变到从会集与对应的看法来认识函数。

能力维度：学生利用描点法画出函数的图像，并描述出函数的图像特色，可以为研究指数函数的性质做好准备。

素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有必定的领会，已初步认识了数形联合的思想。

1、知识与技术目标：(1)掌握指数函数的看法 ( 能理解对 a 的限制以及自变量的取值可推行至实数范围 );(2)会做指数函数的图像 ;(3)能初步掌握指数函数的图像，性质及其简单应用。

2、过程与方法目标：经过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，由图像研究指数函数的性质。

利用性质解决实质问题，培育学生研究、归纳分析问题的能力。

3、感情态度与价值观目标：(1)在学习的过程中领会研究详尽函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的广泛联系与互相转变，培育学生用联系的看法看问题(2)经过教课互动促进师生感情，激发学生的学习兴趣，提升学生抽象、概括、分析、综合的能力经过研究领会“数形联合”的思想 ; 感觉知识之间的关系性 ; 领会研究函数由特别到一般再到特别的研究学习过程 ; 体验研究函数的一般思想方法。

( 三 ) 教课要点和难点教课要点：指数函数的图象和性质。

课件1：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)

Байду номын сангаас
[方法总结] 1．指数函数在同一平面直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大．无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图像恒过定点(0,1)，且与直线 x＝1 相交于点(1，a)，因此，直线 x＝1 与各图像交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小．
1
(1)y＝2x-1
；(2)y＝23－|x|.
解 (1)∵由 x－4≠0，得 x≠4，
∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠4}．
∵x－1 4≠0，∴2x1-4 ≠1.
1
∴y＝2x-4 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)函数的定义域为 R. ∵|x|≥0， ∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1. 故 y＝23－|x|的值域为[1，＋∞)．
解析结合指数函数的性质可知，若 y＝ax(a>0，且 a≠1)在 R 上是增函数，则 a>1.
【互动探究】
探究一指数函数的概念例1 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4) y＝xα(α是常数)．解 (1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
2．指数函数 y＝ax 与 y＝1ax(a>0，且 a≠1)的图像关于 y 轴对称． 3．处理函数图像问题的常用方法：一是抓住图像上的特殊点；二是利用图像的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性.