全等的识别与直接构造
全等三角形专题讲解
CE O D B A 21C E D BA 全等三角形专题讲解专题一、全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”）3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等． 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ． 要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．2143C O B A GA B F D EC（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需 再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ． 求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ，CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ． 因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以 图4△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒O D A C B 43O E DC B A 21F ED A 21(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等 例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ． 求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC= 90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ． 在△ACD 和△BCE 中， ∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4．∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知：如图21，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 图21A FH D C G B EA D CB EA F DC B E 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝ 90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形①过角平分线上一点作两边的垂线段 例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别 平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ．∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ．∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ．∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º． 在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ．∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形 例9 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ．在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ，∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ． 分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ，即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ．∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．C EB A D 在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ． ∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ． （3）利用角的平分线构造等腰三角形 如图25，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形．。
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
全等三角形综合复习1。
全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定； 3。
角平分线的性质及判定.知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析:⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证:ACF BDE ∆≅∆。
知识点二:构造全等三角形例 2. 如图，在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =,90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证:AE CF =。
知识点三：常见辅助线的作法1。
连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =.解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识例5。
如图,,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线,它们交于点P。
求证：BP 为MBN∠的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题.3. “截长补短"构造全等三角形例 6.如图，在ABC∆中,AB AC>，12∠=∠，P为AD上任意一点。
求证：AB AC PB PC->-。
专题 图形的全等(知识讲解)数学七年级下册基础(北师大版)
专题4.7 图形的全等（知识讲解）【学习目标】1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.特别说明：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、图形的全等➽➼全等图形的识别1．下列各组图形中不是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中两个图形不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．【点拨】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．举一反三：【变式1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．【变式2】下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的概念分析即可．解：A 、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B 、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C 、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D 、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．类型二、全等三角形概念➽➼全等图形的识别 2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，=BD CD ．完成下面说明B C ∠=∠的理由的过程．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=___________Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC ___________．BD CD =（___________）∴点B 与点___________重合，ABD ∴与ACD ___________，ABD ∴___________ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（___________）． 【答案】ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=ADC ∠Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC 重合．BD CD =（已知）∴点B 与点C 重合，ABD ∴与ACD 重合，ABD ∴≌ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（全等三角形的性质）．故答案为：ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质．【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．举一反三：【变式1】如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】AOC BOD △△≌．对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠； 对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．解： AOC BOD △△≌． 因为A ∠与B ∠是对应角，所以其余的对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠；对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．【变式2】如图，若ADE BCE ≌△△，1∠与2∠是对应角，AD 与BC 是对应边，写出其他的对应边及对应角．【答案】AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．解：因为ADE BCE ≌△△，所以AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【点拨】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．类型三、全等三角形的性质➽➼求边✮✮求角✮✮周长✮✮面积3．如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应点，点B 和点E 是对应点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ．(1) BAC ∠=______，B ∠=______，AB =______；(2) 若65BCE ∠=︒，完善求CAF ∠度数的解题过程．∴ABC DEC ≌△△， ∴ACB =∠______，∴BCE ACE ACD ACE ，∴______．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴______，∴90AFC ∠=︒，∴CAF ∠=______︒． 【答案】(1) D ∠，E ∠，DE (2) DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【分析】（1）由ABC DEC ≌△△，即可得到对应角和对应边相等（2）由ABC DEC ≌△△，得到BCE ACD ∠=∠，且AF CD ⊥，即可求得25CAF ∠=︒ （1）解：∴ABC DEC ≌△△，∴BAC D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；故答案为：D ∠，E ∠，DE（2）∴ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ，∴BCE ACD ∠=∠．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∴25CAF ∠=︒．故答案为：DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【点拨】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键举一反三：【变式1】如图，AB 与CD 相交于点E ，连接AD AC BC 、、，若,28ABC ADE BAC ∠=︒△≌△，求B ∠的度数．【答案】48︒ 是ADE 的一个外角，AEC DAE -∠48=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，以上知识是解题的关键．】如图，已知ABC △(1) 若6DE =，4BC =，求线段AE 的长；(2) 已知35D ∠=︒，60C ∠=︒，求AFD ∠的度数．【答案】(1) 2AE = (2) 130AFD ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质得到6AB DE ==，4BE BC ==，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出ABC ∠，计算即可．（1）解：∴ABC DEB △△≌，6DE =，4BC =， ∴6AB DE ==，4BE BC ==， ∴642AE AB BE =-=-=；（2）∴ABC DEB △△≌，35D ∠=︒，60C ∠=︒， ∴60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，ABC DEB ∠=∠，∴18085ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，∴85DEB ∠=︒，∴95AED ∠=︒，∴3595130AFD A AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知ABC DEB ≌，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，8AB =，5BC =，65C =︒∠，20D ∠=︒．(1) 求AE 的长度；(2) 求AED ∠的度数.【答案】(1) 3AE = (2) 85AED ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）∴ABC DEB ≅，∴3BE BC ==，∴633AE AB BE =-=-=，（2）∴ABC DEB ≅，∴25A D ∠=∠=︒，55DBE C ∠=∠=︒，∴255580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可．举一反三：【变式1】如图，已知△ABC ∴∴DEF ，AF ＝5cm ．（1）求CD 的长．（2）AB 与DE 平行吗？为什么？解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （ ），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质） 即 ＝∴AF ＝5cm∴ ＝5cm（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝ （ ）∴AB （ ）【答案】（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ∴∴DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ∴∴DEF ，可以得到∴A =∴D ，从而可以得到AB 与DE 平行． 解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∴AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝∴D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2】如图，B ，C ，D 三点在同一条直线上，90,,5B D ABC CDE AB ︒∠=∠=∆≅∆=，12,13BC CE ==．(1) 求ABC 的周长．(2) 求ACE △的面积．，然后计算ABC 的周长；，再证明ACE ∠=）ABC ∆≅13AC CE ==ABC 的周长）ABC CDE ∆≅∆13,AC CE ∴==90D ∠=︒，CED ∴∠+∠ACB ∴∠+∠ACE ∴∠=ACE ∴的面积【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．类型四、全等图形➽➼应用5．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：【点拨】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．举一反三：【变式1】试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见分析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点拨】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【答案】见分析【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．解：共有3412⨯=个小正方形，∴被分成四个全等的图形后每个图形有1243÷=，∴如图所示：，【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．s。
初中数学全等形知识点
初中数学全等形知识点初中数学中，全等形是一个重要的概念。
全等形指的是形状相同、大小相等的图形。
在初中数学中，全等形的相关知识点有很多，下面将逐一介绍。
一、全等形的定义全等形是指两个图形的形状完全相同、大小完全相等。
当两个图形之间存在一一对应的关系，且对应边相等，对应角相等时，我们就可以说这两个图形是全等形。
二、全等形的判定判定两个三角形全等的条件有以下几种：1. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。
三、全等形的性质1. 全等形具有相等的内角和外角。
两个全等形的内角和相等，外角和相等。
2. 全等形的对应边和对应角相等。
3. 全等形的对应线段相等。
包括对应的中线、角平分线、高线等。
4. 全等形的对应线段互相平行。
包括对应的边、中位线等。
四、全等形的应用1. 在实际问题中，通过判断两个图形是否全等，可以解决一些实际的测量和设计问题。
比如，可以利用全等形的性质来求解两个不规则图形的面积、周长等。
2. 在建筑、工程、地图等领域，全等形的概念也有广泛的应用。
在制作地图时，通过测量和绘制实际地物的大小和形状，可以保证地图上的图形与实际地物相似，从而使地图准确可靠。
五、全等形的证明在数学中，证明全等形的方法有很多种。
常见的证明方法包括：利用全等形的定义和性质，利用判定法进行证明，利用构造法进行证明，利用反证法进行证明等。
不同的证明方法适用于不同的问题，可以根据题目的要求选择合适的证明方法。
六、常见的全等形在初中数学中，常见的全等形有：全等三角形、全等四边形等。
全等三角形是最基础的全等形，它们具有相等的三个内角和三个对应边，可以通过判定法进行证明。
矩形全等的五种判定方法及如何构造矩形全等
矩形全等的五种判定方法及如何构造矩形全等矩形全等是指两个矩形在形状和大小上完全相同。
在几何学中，矩形全等的判定方法可以分为以下五种：1. 五边形判定法：如果两个矩形的边长相等且对应的对角线相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的对角线实质上是相等的性质。
五边形判定法：如果两个矩形的边长相等且对应的对角线相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的对角线实质上是相等的性质。
2. 角度判定法：如果两个矩形的对角线相等且对应的内角度相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的内角度实质上是相等的性质。
角度判定法：如果两个矩形的对角线相等且对应的内角度相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的内角度实质上是相等的性质。
3. 边角判定法：如果两个矩形的相邻边长和对应的内角度相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的边长和内角度之间的关系。
边角判定法：如果两个矩形的相邻边长和对应的内角度相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法基于矩形的边长和内角度之间的关系。
4. 边中点判定法：如果两个矩形的一条边的中点分别和另一个矩形的两条边的中点相连，形成的两条线段相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法利用了矩形的中点性质。
边中点判定法：如果两个矩形的一条边的中点分别和另一个矩形的两条边的中点相连，形成的两条线段相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法利用了矩形的中点性质。
5. 三边判定法：如果两个矩形的三条边对应的边长相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法是一种直观易懂的判定方法。
三边判定法：如果两个矩形的三条边对应的边长相等，则可以判定这两个矩形是全等的。
这个方法是一种直观易懂的判定方法。
如何构造矩形全等可以使用矩形的性质和判定方法来进行操作。
例如，可以先构造一个矩形，然后根据判定法进行边长和角度的调整，从而构造出相等的矩形。
总结起来，矩形全等有五种判定方法，包括五边形判定法、角度判定法、边角判定法、边中点判定法和三边判定法。
全等三角形的构造技巧(2020版)
全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。
也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。
（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。
全等三角形证明方法
全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等缺条边的条件：1、公共边2、中点3、等量和4、等量差5、角平分线性质6、等腰三角形7、等面积法8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA 上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
初二数学全等与相似的判断方法详解
初二数学全等与相似的判断方法详解在初二数学学习中，全等与相似是常见的几何概念，它们在许多数学问题中起到了重要的作用。
本文将详细介绍了初二数学中全等与相似的判断方法。
一、全等的判断方法全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
在判断全等时，我们通常可以使用以下方法：1. SSS判定法（边边边判定法）SSS判定法是指如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
2. SAS判定法（边角边判定法）SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边相等，且夹角相等，那么它们是全等的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，则可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
3. ASA判定法（角边角判定法）ASA判定法是指如果两个三角形的一对对应角相等，且夹边相等，那么它们是全等的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，则可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
二、相似的判断方法相似是指两个图形的形状相似但大小不同。
在判断相似时，我们通常可以使用以下方法：1. AA判定法（角角判定法）AA判定法是指如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可以判断三角形ABC相似于三角形DEF。
2. SSS相似判定法（边边边判定法）SSS相似判定法是指如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以判断三角形ABC相似于三角形DEF。
3. SAS相似判定法（边角边判定法）SAS相似判定法是指如果两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB/DE = BC/EF，∠B=∠E，则可以判断三角形ABC相似于三角形DEF。
圆形全等的五种判定方法及如何构造圆形全等
圆形全等的五种判定方法及如何构造圆形
全等
简介
在几何学中，圆形全等是指两个圆在形状和大小上完全相同。
本文将介绍五种判定圆形全等的方法，并提供如何构造圆形全等的步骤。
判定方法
1. 直接测量法
通过测量两个圆的半径或直径，如果它们的数值相等，则可以判定它们是圆形全等的。
2. 重合法
将两个圆放在同一平面上，并使它们的圆心重合。
然后通过对比两个圆的形状是否完全一致，来判断它们是否为圆形全等。
3. 外切四边形法
如果两个圆的半径或直径相等，并且它们的外切四边形的四条边长度也完全相等，则可以判断这两个圆是圆形全等的。
4. 内切四边形法
如果两个圆的半径或直径相等，并且它们的内切四边形的四条边长度也完全相等，则可以判断这两个圆是圆形全等的。
5. 镜像重合法
将一个圆复制一份，并通过镜像翻转使其与另一个圆重合。
如果两个圆在重合后完全一致，则可以判定它们是圆形全等的。
构造圆形全等的步骤
1. 选择一个圆的半径或直径，并画出这个圆。
2. 根据判定方法选择的步骤，构造另一个圆，并确保它满足相应的条件。
3. 将两个圆放在同一平面上，并使它们的圆心重合。
4. 检查两个圆的形状是否完全一致，确认它们为圆形全等。
注意：在构造过程中，需要使用几何工具，如直尺、量角器等，以保证构造的准确性。
结论
通过以上五种判定方法和构造步骤，我们可以准确地判定和构
造圆形全等。
这些方法可以帮助我们在几何学的研究和实践中更好
地理解和应用圆形全等的概念。
判定三角形全等的基本思路与模型总结
判定三角形全等的基本思路与模型总结前言在几何学中，判定两个三角形是否全等是一个非常基础且重要的问题。
全等的两个三角形具有完全相等的形状和大小，它们的对应边长和对应角度都相等。
本文将介绍判定三角形全等的基本思路与模型总结。
三角形全等的基本判定条件判定两个三角形全等的基本条件可以归纳为以下几点：1.三边全等（SSS）：两个三角形的三条边对应相等。
2.两边一角全等（SAS）：两个三角形的两条边和夹角对应相等。
3.两角一边全等（ASA）：两个三角形的两个角和夹边对应相等。
4.直角三角形的斜边和斜边上的高（HS）：两个直角三角形的斜边和斜边上的高对应相等。
三角形全等的基本思路判定三角形全等的基本思路可以归纳为以下几个步骤：步骤1：获取三个三角形的边长和角度首先，需要获取待判定的两个三角形的边长和角度。
可以通过已知条件和测量手段来获取。
步骤2：根据所给的条件判断边长和角度是否相等根据三角形全等的基本判定条件，逐个判断两个三角形的边长和角度是否相等。
如果两个三角形的边长和角度满足全等的条件，那么它们就是全等的。
步骤3：总结判定结果根据判定结果，总结两个三角形是否全等。
可以用文字说明或以符号表示，例如用“≌”表示全等。
三角形全等的模型总结基于三角形全等的基本思路，我们可以将其总结为如下模型：模型1：SSS如果两个三角形的三条边对应相等，则它们是全等的。
表示为：△ABC ≌ △DEF模型2：SAS如果两个三角形的两条边和夹角对应相等，则它们是全等的。
表示为：△ABC ≌ △DEF模型3：ASA如果两个三角形的两个角和夹边对应相等，则它们是全等的。
表示为：△ABC ≌ △DEF模型4：HS如果两个直角三角形的斜边和斜边上的高对应相等，则它们是全等的。
表示为：△ABC ≌ △DEF总结通过对判定三角形全等的基本思路与模型总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。
根据给定的条件，我们可以使用不同的模型来判定三个三角形是否全等。
全等图形的构造和证明
全等图形的构造和证明全等图形的构造和证明是几何学中的重要内容，掌握全等图形的构造和证明方法对于提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力具有重要意义。
一、全等图形的概念1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等图形的性质：全等的图形具有相同的形状、大小和位置关系。
二、全等图形的构造方法1.折叠法：将一个图形沿着某条直线折叠，使得折叠后的两部分完全重合，即可构造出全等图形。
2.剪贴法：将一个图形沿着某条直线剪开，然后重新组合，使得重新组合后的图形与原图形完全重合，即可构造出全等图形。
3.作图法：利用直尺、圆规等作图工具，按照给定的条件作出全等图形。
三、全等图形的证明方法1.SSS（三边对应相等）：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2.SAS（两边及夹角对应相等）：如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。
3.ASA（两角及夹边对应相等）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。
4.RHS（斜边及两个锐角对应相等）：如果两个三角形的斜边及两个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
5.HL（斜边及直角边对应相等）：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
四、全等图形在实际应用中的例子1.在建筑设计和工程图纸中，通过全等图形的构造和证明，可以确保构件的尺寸和位置关系正确。
2.在物理学中，通过全等图形的构造和证明，可以研究物体的运动轨迹和受力情况。
3.在生物学中，通过全等图形的构造和证明，可以比较和研究生物体的结构特征。
五、全等图形的教学策略1.结合实物模型，让学生直观地感受全等图形的概念和性质。
2.利用多媒体动画，展示全等图形的构造和证明过程，提高学生的空间想象能力。
3.布置丰富的练习题，让学生在实践中掌握全等图形的构造和证明方法。
六、全等图形的学习要点1.理解全等图形的概念，掌握全等图形的性质和判定方法。
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等三角形全等是指两个三角形的所有对应边和对应角相等。
在几何学中，有五种常见的判定方法来确定两个三角形是否全等：SSS（边-边-边）判定法、SAS（边-角-边）判定法、ASA（角-边-角）判定法、AAS（角-角-边）判定法和HL（斜边-直角-斜边）判定法。
下面将分别介绍这五种方法，并给出如何构造三角形全等的例子。
1.SSS（边-边-边）判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。
2.SAS（边-角-边）判定法：如果两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。
3.ASA（角-边-角）判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形全等。
例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，∠ABC=∠DEF，则可判断三角形ABC和DEF全等。
4.AAS（角-角-边）判定法：如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。
5.HL（斜边-直角-斜边）判定法：如果两个直角三角形的一个直角和一个斜边分别相等，则这两个三角形全等。
例子：给定两个直角三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。
以上是判定两个三角形全等的五种方法。
下面将介绍如何通过给定条件构造全等的三角形。
1.给定两边和夹角：以一条边为边长，另一条边为夹角的边，在端点处画出一条与给定边相等的线段作为第二条边，然后以给定夹角为顶点画出第三边，两个三角形即构造完成。
构造全等三角形的方法(优选.)
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全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。
判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
构造方法有：1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。
3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。
下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF．例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的NMAAMN正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．1.如图已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC ．2.(06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC BA4321FDOE CB A3.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.如图，四边形ABPC中，，，，求证：．FEDCBA2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例△ABC中，∠BAC=60°，∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC 来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形．4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。
构造全等的方法
构造全等的方法一、全等的概念与重要性。
1.1 全等的概念。
全等啊，简单来说就是两个图形能够完全重合，就像双胞胎一样，一模一样。
在数学的世界里，这可是个相当重要的概念呢。
不管是三角形、四边形还是其他的多边形，只要是全等的，那它们对应的边就一样长，对应的角就一样大。
这就好比是两个克隆出来的东西，每个部分都严丝合缝地匹配。
1.2 重要性。
为啥重要呢？这就好比盖房子，你得找到完全一样的砖头才能把房子盖得稳稳当当的。
在解决很多几何问题的时候，要是能发现全等的图形，那就像找到了一把金钥匙。
比如说要计算一个复杂图形的面积或者边长，你通过找到全等的部分，就可以把问题简化，这就叫“化繁为简”。
2.1 利用边相等。
我们先来说说利用边相等来构造全等。
这就像是搭积木，你有了相同长度的小木棍，就可以搭建出相同的形状。
比如说在三角形中，如果有两条边分别相等，那我们就可以想办法再找一个条件，像夹角相等或者第三边相等，来让这两个三角形全等。
这就像是“万事俱备，只欠东风”，边相等就是我们已经有的条件，再找到那个关键的条件，全等就成了。
2.2 利用角相等。
角相等也是构造全等的一个好办法。
你想啊，三角形的角就像是它的性格特点。
如果两个三角形有两个角分别相等，再加上一条边相等，那这两个三角形就全等了。
这就好比两个人，性格有很多相似的地方，再加上有一个相同的习惯，那他们就很相似了，在三角形里就是全等了。
比如说在一个几何图形里，有平行的线，那根据平行线的性质就会有很多角相等，我们就可以利用这些角相等的条件来构造全等三角形。
2.3 平移、旋转与对称。
平移、旋转和对称这几种变换可不能小瞧。
它们就像是魔法一样，可以把图形变到我们想要的位置，从而构造出全等。
比如说一个三角形，你把它平移一段距离，或者绕着一个点旋转一定的角度，或者做个对称变换，就有可能和另外一个三角形全等。
这就像是把东西挪个地方，换个角度看，就发现和别的东西一模一样了。
这在一些复杂的几何图形组合里特别有用，有时候你看着两个三角形好像不搭界，但是经过这么一变换，全等关系就出来了。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“ＳA Ｓ”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡＳ”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。
上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法，供同学们参考、１、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ＡBCD 中,∠BAC 得平分线交B Ｃ于E ，求证:A Ｂ+ＢE=AC 、 解法(一)(补短法或补全法)延长ＡB 至Ｆ使AF=ＡC ，由已知△ＡEF ≌△AEC,∴∠F ＝∠ACE=4５º， ∴BF ＝B Ｅ,∴ＡB+BE ＝A Ｂ+BF=AF=AC 、 解法(二)(截长法或分割法)在A Ｃ上截取ＡG=ＡＢ，由已知 △ AB Ｅ≌△AGE,∴EG=B Ｅ, ∠A ＧＥ＝∠ABE,∵∠ACE ＝４5º, ∴CG ＝EG, ∴ＡB ＋BE ＝ＡG+CG=ＡＣ、 2、平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠ＢAC=60°,∠C ＝40°A Ｐ平分∠ＢAC 交B Ｃ于Ｐ，B Ｑ平分∠ABC 交A Ｃ于Q, 求证:A Ｂ＋B Ｐ=ＢQ+A Ｑ、证明:如图(1),过O 作O Ｄ∥ＢC 交AB 于Ｄ,∴∠ADO ＝∠ＡBC=180°-6０°-40°＝8０°,又∵∠AQ Ｏ=∠C ＋∠QBC=８０°,∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DA Ｏ=∠QAO ，ＯA=AO, ∴△ADO ≌△ＡＱO,∴OD=O Ｑ,AD=AQ ，又∵ＯD ∥ＢP,∴∠ＰＢO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠D ＢO,∴∠ＤＢＯ=∠D ＯB,∴BD=O Ｄ,∴AB ＋BP=AD+DB+B Ｐ=A Ｑ+OQ+B Ｏ＝AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下： ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交ＡC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图（3)，过O 作D Ｅ∥BC 交AB 于Ｄ，交AC 于E,则△ADO≌△AQ Ｏ,△A ＢO ≌△AE Ｏ来解决、 ③ 如图(4)，过Ｐ作P Ｄ∥B Ｑ交A Ｂ得延长线于D,则△A ＰD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5)，过P 作ＰD ∥ＢQ 交A Ｃ于Ｄ， 则△AB Ｐ≌△ＡDP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等
三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等1.SSS全等：即边边边全等，表示两个三角形的三条边分别相等。
如果两个三角形的对应边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-以线段AB为一边，在平面上任取一个圆心O，用刻度尺量取出角A和角B的度数；-以点O为圆心，以OA为半径在平面上画出一个圆；-分别用刻度尺量取出AC和BC的长度；-若AC和BC的长度与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。
2.SAS全等：即边角边全等，表示两个三角形的两条边和它们的夹角分别相等，即两边夹角相等。
如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，在这条边的一侧画一个角为α的角；-以这条线段为边，在另一侧画一个角为β的角；-在角α和角β所在的射线上，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-若AC与BC的长度与已知相等，并且角ACB与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。
3.ASA全等：即角边角全等，表示两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等，即两角边相等。
如果两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，在这条边的一侧画一个角为α的角；-在角α的一侧再画一个角为β的角；-在角β所在的射线上，以点C为一侧，在这条射线的一侧画一个角为γ的角；-若角ACB和角ABC与已知相等，并且边AC与边BC的长度与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。
4.AAS全等：即角角边全等，表示两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等，即两边角相等。
如果两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等，那么这两个三角形全等。
构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-在这条线段的一侧画一个角为α的角；-在这条线段的另一侧画一个角为β的角；-在角α和角β所在的射线上，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-若角ACB和角ABC与已知相等，并且边AC与已知边BC的长度比相等，则三角形ABC与已知三角形全等。
高中数学平面几何全等条件判断步骤
高中数学平面几何全等条件判断步骤在高中数学的学习中，平面几何是一个重要的内容，其中全等条件的判断是一个关键的考点。
全等条件的判断需要掌握一定的步骤和技巧，本文将详细介绍这些内容，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用。
一、全等条件的基本概念在平面几何中，当两个图形的形状和大小完全相同时，我们称它们为全等图形。
全等图形之间存在一些特定的条件，用来判断它们是否全等。
这些条件包括：SSS （边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边-直角边），其中HL条件只适用于三角形。
二、SSS条件的判断SSS条件是指两个三角形的三条边分别相等。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
在解题过程中，可以通过计算边长的大小来判断是否满足SSS条件。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且AB=DE，BC=EF，AC=DF。
现在要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
首先，根据SSS条件，我们已知的边长满足要求。
其次，我们可以通过计算边长的大小来验证：AB=DE，BC=EF，AC=DF。
因此，根据SSS条件，可以得出结论三角形ABC全等于三角形DEF。
三、SAS条件的判断SAS条件是指两个三角形的两边和夹角分别相等。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，则可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
在解题过程中，可以通过计算边长和夹角的大小来判断是否满足SAS条件。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF。
现在要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
首先，根据SAS条件，我们已知的边长和夹角满足要求。
其次，我们可以通过计算边长和夹角的大小来验证：AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF。
因此，根据SAS条件，可以得出结论三角形ABC全等于三角形DEF。
形的相似和全等学会判断和构造相似和全等形
形的相似和全等学会判断和构造相似和全等形相似和全等形是几何学中的重要概念，它们在许多问题中都发挥着重要的作用。
在几何学中，我们常常需要判断和构造相似和全等的形状。
本文将介绍相似和全等形的概念及其判断和构造的方法。
一、相似形的判断和构造相似形是指两个或多个形状的对应边成比例，对应角相等的形状。
在判断两个形状是否相似时，我们可以使用以下方法：1. 边长比较法：比较两个形状的对应边的比值是否相等。
如果两个形状的对应边的比值相等，则可以判断它们是相似形。
2. 角度比较法：比较两个形状的对应角是否相等。
如果两个形状的对应角相等，则可以判断它们是相似形。
3. 直角三角形判定法：如果两个直角三角形的两个直角分别相等，或者一个直角三角形的两个锐角与另一个直角三角形的两个锐角对应相等，则可以判断它们是相似形。
4. 边-角-边判定法：如果两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则可以判断它们是相似形。
根据相似形的定义和判断方法，我们可以通过以下步骤构造相似形：1. 已知一个形状和比例因子：根据已知形状和比例因子，可以通过将已知形状的每条边的长度乘以比例因子来得到新的形状。
2. 已知两个形状的对应边成比例：根据已知形状的对应边和比例关系，可以通过将已知形状的每条边的长度乘以比例关系来得到新的形状。
二、全等形的判断和构造全等形是指两个或多个形状的对应边长度相等且对应角相等的形状。
在判断两个形状是否全等时，可以使用以下方法：1. SSS准则：如果两个三角形的三条边分别相等，则可以判断它们是全等形。
2. SAS准则：如果两个三角形的一对对应边相等，且夹角相等，则可以判断它们是全等形。
3. ASA准则：如果两个三角形的一对对应角相等，且夹边相等，则可以判断它们是全等形。
4. RHS准则：如果两个直角三角形的一条直角边和另一边的长度分别相等，则可以判断它们是全等形。
根据全等形的定义和判断方法，我们可以通过以下步骤构造全等形：1. 对应边和角构造法：如果已知两个形状的对应边和对应角，可以直接通过将对应边和对应角放置在相同位置来构造全等形。