圆锥曲线限时规范训练

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圆锥曲线限时训练(文)(答案)

限时训练（答案）1．（Ⅰ）2=-+mymx；（Ⅱ）),4(+∞．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知FP,两点的坐标，首先求此直线的斜率，然后代入点斜式直线方程，化简；（Ⅱ）第一步，直线方程与抛物线方程联立，求出根与系数的关系，第二步，根据焦点弦长求,和点到直线的距离，第三步，（Ⅲ）第一步，将所给共线向量写成坐标形式，根据向量相等，反解出λ和μ，将μλ+写成坐标形式，根据上一问根与系数的关系计算定值．试题解析：解：（Ⅰ）由题知点P、F的坐标分别为),1(m-，)0,1(于是直线PF所以直线PF ，即为2=-+mymx。

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，，得)162(2222=++-mxmxm，，121=xx。

点D到直线2=-+mymx 的距离因为R∈m且0≠m，于是4>S，所以△DAB 的面积S 范围是),4(+∞。

2.（1（2）存在定值，2，理由略．【解析】试题分析：（1，设3(0)a k k =>，则，223b k =，可设椭圆C 的方由于直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，代入椭圆方程，解得y 即可得出；（2）假设存在点E ，使得为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x 轴重合时，当直线AB 与x 轴垂直时由，解得0x 的值，即知若存在点E ，此时值2．根据对称性，只需考虑直线AB 过点设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB，与椭圆C 联立方程组，利用韦达定理化简即可得出．试题解析：（1，设3(0)a k k =>，则，223b k =，所以椭圆C 的方程为，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y k =±，于是所以椭圆C 的方程为（3）假设存在点E ，使得为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x 轴重合时，有当直线AB 与x 轴垂直时，所以若存在点E ，此时2．根据对称性，只需考虑直线AB 过点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB 的方程为，与椭圆C 联立方程组，考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的综合问题．。

圆锥曲线限时训练2带答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A.(3，＋∞)B.(－∞，－2)C.(3，＋∞)∪(－∞，－2)D.(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D. 【答案】 D2.已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )【导学号：37792048】A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D.以上都不对【解析】设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.【答案】 A3.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A.5B.4C.3D.1【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4.椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( )【导学号：37792049】A.(0，±m －n )B.(±m －n ，0)C.(0，±n －m )D.(±n －m ，0)【解析】将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y2－m＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形. 【答案】 B 二、填空题6.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【解析】依题意，有⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 【答案】 37.椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.【解析】由题意知⎩⎨⎧10－m >0，m －2>0，10－m －(m －2)＝4或⎩⎨⎧10－m >0，m －2>0，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 【答案】 4或88.已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________.【解析】如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0).又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16 三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点.设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0).10.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【导学号：37792050】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2). 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升]1.已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3【解析】设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3，又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C. 【答案】 C2.已知M 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1为椭圆的一个焦点，且|MF 1|＝2，N 为MF 1的中点，O 为坐标原点，则ON 的长为( )A.2B.4C.8D.12【解析】设椭圆的另一个焦点为F 2，由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝10. 又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. ∴|ON |＝12|MF 2|＝4. 【答案】 B3.椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________.【解析】由条件可取F 1(－3,0)，∵PF 1的中点在y 轴上， ∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32， ∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍.若|AB |＝152，求椭圆C 的方程.【导学号：37792051】图2-2-3【解】由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得 (2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒ m ＝2(a 2－c 2)2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2(a2－c2)2a＋c＝a2－c22a－c，解得2a＝3c，可得m＝5c8，|AB|＝3m＝15c8＝152，c＝4.由ca＝23，得a＝6，b2＝20，所以椭圆C的方程为x236＋y220＝1.。

高三圆锥曲线规律经典练习题(1)(2)(3)(4)及详解

高三圆锥曲线规律经典练习题（1）题1：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹题2：已知12,,A A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的顶点（如图）,直线l 与椭圆交于异于顶点的,P Q 两点,且2//l A B ．若椭圆的离心率是3,且2||5A B =．（１）求此椭圆的方程；（２）设直线1A P 和直线BQ 的倾斜角分别为αβ,．试判断αβ+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． x yO A BEFM题3：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅u u u u r u u u r 为定值;（II ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.答案题1：答案：2122().9273y x x =-> 详解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得解得20021(1),E E ky ky y x k k--=∴=将k 换成-k ，可得F 点坐标 ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值) 所以直线EF 的斜率为定值（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 题2：答案：πβα=+∴详解：（１）由已知可得225c a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，所以.1,2==b a 椭圆方程为2214x y +=．（２）αβ+是定值π．理由如下：由（１），A 2（2，0），B （0，1），且l //A 2B ，所以直线l 的斜率212A B k k ==-．设直线l 的方程为11221,(,),(,)2y x m P x y Q x y =-+,221412x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩联立，222220x mx m -+-=.048)22(44222≥-=--=∆∴m m m即22≤≤-m ，且 ⎩⎨⎧-==+22222121m x x mx x ． ,,22P Q ππαβ∴≠≠Q 两点不是椭圆的顶点121211tan ,tan 2A P BQ y y k k x x αβ-∴====+．又因为m x y m x y +-=+-=221121,21，221112tan tan x y x y -++=+βα211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-++-+--=+＝212121212(1)()22(1)2(22)220(2)(2)m x x x x m m m m m x x x x -+-+----+-==++ tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==-．又),0(,πβα∈)2,0(πβα∈+∴ πβα=+∴是定值．题3：答案：45o; PQ 过定点E （1，－4）.详解：（I ）设点P y y P y y M Θ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，112222112,,1444AM PM y y y k k y y y -∴==+-即4,142121211=∴+=+y y y y y y 即.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOP OM S ROM Θ由此可得tanα=1.又(0,),45,45.OM OP απα∈∴=︒ou u u u r u u u r 故向量与的夹角为(Ⅲ)设点M y y Q Θ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即Θ 即.(*)04)(43232=+++y y y y ,44432232232y y y y y y k PQ +=--=Θ )4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.高三圆锥曲线规律经典练习题（2）题1：如图A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）求证：⑴A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新

第二章 2.4 2.4.2基础练习1．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2,3) D ．(3,2) 【答案】D【解析】将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3.∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8 【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d ＝3＋p2＝4.解得p ＝2.3.(2020年某某五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A.y 2＝－12xB.y 2＝－8xC.y 2＝－6xD.y 2＝－4x 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( )A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】D【解析】C 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)过定点P (－2,0)．过点A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |.∴点B (1，22)．∴k ＝22－01－－2＝223.故选D ．5．(2019年某某某某期末)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是__________________．【答案】x 2＝2y【解析】由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y .6.(2020年某某某某质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.7．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由题意，直线AB 的方程为y ＝x －1，代入抛物线方程y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0. (方法一)由x 2－6x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x ·x 2＝2×62－4＝8.(方法二)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|＝x 1＋1，|BF |＝|BB 1|＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B (AB 不垂直于x 轴)，F 为焦点且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒过定点Q (6,0)，求抛物线C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8－p .又|QA |＝|QB |，∴(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22，即(x 1＋x 2－12)(x 1－x 2)＝2p (x 2－x 1)．∵x 1≠x 2，∴x 1＋x 2＝12－2p .∴12－2p ＝8－p .解得p ＝4. ∴所求抛物线C 的方程为y 2＝8x .能力提升9．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，∴这样的直线有两条．故选B ．10.(多选题)如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率存在，则( )A.|AB |＝x 1＋x 2＋pB.x 1x 2＝p 24C.y 1y 2＝－p 2D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝x 1＋x 2＋p ，A 正确.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，B ，C 正确.设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，∴以AB 为直径的圆与准线相切，D 正确.综上，ABCD 全选. 11.(2020年某某永州模拟)已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为.【答案】2＋2【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116.设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab .由抛物线的定义得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b ).由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab(2ab )2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋2.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.。

高二数学高效课堂资料圆锥曲线限时训练

高二数学高效课堂资料高二数学圆锥曲线限时训练1.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点。

若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（） A. 221189x y += B. 2212718x y += C. 2213627x y += D. 2214536x y +=2.直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为（）A ．31 B ．21 C ．32 D ．434.双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（） A.5 B. 24 C.3 D.55.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞6.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则△POF 的面积为（）A.2B.22C.32D.47．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 ∠AMB =120°，则m 的取值范围是（）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞8. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（）A ． 23B ．12C ．13D ．149. 设椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB∠=∠.10.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线交于,A B 两点.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）是否存在AOB ∆面积的最大值？若存在，求出AOB ∆的面积；若不存在，说明理由.。

2021年高考数学总复习提能拔高限时训练：圆锥曲线的综合问题(练习+详细解析)大纲人教版2

提能拔高限时训练38 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,那么双曲线的渐近线的斜率为〔〕 A.±2 B.34±C.21±D.43± 解析:椭圆的长轴两端点和焦点分别为(5,0),(-5,0)和(4,0),(-4,0).设双曲线方程为12222=-by a x ,那么有c=5,42=ca ,a 2+b 2=c 2, ∴a 2=20,b 2=5. 故其渐近线为x y 21±=. 答案:C2.F 1,F 2是椭圆C:14822=+y x 的两个焦点,在椭圆C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为〔〕 A.0 B.1 C.2 D.4解析:由14822=+y x ,得a=22,b=2,c=2. ∵b=c=2,∴以原点为圆心,c 为半径的圆与椭圆有2个交点. ∴满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为2. 答案:C3.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△PF 1F 2的面积为3,那么21PF PF •的值是〔〕A.2B.3C.-2D.3- 解析:设||1PF =m,||2PF =n,∠F 1PF 2=θ,那么21mnsinθ=3,m 2+n 2-2mncosθ=(52)2.由这两式消去m 和n,得,3,3cos 1sin πθθθ==-∴cosθ=21. ∴mn=4.∴21PF PF •=mncosθ=4×21=2. 答案:A4.如图,在△ABC 中,,212tan=C 0=•BC AH ,0)(=+•CB CA AB ,那么过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为〔〕A.2B.3C.2D.3 解析:由0=•BC AH ,得AH⊥BC.由,212tan=C 得tanC=34. 设CH=3m,那么AH=4m,AC=5m(m>0).由双曲线的离心率的定义,知过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率2354=-=-=mm mCH CA AH e .答案:A5.在给定双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,那么该双曲线的离心率为〔〕 A.22B.2C.2D.22 解析:不妨设双曲线方程为12222=-b y a x (a>0,b>0),那么依题意有222=a b 且212=-c a c ,据此解得2==ace ,选C. 答案:C6.直线l:x=4,直线l 上任一点A,过点A 作l 的垂线l 1,点B(8,2),线段AB 的垂直平分线交l 1于点P,那么点P 的轨迹方程是〔〕A.(y-2)2=8(x-6)B.(y-2)2=4(x-6)C.19)2(16)6(22=-+-y x D.19)2(16)6(22=---y x解析:如图,设P(x,y),那么A(4,y),AB 的中点)22,6(+y M . 因为PM 是线段AB 的垂直平分线, 所以有k AB ·k PM =-1.整理,得(y-2)2=8(x-6), 即为点P 的轨迹方程. 答案:A7.设椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率21=e ,右焦点为F(c,0),方程ax 2+bx-c=0的两实根分别为x 1,x 2,那么点P(x 1,x 2)〔〕 A.必在圆x 2+y 2=2内 B.必在圆x 2+y 2=2上C.必在圆x 2+y 2=2外 D.以上情形都有可能解析:∵21==a c e ,∴a=2c. 又∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=243a . ∵x 1+x 2=a b -,x 1x 2=ac-,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2247143<=+=. 答案:A8.椭圆x 2+2y 2=4,那么以(1,1)为中点的弦的长度为〔〕 A.23 B.32 C.330 D.263 解析:依题意,设弦端点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4.∴x 12-x 22=-2(y 12-y 22). ∴此弦斜率21)(221212121-=++-=--=y y x x x x y y k .∴此弦直线方程为)1(211--=-x y , 即2321+-=x y . 代入x 2+2y 2=4, 整理,得3x 2-6x+1=0. ∴x 1x 2=31,x 1+x 2=2. ∴|AB|=330344254)()211(1212212=-•=-+•-+x x x x .答案:C9.假设椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,那么此椭圆的离心率为〔〕 A.1716B.1712-C.22-D.552解析:由｜F 1F ｜∶｜FF 2｜=5∶3,其中｜FF 2｜=｜OF 2｜-｜OF ｜=2bc -, ｜F 1F ｜=｜OF 1｜+｜OF ｜=c+2b . ∴.3522=-+b c bc ∴c=2b. 又∵a 2=b 2+c 2=b 2+4b 2=5b 2, ∴a=5b. ∴.55252===bb ac e 答案:D10.△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,那么点P 在平面α内的轨迹是〔〕 A.圆的一局部 B.椭圆的一局部 C.双曲线的一局部 D.抛物线的一局部解析:∵AD⊥α,BC⊥α,∴AD∥BC,且∠CBP=∠DAP=90°. 又∠CPB=∠APD,故Rt△CBP∽Rt△DAP, 有2184===BC AD PB PA . 在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如上图所示的直角坐标系,那么A(-3,0)、B(3,0). 设P(x,y),那么21)3()3(2222=+-++y x y x , 化简,得x 2+y 2+10x+9=0. 注意到点P 不在直线AB 上,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2+10x+9=0(y≠0),点P 在平面α内的轨迹为圆的一局部. 答案:A 二、填空题11.(2021湖北八校高三第一次联考)当α∈［2π,π)时,方程x 2sinα-y 2cosα=1表示的曲线可能是__________.(填上你认为正确的序号)①圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线解析:∵α∈［2π，π), ∴当α=43π时,sinα=-cosα=22.此时x 2sinα-y 2cosα=1, 即x 2+y 2=2表示一个圆;当α=2π时,sinα=1,cosα=0, 此时x 2sinα-y 2cosα=1,即x 2=1表示两条平行直线; 当2π<α<π,且α≠43π时,cosα<0<sinα,且|sinα|≠|cosα|,此时x 2sinα-y 2cosα=1表示椭圆.答案:①②③12.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=30°,AB、AC 边上的高分别为CD 、BE,那么以B 、C 为焦点,且经过D 、E 两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.解析:设BC=2,椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,离心率为e;双曲线的焦距为2c′,实轴长为2a′,离心率为e′.于是2c=2c′=2,2a=|BE|+|CE|=1+3,2a′=||BE|-|CE||=3-1, 所以321321322222=-++=''+='+a c a c e e . 答案:3213.抛物线y 2=2px(p>0),过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,那么我们知道||1||1BF AF +为定值.请写出关于椭圆的类似结论________:.当椭圆方程为13422=+y x 时,||1||1BF AF +=_________. 解析:通过列方程组及椭圆的第二定义,计算|AF|与|BF|推出结论,这个和为定值:22||1||1baBF AF =+. 当椭圆方程为13422=+y x 时,34||1||1=+BF AF .答案:椭圆12222=+b y a x (a>b>0),过焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点,那么22||1||1b a BF AF =+为定值34 14.从双曲线15322=-y x 的左焦点F 引圆x 2+y 2=3的切线FP 交双曲线右支于点P,T 为切点,M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,那么|MO|-|MT|等于_________.解析:点P 在双曲线的右支上,设右焦点为F 2,那么|PF|-|PF 2|=2a=32.在Rt△OTF 中,|FO|=c=22,|OT|=a=3,∴|TF|=b=5. 在△PFF 2中,MO 为其中位线, ∴|MF|-|MO|=a=3, 即|MT|+5-|MO|=3. ∴|MO|-|MT|=35-. 答案: 35- 三、解答题15.椭圆C 1的方程为1422=+y x ,双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;(2)假设直线l:y=kx+2与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点,且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<•OBOA (其中O 为原点),求k 的取值范围.解:(1)设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ,那么a 2=4-1=3.再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1.故双曲线C 2的方程为1322=-y x . (2)将y=kx+2代入1422=+y x ,得(1+4k 2)x 2+82kx+4=0, 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点,得Δ1=(82)2k 2-16(1+4k 2)=16(4k 2-1)>0,即k 2>41.① 将y=kx+2代入1322=-y x ,得(1-3k 2)x 2-62kx-9=0, 由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 、B,得即k 2≠31且k 2<1.② 设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ), 那么x A +x B =22319,3126k x x k k BA --=-. 由6<•OB OA ,得x A x B+y A y B<6,而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +2)(kx B +2)=(k 2+1)x A x B +2k(x A +x B )+2=(k 2+1)·13732312623192222-+=+-•+--k k k k k k .于是6137322<-+k k ,即013131522>--k k . 解此不等式,得k 2>1513或k 2<31.③由①②③,得31412<<k 或115132<<k .故k 的取值范围为)11513()33,21()21,33()1513,1(， ----. 16.抛物线y=x 2上两点A 、B 满足PBAP λ=,λ>0,其中点P 坐标为(0,1),OB OA OM+=,O 是坐标原点.(1)求四边形OAMB 的面积S 的最小值;(2)求点M 的轨迹方程. 解:(1)由PB AP λ=,知A 、P 、B 三点在同一直线上,设该直线方程为y=kx+1,A(x 1,x 12),B(x 2,x 22).由⎩⎨⎧=+=,,12x y kx y 得x 2-kx-1=0, ∴x 1+x 2=k,x 1x 2=-1.∵OB OA •=x 1x 2+x 12x 22=-1+(-1)2=0,∴OB OA ⊥.又∵四边形OAMB 是平行四边形, ∴四边形OAMB 是矩形. ∴S=||||OB OA ⊥24k +=.因此k=0时,S 取最小值2.(2)设M(x,y),∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②x x y ①x x x .,222121由①②,得x 2=y-2,∴点M 的轨迹方程是y=x 2+2.教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】直线l:y=kx+1与双曲线C:x 2-y 2=1的左支交于不同的两点A 、B,直线m 过点P(-2,0)和AB 的中点M,求m 在y 轴上的截距b 的取值范围.解:由⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得(k 2-1)x 2+2kx+2=0,x≤-1,由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<-=+>-+=∆≠-,012,012,0)1(84,01221221222k x x k k x x k k k解得1-k<2. 设M(x 0,y 0),那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=.111,122002110k kx y k k x x x由P(-2,0),)11,1(22k k k M --,Q(0,b)三点共线可知2222++-=k k b . 令f(k)=-2k 2+k+2,那么f(k)在(1,2)上为减函数. ∴f(2)<f(k)<f(1)且f(k)≠0, 那么b<-(2+2)或b>2.【例2】定点P(p,0)(p>0),动点M 在y 轴上的射影为H,假设向量PM 与HM 在OM 方向上的投影相等,直线l:x+y=m. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)假设将曲线C 向左平移1个单位与直线l 相交于两个不同点R 、Q,且OR OQ •=0,求p 关于m 的函数f(m)的表达式.解:(1)设M(x,y),那么H(0,y),那么OM =(x,y),HM =(x,0),PM =(x-p,y). 由题意可知OMHM OM PM•=•,得x(x-p)+y 2=x 2.故C 的方程为y 2=px.(2)曲线C 向左平移1个单位后的曲线方程为y 2=p(x+1). 由⎩⎨⎧+==+)1(,2x p y m y x 消去y,得y 2-(2m+p)x+(m 2-p)=0,Δ=(2m+p)2-4(m 2-p) =p(4m+p+4)>0, 即41p m -->. 设Q(x 1,y 1),R(x 2,y 2),那么由一元二次方程根与系数的关系,得x 1+x 2=2m+p,x 1·x 2=m 2-p. ∵OR OQ ⊥,∴x 1·x 2+y 1·y 2=2(m 2-p)-m(2m+p)+m 2=m 2-(m+2)p=0.∴p=f(m)=22+m m .又p>0,m>-1-4p , ∴f(m)的定义域为(-2,0)∪(0,+∞).【例3】如图,F 为椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线12222=-by a x 的两条渐近线l 1、l 2分别交于点M 、N,与椭圆交于点A 、B. (1)假设∠MON=3π,双曲线的焦距为4,求椭圆方程; (2)假设0=•MN OM(O 为坐标原点),FA 31=AN ,求椭圆的离心率e.解:(1)∵∠MON=3π,M,N 是直线l 与双曲线两条渐近线的交点, ∴,336tan ==πa b 即a=b 3. ∵双曲线的焦距为4,∴a 2+b 2=4. 解得a 2=3,b 2=1,∴椭圆的方程为1322=+y x . (2)设椭圆的焦距为2c,那么点F 的坐标为(c,0). ∵0=•MN OM,∴l⊥l 1.∵直线l 1的斜率为a b , ∴直线l 的斜率为ba.∴直线l 的方程为)(c x bay -=.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,),(x a b y c x b a y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,,2c ab y c a x即点),(2cabc a N ,设A(x,y),由FA31=AN,得(x-c,y)=),(312y cabx c a --, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)(31),(312y c ab y x c a c x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,4,4322c ab y c a c x ∴点A 的坐标为)4,43(22cabc a c +.∵点A 在椭圆上,∴11616)3(2222222=++c a c a a c , 即(3c 2+a 2)2+a 4=16a 2c 2.∴(3e 2+1)2+1=16e 2.∴9e 4-10e 2+2=0.∴9752±=e . ∴375±=e . ∴椭圆的离心率375±=e . 【例4】曲线C 上任意一点M 到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C 的方程;(2)假设过点P(2,2)的直线m 与曲线C 交于A,B 两点,设PB AP λ=. ①当λ=1时,求直线m 的方程;②当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点),求λ的值.解:(1)设M(x,y),那么由题意得|MF|=|y+2|-1,即1|2|)1(22-+=-+y y x . 当y≥-2时,1)1(22+=-+y y x ,两边平方得x 2=4y;当y<-2时,3)1(22--=-+y y x ,两边平方得x 2=8y+8,因y<-2,不合题意,舍去.故点M 的轨迹C 的方程是x 2=4y.(2)当直线m 的斜率不存在时,它与曲线C 只有一个交点,不合题意,当直线m 与x 轴不垂直时,设直线m 的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).代入x 2=4y,得x 2-4kx+8(k-1)=0,①Δ=16(k 2-2k+2)>0对k∈R 恒成立,∴直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点.设交点A,B 的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么x 1+x 2=4k,②x 1x 2=8(k-1).③ ①由PB AP λ=,且λ=1,得P 为AB 的中点,∴x 1+x 2=4.把②代入,得4k=4,k=1.∴直线m 的方程是x-y=0. ②∵|AB|=]4))[(1()()(212212221221x x x x k y y x x -++=-+- )22)(1(422+-+=k k k ,点O 到直线m 的距离21|22|k k d +-=,∴S △ABO 22|1|4||212+--=•=k k k d AB ∵S △ABO =24, ∴24)1()1(424=-+-k k , 即(k-1)4+(k-1)2-2=0.(k-1)2=1或(k-1)2=-2(无实根),由(k-1)2=1,解得k=0或k=2.1°当k=0时,方程①的解为x=±22. 当22,2221-==x x 时,2232221-=--=x x λ; 当22,2221=-=x x ,2232221+=--=x x λ. 2°当k=2时,方程①的解为224±, 同理可得λ=3+22或λ=3-22.。

2012届高中三年级文科培优限时训练(圆锥曲线)

培优限时训练一椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，上焦点到2a y c=，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=u u u r u u u r．（1）求椭圆方程；（2）若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，求m 的取值范围．培优限时训练一参考答案解（1）由222a c c c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,22a c b === ∴椭圆C的方程为：2221x y +=．（2）由AP PB λ=u u u r u u u r 得()OP OA OB OP λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，(1)OP OA OB λλ∴+=+u u u r u u u r u u u r又4,143OA OB OP λλλ+=∴+=⇒=u u u r u u u r u u u r设直线l 的方程为：y kx m =+由2221y kx m y x =+⎧⎨+=⎩得222(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴∆=-+-224(22)0k m =-+>由此得2222k m >-．①设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21212222km 1,12m x x x x k k -+=-=++ 由3AP PB =u u u r u u u r得 123x x -=122212223x x x x x x +=-⎧∴⎨=-⎩，整理得212123()40x x x x ++= 22222134022km m k k -⎛⎫∴-+= ⎪++⎝⎭，整理得222(41)22m k m -=- 214m =Q 时，上式不成立，2222122,441m m k m -∴≠=- ②由式①、②得2222222122(1)104141m m m m m -⎛⎫>-⇔-+< ⎪--⎝⎭ 2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+⇔<⇔-<<--+或112m <<∴m 取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．培优限时训练二已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点),0(t M 的直线L （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =，求实数t 的取值范围．培优限时训练二参考答案解（1）∵BC 且||2||=过（0，0）则0||||=⋅=BC AC AC OC Θ又∴∠OCA=90°即)3,3(C 2分又∵11212:,32222=-+=c y x m a 设将C 点坐标代入得11231232=-+C 解得 c 2=8，b 2=4 ∴椭圆m ：141222=+y x 5分（2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ） 1°当k=0时，显然－2<t<2 6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得01236)31(222=-+++t ktx x k 8分由△>0 可得 22124k t +< ① 9分设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+= 2031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22ktk kt H ++-11分由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt k t+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t 的范围是（1，4） 12分综上t ∈（－2，4） 13分培优限时训练三已知平面内一动点P 到点F （1，0）的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1．（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB •u u u r u u u r的最小值．培优限时训练三参考答案解：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意为22(1)|| 1.x y x -+-= 化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0. 所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.12342222()()||||||||(1)(1)(1)(1)41(2)11(24)1184()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB AF FB FD EF x x x x k kk k •=++=+++=+=+++++=+++++++=++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g u u u r u u u r u u u r u u u r g g 22184216k k+⨯=g当且仅当221k k =即1k =±时，AD EB •u u u r u u u r 取最小值16．培优限时训练四如图，椭圆C ：22212x y a +=的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1、A ，上顶点为B ．抛物线C 1、C 2分别以A 、B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线2y x =上一点P ．（1）求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M 、N ，已知点(20)Q -，，求QM QN u u u u r u u u rg的最小值．培优限时训练四参考答案解：由题意得A （a ，0），B （0∴ 抛物线C 1的方程可设为24y ax =；抛物线C 2的方程可设为2x =由28x P y ⎧=⎪⎨⎪⎩解得（，代入24y ax =得a = 4∴ 椭圆方程为221162x y +=，抛物线C 1：216y x =，抛物线C 2：2x =······ 5分 (2) 由题意可设直线l的方程为2y x m =+由221162x y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得2258160x m -+-= ·························· 6分由22()20(816)0m m ∆=---><解得·············· 7分设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则2121281655m x x x x -+==， ·········· 8分 ∵1122()()QM x y QN x y =+=u u u u r u u u r， ∴12121212(((()()QM QN x x y y x x m m =+++=++++u u u u r u u u r g222121233816)()2)2225m x x x x m m -=++++=⨯+++ 22916149838()5599m m m +-==+-∵m <<∴ 当89m =-时，其最小值为389- ······················ 12分培优限时训练五如图，已知离心率为3的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B。

圆锥曲线44道大题特训(含答案)

圆锥曲线44道特训（只要做不死就给死里做）1．已知双曲线12222=-by a x C ：的离心率为3，点)0,3(是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ，直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．3．已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为22．设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求22||||PA PB +的最大值.4．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c 2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．6．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e = （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线过定点1(,0)2P ，求实数k 的取值范围.7．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB V 面积的最大值.8．已知椭圆错误!未找到引用源。

专训2.5 圆锥曲线(教师版)

专训2.5 圆锥曲线思维导图解答题，每题10min，共100min1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)，且经过点31()22，. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点2(0)P ，的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求AOB (O 为原点)面积的最大值. 【答案】（1）2213x y +=；（2）2【解析】（1）由222222213a b b e a a -==-=得3b a =①，由椭圆C 经过点31()22，得2291144a b +=①，联立①①，解得1b =，a =①椭圆C 的方程是2213x y +=；（2）由题意可知直线AB 一定存在斜率，设其方程为2y kx =+，联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22(13)1290k x kx +++=，则2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >，设11()A x y ，、22()B x y ，，则1221213k x x k +=-+，122913x x k ⋅=+， ①1212122AOB POB POA S SS x x x x =-=⨯⨯-=-， ①22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-⋅=--=+++，设21k t -=(0t >)，则212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++，当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时2713k =>，可取，此时AOB 面积取得最大值2. 2．（2020·江苏镇江·高三期中）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为()1A -，直线l 与曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线与M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：MON △面积为定值，并求出该定值.【答案】（1）2214x y -=；（2）证明见解析，MON △面积为2. 【解析】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，由题意可得：2222222241811c a c a b b a b⎧⎪=⎧⎪==+⇒⎨⎨=⎩⎪⎪-=⎩，则双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()222418440k x kmx m -+++=， ()()2222226444144041k m k m k m ∆=--+=⇒=+，①设l 与x 轴交于一点D ，m OD k=-， 122OMN MOD NOD M N M N m S S S OD y y k x x k-=+=⨯-=⋅-△△△，双曲线两条渐近线方程为：12y x =±，联立12,21212y x m m M k k y kx m ⎧=⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪--⎝⎭⎪=+⎩，联立12,22121y x m m N k k y kx m⎧=--⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪++⎝⎭⎪=+⎩，则22224142212122142MON m m m m m m m S k k k k mk k k k k --=⋅⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅--=+-△（定值）. 3．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（①）求椭圆M 方程；（①）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（①）记①ABD 与①ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．【答案】（①）22143x y +=；（①）247；（①）12||S S -. 【解析】（①）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=. （①）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （①）由（①）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号，所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+ 1243||||t t =+≤==当且仅当||t =. 所以12||S S -4．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(20)A ，、(01)B ，两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【解析】（1）由题意得，2a =、1b =，①椭圆C 的方程为2214x y +=，①c =①离心率c e a == （2）设00(,)P x y ，(00x <，00y <)，则220044x y +=，又(20)A ，、(01)B ，， ①直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得0022M y y x =--，①002||112M y BM y x =-=+-， ①直线PB 的方程为0011y y x x -=+，令0y =得001N x x y =--，①00||221N x AN x y =-=+-， ①四边形ABNM 的面积0000211(2)(1)2212x y S AN BM y x =⋅=⨯+⨯+-- 2200000000000000000044484224422(22)22x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+， ①四边形ABNM 的面积为定值.5．（2020·广东广州·高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的焦距为的直线和以椭圆的右顶点A 为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作两条互相垂直的直线AM 和AN ，分别交椭圆C 于M ，N 两点，问x 轴上是否存在一定点Q ，使得MQA NQA ∠=∠成立，若存在，则求出该定点Q ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点为10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）设右焦点(),0c ，右顶点(),0A a ，因为2c =c =因为椭圆的左顶点(),0a -，故直线方程为)15y x a =+，即0x a -+=，b =，223a b -=，解得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=. （2）由（1）可知右顶点()2,0A ，且过点A 的直线AM 和AN 的斜率存在且不为0，设直线AM 和AN 的方程分别为()2y k x =-和()12y x k=--，设(),M M M x y ，(),N N N x y ，联立()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +-+-=，因为直线AM 和椭圆C 交于A ，M 两点，所以22164214M k x k -=+，即228214M k x k-=+，即()24214M M k y k x k -=-=+，222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 设x 轴上存在一定点(),0Q t ，使得MQA NQA ∠=∠成立，则0QM QN k k +=，即0N M QM QN M N y y k k x t x t+=+=--，即()M M N N M N y x y x y y t ⋅+⋅=+⋅，因为()()()22222222241010482824144144414M M N N k k k k k k y x y x k k k k k k ----⋅+⋅=⋅+⋅=++++++， ()()()2222243344144414M N k k k k y y k k k k --+=+=++++，即()()()()()()22222241010433414414k k k k t k k k k --=⋅++++，解得103t =. 因此x 轴上存在一定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭，使得MQA NQA ∠=∠成立.6．（2020·云南昆明·高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点). （1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）2212x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.【解析】(1)OP =220074x y ∴+=，又123·4PF PF =，00003(,)(,)4c x y c x y ∴---⋅--=，即2220034x c y -+=，则可得1c =，又2e =，1a b ∴==，故所求椭圆方程为2212x y +=； (2)设直线1:3l y kx =-，代入2212x y +=，有22416(21)039k x kx +--=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k -+==++，若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =-，22(,)MB x y m =-，21212121212·()()()MAMB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+-+++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+，由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立，即22218(1)(9615)0m k m m -++-=对k ∈R 成立.221096150m m m ⎧-=∴⎨+-=⎩，解得1m =，∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.7．（2020·全国高三其他模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为2，椭圆C 的左顶点到1F1.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，已知10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若MA MB ⋅为定值，则直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标和定值；若不经过定点，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）直线l 过定点，定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，定值为1516-. 【解析】（1）由已知可得1,1,b a c =⎧⎪⎨-=⎪⎩即2221,1,b ac a c ⎧=-=⎪⎨-=⎪⎩故1,1,a c a c ⎧+==⎪⎨⎪-=⎩解得1,1.a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+. 由221,2,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理得()()222214210k x kmx m +++-=，所以()()()22222216421218210k m k m k m ∆=-+⋅-=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系可得， 122421km x x k -+=+，()21222121m x x k -=+.而111,4MA x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 221,4MB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12121144MA MB x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12121144x x kx m kx m ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121211144k x x k m x x m ⎛⎫⎛⎫=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222211411214214m km k k m m k k --⎛⎫⎛⎫=+⨯+-⨯+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()222222111121422121444m m m m k m m k ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 222151313821621k m m k ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+ 由MA MB ⋅为定值，可得2151313821621m m ---=，即2620m m --=，解得12m =-或23m =，故直线l 的方程为12y kx =-或23y kx =+. 所以直线l 过定点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭或20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时定值为1516-. 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x n =，则不妨令A n ⎛ ⎝，,B n ⎛ ⎝，则22211531162162n n MA MB n ⎛⎫⋅=+--=-+ ⎪⎝⎭，又MA MB ⋅为定值，所以0n =，直线l 的方程为0x =，此时直线l 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.此时1516MA MB ⋅=-，符合题意. 综上，若MA MB ⋅为定值，则直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且定值为1516-. 8．（2020·上海高三一模）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=；（2）(,(3,)-∞+∞；（3）证明见解析【解析】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=. （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即2233503m m --<-m <或m <即实数m 的取值范围(,(3,)m ∈-∞+∞. （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D xy ，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点00()22x y P +，直线BD，直线AD ，又BD PQ ⊥，则直线PQ 的方程为0000()22y x x y x y +-=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x=+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即02(1(33x x x-+=+，则024x x =，即点Q，则4p q x x -==. 故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 9．（2020·广西高三一模）已知椭圆C .22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px Γ=：（0p >）共焦点，以椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，经过F 2的直线交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D，且满足22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭.（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;（2）若点D 在第三象限，且点A 在点B 上方，点C 在点D 上方，当①BF 1D 面积取得最大值S 时，求212F F F B ⋅的值.【答案】（1）22:184x y C +=；2:8y x Γ=；（2161-【解析】（1）先作如下计算，设过2F 的直线AB 的倾斜角为θ，设22,F D x F C y ==，由椭圆定义得112,2F D a x FC a y =-=-，由余弦定理得2222cos (2)(2)x c c x a x θ⋅⋅=+--，整理可得2cos b x a cθ=-⋅，同理可求得2cos b y a c θ=+⋅，2112a x y b∴+=，∴222112a CF DF b +=；所以，222cos 1cos b b a F D c a c aθθ==-⋅-⋅；过,A B 两点分别向x 轴作垂线1AA 、1BB ，1A 、1B 为垂足，再设22,F A x F B y ==，可得，点A 的横坐标为cos 2p x θ+⋅，点B 横坐标为cos 2p y θ-⋅，由抛物线定义知cos 22p p x x θ+⋅+=，cos 22p p y y θ-⋅+=，所以，1cos p x θ=-，1cos p y θ=+，此时， 112x y p +=， ∴22112AF BF p+= 设椭圆C 的焦距为2c ，所以，2p c =，易知24y cx Γ=：，又因为椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，得1482bc ⨯=，得4bc =，又21p c=由22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭得，212a c b =，得2ac =，联立方程得，22224bc ac a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得22842a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴22:184x y C +=，2:8y x Γ= （2）由（1）得，直线AB 的倾斜角为θ，且2ac =，得，椭圆离心率2e =，则222cos cos 1cos 1cos p b F D a c a c e e θθθθ====-⋅-⋅-⋅-⋅，得，2421cos p F D e θ===-⋅，又由（1）得241cos F B θ=+∴2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ，则12sin 4sin DB h F F θθ==，112sin 421cos DB BF D DB h θθ⎫∆=⨯⨯=-⎪+⎭()()2sin 21cos 1cos cos f f θθθθθθ'=⇒=-++()(()202cos 1cos 50f θθθ-'=⇔+=，根据cos θ的性质，只有cos θ=符合题意，根据导数的性质，可知，()f θ在cos θ=时，取得最大值，21221216116cos cos 1cos F F F B F F F B θθθ-∴•=⋅⋅==+，10．（2020·广东高三零模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AEx ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】（1）依题意可得2c b a ==，所以2222222212c a b a a a a --===，得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += . （2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，直线BE 的方程为()1112y y x x x =-，与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为2211142x y +=，所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=- 3112211122111112138241838AB AD y y y y y k k y x xx x y +--===---- 所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.。

华师一附中2024届高三《限时练(圆锥曲线)》答案

华师一高三数学限时练参考答案：【详解】由题意可知2PO b =，12OF OF c ==，设1PF =中，根据正弦定理可得1sin sin PO PFO =∠O 中，根据正弦定理可得2sin sin PO PF O =∠2sin b POF ⋅∠设122F P F P t '==，则所以24123P Q t a ='=，则即2211P Q F P QF ''+=在12P F F ' 中，由勾股定理得所以A 、C 对，B 错；由1y kx =-恒过(0,1)-，结合()2222148141y kx m k x kmx x y =+⎧⎪⇒--⎨-=⎪⎩则()(22226441444k m k m ∆=+-+所以122281444km x x k m ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪所以直线1l的斜率存在，设直线联立方程()22314y k xx y⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去设直线MN l ：y kx =+112,1AM AN y yk k x x ==-易得边AM 的高线1l设()00,H x y ，则AM ()000,,0y H x =∴，()221,,AN x y MH =- 则010*******,1,111,x x yy x x x y ⎧=⎪⎪⨯=-⎨+-⎪⎪-=⎩【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

圆锥曲线限时规范训练

限时规范训练二十三(建议用时45分钟)1．(2015·高考浙江卷)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解：(1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线P A 与抛物线相切Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32. 2．(2016·广东惠州调研)已知椭圆C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，62，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一定点A .解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知，得⎩⎨⎧ 1a 2＋64b 2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝ (x 1＋2)2＋y 21＝ ()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2， |MF |＝ (1＋2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝2＋22. ∵2|MF |＝|PF |＋|QF |，∴2⎝⎛⎭⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2. ①当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得 x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，得线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，即(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.②当x 1＝x 2时，P ⎝⎛⎭⎫1，－62，Q ⎝⎛⎭⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎫1，62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62. 线段PQ 的垂直平分线是x 轴，也过点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.3.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ·k BD ＝－b 2a 2.(1)求OA →·OB →的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，∴x 28＋y 24＝1. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋2y 2＝8⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2. y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2·2m 2－81＋2k 2＋km ·－4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2. ∵k OA ·k OB ＝－b 2a 2⇒y 1x 1·y 2x 2＝－12， ∴m 2－8k 21＋2k2＝－12·2m 2－81＋2k 2⇒m 2＝4k 2＋2. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝4k 2－22k 2＋1＝2－42k 2＋1， ∴－2≤OA →·OB →<2，当k ＝0时，OA →·OB →＝－2，当k 不存在，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →＝2，∴OA →·OB →的取值范围是[－2,2]．(2)由题意知S 四边形ABCD ＝4S △AOB .∵S △AOB ＝12·1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m |1＋k 2＝24k 2＋21＋2k 2＝22， ∴S △四边形ABCD ＝8 2.4．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．(1)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2. ∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x ＝k 4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB .证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2. ∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0， ∴m ＝k ，即l 1∥AB .(2)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝ 12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. ∵|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1)＝12k 2＋1×k 2＋16. ∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.。

2022届高考数学二轮复习：圆锥曲线的方程与性质限时规范训练(解析版)

限时规范训练(八) 圆锥曲线的方程与性质[A 级]——原创模拟1．(2021·山西省晋南高中联合体检测)抛物线x ＝y 24上的点与其焦点的距离的最小值为( )A ．2B ．1C ．116D ．12解析：选B.如图，由y 2＝4x 知，抛物线的焦点坐标F (1，0)，设P (x 0，y 0)为抛物线上任一点，过点P 作PM 垂直于抛物线的准线l ，垂足为M ，则由抛物线定义知，|PM |＝|PF |＝x 0＋1≥1，故抛物线x ＝y 24上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选B.2．(2021·杭州三模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上一点P ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则满足条件的点P 有( ) A ．8个 B ．6个 C ．4个D ．2个解析：选B.因为c ＝a 2－b 2＝2，所以P 为直角顶点时，P 只能在短轴端点处，而当F 1或F 2为直角顶点时，P 的位置有4个，故符合条件的点P 有6个．3．(2021·昆明调研)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP解析：选B.连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.4.如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作线段F 2P 与C 交于点Q ，且Q 为PF 2的中点．若等腰三角形PF 1F 2的底边PF 2的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为( ) A ．－2＋2157B ．43C ．2＋2157D ．32解析：选C ．连接F 1Q ，由△PF 1F 2是以PF 2为底边的等腰三角形，且Q 是PF 2的中点，知F 1Q ⊥PF 2，又|PF 2|＝c ，所以|QF 2|＝c 2，由双曲线的定义可得|F 1Q |＝c2＋2a ，根据F 1Q ⊥PF 2和|F 1F 2|＝2c 得，⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 2＋2a 2＝(2c )2，化简整理得7c 2－4ac －8a 2＝0，方程两边同时除以a 2得7e 2－4e －8＝0，又e ＞1，所以e ＝2＋2157.故选C ．5.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( ) A ．20 B ．10 C ．2 5D ．45解析：选D.通解：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 2(c ，0)，所以点N 的横坐标为c .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N ⎝⎛⎭⎫c ，4a ，所以H ⎝⎛⎭⎫0，2a ，又F 1(－c ，0)，F 1为HM 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程，得4c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫－2a 24＝1，化简得4c 2＋1＝a 2，又c 2＝a 2－4，所以a 2＝5，a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，则△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝4 5.故选D. 优解：依题意知，点N ⎝⎛⎭⎫c ，4a ，过点M 作MM ′⊥x 轴于M ′(图略)，则由Rt △NF 1F 2∽△Rt △MF 1M ′且F 1为MN 的三等分点知M ⎝⎛⎭⎫－2c ，－2a .将M 的坐标代入椭圆方程，并结合c 2＝a 2－4，求得a ＝ 5.所以△F 2MN 的周长为4a ＝4 5.故选D. 6．(2021·河南省名校联考)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，过F 1(－c ，0)作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若∠F 1AF 2的平分线过点M ⎝⎛⎭⎫－13c ，0，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ． 2 C ．3D ．3解析：选D.由题知，|MF 1|＝23c ，|MF 2|＝43c ，|AF 1|＝b 2a ，又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，则|AF 2|＝2a ＋b 2a ，由角平分线性质得|MF 1||MF 2|＝|AF 1||AF 2|，即b 2a2a ＋b 2a ＝12，化简，得b 2＝2a 2，所以e ＝c a＝ 1＋b 2a2＝3.故选D.7．(2021·烟台三模)在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 作x 轴的垂线，交C 于点P ，若OP →·OF →＝2，cos ∠OPF ＝33，则椭圆C 的方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 22＝1C ．x 24＋y 2＝1D ．x 22＋y 2＝1解析：选B.将x ＝c 代入椭圆C 的方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，F (c ，0)，由OP →·OF →＝2，得c 2＝2，即a 2－b 2＝2.由cos ∠OPF ＝33得sin ∠OPF ＝1－cos 2∠OPF ＝63，则tan ∠OPF ＝sin ∠OPF cos ∠OPF ＝2，所以c ＝2×b 2a ＝2，即a ＝b 2，所以a 2－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1(舍去)，所以b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，选B.8．(2021·陕西汉中质量检测)过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若4|AF |＝|BF |，点O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A ．54B ．34C ．4D ．5解析：选A ．如图，过点A ，B 作抛物线的准线y ＝－p2的垂线，垂足分别为点A 1，B 1，过点A 作AM ⊥BB 1，垂足为点M ，并交y 轴于点N .设|AF |＝t ，则|BF |＝4t .由抛物线的定义，知|AA 1|＝t ，|BB 1|＝4t ，所以|BM |＝4t －t ＝3t ，|FN |＝|OF |－|ON |＝|OF |－⎝⎛⎭⎫|AA 1|－p 2＝p 2－t ＋p2＝p －t .易知Rt △ANF ∽Rt △AMB ，所以|FN ||BM |＝|AF ||AB |，即p －t 3t ＝t t ＋4t ，所以t ＝58p .所以|AF ||OF |＝t p 2＝58pp 2＝54.故选A ．9．(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图．已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则( ) A ．a －c ＝m ＋R B ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝（m ＋R ）（n ＋R ）解析：选ABD.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a －c －R ，n ＝a ＋c －R ，(*)∴a －c ＝m ＋R ，a ＋c ＝n ＋R ，∴A ，B 正确；将(*)中的两式相加，得m ＋n ＝2a －2R ， ∴2a ＝m ＋n ＋2R ，∴C 不正确；由(*)可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋R ＝a －c ，n ＋R ＝a ＋c ，两式相乘可得(m ＋R )(n ＋R )＝a 2－c 2.又∵a 2－c 2＝b 2， ∴b 2＝(m ＋R )(n ＋R )，解得b ＝（m ＋R ）（n ＋R ）(负值已舍去)，∴D 正确．故选ABD.10．(多选题)已知F 1，F 2是双曲线C ：y 22－x 2＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有( ) A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为±2 D ．△MF 1F 2的面积为3解析：选AD.由双曲线的方程y 22－x 2＝1，得a ＝2，b ＝1.因为焦点在y 轴上，所以渐近线方程为y ＝±ab x ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝3，所以以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝3，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－ 2. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，y ＝－2x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝ 2.所以点M 的横坐标是±1，C 错误；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x M |＝12×23×1＝3，D 正确．故选AD.11．(多选题)已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则( ) A ．C 的准线方程为x ＝－4 B ．F 点的坐标为(0，4) C ．|FN |＝12D ．△ONF 的面积为162(O 为坐标原点)解析：选ACD.如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ．由抛物线的方程知，抛物线的准线方程为x ＝－4，点F 的坐标为(4，0)，则|AN |＝4，|FF ′|＝8，所以在直角梯形ANFF ′中，|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝6.由抛物线的定义，得|MF |＝|MB |＝6.因为M 为FN 的中点，所以|MN |＝|MF |＝6，所以|FN |＝|FM |＋|NM |＝12，所以|ON |＝122－42＝82，所以S △ONF ＝12|ON |·|OF |＝12×82×4＝16 2.故选ACD.12．(2021·安徽示范高中联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：因为双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2，0)，则p ＝4. 答案：413．(2021·河南省豫北名校考评)已知过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线l ：y ＝4x ＋m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝174，则p ＝________．解析：∵直线l 过抛物线y 2＝2px 的焦点，∴0＝2p ＋m ，即m ＝－2p ，∴直线l 的方程为y ＝4x －2p .将y ＝4x －2p 代入y 2＝2px ，得8x 2－9px ＋2p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝9p 8.∵|AB |＝174，∴x 1＋x 2＋p ＝17p 8＝174，∴p ＝2.答案：214．(2021·山东四校联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝________；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是________．解析：因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以b a ＝22，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋（22）2＝3.因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3，0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m ＞0，（x －1）2＋（y ＋2）2＝5－m ＞0，解得－3＜m ＜5，故实数m 的取值范围是(－3，5)．答案：3 (－3，5)15．(2021·安徽省五校联盟质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若以点A为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点B ，与x 轴正半轴交于点D ，且线段BD 交双曲线于点C ，DC →＝3CB →，则双曲线的离心率是________．解析：由题意知A (a ，0)，D (2a ，0)，以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.不妨设点B 在第一象限，将(x －a )2＋y 2＝a 2与y ＝ba x 联立并求解，得点B ⎝⎛⎭⎫2a 3c 2，2a 2b c 2，又DC →＝3CB →，所以点C ⎝⎛⎭⎫a 2⎝⎛⎭⎫1＋3e 2，b 2·3e 2，根据点C 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，得⎝⎛⎭⎫1＋3e 22－⎝⎛⎭⎫3e 22＝4，得e 2＝2，e ＝ 2. 答案：2[B 级]——新题冲刺16．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．4解析：选C ．如图，设焦点为F .过点A ，B ，M 分别作准线x ＝－12的垂线，垂足分别为A ′，B ′，M ′，则有|AA ′|＝|AF |， |BB ′|＝|BF |， |AA ′|＋|BB ′|＝2|MM ′|. ∵点M 到y 轴的距离为1， ∴|MM ′|＝1＋12＝32，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2|MM ′|＝3.故选C ．17．(2021·四川五校联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为( ) A ．13B ．12C ．33D ．32解析：选B.解法一：由题意可知，|F 1F 2|＝2c ，又由e ＝c a ＝53得c ＝53a ，所以|F 1F 2|＝253A ．因为点P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点，故PF 1⊥PF 2且|PF 1|＞|PF 2|，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝89a 2，所以|PF 1|＝43a ，|PF 2|＝23a ，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.故选B. 解法二：因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4.因为点P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.故选B.18．(多选题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝4 B ．DF →＝F A → C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4解析：选ABC ．如图，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则|PF |＝p .∵直线l 的斜率为3，∴其倾斜角为60°.又∵AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°.由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，∴△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，∴∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，∴A 项正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，又PF ∥AE ，∴F 为AD 的中点，∴DF →＝F A →，∴B 项正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD |＝2|BM |＝2|BF |，∴C 项正确；∵|BD |＝2|BF |，∴|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，∴D 项错误．故选ABC ．19．(2021·山东枣庄模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3x －y ＋43＝0过点F 1且与C 在第二象限的交点为P ，若∠POF 1＝60°(O 为坐标原点)，则F 2的坐标为________，C 的离心率为________．解析：因为直线3x －y ＋43＝0过左焦点F 1，所以F 1的坐标为(－4，0)，F 2的坐标为(4，0)．因为直线3x －y ＋43＝0的斜率为3，所以∠OF 1P ＝60°，又∠POF 1＝60°，所以△F 1OP 是等边三角形，过点P 作PD ⊥F 1F 2，垂足为D ，则D 为F 1O 的中点，所以|DP |＝|F 1D |tan 60°＝23，所以P 点的坐标为(－2，2 3 )，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4＋62＋（23）2＝4＋43，所以e ＝2c 2a ＝84＋43＝3－1.答案：(4，0)3－120.我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)称为黄金双曲线．如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)，给出以下结论： ①双曲线x 2－2y 25＋1＝1是黄金双曲线； ②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2分别为左、右焦点，A 1，A 2分别为左、右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若直线MN 过双曲线的右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确结论的序号为________．(将所有正确结论的序号都填上) 解析：对于①，a 2＝1，b 2＝5＋12，则c 2＝a 2＋b 2＝5＋32，e 2＝c 2a 2＝5＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋122，所以e ＝5＋12，所以双曲线是黄金双曲线，故①正确；对于②，b 2＝c 2－a 2＝ac ，整理得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52(负值舍去)，所以双曲线是黄金双曲线，故②正确；对于③，|F 1B 1|2＝c 2＋b 2，|B 1A 2|2＝b 2＋a 2，|F 1A 2|2＝(a ＋c )2，在Rt △F 1B 1A 2中，|F 1B 1|2＋|B 1A 2|2＝|F 1A 2|2，即c 2＋b 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，整理得b 2＝ac ，由②可知e ＝1＋52，所以双曲线是黄金双曲线，故③正确；对于④，易知F 2(c ，0)，把x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，则|NF 2|＝b 2a .因为∠MON ＝90°，所以由对称关系知△MON 为等腰直角三角形，所以∠ONF 2＝45°，所以△ONF 2为等腰直角三角形，所以c ＝b 2a ，即b 2＝ac ，由②可知e ＝1＋52，所以双曲线是黄金双曲线，故④正确．答案：①②③④。

江西省信丰中学2017-2018学年高二上学期数学文A层限时

2016-2017学年上学期高二文科数学（A 层）限时训练13姓名：座号：选择填空得分：总分： 1.（本小题满分12分）某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：学员必须按顺序从第一次开始参加考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。

若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为81的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过21，且他直到参加第二次考核才合格的概率为329。

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率1p ；(2)小李第四次参加考核的概率。

（课后练习1）从甲地到乙地一天共有A 、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为7.0，B 班车正点到达乙地的概率为75.0.（Ⅰ）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）.（Ⅱ）有两位游客分别乘坐A 、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概率（答案用数字表示）.2016-2017学年上学期高二文科数学（A 层）限时训练14姓名：座号：选择填空得分：总分： 1.（本小题满分12分）在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A 、B 、C 三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答A 、B 、C 三道题正确的概率分别为21、31、41，且回答各题时相互之间没有影响． (I)若此选手按A 、B 、C 的顺序答题，求其必答题总分不小于80分的概率； (Ⅱ)若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率．（课后练习2）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时． (I) 若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．2.（本小题满分13分）已知函数()()210a x f x a x-=>，其中. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（3）设()()()2ln g x x x x f x g x =-，求在区间[]1,e 上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）2. （本小题满分13分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞，2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；2016-2017学年上学期高二文科数学（A 层）限时训练13参考答案1.解：⑴根据题意，得 1119(1)()832p p -+=，解得114p =或158p =.∵112p ≤，∴114p =，即小李第一次参加考核就合格的概率为14.……………6分 ⑵由⑴的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为1315,,,4828……………8分 ∴小李第四次参加考核的概率为13115(1)(1)(1)148264-⋅-⋅-⋅=.……………12分 2解：(Ⅰ)xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，0)(≤'x f 得ax 10≤<，0)(≥'x f 得a x 1≥，∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． …………6分(Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，∴b xx x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，令x x x x g ln 11)(-+=，'212()nx g x x-= 可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． …………13分课后练习1解：（1）坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为P 3（2）= 3×0．72×0．31 = 0．441 ……………………6 分（2）记“A 班车正点到达”为事件M ，“B 班车正点到达冶为事件N 则两人中至少有一人正点到达的概率为P = P （M ·N ）+ P （M ·N ）+ P （M ·N ）= 0．7 ×0．75 + 0．7 ×0．25 + 0．3 ×0．75 = 0．525 + 0．175 + 0．225= 0．925 …………………………………………12 分2016-2017学年上学期高二文科数学（A 层）限时训练14参考答案1.解：（I ）若考生按A ，B ，C 的顺序答题，记该生最后得分不小于80分为事件E .则111()234P E =⨯⨯1111(1)23412+-⨯⨯=，…4分所以若此选手按A 、B 、C 的顺序答题，求其必答题总分不小于80分的概率121.…………………5分（II ）考生自由选择答题顺序，记总分得50分为事件D ，记D 1表示A ，B 答对，C 答错，D 2表示A ，B 答错，C 答对，则D=D 1+D 2，且D 1，D 2互斥.………………6分又81)411(3121)(1=-⨯⨯=D P ，………………8分 36141)311(21)(33222=⨯⨯-⨯=A A D P .…………………10分所以7211)()()()(2121=+=+=D P D P D D P D P .………………12分 2解：（1）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠），在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). （2）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得01x =，1a =. （3）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-，令()0g x '=，解得1e a x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数.当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最小值为(1)0g =. 当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-.当11<e <e a -，即12a <<时，最小值)1()1()(111---=---a a a e a e a e g =1--a e a . 综上所述，当01a <≤时，()g x 最小值为(1)0g =；当12a <<时，()g x 的最小值))(1-a e g =1--a e a ；当2a ≥时，()g x 最小值为(e)e e g a a =+-.课后练习2解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ，则 41)12531(1)(=+-=A P ． (Ⅱ)设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =．则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30).其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)4种情形符合题意． ∴“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==．。

2021高考数学一轮复习课后限时集训55 圆锥曲线中的范

课后限时集训55圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时：45分钟1．(2019·开封模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．[解](1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k x －1，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2.可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0. 当k ≠0时，直线MN 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k2.所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12. 2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解](1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. ① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2. ②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F 1，点 A 是椭圆C 上位于x 轴上方的一个动点，当直线AF 1的斜率为1时，|AF 1|＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AF 1与椭圆C 的另外一个交点为B ，点A 关于x 轴的对称点为A ′，求△F 1A ′B 面积的最大值．[解](1)∵e ＝c a ＝22，∴a 2＝2c 2. 又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c .∴当直线AF 1的斜率为1时，直线AF 1通过椭圆的上顶点， ∴a ＝|AF 1|＝ 2.又a 2＝2c 2，b ＝c ，∴b ＝1，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵A 在x 轴上方，∴直线AB 的斜率不为0. 设直线AB 的方程为x ＝my －1. ∵F 1，A ′，B 三点能构成三角形， ∴直线AB 不垂直于x 轴，∴m ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′的坐标为(x 1，－y 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 得(my －1)2＋2y 2＝2，即(2＋m 2)y 2－2my －1＝0，∴y 1＋y 2＝2m 2＋m 2，y 1y 2＝－12＋m2.如图，S △F 1A ′B ＝S △BAA ′－S △F 1AA ′＝12|AA ′||x 2－xF 1|＝y 1|x 2＋1|＝y 1|my 2|＝|my 1y 2|＝|m |2＋m 2＝12|m |＋|m |≤122|m ||m |＝24，当且仅当2|m |＝|m |，即|m |＝2时取等号．∴△F 1A ′B 面积的最大值为24.。

2021年-全国高考艺术体育生补差训练-限时训练圆锥曲线(3)

1 L圆锥曲线 7：00-7：30一、选择题：（7、8小题选做，请将正确答案写在对应的题号前面）( )1．双曲线221102x y -=的焦距为（）2．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m = A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（）4．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+B ． 231+ C ． 21+ D ．31+（）5．当0 < a < 1时，方程ax 2+y 2=1表示的曲线是A ．圆B ．焦点在x 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．双曲线（）6．若△ABC 三边c b a ,,成等差数列，点A （-1，0）C （1，0），则顶点B 轨迹方程是A ．13422=+y xB 。

13422=+y x （)2±≠x C 。

14322=+y x （)2±≠y D.11222=+y x )2(±≠x （）7．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线9．物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为10．已过双曲线822=-y x 的右焦点F 2在右支上的一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为11．抛物线拱桥中，当水面在L 处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽为__________．12．若直线L 过抛物线2y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若L 被抛物线截得的线段长为4，则a=.。

高考数学大一轮总复习 89(2)圆锥曲线的综合问题限时规范训练理

05限时规范特训A 级基础达标1．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1与双曲线x 2p －y 2q＝1(m ，n ，p ，q 均为正数)有共同的焦点F 1，F 2，P是两曲线的一个公共点，则|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．p 2－m 2B ．p －mC ．m －pD ．m 2－p 2解析：据题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，即F 1，F 2在x 轴上，∴椭圆的长半轴长为m ，双曲线的实半轴为p . ∵P 既在椭圆上，又在双曲线上， ∴据椭圆和双曲线的定义知， ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1→|＋|PF 2→|＝2m ||PF 1→|－|PF 2→||＝2p两式平方相减得4|PF 1→|·|PF 2→|＝4(m －p )， ∴|PF 1→|·|PF 2→|＝m －p .答案：C2．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A. P 点有两个B. P 点有四个C. P 点不一定存在D. P 点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3<4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．答案：D3．设抛物线x 2＝4y 与椭圆x 248＋y 212＝1交于点E ，F ，则△OEF (O 为坐标原点)的面积为( )A ．3 3B ．4 3C ．6 3D ．12 3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y x 248＋y 212＝1解得⎩⎨⎧x ＝±2 3 y ＝3.结合图形的对称性可得，△OEF 的面积为12×43×3＝6 3. 答案：C4．[2014·广东珠海调研]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.63737 C.324D.31010解析：y 2＝2bx 的焦点为(b 2，0)，线段F 1F 2被点(b2，0)分成7∶5的两段，得b2＋c c －b 2＝75，可得双曲线的离心率为324，故选C.答案：C5．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上不存在点P ，使得右焦点F 关于直线OP (O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为( )A. (2，＋∞)B. [2，＋∞)C. (1，2]D. (1，2)解析：若存在点P 使得右焦点F 关于直线OP (O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上，此时直线OP 的斜率应为±1，所以只要渐近线方程y ＝ba x 的斜率大于1或y ＝－b ax 的斜率小于－1，即b a>1即可，所以离心率e >2，又双曲线的离心率e >1，所以满足题设条件的双曲线的离心率的取值范围为(1，2]．答案：C6．[2014·南宁调研]已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A 、B 两点，点F 是抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 6解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设直线x ＝－1与x 轴的交点为C ，则|FC |＝2.因为△FAB 为直角三角形，所以根据对称性可知，|AC |＝|FC |＝2，则A 点的坐标为(－1,2)，代入双曲线方程得1a 2－4＝1，所以a 2＝15，c 2＝15＋1＝65，e 2＝c 2a2＝6，所以离心率e ＝6，选D.答案：D7．椭圆x 2＋ky 2＝1的一个焦点是(0,2)，则k 的值为________．解析：椭圆的方程可化为x 2＋y 21k＝1，由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝2，所以有1k＝12＋22＝5，则k ＝15.答案：158．[2014·金版创新题]设P 为双曲线x 2－y 212＝1右支上的一点，F 1、F 2是该双曲线的左、右焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则∠F 1PF 2的大小为________．解析：易知双曲线中a ＝1，b ＝23，c ＝13.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，结合|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，解得|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又因为|F 1F 2|＝2c ＝213，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°.答案：90°9．已知双曲线C 1与抛物线C 2：y 2＝8x 有相同的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M ，若双曲线C 1的焦距为实轴长的2倍，则|MF |＝________.解析：易知抛物线的焦点为(2,0)，设双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝2,2c＝4a .则a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝1.与y 2＝8x 联立可解得x ＝3，或x ＝－13(舍去)．所以x M ＝3.结合抛物线的定义可得|MF |＝x M ＋2＝5.答案：510．已知△ABC 的周长为12，顶点A ，B 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C 为动点． (1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)过原点作两条关于y 轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．解：(1)由题意知|CA |＋|CB |＝12－4＝8>|AB |，所以C 的轨迹E 为椭圆的一部分．由a ＝4，c ＝2，可得b 2＝12.故曲线E 的方程为x 216＋y 212＝1(x ≠±4)．(2)设两直线的方程为y ＝kx 与y ＝－kx (k >0)．记y ＝kx 与曲线E 在第一象限内的交点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx可得x 20＝483＋4k2. 结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S ＝2x 0·2y 0＝4kx 20＝192k3＋4k2. 因为k >0，所以S ＝1923k＋4k ≤19223k·4k＝163(当且仅当k ＝32时取等号)．故四边形面积的最大值为16 3.11．已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且被圆C 所截得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E 上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围．解：(1)因为直线4x －3y －16＝0被圆C 所截得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离为42－1652＝125，即|4×4－3×m －16|5＝125，解得m ＝4或m ＝－4(舍去)．又直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点，所以椭圆E 的右焦点F 2的坐标为(4,0)，则其左焦点F 1的坐标为(－4,0)．因为椭圆E 过A 点，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以2a ＝52＋2＝62，所以a ＝32，a 2＝18，b 2＝2，故椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)由(1)知C (4,4)，又A (3,1)，所以AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ →＝(x －3，y －1)，则AC →·AQ →＝x ＋3y －6.令x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1x ＋3y ＝n，消去x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0.因为直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点，所以Δ＝(－6n )2－4×18×(n 2－18)≥0，解得－6≤n ≤6，故AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．12．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，两焦点F 1，F 2之间的距离为23，椭圆上第一象限内的点P 满足PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的右顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且满足AM ⊥AN .求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为|F 1F 2|＝23，所以c ＝3，由S△PF 1F 2＝1，得|PF 1||PF 2|＝2，又由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝12，即4a 2－4＝12，a 2＝4，b 2＝a 2－3＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋m，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，整理得4k 2－m 2＋1>0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.由AM ⊥AN 且椭圆的右顶点为A (2,0)，得(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝0，即(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2＋(km －2)·－8km 1＋4k2＋m 2＋4＝0，整理得：5m 2＋16mk ＋12k 2＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－6k 5，均满足4k 2－m 2＋1>0.当m ＝－2k 时，直线的l 方程为y ＝kx －2k ，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m ＝－6k 5时，直线l 的方程为y ＝k (x －65)，过定点(65，0)，符合题意．故直线l 过定点，且定点的坐标为(65，0)．B 级知能提升1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.故选B.答案：B2．[2014·上海普陀模拟]若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．解析：由椭圆x 24＋y 2＝1知c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴C ，D 是该椭圆的两焦点，令|MC |＝r 1，|MD |＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝4， ∴1|MC |＋1|MD |＝1r 1＋1r 2＝r 1＋r 2r 1r 2＝4r 1r 2，又∵r 1r 2≤r 1＋r 224＝164＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝4r 1r 2≥1. 当且仅当r 1＝r 2时，上式等号成立．故1|MC |＋1|MD |的最小值为1. 答案：13．[2014·绍兴模拟]已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析：将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b. ∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.答案：24．如图，过点D (0，－2)作抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的切线l ，切点A 在第二象限．(1)求A 点的纵坐标；(2)若离心率为32的椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)恰好经过点A ，设直线l 交椭圆的另一点为B ，记直线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若k 1＋2k 2＝4k ，求椭圆的方程．解：(1)设A (x 1，x 212p )．由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则k l ＝x 1p ，所以切线l 的方程为y ＝x 1p x－x 212p. 又点D (0，－2)在l 上，所以x 212p＝2，即点A 的纵坐标为2.(2)由(1)得A (－2p ，2)，k ＝－2p.由e ＝32得a 2＝4b 2，所以椭圆的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1.又椭圆过点A (－2p ，2)，所以b 2＝p ＋4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l的方程为y ＝kx －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＋4y 2＝4b 2得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋16－4b 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k2x 1x 2＝16－4b21＋4k2，所以k 1＋2k 2＝y 1x 1＋2y 2x 2＝x 2kx 1－2＋2x 1kx 2－2x 1x 2＝3k －2x 1＋x 2＋2x 1x 1x 2＝3k －32k －4p 1＋4k 216－4b2.由题设得3k －32k －4p 1＋4k216－4b 2＝4k .将k ＝－2p与b 2＝p ＋4代入可得p ＝32，则b 2＝36，a 2＝144，故椭圆的方程为x 2144＋y 236＝1.。

高考数学二轮复习第一部分专题六解析几何 1.6.3 圆锥曲线的综合问题限时规范训练理

限时规范训练圆锥曲线的综合问题限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q ＝(－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan∠F 1PF 2＝4 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a 4，由cos 2∠F 1PF 2＝11＋tan 2∠F 1PF 2＝11＋32＝149，又由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－322×7a 4×a 4，所以a ＝2，故所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2①，又x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AM ·k ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ②，将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭⎪⎫55，＋∞.3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程．(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．解：(1)在双曲线M 中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2.所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1，其上焦点为F (0,2)，所以抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知y ＝18x 2，故y ′＝14x ，抛物线的准线方程为y ＝－2.设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝14x 0(x －x 0)，即y ＝14x 0x －18x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对任意的x 0，y 0恒成立．又RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－y 1，由RP →·RQ →＝0，得x 0×x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0，整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0，即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0.(☆)由于(☆)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的任意x 0，y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2.故存在y 轴上的定点R (0,2)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点．4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，F 2的坐标满足圆Q 方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，且圆心Q 满足|QF 1|＋|QF 2|＝2a .(1)求椭圆C 1的方程．(2)过点P (0,1)的直线l 1交椭圆C 1于A ，B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，M 为线段CD 中点，求△MAB 面积的取值范围．解：(1)方程(x －2)2＋(y －1)2＝1为圆，此圆与x 轴相切，切点为F 2(2，0)，所以c ＝2，即a 2－b 2＝2，且F 2(2，0)，F 1(－2，0)，|QF 1|＝|F 1F 2|2＋|QF 2|2＝22＋12＝3，又|QF 1|＋|QF 2|＝3＋1＝2a .所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当l 1平行x 轴时，l 2与圆Q 无公共点，从而△MAB 不存在；所以设l 1：x ＝t (y －1)，则l 2：tx ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x ＝t y －消去x 得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－4＝0，则|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2＋t2t 2＋t 2＋2.又圆心Q (2，1)到l 2的距离d 1＝|2t |1＋t2＜1得t 2＜1. 又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为d 2，即d 2＝|2－t ＋t |1＋t 2＝21＋t 2. 所以△MAB 面积S ＝12|AB |·d 2＝2t 2＋4t 2＋2，令u ＝t 2＋4∈[2，5)，则S ＝f (u )＝2u u 2－2＝2u －2u∈⎝ ⎛⎦⎥⎤253，2. 所以△MAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤253，2. 5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1)当直线PQ 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程；(2)当正数p 变化时，记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py (p ＞0)得，y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p .因为直线PQ 的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 202p－2＝0，解得p ＝22，所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)因为点P 处的切线方程为：y －x 202p ＝x 0p(x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，根据切线又与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，x 2＋y 2＝1，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，4－x 202p ，所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q | ＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0 ＝14x 40－x 20＋x 20p ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝|x 0|2p(x 20－2)．点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到切线PQ 的距离是d ＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p 2＝ 12x 20＋p 2＝12x 20＋14x 40－x 20＝x 204，所以S 1＝12|PQ |·d ＝|x 30|16p(x 20－2)，S 2＝12|OF ||x Q |＝p2|x 0|，所以S 1S 2＝x 40x 20－8p2＝x 40x 20－x 40－4x 20＝x 20x 20－x 20－＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取“＝”号，即x 20＝4＋22，此时，p ＝2＋22，所以S 1S 2的最小值为3＋2 2.。

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