三角函数常见习题类型及解法

1.高考考点分析

各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 2.方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2

θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2

x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=

a

b

确定。 2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2

π

个单位，再沿y 轴向下平移1个单

位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C.（y +1）sin x +2y +1=0

D.－(y +1)sin x +2y +1=0

2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2

π

，π）上为减函数的是（ ）

A.y =cos 2x

B.y ＝2|sin x |

C.y ＝(

3

1)cos x

D.y =－cot x

3.（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x

4.（全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（

2π，4

3π）∪（π，

4

5π

） B.（

4π，2π）∪（π，4

5π）

C.（2π，

4

3π）∪（45π，2

3π

）

D.（

4π，2π）∪（4

3π

，π）

5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－

43π

π

，k ∈Z } B.{x |2k π+

4π

4

5

π，k ∈Z } C.{x |k π－4

π

4

π，k ∈Z }

D.{x |k π+

4

π

4

3

π，k ∈Z } 6.（全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4

π

）的最小正周期是（ ）

A.6π

B.2π

C.

3

2π

D.

3

π 7.（全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝

9

5

，那么sin2θ等于（ ） A.

3

2

2 B.－

3

2

2 C.

32

D.－

3

2 8.（全国，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－

8

π对称，那么a 等于（ ）

A.

2

B.－

2

C.1

D.－1

9.（全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan

2θ>cot 2

θ B.tan

2θ

C.sin

2θ>cos 2

θ

D.sin

2θ－cos 2

θ 10.（上海，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，

3

π

］上的最大值是2，则ω＝ . 11.（北京，13）sin

52π，cos 56π，tan 5

7

π从小到大的顺序是 . 12.（全国，18）

︒

︒-︒︒

︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.

13.（全国，18）tan20°+tan40°+

3tan20°·tan40°的值是_____.