第二章 原子结构与原子光谱
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Mz 0,,2
Mz cos M m l (l 1)
M 6
2) m决定z的大小：z=-mB
第二节
轨道角动量在z 轴的分量
量子数与波函数
塞曼效应：ΔE = - z ·B = mBB
第二节
量子数与波函数
类氢原子的波函数nlm(r,,),其中 n,l,m 三个量子数确定一个类氢体系的状态. n称 为主量子数.l和 m分称为角量子数和磁量子 数. 波函数的特点：正交归一 Rn ',l ' (r ) * Rn , l (r )r 2 dr n , n ' l , l '
第二节
量子数与波函数
氢原子和类氢离子波函数的径向分布
☆1s态：核附近D(r)为0；r＝a0时，D(r) 极大。表明在r＝a0附近，厚度为dr的球 壳夹层内找到电子的几率要比任何其它 地方同样厚度的球壳夹层内找到电子的 几率大。 ☆每一n和l确定的状态，有n－l个极大 值和n－l－1个D(r)值为0的点。 ☆n相同时：l越大，主峰离核越近；l越 小，峰数越多，最内层的峰离核越近； l相同时：n越大，主峰离核越远；说 明n小的轨道靠内层，能量低； ☆电子有波性，除在主峰范围活动外， 主量子数大的有一部分会钻到近核的内 层。
1 2 ( ) 2m Ze 2 2 2 R (r )( ) 2 (E ) R (r )( ) ( ) 0 2 r sin 4 0 r
第一节
由于
单电子的薛定谔方程及其解
1 1 2 ˆ M 2 2 sin sin sin 2 2
nlm
l ', m ' m
( ) * l , m ( ) sin d l ,l ' m , m '
2
( ) * m ( )d m , m '
n 'l ' m ' r sindrdd n , n ' l ,l ' m , m;
第二节
( ) 1 im e 2
归一化求得
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
复数解线性组合成实数解
1 1 i m 1 i m 1 m ( ) e e cos m 2 2 2
cos
cos ( ) m
1 1 i m 1 i m 1 e e sin m 2i 2 2
Φ(φ)方程
1 2 ( ) m2 ( ) 2
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
2 ( ) 2 m ( ) 2
Φ方程的解
标准形式 通解
( ) Ae
im
周期性条件 磁量子数
( ) ( 2 )
m 0,1,2,...
作图实例：pz, px, dz2, dx2-y2轨道的角度分布
3 Ypz cos 4
Yd 2 c'(3 cos2 1)
z
Ypz c sin cos
Yd 2
x y2
c" sin 2 cos 2
思考题：如何用量子数确定电子的运动状态 已知处于n=2，l=1，m=0的H原子的电子，可以 确定能量、角动量、角动量在Z方向的分量。
0.6 0.3 0 0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08 0 0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0
1s
2s
2p
3s
3p
3d
5 10 15 20 24
r/a0
角度分布图
第二节
量子数与波函数
1。角量子数l不同，角度 波函数的不同。 2. 角度波函数的节面数为l， 其形状为平面或者圆锥面。
所以薛定谔方程可以写为
1 2 R (r ) 2mr 2 Ze 2 r r 2 ( E 4 r ) R (r ) r 0 1 ˆ 2Y ( , ) 0 2 M Y ( , )
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
分离变量，得到三个微分方程
n=1,2,3,* 仅限于氢原子和类氢离子。
2S，2P能量相同，为1s态的四分之一 3S，3P能量相同，为1s态的九分之一
第二节
量子数与波函数
2）决定体系的简并度 对类氢离子体系，n相同，能量相同，但l，
m不同的状态互为简并态。
简并度
g (2l 1) n 2
l 0 n 1
3）决定原子状态波函数的总节面数： （n-1）个 其中径向节面（n-l-1）个，角度节面l个
径向节面数为n-l-1
角度界面数为l
Yl ,m
总节面数越多， 体系的能量越高
1 (3 cos2 1), d z 2 3 1 sin cos sin , d zy 2 N 3 1 sin cos cos , d z , x 2 1 sin 2 sin 2 , d xy 2 1 2 sin cos 2 x2 y 2 2
复波函数：3s 3p0 3p-1 3p1 3d0 3d-1 3d1 实波函数：3s 3pz 3px 3d-2 3d2
3py 3dz2 3dxz 3dyz 3dx2-y2 3dxy
第二节
节面数和能量
量子数与波函数
Zr na0
Zr l Rn ,l (r ) ( ) (c1 'c2 ' r c3 ' r 2 ... cn ' r n l 1 )e a0
dr
d = r2sin drdd
rsind
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
势场是球对称的，波函数也一定是球 对称的，波函数可以分离变量
(r, , ) R(r )( )( )
代入到球坐标系的薛定谔方程中，
1 2 R (r ) 1 ( ) ( ) r 2 r 2 sin R (r ) ( ) r r r ( ) sin
玻恩-奥本海默近似下
2 2 Ze 2 ( ) (r ) E (r ) 2m 4 0 r
直角坐标下
r x y z
2 2
2
难以分离变量x,y,z
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
选择球坐标系求解薛定谔方程
x r sin cos y r sin sin z r cos r x 2 y 2 z 2 z cos x2 y2 z 2 y tan x
第二章
第一节 第二节 第三节
原子结构与原子光谱
单电子的薛定谔方程及其解 量子数与波函数 多电子原子结构与原子轨道
第四节
第五节
电子自旋与保里原理
原子的状态和原子光谱
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
一、类氢原子体系的哈密顿算符
2 2 2 Ze 2 2 ( N ) ( R, r , t ) E ( R, r , t ) 2M 2m 4 0 r
l m 1 2l 1 (l m )! d m /2 2 l , m ( ) l (cos2 1)l (1 cos ) l m 2 l! 2 (l m )! d cos 1 2
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
关于R(r)的方程
1 2 R(r ) 2m Ze 2 l (l 1) 2 r r 2 ( E 4 r ) r 2 R(r ) 0 r r 0
量子数与波函数
实波函数和复波函数 复波函数不适合作图，必须用到实波函数
n , l , m ( r , , )
Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) * m ( )
2
Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) * m ( ) n ,l , m (r , , )
R(r)方程
1 2 Rr 2mZe 2 8 2 m 2 r r r Ek 2 2 Rr r r 0h h
来自百度文库
(θ)方程
sin ( )
( ) sin k sin 2 m 2
e M 2me
e 2me
l (l 1) l (l 1)
eh l (l 1)u B 4me
第二节
量子数与波函数
(3)磁量子数m 1) m决定Mz的大小和角动量的方向量子化 给定l，角动量在磁场方向有2l+1种取 向，称为角动量的方向量子化如l=2， ，在空间5种取向，取向的方向 由Mz的大小决定（在Z轴上的投影）
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
球坐标系下薛定谔方程的形式
1 2 1 1 2 2m Ze 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin 4 0 r
rd
球坐标系中的微体积元
同理，211，21-1也可以同样计算。
思考：2px, 2py可以计算哪些力学量
第二节
量子数与波函数
例题1.计算Li2+离子的基态到第二激发态的 跃迁能 解答: Z=3 E1=-32/12×13.6= 122.4(eV) E3=-32/32×13.6 = 13.6(eV) E=E3-E1=108.8 (eV)
第二节
量子数与波函数
维里定理。对于势能服从rn的体系，其 平均动能和平均势能的关系为 < T > = (n / 2) < V> 对于氢原子体系，势能服从的是r-1规律 < T > = －(1 / 2) < V> 利用维理定理我们就可以方便的求出 体系的平均动能和势能
第二节
量子数与波函数
(2)角量子数l 1)l决定轨道角动量的大小，因此称为角量 子数。 2）决定轨道的形状 l: 0 1 2 3 4 5 6 字母: s p d f g h i 3）决定轨道磁矩的大小
实数解依然是Φ(φ)方程的解
不是算符 M z i
的本征函数
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
函数 ()相关的微分方程
1 ( ) m2 sin sin 2 ( ) k( ) 0 sin
用级数法进行求解，得到收敛性条件 k = l ( l + 1)，l = 0, 1, 2,… |m|l 解称为联属勒让德函数
n≥l+1 单电子原子波函数
n,l , m (r , , ) Rn,l (r )l , m ( ) m ( )
第二节
量子数与波函数
一、三个量子数的物理意义： (1)主量子数n 1) n决定体系氢原子和类氢离子的能量
Z2 Z2 E n R 2 2 *13.6eV n n
作图方法：从坐标原点以θ,φ为方向， Y(θ,φ)为长度引出一线段；取不同的θ,φ值 作线段；把这些线段的端点连接起来形成 曲面
角度波函数作图的步骤： 1. 根据角度波函数的表达形式，选取合适的 坐标轴，以固定其中一个变量。 2.求节面。即求解Y(,)=0 方程。 3.求极值 。即求解dY(,)/d =0的方程 4. 取一般的θ或者值，然后将其对应 的Y值列表，作图 5. 如果需要看立体图形，则需要按照另外一 个变量的变化规律在0－2范围内旋转图形。
边界条件
E (r) < 0, E (∞) = 0
用级数法进行求解，得到收敛性条件
me e 4 Z 2 Z2 En 2 2 2 R 2 , n 1,2,3,... n 8 0 h n
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
n l Zr na0
方程的解R(r)的形式
Zr l i 1 R n ,l ( r ) c i ( ) e a0 i 1
Mz cos M m l (l 1)
M 6
2) m决定z的大小：z=-mB
第二节
轨道角动量在z 轴的分量
量子数与波函数
塞曼效应：ΔE = - z ·B = mBB
第二节
量子数与波函数
类氢原子的波函数nlm(r,,),其中 n,l,m 三个量子数确定一个类氢体系的状态. n称 为主量子数.l和 m分称为角量子数和磁量子 数. 波函数的特点：正交归一 Rn ',l ' (r ) * Rn , l (r )r 2 dr n , n ' l , l '
第二节
量子数与波函数
氢原子和类氢离子波函数的径向分布
☆1s态：核附近D(r)为0；r＝a0时，D(r) 极大。表明在r＝a0附近，厚度为dr的球 壳夹层内找到电子的几率要比任何其它 地方同样厚度的球壳夹层内找到电子的 几率大。 ☆每一n和l确定的状态，有n－l个极大 值和n－l－1个D(r)值为0的点。 ☆n相同时：l越大，主峰离核越近；l越 小，峰数越多，最内层的峰离核越近； l相同时：n越大，主峰离核越远；说 明n小的轨道靠内层，能量低； ☆电子有波性，除在主峰范围活动外， 主量子数大的有一部分会钻到近核的内 层。
1 2 ( ) 2m Ze 2 2 2 R (r )( ) 2 (E ) R (r )( ) ( ) 0 2 r sin 4 0 r
第一节
由于
单电子的薛定谔方程及其解
1 1 2 ˆ M 2 2 sin sin sin 2 2
nlm
l ', m ' m
( ) * l , m ( ) sin d l ,l ' m , m '
2
( ) * m ( )d m , m '
n 'l ' m ' r sindrdd n , n ' l ,l ' m , m;
第二节
( ) 1 im e 2
归一化求得
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
复数解线性组合成实数解
1 1 i m 1 i m 1 m ( ) e e cos m 2 2 2
cos
cos ( ) m
1 1 i m 1 i m 1 e e sin m 2i 2 2
Φ(φ)方程
1 2 ( ) m2 ( ) 2
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
2 ( ) 2 m ( ) 2
Φ方程的解
标准形式 通解
( ) Ae
im
周期性条件 磁量子数
( ) ( 2 )
m 0,1,2,...
作图实例：pz, px, dz2, dx2-y2轨道的角度分布
3 Ypz cos 4
Yd 2 c'(3 cos2 1)
z
Ypz c sin cos
Yd 2
x y2
c" sin 2 cos 2
思考题：如何用量子数确定电子的运动状态 已知处于n=2，l=1，m=0的H原子的电子，可以 确定能量、角动量、角动量在Z方向的分量。
0.6 0.3 0 0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08 0 0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0
1s
2s
2p
3s
3p
3d
5 10 15 20 24
r/a0
角度分布图
第二节
量子数与波函数
1。角量子数l不同，角度 波函数的不同。 2. 角度波函数的节面数为l， 其形状为平面或者圆锥面。
所以薛定谔方程可以写为
1 2 R (r ) 2mr 2 Ze 2 r r 2 ( E 4 r ) R (r ) r 0 1 ˆ 2Y ( , ) 0 2 M Y ( , )
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
分离变量，得到三个微分方程
n=1,2,3,* 仅限于氢原子和类氢离子。
2S，2P能量相同，为1s态的四分之一 3S，3P能量相同，为1s态的九分之一
第二节
量子数与波函数
2）决定体系的简并度 对类氢离子体系，n相同，能量相同，但l，
m不同的状态互为简并态。
简并度
g (2l 1) n 2
l 0 n 1
3）决定原子状态波函数的总节面数： （n-1）个 其中径向节面（n-l-1）个，角度节面l个
径向节面数为n-l-1
角度界面数为l
Yl ,m
总节面数越多， 体系的能量越高
1 (3 cos2 1), d z 2 3 1 sin cos sin , d zy 2 N 3 1 sin cos cos , d z , x 2 1 sin 2 sin 2 , d xy 2 1 2 sin cos 2 x2 y 2 2
复波函数：3s 3p0 3p-1 3p1 3d0 3d-1 3d1 实波函数：3s 3pz 3px 3d-2 3d2
3py 3dz2 3dxz 3dyz 3dx2-y2 3dxy
第二节
节面数和能量
量子数与波函数
Zr na0
Zr l Rn ,l (r ) ( ) (c1 'c2 ' r c3 ' r 2 ... cn ' r n l 1 )e a0
dr
d = r2sin drdd
rsind
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
势场是球对称的，波函数也一定是球 对称的，波函数可以分离变量
(r, , ) R(r )( )( )
代入到球坐标系的薛定谔方程中，
1 2 R (r ) 1 ( ) ( ) r 2 r 2 sin R (r ) ( ) r r r ( ) sin
玻恩-奥本海默近似下
2 2 Ze 2 ( ) (r ) E (r ) 2m 4 0 r
直角坐标下
r x y z
2 2
2
难以分离变量x,y,z
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
选择球坐标系求解薛定谔方程
x r sin cos y r sin sin z r cos r x 2 y 2 z 2 z cos x2 y2 z 2 y tan x
第二章
第一节 第二节 第三节
原子结构与原子光谱
单电子的薛定谔方程及其解 量子数与波函数 多电子原子结构与原子轨道
第四节
第五节
电子自旋与保里原理
原子的状态和原子光谱
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
一、类氢原子体系的哈密顿算符
2 2 2 Ze 2 2 ( N ) ( R, r , t ) E ( R, r , t ) 2M 2m 4 0 r
l m 1 2l 1 (l m )! d m /2 2 l , m ( ) l (cos2 1)l (1 cos ) l m 2 l! 2 (l m )! d cos 1 2
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
关于R(r)的方程
1 2 R(r ) 2m Ze 2 l (l 1) 2 r r 2 ( E 4 r ) r 2 R(r ) 0 r r 0
量子数与波函数
实波函数和复波函数 复波函数不适合作图，必须用到实波函数
n , l , m ( r , , )
Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) * m ( )
2
Rn ,l (r )l , m ( ) m ( ) * m ( ) n ,l , m (r , , )
R(r)方程
1 2 Rr 2mZe 2 8 2 m 2 r r r Ek 2 2 Rr r r 0h h
来自百度文库
(θ)方程
sin ( )
( ) sin k sin 2 m 2
e M 2me
e 2me
l (l 1) l (l 1)
eh l (l 1)u B 4me
第二节
量子数与波函数
(3)磁量子数m 1) m决定Mz的大小和角动量的方向量子化 给定l，角动量在磁场方向有2l+1种取 向，称为角动量的方向量子化如l=2， ，在空间5种取向，取向的方向 由Mz的大小决定（在Z轴上的投影）
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
球坐标系下薛定谔方程的形式
1 2 1 1 2 2m Ze 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin 4 0 r
rd
球坐标系中的微体积元
同理，211，21-1也可以同样计算。
思考：2px, 2py可以计算哪些力学量
第二节
量子数与波函数
例题1.计算Li2+离子的基态到第二激发态的 跃迁能 解答: Z=3 E1=-32/12×13.6= 122.4(eV) E3=-32/32×13.6 = 13.6(eV) E=E3-E1=108.8 (eV)
第二节
量子数与波函数
维里定理。对于势能服从rn的体系，其 平均动能和平均势能的关系为 < T > = (n / 2) < V> 对于氢原子体系，势能服从的是r-1规律 < T > = －(1 / 2) < V> 利用维理定理我们就可以方便的求出 体系的平均动能和势能
第二节
量子数与波函数
(2)角量子数l 1)l决定轨道角动量的大小，因此称为角量 子数。 2）决定轨道的形状 l: 0 1 2 3 4 5 6 字母: s p d f g h i 3）决定轨道磁矩的大小
实数解依然是Φ(φ)方程的解
不是算符 M z i
的本征函数
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
函数 ()相关的微分方程
1 ( ) m2 sin sin 2 ( ) k( ) 0 sin
用级数法进行求解，得到收敛性条件 k = l ( l + 1)，l = 0, 1, 2,… |m|l 解称为联属勒让德函数
n≥l+1 单电子原子波函数
n,l , m (r , , ) Rn,l (r )l , m ( ) m ( )
第二节
量子数与波函数
一、三个量子数的物理意义： (1)主量子数n 1) n决定体系氢原子和类氢离子的能量
Z2 Z2 E n R 2 2 *13.6eV n n
作图方法：从坐标原点以θ,φ为方向， Y(θ,φ)为长度引出一线段；取不同的θ,φ值 作线段；把这些线段的端点连接起来形成 曲面
角度波函数作图的步骤： 1. 根据角度波函数的表达形式，选取合适的 坐标轴，以固定其中一个变量。 2.求节面。即求解Y(,)=0 方程。 3.求极值 。即求解dY(,)/d =0的方程 4. 取一般的θ或者值，然后将其对应 的Y值列表，作图 5. 如果需要看立体图形，则需要按照另外一 个变量的变化规律在0－2范围内旋转图形。
边界条件
E (r) < 0, E (∞) = 0
用级数法进行求解，得到收敛性条件
me e 4 Z 2 Z2 En 2 2 2 R 2 , n 1,2,3,... n 8 0 h n
第一节
单电子的薛定谔方程及其解
n l Zr na0
方程的解R(r)的形式
Zr l i 1 R n ,l ( r ) c i ( ) e a0 i 1