初中数学竞赛——圆3.与圆有关的比例线段
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初二数学超前班八年级
第3讲与圆有关的比例线段
知识总结归纳
一．相交弦定理
圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O
⊙内一点P，则PA PB PC PD
⋅=⋅．
二．相交弦定理的推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
三．切割线定理
如图，在O
⊙中，AB是O
⊙的切线，AD是O
⊙的割线，则2
AB AC AD
=⋅
四．割线定理
如图，在O
⊙中，PB PD
、是O
⊙的割线，则PA PB PC PD
⋅=⋅
A
O ⋅
D C
B
A
P
初二数学超前班 八年级
2 思维的发掘 能力的飞跃
典型例题
一. 相交弦定理
【例1】 如图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =
_______cm ．
【例2】 如图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =， 1.54AM BM ==，，求OC
的长．
【例3】 如图，O ⊙中半径OC 与弦AB 相交于点P ，351AP BP CP ===，，，则O ⊙的半径为_______；
如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD =_______．
【例4】 如图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么（ ）．
A ．2OP PA P
B =⋅ B ．2P
C PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅
D ．2PB PA PC =⋅
O ⋅ B P C
A
D
初二数学超前班八年级
二.切割线定理和割线定理
【例5】如图，过点P作O
⊙的两条割线分别交O
⊙于点A B
、和点C D
、，已知32
PA AB PC
===
，，则PD的长是（）．
A．3B．7.5C．5D．5.5
【例6】如图，O
⊙分别与ABC
△的AB AC
、边分别切于点M N
、，交BC边于点E F
、，且BE= EF FC
=．求证：B C
∠=∠．
【例7】如图，在O
⊙中，弦AB和直径CD相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是O
⊙切线，N是切点，若8646
AP PB PD MC
====
，，，，则MN=_______．
【例8】如图，AD为O
⊙直径，AB是O
⊙的切线，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM MN NC
==，若2
AB=厘米，求O
⊙的半径．
O
⋅
D
M
N
C B
A
O
⋅
F
E
N
C
B
A
M
O
⋅
N
C
M D
P
B
A
初二数学超前班 八年级
4 思维的发掘 能力的飞跃
三. 基础练习
【例9】 如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为
_______，:CD DP =_______．
【例10】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于
F ，如果7PF =，且::2:4:1PA AE EB =，求CD 的长．
【例11】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，
5BF
FC
=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_______．
【例12】 如图，在Rt ABC △中，90B ︒∠=，AC 切O ⊙于点D ，割线CFG 过圆心，已知O ⊙的直径6
EB =厘米，4AD =厘米，则AE =_______，CO =_______．
G
O
⋅
E
D
C
B
A
初二数学超前班八年级【例13】如图，EA切O
⊙于点A，AD是直径，EF切O
⊙于点F，交AD延长线于点C，求证：CE CD CF CO
⋅=⋅．
【例14】如图，已知ABC
△内接于O
⊙，过A点作O
⊙的切线AE，并作BD AE
∥交AC于点D，且64
AC AD
==
，，则AB=_______．
【例15】如图，PAB为圆的割线，PC为圆的切线，C为切点，由A B
、向切线PC及其延长线作垂线，
E F
、为垂足，且CD BP
⊥．求证：CD是AE与BF的比例中项．
【例16】如图，P是ABCD
□中的边AB的延长线上一点，DP于AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点，求证：EG DE
=．
O
⋅
D
C
F
E
A
O ⋅
E D
C
B
A
O
⋅
F
E
A P
B D
C
E
F
C
D G
P
B
A