初中数学竞赛——圆3.与圆有关的比例线段

初二数学超前班八年级第3讲与圆有关的比例线段知识总结归纳一．相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⊙内一点P，则PA PB PC PD⋅=⋅．二．相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．三．切割线定理如图，在O⊙中，AB是O⊙的切线，AD是O⊙的割线，则2AB AC AD=⋅四．割线定理如图，在O⊙中，PB PD、是O⊙的割线，则PA PB PC PD⋅=⋅AO ⋅D CBAP初二数学超前班 八年级2 思维的发掘 能力的飞跃典型例题一. 相交弦定理【例1】 如图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =_______cm ．【例2】 如图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =， 1.54AM BM ==，，求OC的长．【例3】 如图，O ⊙中半径OC 与弦AB 相交于点P ，351AP BP CP ===，，，则O ⊙的半径为_______；如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD =_______．【例4】 如图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么（ ）．A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅O ⋅ B P CAD初二数学超前班八年级二.切割线定理和割线定理【例5】如图，过点P作O⊙的两条割线分别交O⊙于点A B、和点C D、，已知32PA AB PC===，，则PD的长是（）．A．3B．7.5C．5D．5.5【例6】如图，O⊙分别与ABC△的AB AC、边分别切于点M N、，交BC边于点E F、，且BE= EF FC=．求证：B C∠=∠．【例7】如图，在O⊙中，弦AB和直径CD相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是O⊙切线，N是切点，若8646AP PB PD MC====，，，，则MN=_______．【例8】如图，AD为O⊙直径，AB是O⊙的切线，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM MN NC==，若2AB=厘米，求O⊙的半径．O⋅DMNC BAO⋅FENCBAMO⋅NCM DPBA初二数学超前班 八年级4 思维的发掘 能力的飞跃三. 基础练习【例9】 如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为_______，:CD DP =_______．【例10】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果7PF =，且::2:4:1PA AE EB =，求CD 的长．【例11】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_______．【例12】 如图，在Rt ABC △中，90B ︒∠=，AC 切O ⊙于点D ，割线CFG 过圆心，已知O ⊙的直径6EB =厘米，4AD =厘米，则AE =_______，CO =_______．GO⋅EDCBA初二数学超前班八年级【例13】如图，EA切O⊙于点A，AD是直径，EF切O⊙于点F，交AD延长线于点C，求证：CE CD CF CO⋅=⋅．【例14】如图，已知ABC△内接于O⊙，过A点作O⊙的切线AE，并作BD AE∥交AC于点D，且64AC AD==，，则AB=_______．【例15】如图，PAB为圆的割线，PC为圆的切线，C为切点，由A B、向切线PC及其延长线作垂线，E F、为垂足，且CD BP⊥．求证：CD是AE与BF的比例中项．【例16】如图，P是ABCD□中的边AB的延长线上一点，DP于AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点，求证：EG DE=．O⋅DCFEAO ⋅E DCBAO⋅FEA PB DCEFCD GPBA初二数学超前班 八年级6 思维的发掘 能力的飞跃【例17】 如图，在ABC △中，AB AC =，2BC =，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，求CDE △的面积．四. 综合提高【例18】 如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．【例19】 如图，A B 、为圆上两点，经过B 点作O ⊙的切线BC ，经过A 点作弦AD ，延长AD 交切线BC于C 点，DAB OAB ∠=∠，已知42BC CD ==，，求AB 的长．【例20】 如图，ABC △中，已知CM 是C ∠的平分线，AMC △的外接圆交BC 于N ，若12AC AB =， 求证：2BN AM =．O ⋅DCBAO ⋅D EB AO ⋅AMC BN初二数学超前班八年级【例21】如图所示，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点E，AD EC⊥，垂足为D，AD与O⊙相交于点F，CG AB⊥，垂足为G．求证：BG GA DF DA⋅=⋅．【例22】如图，ABC△内接于O⊙，P为O⊙外一点，作CPD A∠=∠使PD交O⊙于D、E两点，并与AB、AC分别交于M、N，求证：DN NE MN NP⋅=⋅．【例23】如图，O⊙与正三角形三边交于6个点，2AG=，13GF=，1FC=，7HJ=，求DE．O⋅D MNEPCBAFABC DEO ⋅GO⋅DJBGHACFE初二数学超前班 八年级8 思维的发掘 能力的飞跃【例24】 如图，已知AB 切O ⊙于点B ，M 为AB 的中点，过M 作圆的割线MD 交O ⊙于C 、D 两点，连结AC 并延长交O ⊙于点E ，连结AD 交O ⊙于点F ，求证：EF AB ∥．【例25】 如图，ABC △的内切圆把BC 边上的中线AD 三等分，AN MN MD ==，且与AB BC CA 、、分别相切于点G E F 、、，若2AG =，求DE ，并求出:BC AC 的值．【例26】 如图，锐角ABC △，以BC 边为直径作O ⊙交AB 于G ，过A 作⊙O 的切线AD ，D 为切点．在AB 上截取AE AD =，过E 作AB 的垂线与AC 的延长线交于F ，求证：AB AC AE AF ⋅=⋅．C B GED AO⋅ CDFM BAEN MGBC AFE初二数学超前班八年级【例27】如图，在ABCD□中，过、、三点的圆交于点，且与相切，若，，求的长．思维飞跃【例28】如图，圆的三条弦1PP、1QQ、1RR两两相交，交点分别是A、B、C．已知AP BQ CR==，111AR BP CQ==，求证：ABC△是正三角形．【例29】如图，从圆外一点P作⊙O的切线，切点为Q，割线PBC与圆交于B、C两点，QBC∠的平分线分别交QC、QB于E、D，求证：1DB ECQB QC+=．A B C AD E CD4AB=5BE= DECARQPB1R1Q1PDECBQP初二数学超前班 八年级10思维的发掘 能力的飞跃【例30】 如图，AB 是半圆的直径，AC AB ⊥，AC AB =．在半圆上任取一点D ，作DE CD ⊥，交直线AB 于点E ．BF AB ⊥，交线段AD 的延长线于点F ．求证：BE BF =．【例31】 如图，由钝角ABC △的钝角顶点A 引高AD ，以垂足D 为圆心，AD 为半径作圆，分别交AB 、AC 于M 、N ．如果AB c =，AM m =，AN n =，求AC 的边长．【例32】 如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．若QP QO =，则QCQA的值为___________．D⋅CBAO⋅E DCFBA初二数学超前班八年级作业1.如图，O⊙的两条弦AB CD，交于点P，已知2cm3cm1cmPA PB PC===，，，则PD的长为________．2.如图，已知在O⊙中，AP为O⊙的切线，P为切点，ABC为割线，:1:3645AB BC AP A︒==∠=，，，求O⊙的半径．3.如图，AB为半圆O的直径，D为AB上任意一点，以AD为直径在已知半圆外部作小半圆1O，又CD AB⊥，交大半圆于点C，BE切小半圆于点E，F是CE的中点．求证：BF CE⊥．4.如图，在O⊙中，半径669R OM CD CD BM=⊥==，，，，则AM=_________；AB=_________；ACBD=_________；O到AB的距离OH=_________．O⋅CDPABCAO⋅BHDMO⋅⋅1OBEACFD初二数学超前班 八年级12思维的发掘 能力的飞跃5. 如图，已知O ⊙的两条直径AB 与CD 垂直，OE OF =，BE 的延长线交DF 于点G ．求证：FO FB FG FD ⋅=⋅．6. 如图，设AB CD 、是O ⊙的两条平行弦，过点B 作O ⊙的切线与CD 的延长线相交于点G ，在CD上任取一点P ，连结PA PB 、，与弦CD 相交于点E F 、． 求证：EF FG CF FD ⋅=⋅．7. 如图，过ABC △的外接圆圆心O 作直线OQ AB ⊥，交AB 、BC 、AC 于点F 、P 、Q ，求证：2OA OP OQ =⋅．8. 如图，O ⊙与直角ABC △的斜边AB 相切于D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE BC ∥．已知AE =，AC =6BC =，求O ⊙的半径．O ⋅E GDC BAF O⋅P DGA BF EC O⋅F PQCB A。