2013年全国高考试题及答案(文科)

2013年全国高考数学试题及答案 (文科)

一、选择题

1． 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，则∁U A ＝( ) A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，3，4，5} D ．∅

1．B [解析] 所求的集合是由全集中不属于集合A 的元素组成的集合，显然是{3，4，5}．

2． 已知α是第二象限角，sin α＝5

13，则cos α＝( )

A ．－1213

B ．－513 C.513 D.1213

2．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213

.

3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)⊥(－)，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1

3．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔＝，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.

4． 不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2)

C ．(－1，0)∪(0，1)

D ．(－2，0)∪(0，2)

4．D [解析] |x 2－2|<2等价于－2

5． (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．224

5．C [解析] 含x 6的项是展开式的第三项，其系数为C 28×22

＝112.

6． 函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1

x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.1

2x －1

(x ≠0) C ．2x －1(x ∈) D ．2x －1(x >0)

6．A [解析] 令y ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x ，则y >0，且1＋1x ＝2y ，解得x ＝1

2y －1

，交换x ，y 得f －1

(x )＝

1

2x

－1

(x >0)． 7． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4

3，则{a n }的前10项和等于( )

A ．－6(1－3－10

) B.1

9

(1－310)

C ．3(1－3

－10

) D ．3(1＋3－10

)

7．C [解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－1

3

，所以数列{a n }是公比

为－1

3

的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝

4×⎣⎡⎦

⎤1－⎝⎛⎭⎫－1

310

1＋1

3

＝3×⎣⎡⎦

⎤1－⎝⎛⎭⎫1310

＝3(1－3－

10)．

8． 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )

A.x 22＋y 2＝1

B.x 23＋y 2

2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 2

4

＝1 8．C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b 2

a (c ＝1)，

所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a ，2a 2－3a －2＝0，a >0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2

3

＝1.

9． 若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )

图1－1

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

9．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π

4，解得ω＝4.

10． 已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )

A ．9

B ．6

C ．－9

D ．－6

10．D [解析] y ′＝4x 3＋2ax ，当x ＝－1时y ′＝8，故8＝－4－2a ，解得a ＝－6.

11． 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )

A.23

B.33

C.23

D.13

11．A [解析] 如图，联结AC ，交BD 于点O .由于BO ⊥OC ，BO ⊥CC 1，可得BO ⊥平

面OCC 1，从而平面OCC 1⊥平面BDC 1，过点C 作OC 1的垂线交OC 1于点E ，根据面面垂直的性质定理可得CE ⊥平面BDC 1，∠CDE 即为所求的线面角．设AB ＝2，则OC ＝2，OC 1＝18＝32，所以CE ＝CC 1·OC OC 1＝4 23 2＝43

，所以sin ∠CDE ＝CE CD ＝2

3.

12．、 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )

A.12

B.2

2

C. 2 D ．2

12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.

MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.

13． 设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________

13．－1 [解析] f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 14．、 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)

14．60 [解析] 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 3

3＝60.

15． 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，

则z ＝－x ＋y 的最小值为________．

15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几

何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A (1，1)，故z min ＝－1＋1＝0.

16．、 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝3

2，

且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．