2013年全国高考试题及答案(文科)

2013年全国高考数学试题及答案 (文科)
一、选择题
1． 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，则∁U A ＝( ) A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，3，4，5} D ．∅
1．B [解析] 所求的集合是由全集中不属于集合A 的元素组成的集合，显然是{3，4，5}．
2． 已知α是第二象限角，sin α＝5
13，则cos α＝( )
A ．－1213
B ．－513 C.513 D.1213
2．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213
.
3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)⊥(－)，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1
3．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔＝，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
4． 不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2)
C ．(－1，0)∪(0，1)
D ．(－2，0)∪(0，2)
4．D [解析] |x 2－2|<2等价于－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，即0<|x |<2，解得－2<x <0或者0<x <2，故所求的不等式的解集是(－2，0)∪(0，2)．
5． (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．224
5．C [解析] 含x 6的项是展开式的第三项，其系数为C 28×22
＝112.
6． 函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1
x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.1
2x －1
(x ≠0) C ．2x －1(x ∈) D ．2x －1(x >0)
6．A [解析] 令y ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x ，则y >0，且1＋1x ＝2y ，解得x ＝1
2y －1
，交换x ，y 得f －1
(x )＝
1
2x
－1
(x >0)． 7． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10
) B.1
9
(1－310)
C ．3(1－3
－10
) D ．3(1＋3－10
)
7．C [解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－1
3
，所以数列{a n }是公比
为－1
3
的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝
4×⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫－1
310
1＋1
3
＝3×⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫1310
＝3(1－3－
10)．
8． 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )
A.x 22＋y 2＝1
B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 2
4
＝1 8．C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b 2
a (c ＝1)，
所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a ，2a 2－3a －2＝0，a >0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
9． 若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )
图1－1
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π
4，解得ω＝4.
10． 已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )
A ．9
B ．6
C ．－9
D ．－6
10．D [解析] y ′＝4x 3＋2ax ，当x ＝－1时y ′＝8，故8＝－4－2a ，解得a ＝－6.
11． 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )
A.23
B.33
C.23
D.13
11．A [解析] 如图，联结AC ，交BD 于点O .由于BO ⊥OC ，BO ⊥CC 1，可得BO ⊥平
面OCC 1，从而平面OCC 1⊥平面BDC 1，过点C 作OC 1的垂线交OC 1于点E ，根据面面垂直的性质定理可得CE ⊥平面BDC 1，∠CDE 即为所求的线面角．设AB ＝2，则OC ＝2，OC 1＝18＝32，所以CE ＝CC 1·OC OC 1＝4 23 2＝43
，所以sin ∠CDE ＝CE CD ＝2
3.
12．、 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )
A.12
B.2
2
C. 2 D ．2
12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.
MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.
13． 设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________
13．－1 [解析] f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 14．、 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)
14．60 [解析] 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 3
3＝60.
15． 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，
则z ＝－x ＋y 的最小值为________．
15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几
何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A (1，1)，故z min ＝－1＋1＝0.
16．、 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝3
2，
且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．
16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB 的中点为D ，则KD ⊥DA ，OD ⊥DA ，∠ODK 即为圆O 和圆K 所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK ＝60°.由于O 为球心，故OK 垂
直圆K 所在平面，所以OK ⊥KD .在直角三角形ODK 中，OK OD ＝sin 60°，即OD ＝32×2
3＝3，
设球的半径为r ，则DO ＝
32r ，所以3
2
r ＝3，所以r ＝2，所以球的表面积为4πr 2＝16π.
17．、 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .
因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1
＋8d ），
解得a 1＝1，d ＝12.
所以{a n }的通项公式为a n ＝
n ＋1
2
. (2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2
n ＋1，所以
S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1
＝2n n ＋1
. 18．、 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C ＝
3－1
4
，求C . 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－1
2，
因此B ＝120°.
(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos (A －C )
＝cos A cos C ＋sin A sin C
＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C
＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1
2＋2×3－14 ＝32
， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．、 如图1－3所示，四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是边长为2的等边三角形．
图1－3
(1)证明：PB ⊥CD ；
(2)求点A 到平面PCD 的距离．
19．解：(1)证明：取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .联结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，
所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点．故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .
因此PB ⊥CD .
(2)取PD 的中点F ，联结OF ，则OF ∥PB . 由(1)知，PB ⊥CD ，故OF ⊥CD .
又OD ＝1
2
BD ＝2，OP ＝PD 2－OD 2＝2，
故△POD 为等腰三角形，因此OF ⊥PD . 又PD ∩CD ＝D ，所以OF ⊥平面PCD .
因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD . 因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而OF ＝1
2PB ＝1，
所以点A 到平面PCD 的距离为1. 20．、、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1
2，各局比赛的结果相互
独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2， P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14
.
(2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，
B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”． 则B ＝B 1·B 3＋B 1·B 2·B 3＋B 1·B 2， P (B )＝P (B 1·B 3＋B 1·B 2·B 3＋B 1·B 2) ＝P (B 1·B 3)＋P (B 1·B 2·B 3)＋P (B 1·B 2)
＝P (B 1)P (B 3)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)＋P (B 1)P (B 2) ＝14＋18＋14 ＝58
. 21．、 已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.
(1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
21．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－3 2x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－6 2x ＋3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.
当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0得a ≥－5
4.
当a ≥－5
4，x ∈(2，＋∞)时，
f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2－5
2x ＋1＝ 3⎝⎛⎭
⎫x －1
2(x －2)>0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫－5
4，＋∞. 22．、、 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，
直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知c
a ＝3，即a 2＋
b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.
所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋1
2
.
由题设知，2
a 2＋1
2
＝6，解得a 2＝1.
所以a ＝1，b ＝2 2.
(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2
k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.
于是
|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 2
1－8＝－(3x 1＋1)，
|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 2
2－8＝3x 2＋1.
由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－2
3
.
故6k 2k 2－8
＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.
由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 2
1－8＝1－3x 1，
|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 2
2－8＝3x 2－1， 故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，
所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．。