将军饮马模型终稿

合集下载

将军饮马模型(终稿)教学提纲

将军饮马模型(终稿)将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d （动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解

当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。

连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。

当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。

皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。

3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。

将军饮马模型(终稿)

将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 .作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q，Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处，PA+PB 最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 .关键：找对称点作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )2.两动一定型例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短．作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求．原理：两点之间，线段最短例 4：在∠ MON 的内部有点 A 和点 B ，在 OM 上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边形 ABCD 周长最短．作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A ’，作点 B 关于 ON 的对称点 B ’，连接 A ’ B ，’与 OM 交于点 C ，与 ON 交于点 D ，连接 AC ， BD ， AB ，四边形 ABCD 即为所求．原理：两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例 5：已知 A 、B 是两个定点，在定直线 l 上找两个动点 M 与 N ，且 MN 长度等于定长 d （动点 M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB 的值最小 .提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点 A 向右平移长度 d 得到点 A ’，作 A ’关于直线l 的对称点 A ’’，连接 A ’’B ，交直线 l于点 N ，将点 N 向左平移长度dM。

将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图第4题图第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图第8题图第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图第11题图第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

专题06 将军饮马模型(解析版)

专题06.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

将军饮马模型在上学期（北师大版七年级下册）已经涉及，但是由于缺乏计算工具（勾股定理），所以只能是作出相关图形，很难进行相关最值的计算。

模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP ＝A 'P ，∴AP +BP ∵A （0，3），∴A '（0∴P 点到A 、B 的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2023·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边ABC ∆的边长为4，点E 是AC 边的中点，点P 是ABC ∆的中线AD 上的动点，则EP CP +的最小值是_____．∵△ABC 是等边三角形，AD 是∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点∵△ABC 是等边三角形，E 是例4．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴上，点A 的坐标为（4，0），∠AOB =30°，点E 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PE 的最小值为_____．【分析】作A 关于OB 的对称点D ，连接ED 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，求出AM 和AD ，再求出DN 、EN ，根据勾股定理求出ED ，即可得出答案．【解析】作A 关于OB 的对称点D ，连接ED 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，∵DP =PA ，∴PA+PE =PD+PE =ED ，∵点A 的坐标为（4，0），∠AOB =30°，∴OA =4，∴AM =12OA =2，∴AD =2×2=4，∵∠AMB =90°，∠B =60°，∴∠BAM =30°，∵∠DNO =∠OAB =90°，∴DN ∥AB ，∴∠NDA =∠BAM =30°，∴AN =12AD =2，由勾股定理得：DN =，∵E （1，0），∴EN =4﹣1﹣2=1，在Rt △DNE 中，由勾股定理得：DE =，即PA+PC 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P 的位置以及表示PA+PE 的最小值的线段是解题的关键．例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝CA ＝4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ +PQ 的最小值是．【解答】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P ′，连接CP ′交AD 于点Q ，则CQ +PQ ＝CQ +P ′Q ＝CP ′．∵根据对称的性质知△APQ ≌△AP ′Q ，∴∠PAQ ＝∠P ′AQ ．又∵AD 是∠A 的平分线，点P 在AC 边上，点Q 在直线AD 上，∴∠PAQ ＝∠BAQ ，∴∠P ′AQ ＝∠BAQ ，∴点P ′在边AB 上．∵当CP ′⊥AB 时，线段CP ′最短．∵在△ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝CA ＝4，∴AB＝4，且当点P ′是斜边AB 的中点时，CP ′⊥AB ，此时CP ′＝AB ＝2，即CQ +PQ 的最小值是2．故填：2．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（1；（2【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，，∵E 是AB 的中点，∴BE=12，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=；（2）如图3，作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC 为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN 的最小值为．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A 位于定直线m ,n 的内侧,在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA +PQ +QA 周长最短.辅助线：过点A 作关于定直线m 、n 的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·上虞市初二月考）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A．15B．30C．45D．60【答案】B【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，∵CD⊥AB，∴12•AB•CD=12•AB•AC，∴CD=•AB ACAB=125=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB＋NM＋BM＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

专题02 最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(解析版)

专题02 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。

利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA +PQ +QB 的值最小。

（原理用平移知识解）（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现需把A 厂的产品先运送到公路上然后再转送到B 厂，则最短路线的长是_____km ．问题探究（2）如图（2），ACB △和DEF V 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，90ACB DEF Ð=Ð=°，点A ，D 重合，点B ，F 重合，将ACB △沿直线AB 平移，得到A C B ¢¢¢△，连接QQ P【答案】（1）5km （2）存在，最小值为25（3）最短路线长为15km【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径A B ¢，再利用矩形的性质，求出BE 和A E ¢利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形CQEC ¢和AQEA ¢均为平行四边形，再利用最短路径作法得出则 AQ A Q ¢=，AQ BQ A Q ¢=\+\ 当点Q 与点P 重合时， AQ 连接AA ¢，交l 于点C ，过点由平移知CC AB ¢∥，CC QE ¢\∥．又 CQ EC ¢∥，\四边形 CQEC ¢是平行四边形，CC QE \¢=，CQ EC =¢由平移知CC AA ¢¢=，AA QE\¢=又n AB ∥，\四边形 AQEA ¢是平行四边形，AQ A E \=¢1A E C E AQ CQ QA CQ \+=+=+³¢¢\当点Q 与点P 重合时， A E C E ¢+¢过点C 作 1CG A A ^交 1A A 的延长线于点2AC AE ==Q ，2CG \=，13A G =例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，+的最小值为∴HG¢===GE CF【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长Q四边形ABCD是菱形，AC\\=+=，由平移性质知，246OM\+=FM FD\=，DF DE AF当点A、F、M三点共线时，\+的最小值为：AMDF DE模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇以微课堂初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。

一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型2)从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．解析：例2：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例3：(模型10)如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______解析：例4：(模型11)解析：例5：(结合勾股)如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____解析：小结：所有类型已归纳完，更多内容，详见八上11讲期中专题一将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．答案：(1) P (0，－1)(2) Q (0，11)(3) m = －0.2End欢迎收看《以微课堂》微课，欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。

专题07 将军饮马模型(原卷版)

专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

完整word版将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；1.两点之间，线段最短；.垂线段最短3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小, 即为所求，点PP解：连接AB交直线l于点PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，在△ABP'中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.3.两的同侧（A、B已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的距离不相等）点到l︱的值最大P，使PA-PB︱要求：在直线l上找一点 P，点P即为所求；解：连接BA并延长，交直线l于点的一点P′，︱=AB，在l上任取异于点P此时︱理由：PA-PB ︱<AB，，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B′连接AP、BP′︱PA-PB︱′A-P′B︱<即︱P两B分布在定直线l的两侧（A、已知：如图，定点A、B 4.的距离不相等）点到l︱的值最大上找一点P，使︱PA-PB要求：在直线l 并延长交连接B′A解：作点B关于直线l的对称点B′，P于点，点P即为所求；为线段BB′的中垂线，由中垂理由：根据对称的性质知l ′，要使︱PA-PB︱最大，则需线的性质得：PB=PB3.′︱值最大，从而转化为模型︱PA-PB1-1典型例题2分DA和点B，点Cx+4如图，直线y=与x轴、y轴分别交于点3最小时，为OA上一动点，当PC+PD、别为线段ABOB的中点，点P_________. _________，此时的最小值为PC+PD点P的坐标为，连轴的对称点D'的特征，作点【分析】符合基本模型2D关于x为CDx轴于点P，此时PC+PD 值最小，由条件知CD'接交长，从OPCDD'的中位线，易求△的中位线，△BAOOP为长，可用勾股定理CD'PC+PD而求出P点坐标；的最小值即.（或两点之间的距离公式，实质相同）计算轴x′交CD′，连接D轴的对称点x关于D，作点CD】连接解答【．2x=0，则y=4，于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中322的坐标，∴点Ay=0∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中，则x+4=0，解得：x=﹣633的中位线，BAO的中点，∴CD为△为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB1AO=3CD=，∴CD∥x轴，且2′的中点，O为DDD∵点′和点D关于x轴对称，∴31OP=CD=-1D′（0，），∴OP为△CDD′的中位线，∴，223△CDD′中，∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt22222?4DDCD3??5.CD′=的最小值为=5，即=PC+PD 坐标；若题型变、点P【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C CD′的解析不是化，C、DAB和OB中点时，则先求直线.P的坐标式，再求其与x轴的交点1-2典型例题B ，点1）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3最，点的坐标为（，﹣2）P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|2_________. PB|的最大值是P大时点的坐标为_________，|PA﹣，y=【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线﹣x 对称点C x连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣的交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，.再用两点之间的距离公式求此最大值BCBC，可得直线；连接的坐标为（﹣1，0）C解答【】作A 关于直线y=﹣x对称点，易得C44|PA）；此时4P为（4，﹣的方程为y=﹣xy=﹣，与直线﹣x联立解得交点坐标552241)(?2(?1)?3 PB|=|PC﹣PB|=BCBC==取得最大值，最大值；﹣22.，需作一次对称点，连线得交点2和4】【小结“两点一线”大多考查基本模型1-1变式训练），，已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（50最短0D（，1），当CP+DPOBOB=45，点P是对角线上的一个动点，√时，点P的坐标为（）510361，．）1． 00．A（，） B（，C（（．） D，）77552．1-2变式训练AC=2，和如图，菱形ABCD中，对角线ACBD交于点O，的上一动点，则PE+PB3,E为AB的中点，P为对角线BD=2AC√__________. 最小值为1-3变式训练112与直线交于x+bx+cD，抛物线y=x+1如图，已知直线y=与y轴交于点A，与x轴交于点22．01，）A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（）求该抛物线的解析式；（1. 的值最大，求出点MC|M的坐标（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；，使上找一点Q上找一点P，在射线ON要求：在射线OM. AP+PQ的值最小解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；，使上找一点ONQ，在射线上找一点要求：在射线OMP.的值最小 AP+PQ．ONAQ⊥的对称点A′，过点A′作解：作点A关于OM AP+PQ最小；交OM于点P，此时于点Q，A′QAP+PQ最小，AP=A′P，要使理由：由轴对称的性质知1 P+PQ最小，从而转化为拓展模型只需A′为锐角∠MON内一定点；已知：如图，A 3.，使，在射线ON上找一点Q要求：在射线OM上找一点P 的周长最小△APQ的对,关于ON 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1于点ONQ，点A交OM于点P，交称点A，连接 A221即为所求，此时△APQ周长最小，最小值P和点Q AA的长度；即为线段21，△APQ的周AP=AP，AQ=AQ理由：由轴对称的性质知21 A四点共线、P、Q、P+PQ+A长AP+PQ+AQ=AQ，当A2112. 时，其值最小内两个定点；B为锐角∠MON、已知：如图，A 4.四边形上找一点Q，使要求：在OM上找一点P，在ON APQB的周长最小，作点B关于直线A 关于直线OM的对称点A′解：作点 Q，P，交ON于交的对称点ONB′，连接A′B′OM于周长的、点Q即为所求，此时四边形APQB则点P′′B的长度之和；最小值即为线段AB和A ,将PA理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为′ B′四点共线时，、、′QB转化为QB，当A′P、Q . QBPQPA′+′+PAPQ QB的值最小，即++的值最小下方的定分别为m上方和n已知：如图，直线m∥n,A、B5.搭桥模型垂直）（直线AB不与m点，. 最小PQ，使得AP+PQ+BQ之间求作垂线段要求：在m、n 最小，可通过平移，使PQ为定值，只需AP+BQ分析：，转化为基本模型、Q“接头”P 的方向，向下平移至A沿着平行于PQ解：如图，将点交直线n于点′AA′=PQ，连接AB点A′，使得，线段PQ即⊥n，交直线m于点PQ，过点Q作PQ.为所求，此时AP+PQ+BQ最小′=PA，理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA +BQ最小，即、A′三点共线时，QA′当B、Q.AP+PQ+BQ最小AP+BQ最小，PQ长为定值，此时al两侧，长度为A、B分布于直线6.已知：如图，定点左边）上移动（P在Q (a为定值)的线段PQ在l最小要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小，可通过平移，PQ为定值，只需AP+QB 分析：，转化为基本模型、Q“接头”使P A′，使解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至l上截取交直线Bl于点Q，在AA′=PQ=a,连接A′ PQ即为所求，此时在Q左边），则线段PQ=a （PB+a ′′B+PQ，即AAP+PQ+QB的最小值为A ′为平行四边形，则PA=QA，理由：易知四边形APQA′PA+QB +QB最小，即、QB三点共线时，QA′A当′、.值最小最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QBal的同侧，长度、7. 已知：如图，定点AB分布于直线左边）Q在P上移动（l在PQ的线段)为定值(a周长最小要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB点分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A3的对称点，转化为上述模型关于llAl的对称点A′，将点′沿着平行于解：作A点关于B ′A′′=PQ=a，连接A′′的方向，向右移至A′′，使A （P在Q左边），线段交l于Q，在l上截取QP=a APQB周长的最小值为PQ即为所求，此时四边形B+AB+aA′′′′B+AB+PQ，即A2-1典型例题、AC、N分别是线段如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M ．上的两个动点，则ABBM+MN 的最小值为，再过EAC的对称点关于【分析】符合拓展模型2的特征，作点B的最小值，借BM+MNAB的垂线段，该垂线段的长即点E作.助等面积法和相似可求其长度，BM+MN=EM+MN作EN⊥AB于N，则E解答【】作点B关于AC的对称点E，再过点，其最小值即EN长；∵AB=10，BC=522BCAB?5，∴=5AC=510?55， =2等面积法求得ACBE=4边上的高为，∴55，∴∽△ABCENBEN=8．易知△，代入数据解得 8．即BM+MN的最小值为】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作【小结有些题则作动点的定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，.对称点易解2-2典型例题分别、NAOB内的定点且OP=，点MP如图，∠AOB=60°，点是∠）（的动点，OB上异于点O则△PMN周长的最小值是、是射线OAC．．AB．．6 D3分别交D，连接CDOA、OB的对称点C、【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于，OC、OD，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OA、OB于M、NCD.是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边分析条件知△OCD N，如图，、OB于M、的对称点OA、OBC、D，连接CD分别交OA【解答】作P点分别关于，BOD，∠AOP=∠AOC则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠°，∠AOC=2∠AOB=120PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∴，⊥CD于H∴此时△PMN周长最小，作OHOC=OH=，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴CD=2CH=3．CH=OH=，∴即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.2-3典型例题所在的直线为原点，OCABCO，以点O如图，已知平行四边形，，OC=6D，AD=2轴于点为x轴，建立直角坐标系，AB交y为点P所在的直线为OD的垂直平分线，∠A=60°，线段EF轴x与E′关于线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E ′M．对称，连接BP、E ；（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为. 的坐标BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P（2）当的长即可解决；，BD【分析】（1）解直角三角形求出OD，可得OP=EM符合（2）“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，点为P′的长度最小，此时PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME 点坐标；OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P直线 ADO中，∵∠A=60°，AD=2，（【解答】1）在Rt △，）°OD=2?tan60=2，∴A（﹣2，2∴，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6）4B（，22=4∴DB=6﹣，∴，，∵如图，（2）连接OP．EF垂直平分线段ODPM⊥OC PEO=是矩形，°，∴四边形∠∠EOM=PMO=90OMPE∴∠′，∴，∵∴PM=OE=OE=OEPM=OE′，OE∥′，PM,′是平行四边形OPME∴四边形．′的长度最小，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+MEB共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=，x∴当O、P、．2，）（∴P（构造平行四边求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移【小结】.形）的方法，转化为基本模型2-4典型例题的顶点坐标分△AOB如图所示，在平面直角坐标系中，RtOAOB4），把△绕点）（﹣2，0，O（0，0），B（0，别为A 90°，得到△COD．按顺时针方向旋转C、D两点的坐标；（1）求三点的抛物线的解析式；、D（2）求经过A、BFE在点E（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点、F（点、求出E的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，两点的坐标．F点，结合直线的F【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、、解析式和抛物线的对称轴可解出EF坐标. 解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐【，0）D），点的坐标是（4，标是（0，22，（2）设所求抛物线的解析式为y=ax+bx+c 4a-2b+c=016a+4b+c=0由题意，得 c=41，，b=1，c=4解得a=-21+4；x2+x y=-∴所求抛物线的解析式为21，+x+4的对称轴为x=1x2y=-最短，抛物线3）只需AF+CE（2A关于对称轴x=1的对称点，作2将点A向上平移至A（﹣，1），则AF=AE111的解析式，与对称轴交于点EE为所求，可求得ACCC1（A4，），连接A，A22223771y=+x2，当x=1时， )的坐标为，点)为y=-(1,E，∴点的坐标为F(1,．4444. 】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”【小结；其中，作对称和平移的顺序可互换2-1变式训练几何模型： l同旁的两个定点．条件：如图1，A，B是直线的值最小．P问题：在直线l上确定一点，使PA+PB （不必证明）B交l于点P，即为所求.方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A' 模型应用：轴上一动1），P为xA）如图2，已知平面直角坐标系中两定点（0，﹣1）和B（2，﹣（1 ，此时PA+PB= ．点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，由BD的中点，P是AC上一动点，连接）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB2（的最小PB+PEAC于P，则正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交值是．分别F上一动点，E，DAB=60中，AB=10，∠°，P是对角线AC3（）如图4，在菱形ABCD ．的最小值是是线段AB和BC上的动点，则PE+PF分别是FE．°，点B=60G是边CD边的中点，点）如图（45，在菱形ABCD中，AB=6，∠．AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是AG，变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长___________.的最小值是2-3变式训练的P到直线l，l、l之间的距离为8，点如图，已知直线l∥l11212距上有一动PQ=4l的距离为4，，在直线l离为6，点Q到直线12最小，此时，满足AB⊥l，且PA+AB+BQ点A，直线l上有一动点B22．PA+BQ=2-4变式训练在OC的边OA在y轴的正半轴上，中，直角梯形如图，已知在平面直角坐标系xOyOABC 按顺BD．将∠DBC绕点作OC=3，过点BBD⊥BC，交OA于点x轴的正半轴上，OA=AB=2， E和F．x 时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、轴的正半轴于点 B、C三点的抛物线的解析式；（1）求经过A、）中抛物线的顶点时，求CF的长；（2）当BE经过（1BCPQPQ=1，要使四边形（点Q在点P的上方），且Q（3）在抛物线的对称轴上取两点P、 Q两点的坐标．的周长最小，求出P、中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△）的坐标是（E的周长最小时，点ADE．，）（0，2） D．（0（A．（0，） B．0，） C．1两点距、满足S=BS，则点P到A3.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P ABCDPAB△矩形3）离之和PA+PB的最小值为（．5C． DA． B．，2）的距离与到4.已知抛物线y=x+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F2x0（M的坐标为（y=，3），P是抛物线x+1 PMF周长2上一个动点，轴的距离始终相等，如图，点的最小值是（）则△6DC．．A．3 B45 ．轴上的动点，轴，分别是xyD1B），（b，）都在双曲线y=上，点C，，，点5.如图，A（a3 ）ABCD则四边形周长的最小值为（．CB．． D A．AE+DE边上的动点，则ABDAC=3中，在6.如图，Rt△ABC∠C=90°，，BC=4，、E分别是、BC 的最小值为（）．5DCA．B．．上的动点，，中，∠如图，7.Rt△ABCBAC=90°，AB=3AC=6，点D，分别是边EBCAC，的最小值为则DA+DE ．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC ）的长是（PM的值最小时，PB+PM上的动点，当．．D． B． C． A分F交BC于D点，E，，10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8AD平分∠CAB AC，上的动点，则CE+EF的最小值为（）别是AD6． D．A． B． COABC6的正方形11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是PM+PNP 两点．△OMN的面积为10．若动点在x轴上，则N 的两边AB，BC分别相交于M，的最小值是（）2．2 D．．A．6 B10 CADBC则四边形翻折得到△ABD，AC=BC=212.如图，△ABC中，，AB=1，将它沿ABPE+PF上的任意点，则、形，的形状是 P、E、F分别为线段ABAD、DB ．的最小值是D轴于，AB两点，交xC、y=y=13.如图，已知抛物线x+bx+c与直线x+3交于）．，，0BC 2两点，连接AC、，已知A（，3）C（﹣30）求此抛物线的解析式；（1的值最大，并求出这个最（2）在抛物线对称轴MD||MB上找一点M，使﹣l 大值；轴y交⊥作，过点轴右侧抛物线上一动点，连接为）点（3PyPAPPQPAABC于点QP，AP，问：是否存在点Q，使得以，为顶点的三角形与△请说的坐标；若不存在，P相似？若存在，请求出所有符合条件的点．明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．，3），C（03A（﹣1，0），B（，0y=ax15.如图，抛物线+bx+c（a≠0）经过点的坐标；）2）三点．求抛物线的解析式及顶点M（1 N点的坐标；时，求N为抛物线上的点且在第四象限，当S=S（2）连接AC、BC，ABCNBC△△，（ml上，动点QPx轴，动点（m，3）在直线2（3）在（）问的条件下，过点C作直线l∥ PM+PQ+QN的和最小，并求出m为何值时，PM+PQ+QNPM轴上，连接、PQ、NQ，当0）在x 和的最小值．，过A，两点的二次函数A16.如图，直线y=5x+5交x轴于点，交y轴于点C ．的图2+4x+cy=axC象交x轴于另一点B ）求二次函数的表达式；（1NDD，求线段⊥BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点是线段）连接（2BC，点N 长度的最大值；2）是该二次函数图象上一点，4，m图象的顶点，点H（3）若点为二次函数y=ax+4x+cM（的坐标．E，F的周长最小，求出点HEFM，使四边形E，F轴上分别找点y轴、x在．yB两点，与A0）与x轴从左至右交于，（x﹣2）（x+a）（a＞y=17.如图1，已知抛物线 C．轴交于点，求抛物线的解析式；T（1，﹣）（1）若抛物线过点△ B、D三点为顶点的三角形与（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．）是抛物线上的点，6，t1的坐标为（﹣1，），点Q（2（3）如图，在（1）的条件下，点PPQNM轴上移动到何处时，四边形MN=2，问MN在x两点，在x轴上，从左至右有M、N且 M 的坐标．的周长最小？请直接写出符合条件的点轴另一交点x5）两点，与（（﹣1，0），C0，A18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过），P是第一象限内抛物线上的动点．0F，，0（，1）E（a0），（a+1，MB为．已知）求此抛物线的解析式；（1 的面积的最大值，并求此时点）当2a=1时，求四边形MEFPP的坐标；（周长最小？请说为顶点的等腰三角形，求是以点）若△（3PCMPaPMEF为何值时，四边形明理由．P探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点19.1=P：P1得到结论三过构造直角角形利用图，（x（，y），Px，y）可通2112221的坐标公式：）P（x，y他还利用图2证明了线段PP的中点P21．，y=x=1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（ MN长度为；（﹣M2）①已知点（2，﹣1），N3，5），则线段运用：（为顶点的平行四边形顶点D），3（﹣B2，0），C（，﹣12A②直接写出以点（2，），；的坐标：D轴正半轴夹角的平≥x（x0）的图象OL与xy=n2P33拓展：（）如图，点（，）在函数的周长最小，简要叙述作图FExOL分线上，请在、轴上分别找出点、，使△PEF 方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛2物线y=﹣x+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d 2（关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；3）若点E在抛物线y=﹣x+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小2（值．，且OA∥ABC，使得BC21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形落在过原点且开口向下的抛物线上．B、C点）求这条抛物线的解析式；（1个单位的速度运动，2BAC 的方向以每秒P从点B出发，沿折线在图①中，（2）假设一动点P个单位的速度运动，当点沿点出发，x轴的负半轴方向以每秒1同时另一动点Q从O，使得tQP、的运动过程中，是否存在时间A运动到点时，P、Q都同时停止运动，在的值，若不存在，请说明理由；AB，若存在，求出tPQ⊥，在抛物线的对称边上找一点G，使BE=EF=1个单位，试在ABE3（）在BC边上取两点、F 的周长最小，并求出周长的最小值．H，使得四边形EGHF轴上找一点本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买1.特色：由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

将军饮马模型(终稿)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ 重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l 的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB 和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON 上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A 关于OM 的对称点A’，作点B 关于ON 的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM 交于点C ，与ON 交于点D ，连接AC ，BD ，AB ，四边形ABCD 即为所求．原理：两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例5：已知A 、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长d （动点M 位于动点N 左侧），使AM+MN+NB 的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A 向右平移长度d 得到点A’，作A’关于直线l 的对称点A’’，连接A’’B ，交直线l 于点N ，将点N 向左平移长度d ，得到点M 。

将军饮马模型【范本模板】

将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

1。

将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图,一位将军，从A地出发,骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A，B，在L上求一点P,使得PA+PB值最小。

一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点,连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点.A'B即为最短距离 .理由：A'为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A'P。

所以PA+PB=PA’+PB。

这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。

例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路,分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。

已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？(2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2)所示,那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小.模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题眼）。

专题07 将军饮马模型(解析版)

在各类考试中都以中高档题为主。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题

理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，
只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1
3. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
△APQ的周长最小
解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对
称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点
【解答】作点B关于AC的对称点E，再过点E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN，
其最小值即EN长；∵AB=10，BC=5，
∴AC= =5 ，
等面积法求得AC边上的高为 =2 ，∴BE=4 ，
易知△ABC∽△ENB，∴ ，代入数据解得EN=8．
即BM+MN的最小值为8．
【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.
(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使
AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点
Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即
为所求，此时AP+PQ+BQ最小.
理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，
当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即

(完整版)将军饮马模型(终稿)

将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.作法:连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB。

原理：两点之间线段最短。

证明:连接AB,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键:找对称点作法:作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理:两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦）2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C,使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’,连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理:两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C,与ON 交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N 左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l 于点N,将点N向左平移长度d，得到点M.作法二：作点A关于直线l的对称点A1,将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

将军饮马模型

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
解决
如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线取A关于河岸的对称点A‘，连结A’B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C‘饮马，所走的路程就是AC’+C‘B，
解：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段， ∵AB=AD, ∠DAB=60°
∴ △ABC是等边三角形 ∵E为AB的中点 ∴DE⊥AB，
Rt △ABC中， ED=6sin60º=3 3
但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA中垂线,所以 AD=A‘D。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A’C+BC，
而两村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km， DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？
解：如图所作，C点为水泵站的位置。
应用2
如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°， E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为多少?

将军饮马模型(终稿)

將軍飲馬模型一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞曆山大城有一位精通數學和物理の學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解の問題．將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然後再去河岸同側の軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題の答案並不難，據說海倫略加思索就解決了它．從此以後，這個被稱為“將軍飲馬”の問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關係；軸對稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現折轉直二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點の距離和最小例1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與Bの距離之和最小，即PA+PB 最小.作法：連接AB，與直線lの交點Q，Q即為所要尋找の點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等於AB.原理：兩點之間線段最短。

證明：連接AB，與直線lの交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAB中，由三角形三邊關係可知：AP+PB≧AB(當且僅當PQ重合時取﹦)例2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與Bの距離之和最小，即PA+PBの和最小.關鍵：找對稱點作法：作定點B關於定直線lの對稱點C，連接AC，與直線lの交點Q即為所要尋找の點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等於AC.原理：兩點之間，線段最短證明：連接AC，與直線lの交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAC中，由三角形三邊關係可知：AP+PC≧AC(當且僅當PQ重合時取﹦)2.兩動一定型例3：在∠MONの內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關於OMの對稱點A’，作點A關於ONの對稱點A’’，連接A’ A’’，與OM 交於點B，與ON交於點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．原理：兩點之間，線段最短例4：在∠MONの內部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關於OMの對稱點A’，作點B關於ONの對稱點B’，連接A’ B’，與OM交於點C，與ON交於點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．原理：兩點之間，線段最短3.兩定兩動型最值例5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等於定長d（動點M位於動點N左側），使AM+MN+NBの值最小.提示：存在定長の動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關於直線lの對稱點A’’，連接A’’B，交直線l於點N，將點N向左平移長度d，得到點M。

专题06 将军饮马模型(原卷版)

在各类考试中都以中高档题为主。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP +BP 的最小。

八上21讲期末复习3将军饮马所有模型及变式——终极篇

⼋上21讲期末复习3将军饮马所有模型及变式——终极篇写在前⾯窗外银装素裹，虽然停课了，但是期末复习还是要进⾏的．加油，最后⼏天在家冲刺，你⼀定能⾏！将军饮马，这是笔者第三次写了，本讲会将本学期所有遇到的11个模型全部罗列，让⼤家举⼀反三，不再见题神伤！⼀、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最⼩．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最⼩值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最⼩．原理：和最⼩，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最⼤．原理：两边之差⼩于第三边，|PA－PB|最⼤值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最⼤．原理：差最⼤，异侧转同侧．两边之差⼩于第三边．变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最⼩．原理：|PA－PB|最⼩为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)⾓型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最⼩．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最⼩．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最⼩．(2)使PN＋MN最⼩．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最⼩．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最⼩值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最⼩．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a⽶，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最⼩．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先⾛过桥的路，再直达点B．)⼆、典型例题例1：(模型2)从点A(0，2)发出的⼀束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．解析：例2：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最⼤时，点M的坐标为______解析：例3：(模型10)如图，当四边形PABN的周长最⼩时，a＝______解析：例4：(模型11)解析：例5：(结合勾股)如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上⼀点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最⼩值是_____解析：⼩结：所有类型已归纳完，更多内容，详见⼋上11讲期中专题⼀将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求⼀点P，使PA＋PB的值最⼩(2)试在y轴上求⼀点P，使|QA－QB|的值最⼤(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最⼩．答案：(1) P (0，－1)(2) Q (0，11)(3) m = －0.2如何关注。