线性代数—二次型的标准形和规范形

题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
3
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤：
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j), 则先作可逆线性变换
x2 0 1 2 y2
Baidu Nhomakorabeax3
0
0
1
y3
标准形为 f y12 y22 .
1 1
所用变换矩阵为
C 0
1
0 0
1 2 , 1
( C 1 0)
6
例2 用配方法化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 x2
y1 y1
y2 y2
,
x1 1 即 x2 1
1 1
0 y1 0 y2
x3
y3
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
7
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
5
f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3
x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x1 z1 z2 3z3
对应的线性变换为
x2
z1
z2
z3
.
x3
z3
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2、用正交变换法化二次型为标准形 由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交
阵 P，使 P 1 AP 为对角阵，而由正交阵性质可知，
P 1 P T ，故 P 1 AP P T AP 。因此这样的正交
xi xj
yi yi
yj yj
xk yk
(k 1,2, , n且k i, j)
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法
配方.
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例1 用配方法化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
第二节
1
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换X CY ，
把二次型 f (x1, x2, , xn) XT AX 化为 y1 , y2 , , yn 的平方和
d1 y12
d2 y22
dn
y
2 n
，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出，要把一个二次型化为标准形，只要找一个可逆阵 C， 使 C T AC 成为对角阵，即 A 与一个对角阵合同。
再配方，得
f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3
y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
即
y1 1 0 y2 0 1
1 z1 2 z2
y3
0
0
1
z3
标准形为
化为标准形，并求所作的正交变换。
解 二次型的矩阵
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
12
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
8 2 2 2 5 4
2
一、二次型的标准形
定义 如果二次型
f (x1, x2, , xn) XT AX
通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型
Y T BY
d1 y12
d2 y22
d
n
y
2 n
，
则称之为原二次型的标准形。
实际上，二次型 f ( x1, x2 , , xn ) X T AX 化为标准形的
问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
1
1 9 , 9E A 2 5 4 0 1 1 , 1 2 ,
2 4 5 0 0 0
2
1 2 2 1 2 2
2,3 18 , 18E A 2 4 4 0 0 0 ,
2
2 2 4 4 0 0 0
2 1 , 3 0 ,
0
1
13
1
f 2z12 2z22 6z32 .
8
x1 1 1 0 y1 x2 1 1 0 y2 x2 0 0 1 y3
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2 y3 0 0 1 z3
所用变换矩阵为
1 1 0 1 0 1 1 1 3 C 1 1 0 0 1 2 1 1 1 , ( C 2 0)
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时，我们称X CY 是一个正交变换。
定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f X T AX ,求出A ;
2. 求出A的所有特征值 1, 2 , , n ;
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x12
2x1 x2
2x1 x3
2
x
2 2
5
x
2 3
6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 4x32 4去x2掉x3 配方后多出来的项
3. 求出对应于特征值的特征向量1,2 , ,n ;
4.
将特征向量1, 2 ,
,
正
n
交
化,
单
位
化,
得
1,2 , ,n , 记C (1,2 , ,n ) ;
5. 作正交变换X CY , 则得 f 的标准形
f 1 y12 n yn2 .
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例3 用正交变换将二次型 f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3