江苏省南京市江宁高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·佛山期中) 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程+ax+b=0没有实根B . 方程+ax+b=0至多有一个实根C . 方程+ax+b=0至多有两个实根D . 方程+ax+b=0恰好有两个实根4. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二下·登封期中) 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A . 3+2ln2B . 3C . 2e2﹣3D . e6. （2分）如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD 的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是（）A .B .C .D .8. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A . [﹣5，0）B . （﹣5，0）C . [﹣3，0）D . （﹣3，0）9. （2分）(2012·四川理) 函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2 ，在（1，2）内任取两个实数x1 ，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A . （28，+∞）B . [15，+∞）C . [28，+∞）D . （15，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二下·长春期末) 若z＝4＋3i，则＝________.12. （1分）已知函数，则f'（1）=________．13. （1分）已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是________．f（）＞﹣1； f（）＞；f（）＜； f（）＜f（）14. （1分）(2017·榆林模拟) 若图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ，则 + + +…+ =________．15. （1分）“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以函数y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于________ 错误导致结论错．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .17. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）若函数有两个不同的零点，求的范围．18. （10分）对于数列{an}，若（1）求a2，a2，a4，并猜想{an}的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19. （5分）某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是组合床柜的月产量．（1）将利润y元表示为月产量x组的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）20. （10分） (2018高一上·湖南月考) 小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润（单位：万元）与投入成本（单位：万元）的数据如下：投入成本0.5123456毛利润 1.06 1.252 3.2557.259.98为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测.（1）根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润；（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率的最大值，并说明理由.（）21. （5分） (2019高二下·宁德期末) 已知曲线在处的切线方程为 .（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。
江苏省南京市高二(下)期中数学试卷(文科)
江苏省南京市2019-2019学年高二(下)期中数学试卷(文科)一、填空题：本大题共14小题，请把答案填写在答题纸相应位置.1. ( 5 分)已知集合A={ - 1, 2, 4} , B={ - 1, 0, 2}则A AB= { - 1 , 2}.考点：交集及其运算.专题：计算题.分析：直接利用交集的概念进行求解运算.解答：解：由集合A={ - 1, 2, 4}, B={ - 1, 0, 2},所以A QB={ - 1, 2, 4} A{ - 1, 0, 2}={ - 1, 2}.故答案为{ - 1, 2}.点评：本题考查了交集及其运算，是基础的概念题，属会考题型.2. ( 5 分)函数f (x) =J_,；l+lg (3-x)的定义域是［-2, 3) .考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.专题：函数的性质及应用.分析：利用根式函数和对数函数的定义域，求函数 f (x )的定义域.解答：解：要使函数有意义，则有严2弓,3- x>0■-- 2 即; ，所以-2致V 3,x<3即函数f (x)的定义域为［-2, 3). 故答案为：［-2, 3).点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法.3.(5分)从某项综合能力测试中抽取7人的成绩，统计如表，则这7人成绩的方差为考点：极差、方差与标准差；茎叶图.专题：概率与统计.分析：根据茎叶图得到数据，利用平均数、方差公式直接计算即可.解答：丿解:由题意得，这7人成绩为：8, 8, 9, 10, 11, 12, 12.其平均值 :.= (8+8+9+10+11 + 12+12 ) =10,72 ・ 2 2 2 2 2方差为s= [ (8 - 10) + (8 - 10) + ( 9- 10) + (10- 10) + (11 - 10) + (12 -2 2 1810) + (12- 10)]=,,故答案为：一'.7点评：:,本题考查茎叶图、样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.f2x, i<04. ( 5 分)设f (x) = ^ .，则f (log23) = 30 T>0考点：对数的运算性质；函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：判断出Iog23 > 1为，代入第二段解析式求解.解答：解：••Tog23> I%,：f (Iog23) =2Iog23=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值•分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.2 25. (4 分)已知f (x- 1) =x - 3x,则函数f (x)的解析式f (x) = f (x) =x —x—2考点：函数解析式的求解及常用方法.专题：计算题.分析：由已知中f (x- 1) =x2- 3x，我们可将式子右边凑配成 a (x- 1) 2+b (x - 1) +c的形式，进而将(x- 1)全部替换成x后，即可得到答案.解答：〕解: T f (x - 1) =x2- 3x2=(x - 1) -( x - 1)- 22••• f (x) =x - x - 22故答案为：x - x - 2点评：: 本题考查的是函数解析式的求解及其常用方法，其中本题使用的凑配法，是已知复合函数解析式及内函数的解析，求外函数解析式时常用的方法，属于基础题.6. ( 4分)(2019?长宁区一模)如图是一个算法的流程图，则最后输出的S= 36考点：循环结构.专题：计算题；图表型.分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出S.解答：: 解：经过第一次循环得到的结果为s-1, n-3,经过第二次循环得到的结果为s-4, n-5,经过第三次循环得到的结果为s-9, n-7,经过第四次循环得到的结果为s-16, n-9经过第五次循环得到的结果为s-25, n-11,经过第六次循环得到的结果为s-36, n-13此时满足判断框中的条件输出36故答案为36点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律.3 27. ( 4分)函数f (x) =x - 2x的图象在点(1,- 1 )处的切线方程为y= - x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式可得切线方程.解答：〕解: T f (x) -x - 2x ,• f' (x) -3x - 4x,• f' (1) - - 1•函数f (x) -x3-2x2的图象在点(1,- 1 )处的切线方程为y+1- -(x - 1),即y--x故答案为：y- - x.点评：: 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题.&( 4分)取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m 的概率是 '.~2—考点：几何概型.专题：概率与统计.分析：因为绳子的总长为4m ,所以只能在绳子中间 2m 的部分剪断，才能使剪出的两段符 合条件.由此结合几何概型的概率公式，不难得到本题答案.解答：解：记 两段绳子的长都不小于 1m ”为事件A ,•••绳子的总长为 4米，而剪得两段绳子的长都不小于1m•••如图所示，只能在中间 2m 的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件2JIL根据几何概型的概率公式，可得事件 A 发生的概率 P (A )=.2故答案为：;点评：本题给出4米长的绳子，求使剪出的两段绳子的长都不小于 几何概型及其计算公式等知识，属于基础题.9. ( 4分)已知函数f (x ) =x (e x +ae x )是偶函数，贝V a= - 1 考点：函数奇偶性的性质. 专题：函数的性质及应用.分析：利用函数f (x ) =x (e x +ae -x )是偶函数，得到 g (x ) =e x +ae -x 为奇函数，然后利用 g (0) =0,可以解得a . 解答：解：设 g (x ) =e x +ae x , 因为函数f (x ) =x (^+ae %)是偶函数，所以g (x ) =e <+ae 「x 为奇函数.又因为函数f (x )的定义域为 R ，所以g (0) =0, 即 g ( 0) =1+a=0 ,解得 a= - 1. 故答案为：-1.点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数 过原点，则必有f (0)=0，要灵活使用奇函数的这一性质.10. (4分)函数f (x ) =x+1 - 的值域为:函数的值域. :函数的性质及应用.:利用换元法设t=—-,将函数转化为关于t 的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求函数的值域.解答：解：设t= —，则t 为，且x=1 - t 2,所以原函数等价为 尸/+七二-(七一专)+亍，1 C R因为t%，所以t 斗时，函数有最小值 弓，所以y <弓.24 4即函数f (x )的值域为(-汽斗］. 4故答案为：(-8,§.4Im 1m 的概率.着重考查了点评：本题主要考查函数的值域，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函 数求函数的值域.11. (4分)函数：…匚■的单调递增区间是(°, e ).考点：; 利用导数研究函数的单调性. 专题： 计算题. 分析：一求出函数■ : . •…的导数为y 的解析式，令y'>0求得x 的范围，即可得到函数X的单调递增区间.解答：解：由于函数的导数为y J ?',令y > 0可得lnx > 1,解得0v x v e ,故函数f (K )二Iw 的单调递增区间是(0, e ),x故答案为 (0, e ).点评：: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. (4分)已知函数f (x )是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x 駅 都有f (x+4) =f (x )+f (2) 成立，若 f ( 1) =2，则 f ( 2019) =2.考点：抽象函数及其应用；函数的值. 专题： 计算题；函数的性质及应用.分析：/ 令x= - 2,可求得f (- 2) =f (2) =0，从而可得f ( x )是以4为周期的函数，结合 f (1) =2，即可求得f(2019)的值.解答：〕解：T f (x+4) =f ( x ) +f (2), ••• f (- 2+4) =f (- 2) +f (2),••• f (- 2) =0，又函数f (x )是定义在 R 上的偶函数，• f (2) =0.• f (x+4) =f (x ) +0=f (x ),• f (x )是以4为周期的函数，又 f (1) =2, • f (2019) =f (503>4+1) =f (1) =2.故答案为：2.点评：: J本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f (2) =0是关键，考查函数的周期性，属于中档题.f (Xi ) -f ( X 2)对任意X1芳C2,都有K>0 勒 _ L>0成立，则实数k 的取值范围是 「, 1) 一2考点： 函数单调性的判断与证明；导数的运算. 专题： 函数的性质及应用. 分析：f ( Xi) _ f ( Xn)利用对任意X1族2，都有> 0成立，可得函数在 R 上单调递增，[_mj13.( 4分)已知函数f(x) =e x _ k, (1 -k) x+k,从而可得不等式组，即可求得实数k 的取值范围.解答：f I ： ■-； ■: 1 解：•••对任意 X 1^(2,都有 -------------------------- > 0成立，X1 _ x 2•••函数在R 上单调递增，「- k T rCO(1 -k) x+k,葢>0‘• l-k>0 •k>l-k•实数k 的取值范围是［1, 1), 2故答案为：［丄,1).2点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.214. (4分)已知函数f (x ) =2x +m 的图象与函数g (x ) =ln|x|的图象有四个交点，则实数 m 的取值范围为—|*—I:.£:根的存在性及根的个数判断. :函数的性质及应用.:利用导数求出求出这两个函数的图象在(。
2019-2020年高二下学期期中考试数学理试题.doc
2019-2020年高二下学期期中考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后。
）1. 复数1011⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．32 D ．－322. 若C z ∈且|22|,1||i z z --=则的最小值是（ ）A ．22B ．212-C ．22+1D ．2-1 3. 如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C ，曲线2yx =经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．254. 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）A.88A 种 B.48A 种 C.44A ·44A 种 D.44A 种5.（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥； （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确6.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ）A.12+kB.)12(2+kC.112++k kD.122++k k 7. 经过抛物线212x y =的焦点,且斜率为1-的直线方程为( ) A. 161610x y +-= B. 2210x y +-= C. 4410x y +-= D. 8810x y +-=8.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 549．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n aa a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 10．如图，直线从o l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速 （转动角度不超过90度）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）11.设a R ∈，若函数x ye ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ）A ．1a <-B 。
2019-2020年江苏省南京市南师附中高二下学期数学期中考试
3i n南京师大附中 2019-2020 学年度第 2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括单选题（第 1 题~第 8 题）、多选题（第 9 题~第 12 题）、填空题（第 13 题~第题 18题）、解答题（第 19 题~第 23 题）四部分，本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若 A 2= 20 ，则n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 函数 f ( x ) = sin 2 x 的导数是（ ） A. 2 c o s 2 xB. -2 cos 2 xC. 2 sin 2 xD. - 2 sin 2 x3. 若i 为虚数单位，复数z 满足 z (1 + i ) =| 3 + 4i | ，则 z 的虚部为（ ）A.5i B. 5C. - 5iD. - 522 2 24. 已知等差数列{a } ，若a ， a 是函数 f ( x ) = 1 x 3 - x 2+ mx + 1的极值点，则 a 的值为（ ）n 2 403832020A. 1B. - 1C. ± 1D. 05. 已知复数z 满足 z -1 - = 1，则 z 的最大值为（ ）A. 1 B .2 C . 3 D . 46. 若 ke x - x -1 ≥ 0 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A .(-∞,1]B .(0,1]C .(0, +∞)D .[1, +∞)7. 某班联欢会原定的 3 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. 1 2B. 20C. .36D . 1208. 定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足 f '(x ) < 1，若 f (m ) - f (1 - 2m ) ≥ 3m -1，则m 的取值范围是（ ）A.(-∞, -1]B.(-∞, 1 ]3 C .[-1, +∞) D.[1,3+∞)二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若复数z 满足(z+2)i=3+4i（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.z 的虚部为3B. | z |=C. z 的共轭复数为2 + 3iD. z 是第三象限的点10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576 种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440 种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440 种不同排法11.已知函数f (x) 定义域为[-1, 5] ，部分对应值如表，f (x) 的导函数f '(x) 的图像如图所示.x - 10245f (x) 12021下列关于函数f (x) 的结论正确的有（）A.函数f (x) 的极大值点有2 个；B.函数在f (x) 上[0, 2] 是减函数；C.若x ∈[-1,t]D . 当1 <a < 2时，f (x) 的最大值是2，则t 的最大值为4；时，函数y =f (x) -a 有4 个零点；12.若函数f (x) 的图像上存在两个不同的点A, B ，使得曲线y =f (x) 在这两点处的切线重合，称函数f (x) 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（）A. y =e x -xB. y =x 4 -x 2 C . y =x3D.y =x + sin x三、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.13.已知复数z 满足z +3= 0 ，则| z |=. z14.已知函数f (x)= xx2 + 3，则f '(0)的值为.15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.1316. 直线y = m 与直线 y = 2x + 3 和曲线 y = ln 2x 分别相交于 A , B 两点，则 AB 的最小值为 .17. 已知函数 f ( x ) = e x ( x - 1) ，则它的极小值为 ；若函数g (x ) = mx 总存在x 2 ∈ [-1, 2]，使得 f (x 1 ) > g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是 .，对于任意的 x 1 ∈ [-2, 2] ， 18. 已知定义域为 R 的奇函数 f (x ) 满足 f (-x ) = f (x + 2) ，且当0 ≤ x ≤ 1时， f ( x ) = x 3 + x .若函数h (x ) = f (x ) - t在[-4, 0) Y (0, 4] 上有 4 个不同的零点，则实数t 的取值范围是.x四、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19. （12 分）设复数 z 1 = 2 - ai (a ∈ R ), z 2 = 4 - 3i . （1）若 z 1 + z 2 是实数，求 z 1 ⋅ z 2 ；z 1 （2）若 2是纯虚数，求 z 1 的共轭复数.20. （12 分）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 1(a + 6)x 2+ 6ax + b (a , b ∈ R ) .3 2（1）若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率为 -2 （2）若在区间 (2, 3) 上，函数 f (x ) 不单调，求a 的取值范围.，求 a ,b 的值； z21. （12 分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.22. （12 分）如图，某景区内有两条道路AB , AP ,现计划在AP 上选择一点C ，新建道路 B C ，并把ςABC 所在的区域改造成绿化区域. 已知∠BAC =π，AB = 2 km ，AP = 2 3km . 若绿化区域ςABC 改造6成本为10万元/ km2 ，新建道路 B C 成本为10万元/ km .（1）①设∠A B C=θ，写出该计划所需总费用F (θ)的表达式，并写出θ的范围；②设AC =x ，写出该计划所需总费用 F (x )的表达式，并写出x的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.23.（12 分）设函数f (x) = ln x -ax(a ∈R), g(x) =xf (x) .（1）若f (x) ≤ 0恒成立，求a的取值范围；（2）①若 a =1，试讨论g(x) 的单调性；2e2②若g(x) =有两个不同的零点，求2a的取值范围，并说明理由.nn 南京师大附中2019-2020 学年度第2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共4 页，包括单选题（第1 题~第8 题）、多选题（第9 题~第12 题）、填空题（第13 题~第题18 题）、解答题（第19 题~第23 题）四部分，本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟.2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A2 = 20 ，则n 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】A2 =n (n -1)= 20 解的n = 5【点评】考查排列组合的运算。
南京市江宁高级中学高二期中(教师版)
9.已知函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：
A.函数 y＝f(x)在区间 - 3，- 1 内单调递增； B.当 x＝－2 时，函数 y＝f(x)取得极小值； 2
C.函数 y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增； D.当 x＝3 时，函数 y＝f(x)有极小值．
【答案】：C
3.在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50 的展开式中，x3 的系数为( )
A．C351
B．C450
C．C451
D．C447
【答案】：C
4.某校有 1 000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N(105，σ2)(σ>0)，试卷满
分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的1，则此次数学考试成绩在 90 5
P K 2 3.841 0.05 ， P K 2 6.635 0.01 ，则下列说法正确的是
A．有 99% 以上的把握认为“ X 和 Y 有关系”B．有 99%以上的把握认为“ X 和 Y 没有关系”
C．有 95%以上的把握认为“ X 和 Y 有关系”D．有 95%以上的把握认为“ X 和 Y 没有关系”
(3)若直线方程 ax＋by＝0 中的 a，b 可以从已知的六个数字中任取 2 个不同的数字，则直线方程表示
的不同直线共有多少条？
解：(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)． (2)当首位数字是 5，而末位数字是 0 时，有 A13A23＝18(个)； 当首位数字是 3，而末位数字是 0 或 5 时，有 A12A34＝48(个)； 当首位数字是 1 或 2 或 4，而末位数字是 0 或 5 时，有 A13A12A13A23＝108(个)； 故共有 18＋48＋108＝174(个)． (3)a，b 中有一个取 0 时，有 2 条；a，b 都不取 0 时，有 A25＝20(条)； a＝1，b＝2 与 a＝2，b＝4 重复，a＝2，b＝1 与 a＝4，b＝2 重复．
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示（）A .B .C .D .2. （2分）若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·银川模拟) 《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的（）条件．A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017高二下·曲周期中) 如果，那么=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣26. （2分） (2019高二下·南昌期末) 某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有（）A . 96B . 36C . 24D . 127. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 给出下列四个结论：①命题“ ，”的否定是“ ，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“ 是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）设函数f（x）=x2+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（）A . 任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数B . 存在m∈R，使y=f（x）是奇函数C . 任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数D . 存在m∈R，使y=f（x）是偶函数二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}，B={x|mx﹣1=0}，且A∪B=A，则实数m 的值是________．10. （1分）化简： ________.11. （1分） (2018高一上·北京期中) 已知f（x+y）=f（x）f（y）对任意的非负实数x，y都成立，且f（1）=4，则 =________．12. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________．13. （1分）校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有________ 种．14. （1分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是________．15. （1分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知函数y=f（x）对于任意x∈R有，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；⑤当x1 ，x2∈[1，3]时，．其中真命题的序号是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域.17. （10分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知数列满足，且 .（1）求，，的值并依此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.18. （10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]．（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19. （10分） (2018高二上·浙江月考) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.20. （10分）(2019·临沂模拟) 已知函数．（1）求的最小值m；（2）若正实数满足．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
江苏省南京市临江高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析
江苏省南京市临江高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题X 的分布列，则常数a 的值是（ ）A.16B.112C.19D.122.已知复数21i z i-=+，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设()()0ln ,2f x x x f x '==，则0x = （ ） A.2e B.eC.ln 22D.ln 24.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A.（-1,1]B.（0,1]C.[1，+∞）D.（0，+∞）5.函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A.2B.6π+ C.13π+ D.3π+6.在()3101(1)x x +-的展开式中5x 的系数是( ) A.297-B.252-C.207-D.2077.在学校的一次数学讲题比赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有( ) A.12种B.36种C.72种D.144种8.已知函数()f x '是函数()f x 的导函数， ()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x -'>，设()()x f x F x e =则不等式()21F x e <的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()1,eD. (),e +∞第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.已知(,)b i a b R i=+∈其中i 为虚数单位，则a b +=____． 10.将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).11.已知函数32()1f x xax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．12.已知在n-的展开式中，第6项为常数项，则n =______. 三、解答题（题型注释）13.已知复数)()11z m m m i =-+-. （1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数； （2）当2m =时，计算1zz i--. 14.已知函数()()1xf x ax e -=，曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值.15.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？16.已知二项式1()2nx +的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求n 的值；(2)设20121()2nn n x a a x a x a x +=++++．①求5a 的值； ②求0123(1)n n a a a a a -+-++-的值.17.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. （1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数； （2）记X 为选出的4名同学中女生的人数，求X 的分布列. 18.已知函数()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈． (I)讨论()f x 的单调性；(II)若),ax e ⎡∈+∞⎣时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．四、新添加的题型） A.若复数3i z =+，则131010iz =-． B.复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=． C.若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥． D.复数13z i =-的虚部是3．20.已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表：()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，关于()f x 的命题正确的是（ ）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 在[0,2]上是减函数C.函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4D.当12a <<时，函数()y f x a =-有 4个零点21.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A.分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B.分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；22.对任意实数x ，有923901239(23)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=-+-+-+-+⋯+-．则下列结论成立的是（ ） A.2144a =-B.01a =C.01291a a a a +++⋯+=D.9012393a a a a a -+-+⋯-=-参考答案1.C【解析】1.由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .11112626a a ++++=，解得19a =. 故选：C 2.C【解析】2. 试题∵2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-+++-，∴1322z i =--，∴z 在复平面上对应的点位于第三象限，故选C. 3.B【解析】3. 求得导函数()'f x ，由此解方程()02f x '=求得0x的值.依题意()'1ln f x x =+，所以()0001ln 2,f x x x e '=+==.故选：B 4.B【解析】4.对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 5.B【解析】5.利用导数求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值，结合区间端点的函数值进行比较即可求出最大值.()'2cos ()12sin f x x x f x x =+⇒=-，当'()0f x >时，有112sin 0sin ,[0,][0,)26x x x x ππ->⇒<∈∴∈，因此当[0,)6x π∈时，函数()f x 单调递增；当'()0f x <时，有112sin 0sin ,[0,],(,]262x x x x πππ-<⇒>∈∴∈，因此当(,]62x ππ∈时，函数()f x 单调递减， 因此6x π=是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极大值点，极大值为2cos 266666f πππππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ 而()002cos02f =+=，2cos 2222f ππππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，因为262ππ+>>，所以()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6π+故选：B 6.C【解析】6.根据5x 的产生过程，由二项展开式的通项公式，即可容易求得结果.()101x -的通项公式为()110rrr T C x +=-，故可得其5x 的系数为510C -，2x 的系数为210C ， 故容易得在()3101(1)x x +-的展开式中5x 的系数为521010207C C -+=-.故选：C . 7.D【解析】7.将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则问题得解. 将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则共有32233223144A A A A ⨯⨯⨯=种.故选：D. 8.B【解析】8.∵()()xf x F x e =∴()()()()()2x x x xf x e f x e f x f x F x e e'-=='-' ∵对任意实数都有()()0f x f x -'>∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴()211F e =∴不等式()21F x e <等价于()()1F x F < ∴不等式()21F x e<的解集为()1,+∞故选B 9.1【解析】9.根据复数的除法先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于,a b 的方程组，解出可得．2(,)a ib i a b R i+=+∈，即(2)()2()a i i ai b i i i +-∴=-=+-， 由复数相等的条件，得12a b -=⎧⎨=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴1a b +=. 故答案为：1． 10.36【解析】10.根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球， 分2步进行①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个， 分2步进行①、先将四个不同的小球分成3组，有24C 种分组方法； ②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有33A 种放法；则没有空盒的放法有234336C A =种；故答案为：36 11.2a ≥【解析】11.求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x xg -++='=-，∴当2,33x ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,33x ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <，∴2a ≥.故答案为：2a ≥. 12.10【解析】12.在二项式n 的展开式的通项公式中，令=5r ，可得x 的次数为0，求得n 的值．解：二项式n的展开式的通项公式为2311()2n r rr r n T C x -+=-， 令=5r ，可得203n r-=，求得10n =． 故答案为：10 13.（1）0m =；（2）3122i -.【解析】13.（1）由复数z 为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数m 的值； （2）当2m =时，由复数的四则运算法则可计算得出1zz i--的值. （1）复数()()11z m m m i =-+-为纯虚数，则()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =；（2）当2m =时，2z i =+，()()()()()222121331222111222i i z ii z i i i i i i i ++++∴-=+-=+-=+-=----. 14.（1）4；（2）极小值为344e --，无极大值.【解析】14.（1）求出函数的导函数，利用(0)3f '=，可得a ．（2）由（1）可得函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的极值； 解：（1）因为()()1xf x ax e -=，所以()()1xf x ax a e '=+-因为曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=. 所以(0)13f a '=-=，解得4a =（2）由（1）可得()()41x f x x e -=，所以()()43xf x x e '+=，令()0f x '>解得34x >-，即函数在3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，令()0f x '<解得34x <-，即函数在3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，故函数在34x =-处取得极小值，所以()34344f x f e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值.15.（1）72；（2）325；（3）48；【解析】15.（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数；则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 16.(1) n ＝8;(2) ①574a =,②1256.【解析】16.（1）由题设，得02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯， 即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）． (2) ①81812rrrr T C x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令578534r r a -=⇒=∴=，②在等式的两边取1x =-,得012381256a a a a a -+-++=. 17.（1）56种；（2）X 的分布列为：【解析】17.（1）根据组合的定义分别求出从两兴趣小组中各选2名同学参加演出的选派方法数、选出的4名同学中有3名女生的选派方法数，最后利用减法进行求解即可. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，求出相应的概率，列出分布列即可. （1）从两兴趣小组中各选2名同学参加演出的选派方法数为：225454436022C C ⨯⨯⋅=⨯=种，选出的4名同学中有3名女生的选派方法数为：1124124114C C C ⋅⋅=⨯⨯=种，因此选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60456-=种； （2）X 的可能取值为0,1,2,3，224222541(0)10C C P X C C ⋅===⋅，11221141242222547(1)15C C C C C C P X C C ⋅⋅+⋅⋅===⋅， 111122412242225411(2)30C C C C C C P X C C ⋅⋅⋅+⋅===⋅，11241222541(3)15C C C P X C C ⋅⋅===⋅， 所以X 的分布列为：18.(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)0a ≥.【解析】18.（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a 的范围即可． 解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为()0,∞+，()a x a f x 1x x'-=-=， ①当a 0≤时，()x af x 0x-'=>，f(x)在()0,∞+上为增函数. ②当a>0时，由()x af x 0x-'=>得x a >；由()x af x 0x-'=<得0x a <<, 所以f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数. 综上所述，①当a 0≤时，函数f(x)在()0,∞+上为增函数 ②当a>0时，f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为x 1≥，所以()f x x 10=-≥恒成立，所以a=0符合题意. ②当a<0时，a e 1<，因为()()()af x f e f 1a 0min =<=<，所以()f x 0≥不恒成立，舍去.③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在()0,a 上为减函数，f(x)在()a,∞+上为增函数. 下面先证明：()ae a a 0>>.设()ap a e a =-，因为()ap a e 10'=->，所以p(a)在()0,∞+上为增函数.所以()()p a p 010≥=>，因此有a e a >.所以f(x)在)ae ,∞⎡+⎣上为增函数.所以()()aa2minf x f e ea a 1==-+-.设()()a2q a e a a 1a 0=-+->，则()aq a e 2a 1=-+'，()aq a e 2='-'.由()q a 0''>得a ln2>；由()q a 0''<得0a ln2<<.所以()q a '在()0,ln2上为减函数，()q a '在()ln2,∞+上为增函数. 所以()()q a q ln232ln20≥=-'>'. 所以q(a)在()0,∞+上为增函数， 所以()()q a q 00>=.所以()min f x 0>. 所以()f x 0≥恒成立. 故a>0符合题意.综上可知，a 的取值范围是a 0≥. 19.ABC【解析】19.直接运算可判断A ；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B ；由共轭复数的概念，运算后可判断C ；由复数虚部的概念可判断D ；即可得解.由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确；由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=，则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确. 故选：A 、B 、C 20.BC【解析】20.先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：A 为假命题，函数()f x 不能断定为是周期函数； B 为真命题，因为在[0,2]上导函数为负，故原函数递减；C 为真命题，动直线y a =与()y f x =图象交点个数可以为0、1、2、3、4个， 故函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D 为假命题，当a 离1非常接近时，对于第二个图，()y f x =有2个零点，也可以是3个零点， 故选：BC. 21.ABC【解析】21.选项A ，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B ，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D ，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A正确；对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确；对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC . 22.ACD【解析】22.化简二项式为9239012399(23)(1)(1)(1)(1)[12(1)]x a a x a x x a x a x -=+-+-+-+-+-⋯-+=，结合二项展开式的通项，以及合理利用赋值，即可求解.对任意实数x ，有9239012399(23)(1)(1)(1)(1)[12(1)]x a a x a x x a x a x -=+-+-+-+-+-⋯-+=，所以22921244C a =-⨯=-，所以A 正确； 令1x =，可得90(1)1a =-=-，所以B 不正确；令2x =，可得01291a a a a +++⋯+=，所以C 正确；令0x =，可得9012393a a a a a -+-+⋯-=-，所以D 正确.故选：ACD.。
高二数学下学期期中检测模拟试题
江苏省江宁高级中学高二年级第二学期期中模拟考试数学试题2019.4试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分200分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共5０分）一、选择题：（本大题共１０小题，每小题分，共50分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.）1．某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、,中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A.6，12 ，18B. 7，11，19C.6，13，17D. 7，12，172．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A、至少有1个白球，都是红球B、至少有1个白球，至少有1个红球C、恰有1个白球，恰有2个白球D、至少有1个白球，都是白球3、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（）A．20 B．30 C．40 D．504．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法里：①甲队的技术比乙队好②乙队发挥比甲队稳定③乙队几乎每场都进球④甲队的表现时好时坏其中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（见第7题下）（）(A) 3或-3 (B) -5 (C) -5或5 (D) 5或-36．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。
则原命题与其否命题的真假情况是（）A ．原命题真，否命题假B ．原命题假，否命题真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题7．给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是 （ ）(C) 1000 (D) 99889、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+10． 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）A ．l 1和l 2有交点（s ，t ）B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合Read x If x<0 then y=(x+1)*(x+1) Else y=(x-1)*(x-1) End if Print y End （第5踢）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大共6小题，每小题6分，共36分）11．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 ． 12．右边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的整数x 是奇数 或是偶数。
江苏省南京市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省南京市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·安徽期中) 已知；，则f（n+1）﹣f（n）=（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（）A . f（x）=x2+8xB . f（x）=x2﹣8xC . f（x）=x2+2xD . f（x）=x2﹣2x3. （2分）已知函数f（x）= 若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （3，4）B . （2，3）C . （1，2）D . （0，1）4. （2分）(2018·宣城模拟) 若复数满足( 是虚数单位),则的共轭复数是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·郎溪模拟) 设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A . （﹣2，3）B . （﹣2，2）C . （1，2）D . （﹣1，1）6. （2分） (2016高二下·马山期末) 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A . y=x﹣1B . y=﹣x+1C . y=2x﹣2D . y=﹣2x+27. （2分）已知函数f（x）=，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 复数 =（）A . 2+iB . 2﹣iC . 1+2iD . 1﹣2i9. （2分） (2017高三上·綦江期末) 已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f （0.76），b=log 6f（log 6），c=60.6f（60.6），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . a＞c＞b10. （2分） (2017高二下·三台期中) 设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣3ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，则a的取值范围是（）A . （，+∞）B . [ ，+∞）C . （1，+∞）D . [1，+∞）11. （2分）(2017·渝中模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获5只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（）A . 200B . 300C .D . 40012. （2分）已知f(x)＝x3＋x ，若a，b，，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值（）A . 一定大于0B . 一定等于0C . 一定小于0D . 正负都有可能二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分） (2016高二下·韶关期末) 复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z|=________．14. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 若函数f（x）= x3﹣f′（1）x2+x+5，则f′（1）=________．15. （1分） (2017高二上·景德镇期末) 如图，由曲线y=x2和直线y=t2（0＜t＜1），x=1，x=0所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值是________．16. （10分）(2019·长沙模拟) 已知．（1）解关于的不等式；（2）对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合 .三、解答题： (共6题；共45分)17. （10分）已知为复数，若在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且．（1）求复数；（2）若复数满足，求的最小值．18. （5分） (2015高二上·仙游期末) 己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．19. （5分） (2017高二上·平顶山期末) （Ⅰ）解不等式＞0（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．20. （10分） (2018高三上·定州期末) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.21. （5分） (2015高二下·屯溪期中) 用数学归纳法证明：2n+2•3n+5n﹣4（n∈N*）能被25整除．22. （10分）(2019·金华模拟) 设函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
江苏省南京市江宁高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
A。 150B. 200C。 300D。 400
【答案】C
【解析】
【分析】
求出 ，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间 人数．
A. 360种B。 300种C。 150种D. 125种
【答案】C
【解析】
【分析】
先把 名学生分成 组，再分配到 个社区即可求得结果．
【详解】 名学生分成 组，每组至少 人，有 和 两种情况
① ：分组共有 种分法;再分配到 个社区: 种
② ：分组共有 种分法；再分配到 个社区: 种
综上所述：共有 种安排方式
A。 种B。 种C。 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】
该题属于有限制条件的排列问题,在解题的过程中,需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况,对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.
【详解】当“数”排在第一节时有 排法;
当“数”排在第二节时有 种排法;
由f′（x）＝0得3x+2＝ex，或x+2＝0
结合y＝3x+2与y＝ex的图象，可得方程3x+2＝ex有两根，且不为﹣2．
∴函数f（x）＝（x+1）ex﹣x（x+2）2有3个极值点，．
故选C．
点睛】本题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
7。安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有（ ）
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江宁区高级中学 2019—2020学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．直线l ：x a ＋yb ＝1中，a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6，8}．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A ．6B ．7C ．8D ．162.为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为5，又已知()2 3.8410.05P K ≥=，()2 6.6350.01K P ≥=，则下列说法正确的是A ．有99%以上的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有99%以上的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有95%以上的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有95%以上的把握认为“X 和Y 没有关系” 3.在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50的展开式中，x 3的系数为( )A ．C 351B ．C 450 C ．C 451D ．C 4474.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A ．150B ．200C ．300D ．4005．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)6.若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A ．360种B ．300种C ．150种D ．125种8．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种（二）多项选择题:本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：A.函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛21-3-，内单调递增； B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； C.函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增； D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值．则上述判断正确的是( )10．已知点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．4x －y ＋7＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是21.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是( )A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为41 D.只有一支球队名列第一名的概率为21 12.若nxx )1(+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( ) A ．第3项 B ．第4项C ．第5项D ．第6项13．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是____________14．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为_____15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．16.将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)=____________，P(B|A)=_____________三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；(3)若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？18．（本小题满分12分）已知(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．19.（本小题满分12分）某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )图象过点P (1,2)，且f (x )在点P 处的切线与直线y ＝8x ＋1平行．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，求正数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i ＝1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w821()ii xx =−∑821()ii w w =−∑81()()ii i xx y y =−−∑81()()iii w w yy =−−∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w =1881i i w =∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =−．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值；(3)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．江宁区高级中学 2019—2020学年度第二学期期中考试答案高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．直线l ：x a ＋yb ＝1中，a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6，8}．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A ．6B ．7C ．8D ．16答案：B2.为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为5，又已知()2 3.8410.05P K ≥=，()2 6.6350.01K P ≥=，则下列说法正确的是A ．有99%以上的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有99%以上的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有95%以上的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有95%以上的把握认为“X 和Y 没有关系” 答案：C3.在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50的展开式中，x 3的系数为( )A ．C 351B ．C 450 C ．C 451D ．C 447答案：C4.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C5．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α) 答案：B6.若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数答案：C7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A ．360种B ．300种C ．150种D ．125种 答案：C8．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种 答案：A（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：A.函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛21-3-，内单调递增；B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； C.函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) 答案：B,C10．已知点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( )A ．6x －y －4＝0B ．x －4y ＋7＝0C ．4x －y ＋7＝0D ．3x －2y ＋1＝0 答案：A,D11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是21.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为 41D.只有一支球队名列第一名的概率为21 答案：C,D12.若nxx )1(+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项D ．第6项答案：C,D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是____________ 答案：0.4214．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为_____ .答案：115.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． .答案：4516.将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )=____________，P (B |A )=_____________A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，12解析：P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，即n (B )＝91，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有6×5×4－5×4×3＝60(种)情况，即n (AB )＝60，所以P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不相同”共有6×5×4＝120(种)情三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题． (1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数； (3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？解析：(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有A 13A 23＝18(个)； 当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A 12A 34＝48(个)；当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A 13A 12A 13A 23＝108(个)；故共有18＋48＋108＝174(个)．(3)a ，b 中有一个取0时，有2条；a ，b 都不取0时，有A 25＝20(条)； a ＝1，b ＝2与a ＝2，b ＝4重复，a ＝2，b ＝1与a ＝4，b ＝2重复． 故共有2＋20－2＝20(条)．18．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．解析：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ， 展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意，知4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0.∴(2n ＋31)(2n －32)＝0. ∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝27032x .(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·34310rx+假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92.∵r ∈N *，∴r ＝4.∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405326x19.某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解析：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196.(2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100，∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )图象过点P (1,2)，且f (x )在点P 处的切线与直线y ＝8x ＋1平行．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，求正数m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2，f ′(1)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝2，3＋2a ＋b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.∴a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋4x 2－3x ，若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，只需f (x )max ≤m ＋5m .∵f ′(x )＝3x 2＋8x －3，∴令f ′(x )>0，解得x >13或x <－3，则f (x )在13，＋∞和(－∞，－3)上单调递增； 令f ′(x )<0，解得－3<x <13，则f (x )在－3，13上单调递减． ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，13上单调递减，在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 又f (－1)＝－1＋4＋3＝6，f (1)＝1＋4－3＝2， ∴f (x )max ＝6.则m ＋5m ≥6.由m >0，得m 2－6m ＋5≥0，解得m ≥5或0<m ≤1.故正数m 的取值范围为(0,1]∪[5，＋∞)．21．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i ＝1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w821()ii xx =−∑821()ii w w =−∑81()()ii i xx y y =−−∑81()()iii w w yy =−−∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w =1881i i w =∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =−．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−． 解析：（1）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． （2）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8ˆ681.6()iii ii w w y y dw w ==−−===−∑∑，ˆˆ56368 6.8100.6c y dw=−=−⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+，因此y 关于x 的回归方程为 ˆ100.668yx =+． （3）（ⅰ）由（2）知，当49x =时，年销售量y 的预报值ˆ100.66849576.6y=+= 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯−=． （ⅱ）根据（2）得结果知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+−=−++． 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，ˆz 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。