换元法解方程

换元法解方程

西安市第八十五中学江树基

换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等．

解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧．

一、分式方程

分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设

∴（y-1）2=0，解得y=1．

经检验，x

1，x

2

都是原方程的根．

分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x．

解：设y=x2+2x，则原方程可化为

即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．

x2＋2x=-3，无实数解．

例3 解方程

分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10．

解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为

=9x，y2=-5x.

解得y

1

由x2＋2x＋10=9x，解得x

=5，x2=2．

1

=-5，x4=-2．

由x2＋2x＋10=-5x，解得x

3

经检验知，它们都是原方程的解．

注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的．

二、无理方程

两边立方，并整理得

y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0，

∴y=0或y2-2y＋3=0，无解．

经检验知x=-1是原方程的解．

可设两个未知数，利用韦达定理解．

原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．

（x+1）（3-x）=-1，即x2-2x-4=0，解得

经检验知，x

1，x

2

是原方程的解．

（y-1）2+（y+1）2=52，解得y=±5．

经检验知，x=10，x=-510是原方程的解．

∴|y+2|＋|y-2|=4，

当y＜-2时，-y-2-y＋2=4，∴y=-2（舍去）．当-2≤y＜2时，y＋2+2-y=4，∴4=4，

当y≥2时，y＋2＋y-2=4，y=2．

∴-2≤y≤2，又y≥0，∴0≤y≤2，

经检验知，1≤x≤2是原方程的解．

再把上边方程两边平方整理得

x4-2ax2+a2-a-x=0，

∴a2-（2x2＋1）a＋（x4-x）=0，解得

由②得-x=a-x2，∵a-x2＞0，-x＜0，方程②无解．故选（C）．

注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法．

三、高次方程

例9 解方程（x+3）4＋（x＋1）4=82．

原方程变为（y+1）4+（y-1）4＝82，

整理得y4＋6y2-40=0，

解得y

=2，y2=-2．

1

=0．

由x＋2=2，得x

1

由x＋2=-2，得x

=-4．

2

所以原方程的解是x

=0，x2=-4．

1

注：一般地形如（x+a）4+（x＋b）4=c的方程可用均值法，设y

例10 解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0．

解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6（x2+

38=0，解得

注：1．形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称倒数方程．其特点是，与首末两端等距离的项的系数相等．其解法是，用x2除各项．并按下述

化为a（y2-2）+by+c=0使问题得解．

2．形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点是：与首末两项等距离的偶次幂的项的系数相等，奇次幂项的系数的绝对值相等而符号相反，用x2除方程两边，并按下述方法并项，得a（x2+

=0，即可求解，