高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质
高三数学寒假精品讲义 第3讲 利用导数研究函数的性质(解析版)
第3讲利用导数研究函数的性质【题型精讲】题型一：导数的几何意义1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是（）A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．()0,∞+C．[)2,+∞D．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【详解】解：因为函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，所以()10f x x a x'=-+=在()0,∞+上有解，即1a x x =+在()0,∞+上有解，因为12x x +≥，所以2a ≥，故选：C.2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数()2ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．210x y +-=B．20x y --=C．0x y +=D．240x y --=【答案】C 【详解】解：∵()2ln 21f x x x x =-+的导数为()2ln 2f x x x x '=+-，∴()1121f '=-=-．∵()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--，即0x y +=．故选：C．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点P 在曲线22sin cos 22x xy =-上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦D．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【详解】22sin cos cos 22x xy x =-=- ，sin y x '∴=.设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率为0tan sin k x α==，1tan 1α∴-≤≤.0απ≤< ，30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D4．（2021·全国·高三专题练习）点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦C．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】D 【详解】2311y x '=-≥-，即tan 1α≥-，又[)0,απ∈，所以30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，故选：D.5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A．(,2]-∞B．[)2,+∞C．(,2)-∞D．(2,)+∞【答案】C 【详解】由题意，函数()ln f x x ax =+的定义域(0,)+∞，且1()f x a x'=+，因为函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，即12a x +=有解，即12a x=-在(0,)+∞有解，因为0x >，可得10x >，则10x -<，可得122x-<，所以2a <，即实数a 的取值范围是(,2)-∞.故选：C.6．（2021·全国·高三专题练习）若函数2()ln f x a x bx =+在点()()1,1f 处的切线方程为y x =，则函数()y f x =的增区间为（）A．(0,1)B．0,2⎛ ⎝⎭C．,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】将1x =代入y x =得到1y =，所以切点为()1,1.因为()2af x bx x'=+，所以()()12111ln111f a b a f a b b ⎧=+==-⎧⎪⇒⎨⎨===⎩'+⎪⎩，所以()22221212x x x f x x x x x ⎛⎫⎛+- ⎪-⎝⎭⎝⎭'=-+==()0x >，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()y f x =的增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C题型二：利用导数研究函数的单调性1、与函数的单调区间有关的问题1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（）A．(),2-∞B．()0,3C．()1,4D．()2,+∞【答案】D 【详解】函数()()3xf x x e =-的定义域为R ，()(2)x f x x e '=-，令()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞.故选：D.2．（2021·河南·高三月考（文））若函数()3213f x x ax x =--存在递减区间，则实数a 的取值范围是（）A．[]1,1-B．()(),11,-∞-+∞ C．()1,1-D．(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【详解】由题设，()221f x x ax '=-+，由()f x 存在递减区间，即存在x 使()0f x ¢<，∴2440a ∆=->，可得1a <-或1a >.故选：B3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（）A．2k >B．1kC．1k >D．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴' 在区间(1,)+∞上恒成立．1k x∴ ，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴ ．选项中只有0k >是1k的必要不充分条件.选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件.故选：D4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是（）A．(,1)-∞B．(,1]-∞C．(1,)+∞D．[1,)+∞【答案】D 【详解】函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，即220y x x m '=++≥或220y x x m '=++≤(舍)在R 上恒成立440m ∴∆=-≤，解得m 1≥故选：D5．（2021·全国·高三月考（理））若()3213f x x ax =-的单调减区间是()4,0-，则a 的值是（）A．2-B．2C．4-D．4【答案】A 【详解】由题意，函数()3213f x x ax =-，可得()22f x x ax '=-，令()0f x '<，可得()20x x a -<，因为()f x 的单调减区间是()4,0-，可得24a =-，解得2a =-．故选：A.6．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（）A．(,1)-∞-B．(,1]-∞-C．(1,)+∞D．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-．故选：B7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若21()ln(2)2f x x b x =-++在()1,+¥上是减函数，则b 的取值范围是（）A．()3,+∞B．[)3,+∞C．(]3,-∞D．(),3-∞【答案】C 【详解】由题知，21()ln(2)2f x x b x =-++，()2bf x x x '=-++.若()f x 在()1,+∞上是减函数，则()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，由()02b f x x x '=-+≤+得，()()2211b x x x ≤+=+-，当()1,x ∈+∞时，()()22111113x +->+-=，所以3b ≤.故选：C.8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“4m <”是“函数()22ln f x x mx x =-+在()0,∞+上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】若2()2ln f x x mx x =-+在(0,)+∞上单调递增，则1()40f x x m x'=-+≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，∴有14x m x +≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，即min 14m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而144x x +≥=当且仅当12x =时等号成立，则4m ≤.∴“4m <”是“函数()22ln f x x mx x =-+在()0,∞+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A．9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数()1ln f x kx x x =-+在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A．1[,)2+∞B．[1,)+∞C．[2,)+∞D．(,2]-∞-【答案】C 【详解】由()1ln f x kx x x =-+知，()211f x k x x'=--，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，即2110k x x --≥，则211k x x≥+在()1,+∞上恒成立，令()211g x x x =+，因为()23120g x x x '=--<在()1,+∞上恒成立，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()12g x g <=，所以2k ≥.故选:C .10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数21()9ln 2f x x x =-在区间()2,1m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A．[)0,1B．()0,1C．[]0,2D．()0,2【答案】A 【详解】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，9(3)(3)()x x f x x x x+-'=-=，令()0f x '>，解得：3x >，令()0f x '<，解得：03x <<，故()f x 在(0,3)递减，在(3,)+∞递增，若函数21()92f x x lnx =-在区间(2,1)m m +上单调递减，则20m且013m <+ 且21m m <+，解得：01m < ，故选：A ．2、构造函数比较大小或解不等式1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A．a b c <<B．b c a<<C．a c b<<D．c a b<<【答案】B 【详解】解：令函数()()g x xf x =，因为定义域为R 的()y f x =是奇函数，所以函数()g x 为偶函数；()()()g x f x xf x ''=+，当0x >时，因为()()0f x f x x '+<，所以()()0xf x f x x'+<，所以()()0xf x f x '+<，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上为减函数，()()()()222111(),2(2)22,ln (ln )ln ln 3ln 3333333a f g b f g g c f g g g ⎛⎫⎛⎫===--=-====-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2ln 323<<，所以()()2ln 323g g g ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>.故选：B2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e=，则()f x >）A．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C．(,2)-∞D．(2,)+∞【答案】D 【详解】设2()e ()x g x f x =，则221()e ()()2x x g x f x e f x ''=+，因为1()()02f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 是R 上的增函数，(2)e (2)1g f ==，不等式()f x >2e ()1xf x >，即()(2)g x g >，所以2x >，故选：D．3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()tan ()0f x x f x '+⋅>，则（）63ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭46ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【详解】因为()tan ()0f x x f x '+⋅>，所以()sin ()0,cos xf x f x x'+⋅>cos ()sin ()0x f x x f x '∴⋅+⋅>，令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()2cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x'⋅+⋅'=>，所以()g x 单调递增，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为奇函数，(0)0g =，所以6430cos cos cos643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<<，即0643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A，C 错误；63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以063ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x为奇函数，所以063ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；64ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭064f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为()f x为奇函数，所以046ππ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误．故选：B4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数()y f x =对任意的(0,)x π∈满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】解：令()()cos g x f x x =，(0,)x π∈故()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->，故()g x 在(0,)π递增，所以(()36g g ππ>，可得1()(236f f ππ>63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确；故选：D．5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，'()()ln 20f x f x +<，则下列不等关系成立的是（）A．2(1)(0)f f >B．2(2)(1)f f >C．2(0)(1)f f >-D．()23log 32(1)f f <【答案】D 【详解】设()()2xh x f x =，则()()()()()22ln 22ln 2x x x h x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又()()ln 20f x f x '+<，20x >，所以()0h x '<，所以()h x 在(),-∞+∞上单调递减，由10>可得2(1)(0)f f >，故A 错；由21>可得22(2)2(1)f f <，即2(2)(1)f f <，故B 错；由01>-可得012(0)2(1)f f -<-，即2(0)(1)f f <-，故C 错；因为2log 31>，所以()()2log 31h h <，得()()23log 321f f <，故D 正确.故选：D6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（）A．()()0af a e f =B．()()0af a e f ＞C．()()0af f a e <D．()()0af f a e >【答案】B 【详解】构造函数()()x f x F x e =，则()()()xf x f x F x e'-'=，因为()()f x f x '>，所以()()0f x f x '->，故()0F x '>，因此()F x 在R 上单调递增，所以对于任意的正数a ，有()()0F F a <，即()()00af f a e e <，即()()0af a f e <，又因为0a e >，所以()()0ae f f a <，结合选项可知B 正确，故选：B7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若恒有()()cos sin xf x f x x'>-，则下列不等式成立的是（）63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭B．63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎝⎭⎝⎭D．63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【详解】令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=因为()()cos sin x f x f x x'>-，因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()cos sin 0f x x f x x '+<得()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x'+'=<所以()()cos f x g x x=在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故63g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭<，有63f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为（）A．(,2019)-∞-B．(2023,2019)--C．(2023)-∞-,D．(2019,0)-【答案】A 【详解】解：设2()()g x x f x =，由()f x 为奇函数，可得22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，202()()f x xf x x '>>+，()[2()()]0g x x f x xf x ''∴=+>，()g x 单调递增，根据奇函数的对称性可知，()g x 在R 上单调递增，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<可转化为()2(2021)(2021)4(2)42x f x f f ++<--=，即()()20212g x g +<，20212x ∴+<即2019x <-，即(),2019x ∈-∞-．故选：A9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意()(),0x R f x f x -'∈<恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式()4()123x e f x e f x +>-的解集为（）A．()4,+∞B．()1,4-C．(),3-∞D．(),4-∞【答案】D 【详解】设()()xf xg x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，因为对任意()(),0x R f x f x -'∈<，所以()0g x '>在R 上恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又4123()()x e f e f x x >-+等价于()()123123x x f x f x ee+-+->，即()(2)13g x g x +>-，因为()g x 在R 上单调递增，所以123,x x +>-解得4x <，所以原不等式的解集是(,4)-∞.故选：D.10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 存在导数()f x '，且当0x >时，有()2f x x '>恒成立，若2(2)383(21)f m m m f m -++-<+，则实数m 的取值范围是（）A．1(3，)+∞B．(,3)-∞-C．1(3,)3-D．(-∞，13)(3-⋃，)+∞【答案】D 【详解】解：()f x 是R 上的偶函数，令2()()g x f x x =-，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x ∴为偶函数，∴当0x >时，()()20g x f x x '='->，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，①2(2)383(21)f m m m f m -++-<+ ，222(21)(21)[(2)(2)](21)(2)(383)0f m m f m m f m f m m m ∴+-+----=+---+->，22(21)(21)(2)(2)f m m f m m ∴+-+>---，即(21)(2)g m g m +>-，∴由①得|21||2|m m +>-，展开得23830m m +->，解得，13m >或3m <-，故选：D ．题型三：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南·高三月考（理））函数221()e 4x f x x x x =---的极大值为（）A．12-B．12e-C．0D．14-【答案】B 【详解】函数221()e 4x f x x x x =---的定义域为R ，则()2()(21)e 1x f x x ¢=+-，令()0f x '=，解得0x =，12x =-，当12x <-或0x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当102x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当12x =-时，()f x 取得极大值1122e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故选：B2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =处取得极小值0，若1[,]x m n ∀∈，2[,]x m n ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则n m -的最大值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C 【详解】解：函数32()2f x x ax bx =+++在1x =处取得极小值0所以()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即12031210a b a b +++=⎧⎨⨯+⨯+=⎩解得：0a =，3b =-()332f x x x ∴=-+由()2330f x x '=-=得：1x =±当(),1x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增当()1,1x ∈-时，()0f x '<，即()f x 单调递减所以()f x 的极大值为(1)4f -=，极小值为(1)0f =由()3324f x x x =-+=得：1x =-或2x =由()3320f x x x =-+=得：1x =或2x =-若1[,]x m n ∀∈，2[,]x m n ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则()()224max n m -=--=故选：C.3．（2021·山西太原·高三期中）若2x =是函数21()2ln 2f x ax x x =--的极值点，则函数（）A．有最小值2ln 2-，无最大值B．有最大值2ln 2-，无最小值C．有最小值2ln 2-，最大值2ln 2D．无最大值，无最小值【答案】A 【详解】由题设，2()1f x ax x'=--且(2)0f '=，∴220a -=，可得1a =.∴2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--=且0x >，当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增；∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值.综上，有最小值2ln 2-，无最大值.故选：A4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（）A．23B．43C．83D．4【答案】C【详解】由图示可知：()32f x x bx cx d =+++经过（0，0）、（1，0）、（2，0），所以有：()()()001020f f f ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即0108420d b c d b c d =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：032d b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()3232f x x x x =-+，()2362f x x x '=-+.由图示可知12,x x 是()3232f x x x x =-+的极值点，所以12,x x 是23620x x -+=的两根.所以()222121212482433x x x x x x +=+-=-=.故选：C5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数21,0,()ln 1,0,x ax x f x ax x x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩若x ∈R 时，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．212,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．(2,1)--C．(2,0)-D．(2,1)-【答案】A 【详解】因为(0)10=>f 成立，故原命题即()0f x >对任意的0x ≠成立，此时21()010()()1ln 10(ln )0x x a x x ax x xf x f x ax x x x x a x x x ⎧⎧+-<-+<⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨-+>⎪⎪+->⎩⎪⎩，，，，，由()0f x >得01x x a x <⎧⎪⎨+<⎪⎩且0ln x x x x a >⎧⎨+>⎩，当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-时等号成立，故2a >-；当0x >时，记()ln g x x x x =+，则()ln 2g x x '=+在(0)+∞，上为增函数，且2()0g e -'=，故min 21()g x e =-，即21a e <-，综合所述，a 的取值范围为21(2e --，.故选：A6．（2021·湖北·高三月考）已知函数()33f x x x =-，若函数()f x 在区间()2,8m m -上有最大值，则实数m 的取值范围为（）A．(3,-B．()3,1--C．()D．[)2,1-【答案】A 【详解】由()33f x x x =-得()2333(1)(1)f x x x x '=-=+-，∴当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，故1x =-是函数()f x 的极大值点，(1)132,f -=-+=令()332f x x x =-=，即2(1)(2)0x x x +--=，∴1x =-，或2x =，又函数()f x 在区间()2,8m m -上有最大值，∴222818182m m m m m ⎧<-⎪<-⎪⎨->-⎪⎪-≤⎩，解得3m -<≤故选：A.7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数()2,01ln 1,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩，若存在实数1x ，2x 满足1203x x ≤<≤，且12()()f x f x =，则21x x -的最大值为（）A．e 1-B．12C．51ln 322-D．1【答案】A 【详解】当01x ≤≤时，022x ≤≤，当13x <≤时，1ln 11ln 3x <+≤+，则[0,2](1,1ln 3](1,2]⋂+=，令12()()(1,2]f x f x t ==∈，则112,e 2t t x x -==，121e 2t t x x --=-，设1()e 2t tg t -=-，(1,2]t ∈，11()e 02t g t -'=->，即1()e 2t tg t -=-在(1,2]t ∈上单调递增，max ()(2)e 1g t g ==-，所以21x x -的最大值为e 1-.故选：A8．（2021·浙江·高三月考）已知a R ∈，函数()224()ln 2ln f x x a x x a =+++的最小值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．2e-B．1e-C．e-D．e 2-【答案】B 【详解】解：由题意得：4222ln ln l (n )a a x x x xf x +++=22(ln )ln ln a x x x x x=++≥令22()(ln )ln P a a x x x =++，其最小值为ln x x 再令()()ln g a Q x x x ==，则'()ln 1Q x x =+当1(0,)∈x e 时，函数()Q x 单调递减；当1(,)∈+∞x e 时，函数()Q x 单调递增.故1=x e 时，()min 1Q x e =-故()g a 的最小值为1e-.故选：B9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立”的一个必要不充分条件为（）A．[5,1]a ∈--B．[7,1]a ∈--C．[6,2]a ∈--D．[4,3]a ∈--【答案】B 【详解】当0x =时，不等式恒成立，当01x <≤时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，等价于23max43x x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，等价于23min43x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x --=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x --==--，令1t x =，则3234y t t t =--+，'2981y t t =--+，可知函数3234y t t t =--+在11,9⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1(,1),,9⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当(0,1]x ∈，即[1,)t ∈+∞时，当1t =时，max 6y =-，即()6max f x =-，所以6a ≥-，当[2,0)x ∈-时，即1,2t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，函数3234y t t t =--+在(,1)-∞-递减，在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，所以当1t =-时，min 2y =-，所以2a ≤-，综上，当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立的充要条件为62a -≤≤-，所以[7,1]a ∈--是“当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立”的一个必要不充分条件，故选：B10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数()32231,0e ,0ax x x xf x x ⎧++≤=⎨>⎩在[]22-,上的最大值为2，则实数a 的取值范围是（）A．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．(],0-∞D．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【详解】当20x -≤≤时，()32231f x x x =++，则()()26661f x x x x x '=+=+．当21x -≤<-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =在1x =-处取得极大值，亦即最大值，即()()max 12f x f =-=．当0a >时，函数()ax f x e =在(]0,2上单调递增，由题意可知，()222af e =≤，得2ln 2a ≤，解得1ln 22a ≤，此时，10ln 22a <≤；当0a =时，且当02x <≤时，()12f x =≤合乎题意；当0a <时，函数()axf x e =在(]0,2上单调递减，此时，()()2012f f <=<，合乎题意．综上所述，实数a 的取值范围是1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（）A．()()2,00,2- B．()(),22,-∞-+∞ C．()()2,02,-+∞ D．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数，∴()f x x在(),0-∞上为增函数，∵()()220f f -==，若0x >，()202f =，所以2x >；若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<，综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞ .故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（）A．1-B．1e-C．ln 2D．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21x f x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x xf x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-，由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（）A．(,1)-∞-B．(,1]-∞-C．(1,)+∞D．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-．故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（）A．2k >B．1kC．1k >D．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴' 在区间(1,)+∞上恒成立．1k x∴ ，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴ ．选项中只有0k >是1k的必要不充分条件.选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件.故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A．(],0-∞B．(],1-∞C．[)1,-+∞D．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<，故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A．a b c <<B．c a b <<C．a c b<<D．b a c<<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log (log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<．故选：B．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A．(),1-∞B．(),2-∞C．()1,+∞D．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<'所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f ==由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +<所以1x <故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（）A．e 1k -<≤B．11k e-<<C．e 0k -<<D．1ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞；当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()x f x xe ax =+．则下列说法正确的是（）A．当0a =时，()min 1f x e=-B．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e≤-【答案】ABD【详解】解：对于A：当0a =时，()x f x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令()'0f x =，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e -≥-=-=-，所以()min 1f x e=-，故A 正确；对于B：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1x x f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x x x y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C：由函数()x f x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0x f x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减，所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()x h x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e 44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（）A．实数k 的取值范围为()0,1B．实数k 的取值范围为()0,e C．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D．123x x x 的取值范围为()e,+∞【答案】AC【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解，所以16160,k =-> 解得)1(0k ∈，；由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设1)0(1lnx t =∈-，，则()24t e e g t t⋅=-，所以()()22421'0t g t t e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增，又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（）A．()00f >B．()421f e >-C．()()()2021202021f ef e ->-D．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>，所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==，故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11x f x e+>，()0f x >，所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->，令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20x f x f x h x e''--=>，所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-，故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x'>，则（）A．234f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．2426f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>．构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误；因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：AD.三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________.【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃.故答案为：(1,0)(0,2)- .14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________.【答案】(,3]-∞【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为1212()()f x a f x a x x ++<恒成立，令()()f x a h x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e a h x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立；30x x xe e a ∴-+- ；即3x x a xe e -- 恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数；()g x g ∴ （1）0=；30a ∴- ；3a ∴ ．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上是减函数，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，∴()()()f x g x g x x--==--，∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==，则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ，当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立，∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞ ，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞ ．故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a --(],2-∞【详解】（1）()()()223391x x g x x x +-'=-=，当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-，故()g x 的值域是[]6,10a a --；（2） ()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，综上，实数t 的取值范围是(],2-∞.故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。
高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质
专题二——利用导数研究函数的性质2020-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -2 ．3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 45°4.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a 6.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 7.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=__32_ _ 8.过点P （2，8）作曲线3x y =的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0 样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质
知识梳理
1． f′( x)>0 在( a， b)上成立是 f (x)在 (a， b)上单调递增的充分不必要条件． 2． f(x)在 (a， b)上是增函数的充要条件是 f′( x)≥ 0，且 f′ (x) ＝0 在有限个点处取到． 3．对于可导函数 f(x) ，f′( x0)＝ 0 并不是 f( x)在 x＝x0 处有极值的充分条件
变式 2： 已知 f (x)＝ x3－ ax2－ 3x. (1)若 f (x)在 [2，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝ 3 是 f(x)的极值点，求 f(x) 在[1 ，a ]上的最小值和最大值．
例 2： 设函数 f (x)＝ x(ex－ 1)－12x2，求函数 f(x)的单调增区间．
变式 2： 若函数 f (x)＝ 3x＋ln x 在区间 (m， m＋ 2)上单调递减，则实数 m 的范围是 ________．
变式 3 ：若函数 f(x)＝1x3－1ax2＋ (a－ 1) ·x＋ 1 在区间 (1,4)上是减函数，在区间 (6，＋∞ )上是 32
增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
变式 4.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， f (3) 0，且 x 0时， xf '( x) f ( x) ，则不等 式 f (x) 0的解集是 变式 5.函数 f (x 1) 是定义在 R 上的偶函数， f ( 2) 1 ，且 f ' (x) f (x) ，则不等式 f ( x) ex 的解集是
利用导数研究函数的性质(二)课件-2024届高三数学二轮复习
③ 比较导数零点大小，讨论函数的单调性；
④ 根据单调性判断极值与最值.
（2） 利用极值与最值的存在性求参数的值或范围：假设极值或最值存
在，根据函数极值或最值的求法，逆向思考，由已知向未知转化，通过
列方程或不等式，从而得出参数的值或范围.
热点1 判断含参函数的单调性
a ln ，无极大值.
2
总结提炼
求含参函数的极值的策略
（1） 先讨论含参函数的单调性，并判断不存在极值的情况.
（2） 注意列极值表判断函数极值的情况.
[对点训练]
2.
（2023·江苏南京六校联合调研节选）已知 a ∈R，函数 f （ x ）＝ ＋
ln x ， g （ x ）＝ ax －ln x －2.当 f （ x ）与 g （ x ）都存在极小值，且极小
意.综上所述， a ＝2.
（2） 设函数 g （ x ）＝ f （ x ）－（ln x ）2－2ln x .若 g （ x ）是增函数，
求 a 的取值范围.
解：（2） 因为函数 g （ x ）＝ f （ x ）－（ln x ）2－2ln x ＝e2 x － ax －1
2
2
x
－（ln x ） －2ln x （ x ＞0）是增函数，所以g'（ x ）＝2e － a －
（0，π），则 x 1＝ ， x 2＝ .当 x ∈
（ x ）单调递增；当 x ∈
减；当 x ∈
，
，
，Hale Waihona Puke 时，f'（ x ）＞0，函数 f
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x 变化时，y,y ′的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-2⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,232⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 1y′ + 0 - 0 + y8单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 2795 单调递增↗4∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795 变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x,令y ′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 +y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x)>0,得0<x<a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x ∈R ),其中a ∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a. 由于a ≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a ,a) a (a,+∞) )(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a - ↗↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a）， 且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表： x(-∞,a) a (a,3a ) 3a (3a,+∞) )(x f '- 0 + 0 -f(x)↘↗-3274a ↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）, 且f （3a ）=-3274a .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．。
利用导数研究函数的性质
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• [答案] A
[ 解析]
不等式化为 exf(x)－ex－5>0，
设 g(x)＝ exf(x)－ ex－5，∴g′(x)＝ exf(x)＋ exf ′(x)－ ex＝
ex[ f (x)＋f ′(x)－1] >0， 所以函数 g(x)在定义域上单调递增， 又因为 g(0)＝0，所以 g(x)>0 的解集为(0，＋∞)．
• 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实 数a的取值范围是________． • [答案] a<－3或a>6 • [解析] 由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋ 6)． • 若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)>0，从而有a>6或 a<－3.
lnx lnx 2 lnx2 (理)(2014· 安徽安庆二模)设 1<x<2，则 ，( ) ， 2 的大 x x x 小关系是( ) lnx lnx 2 lnx2 B. <( ) < 2 x x x lnx2 lnx 2 lnx D． 2 <( ) < x x x lnx 2 lnx lnx2 A．( ) < < 2 x x x lnx 2 lnx2 lnx C．( ) < 2 < x x x
第三章
第二节 利用导数研究函数的性质
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
• 1.了解函数单调性和导数的关系． • 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多 项式函数一般不超过三次)． • 3．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． • 4．会用导数求函数的极大值、极小值，会用导数求闭区间上函 数的最大(小)值(其中多项式函数一般不超过三次).
利用导数研究函数性质
山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓名院系数学与计算机科学系专业数学与应用数学班级 0803班学号0890110320指导教师答辩日期成绩论文题目：利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。
本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。
【关键词】导数函数的性质函数的零点不等式近似计算Title:The study of function by using derivativeA bstractResearch on the properties of function derivate as extremely important and powerful tool,for us to solve many function provides a more simple metheod and the way,greatly enriched the mathematical thought and methed.In this paper,through a combination of specific examples,discuss the research on the properties of function derivative in the application: Such as the use of the derivative function image tangent promblem,using derivative of monotonicity of functions,solving the most value problem with the derivative extremum,as a tool to examine zero number of functions,application of the derivative to prove inequality ,approximate calculation. 【Key Words】derivative properties of function zero of a function inequalityapproximate calculation目录引言 (1)一、导数的相关概念 (1)二、函数基本性质的研究 (2)（一）利用导数处理函数图像的切线问题 (2)（二）利用导数判断函数的单调性 (3)（三）利用导数求函数的极值、最值 (5)三、函数零点个数的探讨 (7)四、不等式的证明 (9)五、利用导数解决近似计算问题 (10)结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)利用导数研究函数性质学生姓名：马江莲 指导老师：任辛喜 引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
利用导数研究函数的性质复习优秀课件
解析：f ′(x)＝3x2－2a，令 f ′(x)＝0 得，a＝32x2，∵f(x) 在(0,1)内有极小值，∴f ′(x)＝0 在(0,1)内有解，∴f ′(0)<0 且 f ′(1)>0，∴a∈(0，32)，故选 B.为 x＝x0，x0∈(0,1)，则 x ∈(0，x0)时，f ′(x)＝3x2－3x20＝3(x＋x0)(x－x0)<0，x∈ (x0,1)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1) 上单调递增，因此 x0 是 f(x)的极小值点．由于是选择题， 故解答过程中上述验证 f(x)能够取得极小值的过程可省 略，若是解答题，省去上述过程则解答过程不完整．
2．函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)内任一点， 如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0))，则 称 f(x)在点 x0 取得极大(小)值，称 x0 是 f(x)的一个极大(小) 值点．
3．函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函 数 f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的 函数 f(x)不一定有最大值与最小值．
第 4 步 将 f(x)的各极值及 f(a)、f(b)比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的 实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题 中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与 端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．
当 0<k－1<1，即 1<k<2 时，
由(1)知 f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单 调递增，所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek －1；
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
利用导数研究函数的性质
又 g(x)是奇函数，所以 g(x)在 R 上单调递减，因为 20.6>1，0<ln 2<1，log218
＝－3<0，所以
1 log28<0<ln
2<1<20.6，又
a＝g(20.6)，b＝g(ln
2)，c＝glog218，
所以 c>b>a.故选 B.
目录 考向一
考向二
解析
角度 同构法构造函数
例 3 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)设 a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln 0.9，则(
在(0，＋∞)上恒成立，则
k>f(x)＋x12＝ln
x＋1 x2 在(0，＋∞)上恒成立．
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考向二
解析
ln x＋1
－2ln x－1
令 g(x)＝ x2 ，故 k>g(x)max，因为 g′(x)＝ x3 ，令 g′(x)＝0，
解得 x＝ 1e，当 0<x< 1e时，g′(x)>0，则 g(x)单调递增，当 x> 1e时，g′
A．2－ln 4
B．2＋ln 4
C．e－ln 2
D．e＋ln 2
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考向二
答案
解析 由题意，设 x1ln x1＝x2ex2＝ex2ln ex2＝t，即 f(x1) ＝f(e x2)＝t，由 f′(x)＝1＋ln x，得在0，1e上，f′(x)<0， f(x)单调递减；在1e，＋∞上，f′(x)>0，f(x)单调递增， f(x)≥f1e＝－1e，且 f(1)＝0，f(x)的图象如图所示．由图可知，当 t∈(0， ＋∞)时，x1＝e x2，即 x2＝ln x1，且 x1>1，
利用导数研究函数的性质
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞),
都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0,故ex>x2－2ax＋1.
【规律小结】
对于类似本题中不等式证明而言，我
函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2
－2ax＋1.
【思路分析】 (2)中构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1， 转化为求证g(x)恒大于零．
【解】
(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与
最小值；但在开区间(a，b)内可导的
函数f(x)不一定有最大值与最小值．
(2)求极值与最值的步骤：
第1步 求导数f′(x)；
第2步
第3步
求方程f′(x)＝0的所有实数根;
考察在每个根x0附近，从左到
右，导函数f′(x)的符号如何变化．
如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是
极大值；如果由负变正，则f(x0)是极
小值．
第4步 将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比
较，其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值．
思考探究
导数为零的点都是极值点吗？
提示：不一定是.例如：函数f(x)＝x3,
有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
课前热身
1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线
高考数学专题复习：用导数研究函数的性质
高考数学专题复习：用导数研究函数的性质一、单选题1．若函数()sin f x x t x =+在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞2．若直线l 是曲线()()0xf x ae a =>的切线，且l 又与曲线2()g x x=相切，则a 的取值范围是（ ） A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．260,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．26,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知4ln 0,5ln 0,6ln 0456a b ca b c -=≠-=≠-=≠，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c <<D ．a c b <<4．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数()f x '满足()()6xf x f x '<，则必有（ ） A ．()()6412f f < B ．()()811163f f > C ．()()424f f >D ．()()7292643f f >5．若函数328()2()43f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,8- B ．17,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),28,-∞-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞6．若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（ ） A ．3b a <- B ．333a b a a -<<- C ．33b a a >-D ．3b a =-或33b a a =-7．若函数()f x mx =+[]1,4上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()ln xf x x=，设2a f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2e b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．设函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y xf x '=的图像如图所示，则（ ）A ．()f x 的极大值为f，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为()3f -，极小值为()3fD ．()f x 的极大值为()3f ，极小值为()3f - 10．函数()()ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．[),0e - B ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[),e -+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()f x 的定义域为[]3,3-，其导函数为()f x '，对任意()(),x R f x f x '∈>恒成立，且()11f =，则不等式()xef x e >的解集为（ ）A ．(]1,3B ．()1,+∞C ．[)3,1-D ．()1,1-12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''->且，()30f =，则不等式()()0f x g x >的解集是（ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、填空题13．“当0a >时，函数()4ln f x x ax =-在区间(0,1)上不是单调函数”为真命题的a 的一个取值是________．14．设0a >，若函数()1ln x f x x +=在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则a 的取值范围是________.15．函数())0f x x π=<<的极小值为________.16．函数1()sin 2f x x x =-，(0,)x π∈的单调减区间是________．三、解答题 17．已知函数21()1ln ()2f x x a x a R =--∈． （1）若a =1，求函数y =f (x )的单调区间；（2）求证：当a >0时，函数f (x )的最小值小于零 ．18．已知函数()()xf x axea R =∈，()()ln 1g x x kx k R =++∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）若1k =时有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．已知函数2()1x f x e x ax =---． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若0x >，证明：()()21ln 1xe x x -+>．20．已知函数()()()22ln 24a f x a x x a x a R =-+--∈.（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行时，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，求实数a 的取值范围.21．已知函数()2ln f x ax x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当12a >时，()3f x >恒成立．22．已知函数2()ln 2m F x x x x =-+． （1）讨论()F x 的单调性；（2）关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值．参考答案1．C 【分析】由题设，函数区间单调性有()0f x '≥，即1cos t x ≥-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，根据1cos y x=-的区间最值求t 的范围. 【详解】由题意知：()1cos 0f x t x '=+≥在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，∴1cos t x ≥-在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，而1cos y x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭递减，则1y <-， ∴1t ≥-. 故选：C. 2．A 【分析】由()f x ，()g x 的图象可得切点在第一象限，设切点分别为(,)mm ae ，2(,)n n ，求得()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，由直线重合的条件，可得m ，n 的关系，即有a ，m 的关系，构造函数()h m ，求得导数和单调性，可得极大值，且为最大值，即可得到所求范围． 【详解】由曲线()(0)xf x ae a =>的切线，且l 又与曲线2()g x x =相切，可得切点在第一象限，设切点分别为(,)mm ae，2(,)n n ，()(0)x f x ae a =>的导数为()x f x ae '=，2()g x x =的导数为()2g x x '=，可得直线l 的方程为()m my ae ae x m -=-，即为·(1)?m my ae x m ae =+-， 又直线l 的方程为22()y n n x n -=-， 即为22y nx n =-，可得2m n ae =，2(1)?m m ae n -=-， 即有1222mn m ae =-=， 即有14m a m e-=，0m >， 设1()mm h m e -=，0m >，2()m m h m e -'=，当2m >时，()0h m '<，()h m 递减； 当02m <<时，()0h m '>，()h m 递增． 即有2m =时，()h m 取得极大值，且为最大值21e ， 可得214ae ，即240a e <，即a 的范围是(0，24]e ． 故选：A ． 3．A 【分析】根据给定条件构造函数()ln (0)f x x x x =->，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解. 【详解】令函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x'-=-=，则有()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，()f x 值都趋近于正无穷大， 由4ln04aa -=≠得，ln 4ln4a a -=-，即()(4)f a f =，且4a ≠， 显然01a <<，若1a ≥，而()f x 在(1,)+∞上单调递增，由()(4)f a f =必有4a =与4a ≠矛盾，因此得01a <<， 同理，由5ln 05bb -=≠得()(5)f b f =，且5b ≠，并且有01b <<， 由6ln06cc -=≠得()(6)f c f =，且6c ≠，并且有01c <<， 显然有(4)(5)(6)f f f <<，于是得()()()f a f b f c <<，又()f x 在(0,1)上单调递减， 所以c b a <<. 故选：A思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系， 抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 4．D 【分析】 构造函数()()6f x g x x=，0x >，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上单调递减，根据单调性即可判断出选项. 【详解】由()()6xf x f x '<，得()()656x f x x f x '<.设()()6f xg x x =，0x >，则()()()760xf x f x g x x '-'=<， 故()g x 在()0,∞+上单调递减， 则()()()()1234g g g g >>>，则()()6412f f >，()()7292643f f >，但由于()1f ，()2f ，()3f ，()4f 的正负不确定， 所以()()811163f f >，()()424f f >都未必成立. 故选：D 5．C 【分析】求出导函数()'f x ，再由一元二次方程()0f x '=有两个不等实根即可得解. 【详解】216()3223f x x ax a '=+++，根据题意知方程21632203x ax a +++=有两个不等实根，于是得216412(2)03a a ∆=-+>，整理得26160a a -->，解得8a >或2a <-， 所以a 的取值范围是()(),28,-∞-+∞.故选：C 6．B切点()3,3P m m m -，写出切线方程，结合切线过点()(),0a b a >，整理成关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，结合函数单调性求解.【详解】233y x '=-设切点()3,3P m m m -，切线方程()()()32333y m m m x m --=--，切线过点()(),0a b a >，()()32333b m m m a m -+=--，整理得：322330m am a b -++=，由于可以作三条切线， 所以关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，()32233g m m am a b =-++，()266g m m am '=-，令()2660g m m am '=-=，0m =或(),0m a a =>.函数()32233g m m am a b =-++的增区间为()(),0,,a -∞+∞，减区间为()0,a ，所以函数极大值()03g a b =+，极小值()33g m a a b =-++，关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，所以33030a a b a b ⎧-++<⎨+>⎩，所以33,33b a a b a a >-<<-. 故选：B 7．D 【分析】由题意可得()0f x m'=≥在[]1,4上恒成立，然后分离参数m ，从而可求出其范围 【详解】由题意可得()0f x m'=≥在[]1,4上恒成立， 即m≥在[]1,4上恒成立，故12m ≥-. 故选：D 8．D 【分析】根据函数奇偶性只需研究()1,x e ∈函数的单调性，即可判定大小关系. 【详解】由题意知，22a f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22e e b f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()ln 4ln 24242c f f ====.当()1,x e ∈时，()ln ln x x f x x x ==，()21ln xf x x -'=，因为()1,x e ∈，所以ln 1x <，即0f x ，所以()f x 在()1,e 上单调递增，因为1222e e π<<<<，∴c a b >>. 故选：D 9．D 【分析】根据图像得出()0f x '<的符号，进而确定函数()f x 的单调性，最后得出答案. 【详解】当(),3x ∈-∞-时，()0y xf x '=>，∴()0f x '<，()f x 单调递减；同理可得，当()3,3x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()3,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()f x 的极大值是()3f ，()f x 的极小值是()3f -. 故选：D. 10．B 【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数可求得函数()f x 的单调递减区间. 【详解】函数()()ln f x x x =-的定义域为(),0-∞，且()()ln 1f x x '=-+，令()0f x '≤，解得10x e -≤<，所以()f x 的单调递减区间是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 11．A 【分析】由题意不等式等价于()1x f x e e >，构造()()xf xg x e=，求出()()1g x g >的解集，结合[]3,3x ∈-即可.【详解】 令()()()()(),0xxf x f x f xg x g x ee-=='>'，所以()g x 单调递增，不等式()xef x e >，等价于()1x f x e e>，因为()11g e =， 所以等价于()()1g x g >，则1x >， 又[]3,3x ∈-，故()xef x e >的解集为(]1,3.故选:A 12．A 【分析】 设()()()f x h xg x =，分析函数()h x 的奇偶性，利用导数分析函数()h x 的单调性，求得()()330h h =-=，然后分0x <、0x >解不等式()0h x >，综合可得出原不等式的解集. 【详解】 设()()()f x h xg x =，则函数()h x 的定义域为{}0x x ≠， 所以，()()()()()()f x f x h x h x g x g x ---===--，所以，函数()h x 为奇函数， 当0x <时，()()()()()()20f x g x f x g x h x g x '''-=>⎡⎤⎣⎦，所以，函数()h x 在(),0-∞上为增函数，因为函数()h x 为奇函数，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数， 因为()30f =，则()()()3330h f g ==，()()330h h -=-=. 当0x <时，由()()0f x g x >可得()()3h x h >-，解得30x -<<； 当0x >时，由()()0f x g x >可得()()3h x h >，解得3x >. 因此，不等式()()0f x g x >的解集是()()3,03,-⋃+∞. 故选：A.13．5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）【分析】求导函数，根据导函数与函数的单调性的关系得到a 的取值范围，进而可在范围内任取一个值作为答案. 【详解】∵()4ln f x x ax =-，∴44()axf x a x x-'=-=， 函数()4ln f x x ax =-在区间(0,1)上不是单调函数， ∴40ax -=在区间(0,1)上有解,∵0a >，∴()40,1x a=∈,∴4a >, 故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）. 14．113a <<【分析】根据导函数()2ln xf x x-'=求出()1ln x f x x +=的单调区间，即可得解. 【详解】 函数()1ln x f x x +=，()2ln xf x x-'=， ()()()0,1,0,x f x f x '∈>单调递增，()()()1,,0,x f x f x '∈+∞<单调递减，函数()1ln x f x x +=在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则213a a <<+， 解得：113a <<故答案为：113a <<15．1 【分析】求函数()y f x =的导函数，求0y '<以及0y '>的解，从而求出函数()y f x =的单调区间，确定极小值点，求出极小值. 【详解】y '=30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>， 所以函数()y f x =在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则当34x π=时，()y f x =有极小值3cos 34134sin 4f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：1 16．()3ππ,【分析】对函数()f x 求导，在指定区间上求出导函数小于0的x 取值区间即可得解. 【详解】依题意，1()cos 2f x x '=-， 因(0,)x π∈，且cos x 在(0,)π上递减，则当3x ππ<<时，1cos 2x <，即()0f x '<，()f x 在()3ππ,上递减，所以所求单调减区间是()3ππ,.故答案为：()3ππ,17．（1）单调增区间为(1,)+∞；单调减区间为(0,1)；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导函数的正负来求解函数的单调区间， （2）对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可得min 11()1ln 22f x f a a a ==--，构造函数11()1ln 22h a a a a =--，利用导数求出其最大值，只有()h a 的最大值小零即可 【详解】解：（1）函数f (x )的定义域为(0,)+∞． 当a =1时，21()1ln 2f x x x =--，1()f x x x'=-． 当1()0'=->f x x x时，解得x >1，函数y =f (x )的单调增区间为(1,)+∞， 当1()0f x x x-'=<时，解得x <1，函数y =f (x )的单调减区间为(0,1)， 故函数()f x 的单调增区间为(1,)+∞；单调减区间为(0,1)；（ （2）2(),0a x af x x x x x-'=-=>． 由()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，函数f (x )单调递减；当x ()0,()f x f x '>单调递增，所以min 11()1ln 22f x f a a a ==--． 令11()1ln 22h a a a a =--，则1()ln 2h a a =-'，令1()ln 02h a a '=-=，解得1a =．当(0,1)∈a 时，1()ln 02h a a '=->，函数h （a ）在区间（0，1）上单调递增；当(1,)∈+∞a 时，1()ln 02h a a '=-<，函数h （a ）在区间(1,)+∞上单调递减；所以a =1时，max 11()122h a =-=-， 所以min ()0f x <．18．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1a ≥． 【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数1()g x k x'=+，在对参数k 分0k ≥与0k <两种情况讨论，即可求出函数的单调区间；（2）根据ln 1x axe x x ++≥恒成立，参变分离得ln 1x x x a xe ++≥，构造函数ln 1()xx x h x xe++=，求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）()ln 1g x x kx =++的定义域为()0,∞+，所以1()g x k x'=+． 当0k ≥时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增；当0k <时，由()0g x '>得10,x k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；()0g x '<得1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上可得，当0k ≥时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增；当0k <时，函数()g x 在10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）当1k =时，()()f x g x ≥恒成立，即ln 1x axe x x ++≥恒成立． 因为0x >，所以ln 1xx x a xe++≥．令ln 1()xx x h x xe ++=，()()()()()22ln 1ln 1(1)(ln )()x x xx x x xe xe x x x x x h x x exe ''++⋅-⋅+++--'==． 令()ln p x x x =--，所以1()10p x x '=--<，故()p x 在()0,∞+上单调递减，且1110p e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110p =-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0p x x x =--=，故00ln 0x x +=，即00xx e -=．当()00,x x ∈时，()0p x >，()0h x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0p x <，()0h x '<； ∴()h x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减， ∴()000max 00ln 1()1x x x h x h x x e ++===，故[)1,a ∈+∞．19．（1）在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）证明见解析 .【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数，由导函数正负确定函数的单调性与最值，由最小值不小于0得参数范围，在确定导函数零点时，需要对导函数进一步求导得出结论；（3）由（2）得，12a =且0x >时，212xx x e >++，即2221x x e x +>-，要证不等式可变形为只需证ln(1)22x x x+>+，设2()ln(1)(0)2xF x x x x =+->+，由导数得函数的最小值可得结论． 【详解】（1）由题意可知，当0a =时，()1xf x e x =--，x ∈R ，则()1xf x e '=-，令()0f x '=，则0x =，当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增．（2）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-，①当21a ≤，即12a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，即()h x 单调递增， 所以()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，()f x ∴在[]0,+∞上为增函数，()()00f x f ∴≥=，12a ∴≤时满足条件． ②当21a ≥时，令()0h x '=，解得ln2x a =，在[]0,ln 2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln 2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，则()f x 在()0,ln 2a 上为减函数，()()00f x f ∴<=，不合题意．综上，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）由（2）得，当12a =且0x >时，212x x x e >++，即222212xx e x x x +>+=-， 要证不等式()21ln(1)xe x x -+>，只需证明21ln(1)xe x x ->+，只需证明2222ln(1)x x x x >++，只需证ln(1)22x xx+>+， 设2()ln(1)(0)2xF x x x x=+->+，则22214()(0)1(2)(1)(2)x F x x x x x x '=-=>++++， 所以当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,∞+上单调递增， 又()00F =．()0F x ∴>恒成立，∴原不等式成立． 20．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）答案见详解；（Ⅲ）8a ≥ 【分析】（Ⅰ）当切线与直线41y x =-+平行时，有切线斜率4843a-=-，可求得3a =； （Ⅱ）求由()()220af x x a x'=-+-=求得两根121,2ax x =-=，讨论0a ≤与0a >即可分析单调性；（Ⅲ）结合（Ⅱ）分析即可求解． 【详解】（Ⅰ）()()22a f x x a x'=-+-()f x 在3x =时的切线的斜率为()4362833a a k f a '==-+-=- 又因为()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行，则4843a-=-解得3a =； （Ⅱ）由()()()()2222200x a x a af x x a x x x'-+-+=-+-==>，得()2220x a x a -++-=，解得121,2a x x =-=若02a≤即0a ≤，()0f x '<，得()f x 在()0,∞+上单调递减； 若02a >即0a >， 当02a x <<时，()0f x '>，得()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当2a x >时，()0f x '<，得()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，结合（Ⅱ）得482a a ≥⇒≥成立． 21．（1）0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；0a >时，()f x 在1(0,)2a为单调减函数，在1(,)2a+∞为单调增函数. （2）证明见解析. 【分析】（1）先求导数，讨论导数的符号，判断函数的单调性；（2≥再结合（1）求出()f x 的最小值，然后构造函数求解最值，证明不等式恒成立. 【详解】 （1）121()2,ax f x a x x-'=-=其中0x >； 当0a ≤时，()0f x '<， ()f x 在()0,∞+为单调减函数； 当0a >时，1(0,),()0,2x f x a'∈<()f x 为单调减函数；1(,),()0,2x f x a'∈+∞>()f x 为单调增函数； 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；0a >时，()f x 在1(0,)2a为单调减函数，在1(,)2a+∞为单调减增函数.（2）证明：因为12a >2=≥当且仅当2即12x a=时，取等号； 由（1）知min 1()()1ln 2,2f x f a a==+所以()ln 2 1.f x a≥+令1()ln 21()2g x x x =+>则()g x 为增函数，所以1()()32g x g >=，即12a >时，()3f x >恒成立． 22．（1）答案见解析；（2）2. 【分析】（1）给出函数定义域，对函数求导通分，得到21()mx x F x x-++'=时，对m 进行讨论，进而得到单调区间；（2）将不等式移项，转化为函数最值问题，即2()ln 12x m m g x x x x =-+-+的最大值，进而利用导数方法求解即可. 【详解】（1）2()ln 2m F x x x x =-+，()0,x ∈+∞，211()1mx x F x mx x x -++'=-+=，①0m =时，1()0x F x x+'=>，函数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增． ②0m ≠时，令()21,14u x mx x m =-++∆=+，若140m ∆=+≤，解得14m ≤-，14m -≥．∴()0F x '≥，∴数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增．140m ∆=+>，解得14m >-，14m -<．由210mx x -++=，解得：1x =2x =0m >时，120,0x x <>，函数()F x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减．104m -<<时，120,0x x ><，函数()F x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减． 综上：①0m =时，函数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增； ②0m ≠且14m ≤-时，数()F x 在()0,x ∈+∞上单调递增；0m >时，函数()F x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减；104m -<<时，函数()F x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减． （2）不等式()1F x mx ≤-，化为：2ln 102x x m x mx -+-+≤． 令2()ln 12x m m g x x x x =-+-+，()0,x ∈+∞． 1(1)(1)()1x mx g x mx m x x+--+-'==， 0m ≤时，()0g x '>，可得函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，3(1)202g m =-+>，不满足题意，舍去．0m >时，1(1)()m x x m g x x⎛'⎫--+ ⎪⎝⎭=，可得函数()g x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴1x m=时，函数()g x 取得极大值即最大值， 则1111ln 11ln 022g m m m m m m ⎛⎫=--+-+=-+≤ ⎪⎝⎭， 令1()ln 2h m m m =-+，函数在()0,∞+上单调递减，又11(1),(2)ln 2024h h ==-+<．因此存在唯一()01,2m ∈，使得001ln 02m m -+=， ∴0m m ≥，∴整数m 的最小值为2．。
专题二利用导数研究函数的性质
专题二 利用导数研究函数的性质1．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是f′(x)≥0，且f′(x)＝0在有限个点处取到．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分．4．如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．1．已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．答案 [e，＋∞)解析 f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，φ(x)max＝1，故ln a≥1，a≥e.2．设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．答案 4解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.3．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋1)，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是__________．答案 解析 由f′(x)＝－x(x＋1)≤0，得x≤－1或x≥0，即f(x)的递减区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)，则f(x)的递增区间为[－1,0]．∵0<a<1，∴y＝log a x在(0，＋∞)上为减函数，由复合函数单调性可知当－1≤log a x≤0，即1≤x≤时，g(x)为减函数，∴g(x)的单调递减区间为.4．已知函数f(x)＝a sin 2x－sin 3x(a为常数)在x＝处取得极值，则a的值为( )A．1 B．0 C. D．－答案 A解析 ∵f′(x)＝2a cos 2x－cos 3x，∴f′＝2a cos π－cos π＝0，∴a＝1，经验证适合题意．5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有 ( )A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)答案 D解析 当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，∴f(2)>f(1)，当x≤1时，f′(x)≤0，f(x)为减函数，∴f(0)>f(1)，∴f(0)＋f(2)>2f(1).题型一 利用导数求函数的单调区间例1 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·e x，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·e x＝(－x2－x＋c)·e x，有g′(x)＝(－2x－1)e x＋(－x2－x＋c)e x＝(－x2－3x＋c－1)e x，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．解 (1)a＝时，f(x)＝x(e x－1)－x2，f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)，令g(x)＝e x－1－ax，g′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．题型二 已知单调区间求参数范围例2 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<.所以函数f(x)的单调递增区间是[－，]．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1,1)都成立．因为e x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，即a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0.所以y＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增，所以y<(1＋1)－＝.即a≥.因此a的取值范围为a≥.探究提高 (1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意．已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？解 (1)因为f′(x)＝，而函数f(x)＝在x＝1处取得极值2，所以即得，所以f(x)＝即为所求．(2)由(1)知f′(x)＝＝.令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1，则f(x)的增减性如下表：x(－∞，－1)(－1,1)(1，＋∞)f′(x)－＋－f(x)可知，f(x)的单调增区间是[－1,1]，所以，所以当m∈(－1,0]时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增．题型三 函数的极值、最值应用问题例3 设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．思维启迪：f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，转化为f(x)在[－1,0]上的最大值f(x)max≤1.解 (1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．当a＝－时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，x3＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)02(2，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和上是减函数．(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根．由于f(x)仅在x＝0处有极值，则方程4x2＋3ax＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a2－4×16≤0，解此不等式，得－≤a≤.这时，f(0)＝b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是.(3)由(2)知，当a∈[－2,2]时，4x2＋3ax＋4>0恒成立．∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)在区间(－∞，0]上是减函数．因此函数f(x)在[－1,0]上的最大值是f(－1)．又∵对任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，∴f(－1)≤1，即3－a＋b≤1.于是b≤a－2在a∈[－2,2]上恒成立．∴b≤－2－2，即b≤－4.因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4]．探究提高 (1)对含参函数的极值，要进行讨论，注意f′(x0)＝0只是f(x)在x0处取到极值的必要条件．(2)利用函数的极值、最值，可以解决一些不等式的证明、函数零点个数、恒成立问题等．已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．解 (1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－＝ (x>0)．①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.由ax2－1<0，得0<x<.故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．②当a≤0时，F′(x)<0 (x>0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．∵φ′(x)＝在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()．∴φ(x)min＝φ(e)，如图当f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝，a的取值范围为≤a<.导数与函数单调性关系不清致误典例：(12分)已知f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最小值和最大值．易错分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．规范解答解 (1)由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－3，令f′(x)≥0 (x≥2)，得a≤.[2分]记t(x)＝，当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min＝×＝，所以a∈.[5分](2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，所以a＝4.[6分]所以f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.[7分]又因为x∈[1,4]，所以x＝－(舍去)，故x＝3.当x∈(1,3)时，f′(x)<0，[8分]所以f(x)在[1,3]上为减函数；当x∈(3,4)时，f′(x)>0，所以f(x)在[3,4]上为增函数．[9分]所以x＝3时，f(x)有极小值．[10分]于是，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(3)＝－18，而f(1)＝－6，f(4)＝－12，所以f(x)max＝f(1)＝－6.[12分]温馨提醒 (1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，其逆命题不成立，因为f′(x)≥0包括f′(x)>0或f′(x)＝0，当f′(x)>0时函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f′(x)＝0时f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0，其逆命题不成立．(2)使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性.方法与技巧1．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件．A组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( ) A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)答案 A解析 ∵f′(x)＝2x－＝ (x>0)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．2．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是( )A．2 B．1 C．0 D．由a确定答案 C解析 f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．故选C.3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是( )A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D.答案 D解析 f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f′(x)＝3x2－6b，由题意，得函数f′(x)的草图如图，∴ 即解得0<b<.故选D.4．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为 ( )A．(－24,8) B．(－24,1]C．[1,8] D．[1,8)答案 D解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8.而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点，故即m∈[1,8)．二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案 2x－y＋1＝0解析 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.6．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y ＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2.①又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3.②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．7．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝________.答案 1解析 f(x)＝x3－2mx2＋m2x，f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由已知f′(1)＝0，即3－4m＋m2＝0，解得m＝1或m＝3.当m＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，当m＝3时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，则m＝3应舍去．三、解答题(共22分)8． (10分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，即m的最大值为－.(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；当x＝2时，f(x)取极小值，f(2)＝2－a，故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a<2或a>.9．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．解 (1)f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a>1，∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)<f(1)，∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.∴f(x)＝x3－2x2＋1.(2)g(x)＝x3－2x2－mx＋1，g′(x)＝3x2－4x－m.由g(x)在[－2,2]上为减函数，知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．∴，即∴m≥20.∴实数m的取值范围是m≥20.B组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( )A．[－，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－，＋∞)D．[－，]答案 C解析 f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调递减时，由得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调递增时，f′(x)≥0恒成立，则有Δ＝4a2－4×5≤0或或得a∈[－，＋∞)．综上a的取值范围为(－∞，－3]∪[－，＋∞)，故选C.2．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根 B．1个根C．2个根 D．3个根答案 B解析 设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，因为a>2，所以2a>4，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B. 3．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为 ( )A．1 B. C. D.答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．y′＝2t－＝＝.当0<t<时，y′<0，可知y在此区间内单调递减；当t>时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．故当t＝时，|MN|有最小值．二、填空题(每小题5分，共15分)4．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是__________．答案 (－4,0)解析 由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4<a<0.5．如果在上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝＋在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是________．答案 4解析 ∵g(x)＝＋且x∈，则g(x)≥3，当且仅当x＝1时，g(x)＝3.又f′(x)＝2x＋p，∴f′(1)＝0，即2＋p＝0，得p＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋q，又f(x)min＝f(1)＝3，∴1－2＋q＝3，∴q＝4，∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，x∈，∴f(x)max＝f(2)＝4.6．已知函数f(x)的导数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈(n，n＋1] (n∈N*)时，f(x)的值为整数的个数有且只有1个，则n＝________.答案 4解析 ∵f′(x)＝2x－9，∴f(x)＝x2－9x＋c，∵f(0)＝c为整数，∴c∈Z，又f(1)＝－8＋c，f(2)＝－14＋c，f(2)－f(1)＝－6，可见在f(1) 到f(2)之间并非有且只有一个整数；同样在f(2)到f(3)之间、f(3)到f(4)之间也并非有且只有一个整数；而f(4)＝－20＋c，f(5)＝－20＋c，故在f(4)到f(5)之间有且只有一个整数．因为x∈(n，n＋1] (n∈N*)，x≠n，所以在x＝5时取得的整数为f(5)＝－20＋c，故n＝4.三、解答题7． (13分)(2012·安徽)设函数f(x)＝a e x＋＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．解 (1)f′(x)＝a e x－，当f′(x)>0，即x>－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；当f′(x)<0，即x<－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.(2)依题意f′(2)＝a e2－＝，解得a e2＝2或a e2＝－(舍去)，所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝，故a＝，b＝.。
高二数学知识点：导数与函数的性质
【导语】以下是为⼤家推荐的有关⾼⼆数学知识点：导数与函数的性质，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！
单调性
⑴若导数⼤于零，则单调递增;若导数⼩于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不⼀定为极值点。
需代⼊驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
⑵若已知函数为递增函数，则导数⼤于等于零;若已知函数为递减函数，则导数⼩于等于零。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某⼀区间内恒⼤于零(或恒⼩于零)，那么函数在这⼀区间内单调递增(或单调递减)，这种区间也称为函数的单调区间。
导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极⼤值或极⼩值(即极值可疑点)。
进⼀步判断则需要知道导函数在附近的符号。
对于满⾜的⼀点，如果存在使得在之前区间上都⼤于等于零，⽽在之后区间上都⼩于等于零，那么是⼀个极⼤值点，反之则为极⼩值点。
x变化时函数(蓝⾊曲线)的切线变化。
函数的导数值就是切线的斜率，绿⾊代表其值为正，红⾊代表其值为负，⿊⾊代表值为零。
凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果⼆阶导函数存在，也可以⽤它的正负性判断，如果在某个区间上恒⼤于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
高二数学导数与函数的性质知识点
高二数学导数与函数的性质知识点导数(是微积分中的重要基础概念，学好导数至关重要，下面为大伙儿带来了高二数学导数与函数的性质知识点，一起来学习吧!单调性⑴若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判定单调性。
⑵若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
依照微积分差不多定理，关于可导的函数，有：假如函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减)，这种区间也称为函数的单调区间。
导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点)。
进一步判定则需要明白导函数在邻近的符号。
关于满足的一点，假如存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
x变化时函数(蓝色曲线)的切线变化。
函数的导数值确实是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。
语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、制造和进展。
凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
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专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ .３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５°4．设曲线2ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x+=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a6．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿_8．过点P （２,８）作曲线3x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
(Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；(Ⅱ)已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f =即 310,1a a a -++==∴（2) 方法一:由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 220x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤方法二:由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+ 20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。
变式1.若f(ｘ)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知'()02b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-,变式２．已知函数11()3x p f x -=,22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为（1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于12323x p x p --≤,即123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立.(＊）由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -，2 BCAy x1 O 3 4 5 6 123 4故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤,这就是所求的充分必要条件变式３.函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立,则a ＝ 4 .解：若0x =,则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立； 当0x > 即(0,1]x ∈时，3()310f x ax x =-+≥可化为,2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而4a ≥; 当0x < 即[)1,0x ∈-时，3()310f x ax x =-+≥可化为2331a x x≤-,()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，综上4a =例2、如图,等腰梯形ＡＢCD 三边AB,ＢＣ,C Ｄ分别与函数212-=x y Q ，Ｒ,求梯形ABCD 面积的最小值解：设Ｐ的坐标)221,(200+-x x P ,)0,24(020x x A + )2,21(0x B )2124(20020x x x S ++=利用基本不等式得,最小值为24 变式：设函数()b f x ax x =-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。
（1）求()y f x =的解析式;(2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
解:（１）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =; 又()'2b f x a x =+,于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得13a b =⎧⎨=⎩，故()3f x x x =-（２）设()00,P x y 为曲线上任一点,由'231y x =+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭; 令y x =,得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为６；要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的 切线的几何意义比较明显，解题时,应多结合图形,图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出错误。
自我测试1. 过原点作曲线y ＝e ｘ的切线,则切点的坐标为 (1, e ）２．直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ln21- . 3.已知函数()f x ,x ∈Ｒ满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为__ (,(2,)-∞+∞ ＿_． (构造函数()()g x f x x =-)4.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒.5.母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于336．半径为r 的圆的面积S(r)＝πｒ２,周长C(ｒ)=2πr,若将r 看作(0，+∞)上的变量,则（πｒ2)`＝２πr 错误!，错误!式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0,＋∞)上的变量，请你写出类似于＼o ＼ac （○,1)的式子: 错误!，错误!式可以用语言叙述为： ．解:V 球=343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故错误!式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”(本题考查类比的思想方法,本题属于中等题）7.已知函数),1,0(),22(log 2)(log )(R t a a t x x g x x f a a ∈≠>-+==和的图象在x =2处的切线互相平行.(１)求t 的值.（2)设2)(]4,1[)()()(≥∈-=x F x x f x g x F 时，，当恒成立,求a 的取值范围.(1）解:e t x x g e x x f a a log 224)(,log 1)(-+='='∵函数)()(x g x f 和的图象在x ＝2处的切线互相平行， ∴)2()2(g f '='∴e t e a a log 24log 21+=∴ｔ=6 （2)∵ｔ=6,∴x x x f x g x F a a log )42(log 2)()()(-+=-==]4,1[,)42(log 2∈+x xx a令].4,1[,16164)42()(2∈++=+=x xx x x x h ∵]4,1[,)2)(2(4164)(22∈+-=-='x xx x x x h ∴当0)(420)(21>'≤<<'<≤x h x x h x 时，，当时，∴)2,1[)(在x h 是单调减函数,在]4,2(是单调增函数∴.36)4()1()(,32)2()(max min =====h h x h h x h∴当.32log )(136log )(10min min a a x F a x F a =>=<<时，有，当时，有∵当2)(2)(]4,1[min ≥∴≥∈x F x F x 恒成立，时， ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组:⎩⎨⎧≥<<236log .10a a ① 或⎩⎨⎧≥>232log ,1aa ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②,得 241≤<a 综上所述，满足条件的ａ的取值范围是]24,1(８.已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数,12a <<. (Ⅰ)若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1,求a 、b 的值;(Ⅱ)在（Ⅰ)的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程; (Ⅲ）设函数2()(()61)xF x f x x e '=++⋅,试判断函数()F x 的极值点个数． 解（Ⅰ）由已知得,323()2f x x ax b =-+ 由()0f x '=，得10x =,2x a =．∵[1, 1]x ∈-,12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>,()f x 递增； 当(0, 1]x ∈时,()0f x '<，()f x 递减.∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-,33(1)1122f a a -=--+=-， ∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-,得43a =． 故43a =,1b =为所求．（Ⅱ）解:由（1）得32()21f x x x =-+，2()34f x x x '=-,点(2, 1)P 在曲线()f x 上．⑴ 当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==, ∴ l 的方程为14(2)y x -=-，即470x y --=．⑵当切点P 不是切点时,设切点为00(, )Q x y 0(2)x ≠,切线l 的斜率0200()|34x x k f x x x ='==-，∴ l 的方程为 20000(34)()y y x x x x -=--. 又点(2, 1)P 在l 上,∴ 200001(34)(2)y x x x -=--， ∴ 322000001(21)(34)(2)x x x x x --+=--， ∴ 2200000(2)(34)(2)x x x x x -=--,∴ 2200034x x x =-,即002(2)0x x -=，∴00x =． ∴ 切线l 的方程为1y =．…8分故所求切线l 的方程为470x y --=或1y =． ………………………………9分（ 或者：由（１)知点Ａ（0,1）为极大值点,所以曲线()f x 的点Ａ处的切线为1y =，恰好经过点(2, 1)P ,符合题意．）（Ⅲ)解: 2222()(3361)33(2)1x xF x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦. ∴ []222()63(2)233(2)1x xF x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅.二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦,令0∆≤,得:21(2),223a a -≤≤≤ 令0∆>，得22a a <->+或 ∵20xe>,12a <<,∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0; 当123a <<-时,此时方程()0F x '=有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,可知函数()F x 有两个极值点．。