第二章 振动和波动讲解

（v

l
d dt
）
l
d 2 dt 2


g
即
d 2 dt 2

g l


0

g l
T

2

2

l g
四、 旋转矢量表示法 O
四、 旋转矢量表示法
x Acos(t )
tP
A
t A

ox
N源自文库

t 0
x
注意各量对应关系！
例2： 已知位相求状态
如：位相 t1 3 ，问状态？
21=(2k+1) (k=0,1,2,…)
则A A1 A2 ，合振幅最小。
如 A1=A2 , 则 A=0
A A2 A1

A2

A
A1
二、 两同方向不同频率（相差较小）简谐振动的合成
设分振动 x1=Acos 1 t
x2=Acos 2t
合振动
x = x1+ x2
用 cos cos 2cos cos
t 0 ，位相为
称初位相。
由初始条件决定。 （重点！）
设 t0
，位移x0 ，速度v0
x0 Acos
v0 Asin
得
A x02 ( v0 )2
tg v0 x0
简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期？ （2）写出振动方程？
例1：单摆摆长 l （1）证明小角度摆动为简谐振动，
两音叉
1 800HZ 2 798HZ
合振幅时强时弱的现象称为拍
x1 1 0.5 -0.5 -1
x1 20.5 -0.5 -1 2
x1 x2 1
-1
-2
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
120
t
120
t
t
120
波动是振动的传播
机械波 电磁波
第四节 波的基本规律



表明：在 t Δt 时刻 x uΔt处质点振动状态与 t 时刻 x 处质点振动状态相同，即振动状态 在Δt 时间传播了uΔt距离，即波形以 u速度
传播。
2、波函数的物理意义
y
u
y

Acos (t

x u
)



y是 x 、t 的函数，分三种情况讨论：
o
xx0 p
x
（1）x 一定时，x x0
y

Acos (t

x0 u
)



y
x0处质点振动方程
t
x0 为此点初位相
u
振动曲线
（2） t 一定时， t t0 y
y

Acos (t0

x) u



t 时刻波函数 0
x
波形曲线
例2-1 一波源以 y 0.04cos 2.5t(m)的形式作简谐振
2
（3）x A v A sin(2k 2 ) 0
a x2 0
a0
a 2 A
(4)x A v A sin 2k 0
a 2A
例5. 已知简谐振动 A10cm， T 2s 当 t 0 时位
移为 5cm且向 x 负向运动。
求振动方 程。
由
由初始条件决定。
角频率（2秒内振动的次数)。

2

2 T
。
d 2x dt 2
2x

0
定出 。
ν振动物体单位时间内完成的振动次数，叫频率。
1
T
T
振动物体完成一次完整振动所需要的时间， 叫周期
ω、ν、T完全取决于振动系统本身的性质称为 固有角频率、固有频率和固有周期
( t ) 位相（决定振动状态的物理量）。
方向的射线。
研究波动抓住一条波线进行研究即可。
1、平面波（plane wave）
波线
波面
波前
2、球面波(spherical wave）
波前
波线
三、描述波动的物理量（波长、周期、频率、波速）
Ay
u
O

x
-A

波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位 差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整波形
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度。
u G 切变模量
横波

固体
u E 杨氏模量
纵波

液、气体 u K 体变模量

纵波
如:声音的传播速度
343m/s 空气，常温 4000m/s左右，混凝土
四、简谐波
简谐波(simple harmonic wave) ——简谐振动的传播所形成的波 平面简谐波 —— 波阵面为平面的简谐波。 波函数：给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间
并求周期。
0

T
F
o

解：（1）摆沿圆弧运动，只需分 析任意角位移 处切向力：
切向力大小 F mg sin mg
（小角度 sin )
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
l t0 T
F
O
mg
F ma mg
又
a

dv dt

l
d 2 dt 2
授课教师： 张敬晶
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、U、 E、 B） 电磁振动
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
第一节 简谐振动（simple harmonic vibration）
解 x Acos( t )

2 T


( rad
s)
t 0

由旋转矢量图 得


2 3
A 2 o
x
x
0.1cos(
t

2 3
)
例6沿x轴做简谐振动的物体， A 5102m 2.0Hz
初始时刻，振动物体经平衡位置处沿x轴正方向运 动，求振动表达式。
解：设 x Acos(t )
dt
a dv A2 sint 4B2 sin 2t 2x
dt
所以质点的运动不是简谐振动。
四、简谐振动的能量
Wp Wk
动能
Wk

1 2
m
v2
1 0.8 0.6
1 m A22 sin2 ( t ) 0.4
2
0.2
势能
Wp

1 2
kx
2
2
-0.2
x
4
6
8
10
2 4
t 0 0 Acos
-A sin 0
3
2
x 5.0102 cos(4t 3 )
2
, 3
22
判断某物体是否做简谐振动可以从以下几个方 面来进行
1.从受力情况看，物体在运动过程中，受力与位移反 向正比
2.从x-t曲线来看正弦或余弦曲线
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
讨论：两种特殊情况
(1)若两分振动同相
21=2k
(k=0,1,2,…)
则 A A1 A2 ，合振幅最大。
(2)若两分振动反相
P
分振动 :
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
Q A2
合振动 : x = x1+ x2 由矢量合成法 可得
2
1
A1
L
x =A cos( t+ ) 0 x2 x1 x
合振动是简谐振动, 其频率仍为，其中
t 0
M
NX
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
2
2
x 2 Acos( 1 2 t )cos( 1 2 t )
2
2
A( t )
cos t
合振动特点：
（1）合振动频率 （2）合振幅 A( t )
1 2

2
A
2
cos(
1
1
2
2
2
t)
在0--2A之间随t周期性变化，
时强时弱，不是谐振动。
合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称拍频。
动 ， 并 以 100m/s 的 速 度 在 某 种 介 质 中 传 播 。 试 求 ： （1）波函数；（2）在波源起振后1.0s，距波源20m 处质点的位移及速度。
解：A＝0.04m， 2.5 ， 0 ，设波源在原点，
一、机械波的产生 1、机械波的产生条件
(1)要有做机械振动的物体,亦即波源。 (2)要有能够传播这种振动的弹性介质。
2、机械波的种类
(1)横波(transverse wave)：质点振动方向和传播方 向垂直。 （仅在固体中传播）
(2)纵波(longitudinal wave)：质点振动方向和传播方 向平行。 （可在固体、液体和气体中传播）

沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
y Acos[(t x) ]
u
（3）当 x ，t 都变，波函数表示不同时刻的波形，
即波形的传播。
y t t Δt
u
y

A cos
(t

x u
)



x uΔ t
x

A cos[(t


Δt )

(
x
uΔt u
)]
3.从振动方程看 ： A, , 都是常数
4.从旋转矢量看，矢量A的大小不变，旋转角度 不变
5.从加速度和位移看：正比、反向
例3.某质点的位移是x Asint Bsin 2t
写出质点速度、加速度的表达式，质点是否做 简谐振动。
解: V dx A cost 2B cos 2t
x
3 4
注意四个特殊状态的 值！
例4.有一质点作简谐振动，试分析在下列位置时 的位移、速度和加速度大小和方向。（1）平衡 位置，向正向移动（2）平衡位置，向负方向移 动（3）正方向端点（4）负方向端点
(1)x 0
（2）x 0
v A(sin 2k 3 ) A
2 v A sin(2k ) A
3、波动的特点
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相差。 （3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
二、波面和波线
波面（波阵面）： 振动相位相同的点组成的面。
波前： 传播在最前的波面。
波线： 发自波源，与波面垂直指向波的传播
x A 2 ,且向x 负向运动。
如：位相t2 3 2，问状态？
x 0 ，且向 x 正向运动。

A 3
o
例3： 已知状态求位相（特别是初位相）
如：t 0，x0 A 2，v0>0，求 ？
5 3 或 3
A2
如：t 0 ，x0 A 2 ，v0 <0,求 ？ A 2 o
的长度。
周期 T：波前进一个波长的距离所需要的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传
播的完整波的数目。 1/ T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振
动相位）单位时间内所传播的距离（相速）。
u
T
u uT
注意
▼周期或频率只决定于波源的振动! ▼波速只决定于介质的性质！
t 的变化规律y ( x , t )。
1、波函数的建立
y
u
同一波阵面上各
点振动状态相同
O
x
t
y
u
P
O
x
x
t
设 t 时刻 O 点即x＝0处的振动方程：y0 Acos(t )
t时刻距O点为x处P点位移? 根据波的传播方向，从 O 点传播到
P
点需时：t

x
t时刻x处的位移等于O处质点在时刻 (t x ) 的位移，u
u
则P 处质点运动方程：
y Acos[ (t x ) ]
u
波函数其它几种标准形式
2 2 T
uT u
y

A co s ( t

x u
)




Acos2
(t T

x)




Acos(t kx) k 2 称波数
一、简谐运动的特征
以弹簧振子为例得出普遍结论：
动力学特征
k
F合 kx
N F
m
由 F合 ma kx
运动学特征
a k x 2 x
m 微分方程特征
o x
G
x
k
m
d2x dt 2

2 x

0
x 可代表任意物理量
二、简谐振动的规律
解
d2x dt 2

2x

0
可得
位 移 x Acos( t ) 振动方程
速 度 v dx A sin( t ) dt
加速度 a dv A 2 cos(t ) 2 x
dt
x 1
av
0.5
2
4
6
8
10
12
14 ωt
-0.5
-1
三、 描述简谐振动的特征量
由 x Acos( t )
A, , 。
A 振幅（离开平衡位置的最大位移的绝对值）
t12
1 kA2 cos2 ( t )
2
总能
W Wk W p
1 mv 2 1 kx 2
2
2
1 kA2 1 m( A )2
2
2
简谐振动过程中机械能守恒！
第二节 阻尼振动、受迫振动和共振 （自学）
第三节 简谐振动的合成
一、 两同方向、同频率的简谐振动的合成
A