高中立体几何 三垂线定理
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连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
三垂线定理应用归类
• 判定空间中两条直线相互垂直 • 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离 • 求二面角的平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以 P为定点的一角得截面 ABC 求证：所截得的 ABC 是锐角三角形 P
C A B
一些例子
• 证明：过P作PD ⊥ AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 判定空间中两条直线相互垂直 Q ∴
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
A
E 即 E点到 AC的距离是 20，同理可求得
C
G
B
举两个例子
• ③直线a可能与AO或OA的延长线相交 ③直线a可能与AO或OA的延长线相交
如图，已知在四面体 ABCD中， AB ⊥ CD， AC ⊥ BD，求证： ADA ⊥ BC
D F O B G C E
举两个例子
A
证明 : 作 AO ⊥ 底面 BCD， O为垂足，连结 BO 并延长交 CD于 E， 则 BO、 CO分别为 AB、 AC 在底面 BCD上的射影。 Q AB ⊥ CD， BE ⊥ CD ∴ （三垂线定理的逆定理） 同理可证： CF ⊥ BD ∴ O为 BCD的垂心，连 DO并延长交 BC 于 G， 则 DG ⊥ BC 由三垂线定理知， AD ⊥ BC
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P， 过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足 分别是E ，连结EF，则角PEF即是所要找 分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找 的二面角的平面角
写在最后的话
• 三垂线定理是立体几何的重点定理，
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
以下三种情况：①直线a可能过O 以下三种情况：①直线a可能过O点； ②直线a可能与OA相交；③直线a ②直线a可能与OA相交；③直线a可能 与AO或OA的延长线相交 AO或OA的延长线相交
P a O α A
举两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例子
• ①直线a可能过O点 ①直线a可能过O
如图，已知在直角三角形ABC中， ∠ C=90 o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE ⊥ 平面ABC，DE=12,
写在前面的话
• 学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直
线与直线之间的位置关系，加上往往题目 中线条较多，加大了判断难度。另外，许 多同学对定理内容不清楚，导致做题时思 路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄 清定理内容：
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（1）
• 对于平面α的斜线OP，在平面α内必 对于平面α的斜线OP，在平面α
一些例子
• 求二面角的平面角
已知：如图， ABCD − A1 B1C1 D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2， E是侧棱 BC的中点
D1 求：面 C1 DE 与面 CDE 所成二面角的正切值 C1 A1 D C F A B E
B1
一些例子
• 求二面角的平面角 • 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出
• 满足条件（2）的直线a必垂直于斜线 满足条件（2）的直线a
及射影所确定的平面
P
A O α
a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（4）
• 运用三垂线定理及逆定理的规律：确
定平面、找到斜线、找到（做出）垂 线、连成射影、查面内线
P a O α A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（5）
• 关于三垂线定理及逆定理的图形，有
A F D B G C E
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直
线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
C B1 A1 α O D A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（7）
• 大家往往习惯于在水平放置地平面上运
用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的 平面上需用三垂线定理解题时，即使是 很明显的问题，有时也会感到力不从心。 应明确的是，三垂线定理及其逆定理的 适用与平面所在的位置无关。可做一些 练习加深这种印象。
存在射影OA 存在射影OA
P a O α
A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（2）
• 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的
射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 之也成立 P
A O α a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（3）
2 2 2
P C A B
x +y
2
2
>0
∴∠CAB为锐角，同理∠ABC，∠ACB也是锐角， ∴ ACB为锐角三角形
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的
距离 已知：正
ABC的边长为a，D、E分别为AB、 的中点， AC 将 ABC沿线段DE折成90o的二面角，此时A点变到A'点的位置 求：A'点到BC的距离
A 求：E到AC、BC的距离 F E
D
C
G
B
举两个例子
解：作 DF ⊥ AC， DF I AC = F，连接 EF， 根据三垂线定理可知 EF ⊥ AC， 1 Q DF = BC = 16， DE = 12 2 ∴ Rt ∆ DEF， EF = E 到 BC的距离是15。
F D
DF 2 + DE 2 = 20
举一个例子
如图，已知正方体 ABCD − A1 B1C1 D1， 求证： AC1 ⊥ 平面 A1 BD D
1
C1
A1 B1
D C A B
举一个例子
证明：如图，连结 AD1，对于平面 AA1 D1 D， AC1是斜线， AD1是它的射影， A1 D是面内直线， Q A1 D ⊥ AD1 ∴ AC1 ⊥ A1 D （三垂线定理）同理 AC1 ⊥ BD
B F O G C D E
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
C E A F D B G
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离
解：过A作A' F ⊥ DE，A' F I DE = F， 平面A' DE ⊥ 平面ABC， Q ∴ A' F ⊥ 平面ABC， A' DE是正三角形，又 Q A' F ⊥ DE， Q ∴ F 为DE的中点，连结AF，并使其延长线交BC于G， 则AG ⊥ BC，连结A'G则A'G ⊥ BC Q AG = 3 6 a ∴ A'G = a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 ∴ A' F = FG = 3 a， 2
A O α
举一个例子
如图，线段 AB平行于平面 α ， BD、 AC为 垂直于 AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若 AB = 5cm， AC = BD = 8cm， AB和平面 α 的距离为7 cm，求 CD的长 A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析：①因为AB 平面α，又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD，则应想到AB也垂直于AC、BD 在平面α内的射影A1C、B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1， 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO ≅ 直角 B1 DO （锐角、直角边）， 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 − AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
三垂线定理应用归类
• 判定空间中两条直线相互垂直 • 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离 • 求二面角的平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以 P为定点的一角得截面 ABC 求证：所截得的 ABC 是锐角三角形 P
C A B
一些例子
• 证明：过P作PD ⊥ AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 判定空间中两条直线相互垂直 Q ∴
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
A
E 即 E点到 AC的距离是 20，同理可求得
C
G
B
举两个例子
• ③直线a可能与AO或OA的延长线相交 ③直线a可能与AO或OA的延长线相交
如图，已知在四面体 ABCD中， AB ⊥ CD， AC ⊥ BD，求证： ADA ⊥ BC
D F O B G C E
举两个例子
A
证明 : 作 AO ⊥ 底面 BCD， O为垂足，连结 BO 并延长交 CD于 E， 则 BO、 CO分别为 AB、 AC 在底面 BCD上的射影。 Q AB ⊥ CD， BE ⊥ CD ∴ （三垂线定理的逆定理） 同理可证： CF ⊥ BD ∴ O为 BCD的垂心，连 DO并延长交 BC 于 G， 则 DG ⊥ BC 由三垂线定理知， AD ⊥ BC
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P， 过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足 分别是E ，连结EF，则角PEF即是所要找 分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找 的二面角的平面角
写在最后的话
• 三垂线定理是立体几何的重点定理，
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
以下三种情况：①直线a可能过O 以下三种情况：①直线a可能过O点； ②直线a可能与OA相交；③直线a ②直线a可能与OA相交；③直线a可能 与AO或OA的延长线相交 AO或OA的延长线相交
P a O α A
举两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例子
• ①直线a可能过O点 ①直线a可能过O
如图，已知在直角三角形ABC中， ∠ C=90 o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE ⊥ 平面ABC，DE=12,
写在前面的话
• 学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直
线与直线之间的位置关系，加上往往题目 中线条较多，加大了判断难度。另外，许 多同学对定理内容不清楚，导致做题时思 路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄 清定理内容：
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（1）
• 对于平面α的斜线OP，在平面α内必 对于平面α的斜线OP，在平面α
一些例子
• 求二面角的平面角
已知：如图， ABCD − A1 B1C1 D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2， E是侧棱 BC的中点
D1 求：面 C1 DE 与面 CDE 所成二面角的正切值 C1 A1 D C F A B E
B1
一些例子
• 求二面角的平面角 • 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出
• 满足条件（2）的直线a必垂直于斜线 满足条件（2）的直线a
及射影所确定的平面
P
A O α
a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（4）
• 运用三垂线定理及逆定理的规律：确
定平面、找到斜线、找到（做出）垂 线、连成射影、查面内线
P a O α A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（5）
• 关于三垂线定理及逆定理的图形，有
A F D B G C E
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直
线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
C B1 A1 α O D A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（7）
• 大家往往习惯于在水平放置地平面上运
用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的 平面上需用三垂线定理解题时，即使是 很明显的问题，有时也会感到力不从心。 应明确的是，三垂线定理及其逆定理的 适用与平面所在的位置无关。可做一些 练习加深这种印象。
存在射影OA 存在射影OA
P a O α
A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（2）
• 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的
射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 之也成立 P
A O α a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（3）
2 2 2
P C A B
x +y
2
2
>0
∴∠CAB为锐角，同理∠ABC，∠ACB也是锐角， ∴ ACB为锐角三角形
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的
距离 已知：正
ABC的边长为a，D、E分别为AB、 的中点， AC 将 ABC沿线段DE折成90o的二面角，此时A点变到A'点的位置 求：A'点到BC的距离
A 求：E到AC、BC的距离 F E
D
C
G
B
举两个例子
解：作 DF ⊥ AC， DF I AC = F，连接 EF， 根据三垂线定理可知 EF ⊥ AC， 1 Q DF = BC = 16， DE = 12 2 ∴ Rt ∆ DEF， EF = E 到 BC的距离是15。
F D
DF 2 + DE 2 = 20
举一个例子
如图，已知正方体 ABCD − A1 B1C1 D1， 求证： AC1 ⊥ 平面 A1 BD D
1
C1
A1 B1
D C A B
举一个例子
证明：如图，连结 AD1，对于平面 AA1 D1 D， AC1是斜线， AD1是它的射影， A1 D是面内直线， Q A1 D ⊥ AD1 ∴ AC1 ⊥ A1 D （三垂线定理）同理 AC1 ⊥ BD
B F O G C D E
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
C E A F D B G
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离
解：过A作A' F ⊥ DE，A' F I DE = F， 平面A' DE ⊥ 平面ABC， Q ∴ A' F ⊥ 平面ABC， A' DE是正三角形，又 Q A' F ⊥ DE， Q ∴ F 为DE的中点，连结AF，并使其延长线交BC于G， 则AG ⊥ BC，连结A'G则A'G ⊥ BC Q AG = 3 6 a ∴ A'G = a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 ∴ A' F = FG = 3 a， 2
A O α
举一个例子
如图，线段 AB平行于平面 α ， BD、 AC为 垂直于 AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若 AB = 5cm， AC = BD = 8cm， AB和平面 α 的距离为7 cm，求 CD的长 A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析：①因为AB 平面α，又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD，则应想到AB也垂直于AC、BD 在平面α内的射影A1C、B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1， 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO ≅ 直角 B1 DO （锐角、直角边）， 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 − AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm