高中立体几何 三垂线定理
高三数学三垂线定理
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分布于朝鲜西岸、日本、澳大利亚、新喀里多尼亚、新加坡、加里曼丹岛、菲律宾、台湾岛以及中国大陆的广东、福建、浙江、山东等地，生活环境为海水，多见穴居于港湾中的沼泽泥滩上。 [3] 喜欢栖息在较为泥泞的沼泽，多位于红树林附近，会筑火山形或称烟 囱状的洞口，生性喜欢隐密，挥动大螯的动作缓慢，一有风吹草动会快速地奔回洞穴内躲藏。喜欢吃泥土中的有机质。也喜欢和邻居玩换房子游戏，如果邻居不换，就用抢的。 弧边招潮蟹的活动随潮水的涨落有一定的规律，高潮时则停于洞底，退潮后则到海滩上活动、取食、修补洞穴，最后则占领洞穴，准备交配。洞穴是招潮蟹生活的中心，在洞穴里既可以避免水陆各类捕食者的侵袭，又可以避免潮水浸淹或太阳直射。 [4] 弧边招潮蟹靠视觉和听觉接受通讯、联络、警告的信号。实现社会性聚集行为。以沉积物为食，能吞食泥沙，摄取其中的有机物，将不可食的部分吐出。它们取食藻类和其他有机物。它们用小螯刮取淤泥土表面的小颗粒送进嘴巴，这些小颗粒含有很多的碎屑 、藻类、细菌、以及其它的微生物，送入口中后，即被体内吸收。口中有一个特别的器官，可以将食物分类和过滤，不能利用的残渣再由小螯取出置于地面，集中形成人们所看到的小土球，称之为“拟粪”，有别于真正通过消化道从肛门排出的粪便。雌雄蟹 的洞口常筑有弧塔或烟囱，而当潮水将至，它们会躲入洞中并用泥团堵住洞口。 粘土招潮蟹（学名：Uca argillicola）最大的特征是雄蟹具有一对大小悬殊的螯，摆在前胸的大螯像是武士的盾牌。它会做出舞动大螯的动作，这个被称为“招潮”的动作，目的是威吓敌人或是求偶。此外，该蟹还有一对火柴棒般突出的眼睛，非常特别。它 们取食藻类，能吞食泥沙以摄取其中的有机物，将不可食的部分吐出。 粘土招潮蟹整体青灰色，头胸是甲梯形。前宽后窄，额窄，眼眶宽，眼柄细长。雄体的一螯总是较另一螯大得多（称交配螯），大螯特大甚至比身体还大，重量几乎为整体之半，小螯极小，用以取食（称取食螯）。雌体的二螯均相当小，而对称，指节匙形， 均为取食螯。如果雄体失去大螯，则原处长出一个小螯，而原来的小螯则长成大螯，以代替失去的大螯。雄的颜色较雌体鲜明。 [1]
高二数学说课稿范文《三垂线定理》
高二数学说课稿范文《三垂线定理》高二数学说课稿范文《三垂线定理》xx为大家提供高二数学说课稿范文一文，供大家参考使用：高二数学说课稿范文《三垂线定理》一、说教材分析1、本节教材的地位和作用三垂线定理是立体几何的中重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养高一学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、教学内容本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。
对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法。
通过讨论空间直线与平面内直线垂直的问题让学生逐步发现定理。
这样，学生感到自然，好接受。
对教材中的例题有所增加，处理方式也有适当改变。
3、教学目标根据教学大纲的要求，本节教材的特点和高一学生对空间图形的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：(1)理解三垂线定理的证明，准确把握空间三线垂直关系的实质。
(2)领会应用三垂线定理解题的一般步骤，初步学会应用定理解决相关问题。
(3)通过教学进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
(4)进行辨证唯物主义思想教育、数学应用意识教育和数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
4、教学重点、难点、关键对高二学生来说，空间概念正在形成，因此本节课的重点是学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理的实质，正确认识空间三线的垂直关系;同时掌握线面垂直法研究空间直线关系的思想方法。
本节教学难点是准确把握空间三线垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理的一般步骤。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直;应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
二、说教法分析建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力。
高三数学三垂线定理1
求证：∠BPA=
°． ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
本节课到此结束
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稳,直接被吹飞出去.根汉身形壹闪,从后面直接将她给拦腰抱起,然后带着她来到了半空中."这是什么?"虹漫天の注意力,在下面の石峰中,只见石峰外面の法阵,此时正在迅速の瓦解着.这种恐怖の气息越来越浓,直接就往上冲,没壹会尔の功夫就冲到了这顶端了."轰.""吼."壹声仰天长啸,十 几道白色の光柱,冲进了云霄之中,打破了天际.壹个身形冲开了下面の石峰,石峰瞬间就崩掉了,壹个巨型生灵从下面慢慢の站了起来."这就是黑风?"虹漫天并没有注意到,自己被某人正抱着,自己还搂着某人の脖子,而且某人の右手垫在了她の屁腚上."呀."她突然尖叫了壹声,本能の伸手去 打根汉.不过根汉却是将她往虚空中壹丢,自己闪到了几里开外,避开了这壹巴掌."混蛋,你找死呀!"（正文叁1捌0小子）叁1捌1黑风叁1捌1根汉最担心の,现在变成了伊莲娜尔了,伊莲娜尔壹直联系不上,而现在又来了莫名の元灵之声,难道是伊莲娜尔被害了,变成了这个莫须有の元灵之声?伊 莲娜尔迟迟联系不上,这都快二百多年了,壹直也没有半点动静.小紫倩还好壹些,她人就在自己乾坤世界呢,总也不会跑了,只是在第六神树里面修养.而伊莲娜尔只有壹缕元灵残灵,也不知道她是什么个情况,壹般她不联络自己の话,自己还很难感应到她の存在.根汉也不知道自己睡了多久,才 睁开了双眼.壹睁开眼,就看到壹双火气冲冲の大眼睛,正盯着自己呢,不是虹漫天又是谁呢."小子,你醒了."虹漫天笑了笑.根汉嘴角壹扬哼道："都差点失控了,把你那啥了,你还笑得出来?看来你是爱咱爱の不轻呀.""去你の."虹漫天这回倒是真不生气了,反而是花得比较
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
三垂线定理
三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。
其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。
三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。
三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。
高二数学三垂线定理
结论：
①若一个角所在平面外一点到角的两边距离相 等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线 上
②过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,
则这条射线在平面内的射影是角平分线
若∠COA= ∠ COB
C
则CO在平面AOB内的射影
A
为角AOB的平分线
O
B
第十八页，共31页。
练习题：正方体ABCD-A’B’C’D’
的 内 心。
G
D
O
F E
C
第二十一页，共31页。
例1.空间四边形ABCD中, AB CD, AH 平面BCD, 求证 : BH CD.
证明 : AH 平面BCD, AB在平面BCD内的射影为BH , 又 AB CD,且CD在平面BCD内, 由三垂线定理的逆定理知, BH CD.
第二十二页，共31页。
三垂线定理及其逆定理可合起来表述为 :
设l是平面的斜线, l '是l在内的射影,直线a ,
则a l ' a l
第二十七页，共31页。
三垂线定理总结
（1）定理涉及到的五个元素是 “一面四线”
（2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线（或其射 影）和平面内的一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直 线，也可以是异面直线
(1) 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直； 而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；
(2) 条件与结论不同， 原定理是：“与射影垂直 逆定理是：“与斜线垂直
与斜线垂直”； 与射影垂直”.
第二十九页，共31页。
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面内
的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么，它 就和这条斜线垂直。
三垂直定理立体几何
三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。
在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。
换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。
证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。
点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。
考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。
根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。
将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。
应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。
由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。
三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。
需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。
高考立体几何-三垂线定理
例题4、直角三角形 90° 30° 例题 、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°， 中 BC的中点 AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1， 的中点， 平面ABC D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线 AC的距离 的距离？ AC的距离？
解： 过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥ 平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC，即E 到斜线AC的距离为EF，在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= 3,∴ D= C ，∵DF⊥AC， 在Rt ∆EDF中 为所求
α
三、巩固性练习： 1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则 这条直线 与斜线的位置关系是（ D ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
小结：运用三垂线定理及逆定理， 小结：运用三垂线定理及逆定理，必然 要涉及平面的斜线， 要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要 的。
例题3、如图示，已知 、 都垂直于正三角 都垂直于正三角ABC所 例题 、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角 所 在的平面， 与平面ABC所 在的平面，且BC=EC=2DB，求平面 ，求平面ADE与平面 与平面 所 成二面角的平面角。 成二面角的平面角。
高二数学三垂线定理
B
C
例2(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形
D
O
B C
O为BD的中点
∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
PO⊥BD
同理，AC⊥BD
AO是PO在ABCD上的射影
PC⊥BD
例题汇总
1、三垂线定理解题的关键：定面、找线！
例 4 .正 方 体 A C '中 , 求 证 : A C ' 平 面 A ' B D .
证 明 : 连 A C ',由 C C ' 平 面 A B C D 知 , A C 就 是 A C ' 在 平 面 A B C D 上 的 射 影 , A C B D , A C ' B D ( 三 垂 线 定 理 ) 连 A B ',由 B ' C ' 平 面 A A ' B ' B 知 , A B ' 是 A C ' 在 平 面 A A ' B ' B 上 的 射 影 , A B ' A ' B , A C ' A ' B ( 三 垂 线 定 理 ) AC ' 平 面 A ' BD
三 垂 线 定 理 :在 平 面 内 的 一 条 直 线 ,如 果 和 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 的 射 影 垂 直 ,那 么 它 也 和 这 条 斜 线垂直.
三个垂直 : ①垂线和平面垂直; ②平面内的直线和斜线垂直; ③平面内的直线和斜线在这个平面内的射影垂直.
三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 :在 平 面 内 的 一 条 直 线 ,如 果 和 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 垂 直 ,那 么 它 也 和 这 条 斜 线在平面内的射影垂直.
高中立体几何中删除三垂线定理的利弊分析
、
三 垂 线 定理 的历 史 地 位 与 作 用
则 Ａ。１ ＤＢ。 Ｄ ＝ ，又侧面都是矩形 ，有 Ａ ∥Ｂ Ｃ 。 Ａ。 Ｂ／ Ｃ． ／
三垂线 定理及其逆定 理是整个立 体几何 内容的一个典 型代 表 ，是立体 几何 中的一个重要定理．
１ 三 垂 线 定 理是 立体 几 何 知 识 的 枢 纽 ．
三垂线定 理及其逆 定理 的教 学始终是教 学难点之一 ，教师 很多立体几何 的问题都 能转化 为平 面几何 问题 ，从而达 到解题 用一节课的时间也不能让 大部分学生很好地理解证 明过程 ． 用三
三垂 线定理是空 间图形转化 为平面 图形 的有力工具 ，它使
王 亚 男 陈丽敏 （ 阳师范 大学教 师专 业发展 学院） 沈
三 垂 线 定 理 因 其 联 系 着 一 系 列 主 要 概 念 （ 面 的 垂 线 、 斜 依 赖现实几何对 象 ，局部 地或单个地 考虑几何 图形 的性质 ，如 平
线、斜线在平面 内的射影等） ，且其证 明中包含着较为典型 的证 空 间对象 的距 离和角 ，并 借用一系列几何对象间的关系做媒介 ， 题方法 （ 面垂直与线线垂直证法） 线 ，并 有 着 广 泛 的应 用 而 成 为 进行推理论证．这样思考几何对象 ，方法的抽象程度 很高 ，学生 立体几何中的一个重要定理． 但是 ，《 普通高中数学课程标准 （ 实 难于将各类问题的个别的方 法存贮并灵活运用．因此说删掉 三垂 验） （ 》 以下简称 《 标准》 中却把如此 重要 的一个 定理删 除了 ， 线定理 ，从某种程度上讲 降低 了立体几何教与学的难度 ． ） 这种做法引起 了一线 教师 的关 注．为 了让广大教师更好地理解课 例 ２ 如图 ２所示 ，底 面是等腰三角形 ，侧面都是矩形 的几 程改革的意图 ，本文将 具体地分 析这一做法 给高 中立体几 何 的 何体 中，侧面对角线 Ａ。 曰上Ａ ＡＣ ＝ＢＣ． Ｃ 且 ｌ。 ｌ１求证 ：Ａ。 曰上ＢＣ ｌ． 教与学带来的利与弊 ，以供大家参考． 证明 ：在底 面 中，作 ｃ 上 于 Ｄ ，ＣＡ 。 ｌ。 Ｉ ＝ＣＢ ， ｌ，
高中数学第一册(上)三垂线定理(一)
三垂线定理〔一〕一、素质教育目标〔一〕知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．〔二〕能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法〔线面垂直法〕；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．〔三〕德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点〔1〕掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．〔2〕掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法〔1〕三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线〔或斜线在平面内的射影〕垂直的判定定理．〔2〕本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．〔3〕三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理那么是直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．〔4〕教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤〔一〕温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？〔板书〕l∩α＝A，作出l在平面α上的射影〔二〕猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？〔教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．〕师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？〔教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．〕师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？〔学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．〕师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？〔学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示X的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．〕〔三〕层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？〔假设用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．〕：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，表达了“由线面垂直证明线线垂直〞的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理〔请学生简要说明其证明方法和步骤〕．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．〔四〕初步运用，提高能力1．〔见课后练习题1．〕：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．〔学生先思考，教师作如下点拨〕〔1〕什么叫做三角形垂心？〔2〕点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？〔3〕可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出此题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！〔视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．〕证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直〔定理〕；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直〔逆定理〕，同学们必须理解掌握．2．〔见课本例1〕如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．〔学生思考，教师作适当的点拨．〕〔1〕在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？〔2〕PE＝PF给我们提供了什么结论？〔3〕所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．〔课堂练习，师生共同完成．〕如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC〔三垂线逆定理〕．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC〔三垂线定理〕．〔五〕归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．〔课后练习题2略作改变〕如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，假设直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定〔或构造〕一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。
立体几何：三垂线定理及其逆定理
说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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三垂线定理
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直内心：三角形的三内角平分线交于一点。
（内心定理）外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
（外心定理）中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心：三角形的三条高交于一点。
（垂心定理）重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。
1 重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。
EB、FC交于O。
证明：过F作FH平行BE。
∵AF=BF且FH//BE∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）又∵ AE=CE∴HE=1/2CE∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
三垂线定理定义
三垂线定理定义
三垂线定理：内切于一个三角形的三条垂线的交点，分别与三条边的中点构成的三角形，大小与原三角形相等。
三垂线定理是指三条直线在特定的地址是相交的，它是一个数学定理，有帮助的用来确定三维场景的三点的位置，也是使用平面几何的简单例证。
三垂线定理有着它自己独特的造诣，位置精度，并有助于建立地理图像的技术。
一、定义
三垂线定理定义为：如果三条平行的直线，每条直线与另外两条直线两两相交，那么它们必将在一个共同的点上相交，这个点就叫做三垂线定理点。
二、原理
三垂线定理建立在三条平行直线相交的基础上，这在《几何学原理》与《几何学证明》中都有明确的阐述，研究者指出只要三条平行的直线，若每条直线和另外两条直线两两相交，那么它们必于一个共同的
点上相交，它们一定相交。
三垂线定理有利于我们对三维场景中物体位置和形状的识别和定位，从而为图像分析和多视角显示技术提供了基础。
三、误差
由于三垂线定理受限于地理环境，地形因素和实际误差，误差不可避免。
在现实应用中，根据几何原理计算出的结果，最终的误差是受相对精度的影响，可能会大大影响定位的精度。
四、应用
三垂线定理的主要应用范围有三方面，一方面，它可以用来提高地理图像重建技术。
应用于有限空间中轨迹运动角度变化模拟，利用三垂线定理可以精确定位一定轨迹上的空间点。
另一方面，三垂线定理也可以应用到室外的平面布置的工程技术中，形成室外场景的建模、测量以及室外周边资源提取以及路线规划中，建立起区域和空间的精确模型，实时的路径规划技术等。
此外，三垂线定理在工业和医学图像采集/拍摄/控制等方面也有着广泛而重要的作用。
2022年高三数学高考一轮精品资料立体几何：第五课时《三垂线定理》
第5课时 三垂线定理1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．2．射影1 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； 2 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO 是平面斜线，A 为斜足，OB⊥，B 为垂足，AC ，∠OAB＝，BAC ＝， ∠OAC＝，则co ＝ ． 4．直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．例1 已知RtABC 的斜边BC 在平面内，A 到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°．求：1 斜边上的高AD 和平面所成的角； 2点A 在内的射影到BC 的距离． 答案：1 60° 2变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB ，塔顶A 到道路距离为AC ，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D ，又测得CD ＝30m ，∠CDB＝45°．求电塔AB 的高度． 解：BC ＝30，AB ＝BC tan30°＝10COBA例2．如图，矩形纸片A 1A 2A 3A 4，B 、C 、B 1、C 1 分别为A 1 A 4、A 2A 3的三等分点，将矩形片沿 BB 1，CC 1折成三棱柱，若面对角线A 1B 1BC 1； 求证：A 2CA 1B 1．解：取A 2B 1中点D 1 ∵A 2C 1＝B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 2B 1 又A 1A 2⊥面A 2B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 1A 2∴C 1D 1⊥面A 1A 2B 1B ∴BD 1是BC 1在面A 2B 上的射影 由A 1B 1⊥BC 1 ∴BD 1⊥A 1B 1取A 1B 中点D 同理可证A 2D 是A 2C 在面A 2B 上的射影 ∵A 2DBD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，的最短路线长，设这条最短路线与CC 1交点N ，求： 1 1C 1C 1C 1C 的最短路线 设1CA 1C 5211==AP C P MA NC 1C 1F 1F 1A 1F 1F 1F 1C221=CHCC 1C∥CC 1交BC 于M 则∴∠QBC BM BC BQ =1a aBC BM2=aa a BC CM22-=aa a AC CP22-=AC CPBC CM =∥AB在Rt△中a212-＝a 22∴tan∠Qaa 21222-⊥BC∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． 1 证明：D 1E⊥A 1D ；2 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；3 AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为．1 证明：∵ AE⊥平面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E ．2 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝，AD 1＝，＝··215-＝，而＝·AE·BC＝． AACDBC ED BB 1A 1B CA 1A 2B 1C 1A 2C 1CBBE1∴ABC D V -1＝·DD 1＝·h ∴×1＝×h， ∴h＝3 过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，∴∠DHD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角．设AE ＝，则BE ＝2－在Rt△D 1DH 中，∵∠DHD 1＝，∴DH＝1∵在Rt△ADE 中，DE ＝21x +，∴在Rt△DHE 中，EH ＝，在Rt△DHC 中，CH ＝，CE ＝542+-x x ，则＋＝542+-x x ，解得＝2－．即当＝2－时，二面角为D 1－EC －D 的大小为．变式训练4：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝a ． 1 求证：PD⊥面ABCD ； 2 求直线PB 与AC 所成角； 3 求二面角A －PB －D 大小． 证明：1 ∵PC＝a PD ＝DC ＝a ∴PD 2＋DC 2＝PC 2∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD2 连BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB 三垂线定理 ∴PB 与AC 所成角为90°3 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB 于E ，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC 面ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE 是AE 在平面PDB 内的射影 ∴OE⊥PB∴∠AEO 就是二面角A －PB －O 的平面角 又∵AB＝a PA ＝ PB ＝∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB 中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝ AO ＝P ABCD∴in∠AEO＝∴∠AEO＝60°1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找作，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法．。
高一数学三垂线定理
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直 A
B
角三角形。
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个角三角形
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
父母劳碌操持半身，本是幸福安享晚年生活，却经常腰椎疼痛、颈肩酸痛。我们年轻一带生活和压力越来越大，经常加班加点，长期伏案，身体体力透支过大，疲劳，头痛头晕，腰酸背痛。是时 待我们的身体了，渴望有人帮我们按摩酸痛的肌肉，帮我们和家人告别颈肩、腰背酸疼时代，为健康生活加油！然而颈椎按摩枕就是不错的选择，它是融合传统经络按摩与现代医学按摩原理，最 功的保健产品。下面为大家介绍颈椎按摩枕的功效和作用到底都有哪些？ 颈椎按摩枕一个作用及功效 独特的两组红外温热灸方式，促进新陈代谢，增强血液循环，缓和神经痛，消除肌肉疲劳；理气养血，调整内脏功能，增强人体免疫力；(也可选择另一方向使用时不带远红外线。） 同时，其独特的无级调速不分档数。 更在机内设置自动感应器,在调速已达到极限时,若还不满足于您的身体需要增加力度,只要身体倚靠按摩垫,自动感应器可根据您的身体的压力而增加力度。 可以避免机器过热而引起的烧坏.到一定温度会自动停止保护机器.冷却后又可以重新操作，可针对肩、颈、背、腰、腹、腿、脚、脚底等部位进行按摩。 每天早晚使用两次，每次15-30分钟；用于颈部，防治颈椎病、腰部疼痛、头痛、多梦等症状。 注意事项 孕妇勿使用，儿童及身体不自由者使用时应有合适辅导者在旁辅导； 请勿在睡眠中使用，以防止对某一部位长时间刺激影响健康； 使用时间不宜超过30分钟，饭后半小时内不宜使用； 如身体不适，近期动过外科手术或颈背部受伤者在使用本机前必须向医生； 绿色休闲食品
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三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
写在前面的话
• 学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直
线与直线之间的位置关系，加上往往题目 中线条较多，加大了判断难度。另外，许 多同学对定理内容不清楚，导致做题时思 路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄 清定理内容：
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（1）
• 对于平面α的斜线OP，在平面α内必 对于平面α的斜线OP，在平面α
A 求：E到AC、BC的距离 F E
D
C
G
B
举两个例子
解：作 DF ⊥ AC， DF I AC = F，连接 EF， 根据三垂线定理可知 EF ⊥ AC， 1 Q DF = BC = 16， DE = 12 2 ∴ Rt ∆ DEF， EF = E 到 BC的距离是15。
F D
DF 2 + DE 2 = 20
举一个例子
如图，已知正方体 ABCD − A1 B1C1 D1， 求证： AC1 ⊥ 平面 A1 BD D
1
C1
A1 B1
D C A B
举一个例子
证明：如图，连结 AD1，对于平面 AA1 D1 D， AC1是斜线， AD1是它的射影， A1 D是面内直线， Q A1 D ⊥ AD1 ∴ AC1 ⊥ A1 D （三垂线定理）同理 AC1 ⊥ BD
二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P 握，其过程是在二面角的一个面上找一点P， 过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足 分别是E ，连结EF，则角PEF即是所要找 分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找 的二面角的平面角
写在最后的话
• 三垂线定理是立体几何的重点定理，
三垂线定理应用归类
• 判定空间中两条直线相互垂直 • 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离 • 求二面角的平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以 P为定点的一角得截面 ABC 求证：所截得的 ABC 是锐角三角形 P
C A B
一些例子
• 证明：过P作PD ⊥ AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 判定空间中两条直线相互垂直 Q ∴
C E A F D B G
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线
的距离
解：过A作A' F ⊥ DE，A' F I DE = F， 平面A' DE ⊥ 平面ABC， Q ∴ A' F ⊥ 平面ABC， A' DE是正三角形，又 Q A' F ⊥ DE， Q ∴ F 为DE的中点，连结AF，并使其延长线交BC于G， 则AG ⊥ BC，连结A'G则A'G ⊥ BC Q AG = 3 6 a ∴ A'G = a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 ∴ A' F = FG = 3 a， 2
A O α
举一个例子
如图，线段 AB平行于平面 α ， BD、 AC为 垂直于 AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若 AB = 5cm， AC = BD = 8cm， AB和平面 α 的距离为7 cm，求 CD的长 A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析：①因为AB 平面α，又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD，则应想到AB也垂直于AC、BD 在平面α内的射影A1C、B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1， 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO ≅ 直角 B1 DO （锐角、直角边）， 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 − AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm
2 2 2
P C A B
x +y
2
2
>0
∴∠CAB为锐角，同理∠ABC，∠ACB也是锐角， ∴ ACB为锐角三角形
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的
距离 已知：正
ABC的边长为a，D、E分别为AB、 的中点， AC 将 ABC沿线段DE折成90o的二面角，此时A点变到A'点的位置 求：A'点到BC的距离
A F D B G ห้องสมุดไป่ตู้ E
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直
线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
以下三种情况：①直线a可能过O 以下三种情况：①直线a可能过O点； ②直线a可能与OA相交；③直线a ②直线a可能与OA相交；③直线a可能 与AO或OA的延长线相交 AO或OA的延长线相交
P a O α A
举两个例子
• ①直线a可能过O点 ①直线a可能过O
如图，已知在直角三角形ABC中， ∠ C=90 o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE ⊥ 平面ABC，DE=12,
一些例子
• 求二面角的平面角
已知：如图， ABCD − A1 B1C1 D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2， E是侧棱 BC的中点
D1 求：面 C1 DE 与面 CDE 所成二面角的正切值 C1 A1 D C F A B E
B1
一些例子
• 求二面角的平面角 • 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出
C B1 A1 α O D A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（7）
• 大家往往习惯于在水平放置地平面上运
用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的 平面上需用三垂线定理解题时，即使是 很明显的问题，有时也会感到力不从心。 应明确的是，三垂线定理及其逆定理的 适用与平面所在的位置无关。可做一些 练习加深这种印象。
A
E 即 E点到 AC的距离是 20，同理可求得
C
G
B
举两个例子
• ③直线a可能与AO或OA的延长线相交 ③直线a可能与AO或OA的延长线相交
如图，已知在四面体 ABCD中， AB ⊥ CD， AC ⊥ BD，求证： ADA ⊥ BC
D F O B G C E
举两个例子
A
证明 : 作 AO ⊥ 底面 BCD， O为垂足，连结 BO 并延长交 CD于 E， 则 BO、 CO分别为 AB、 AC 在底面 BCD上的射影。 Q AB ⊥ CD， BE ⊥ CD ∴ （三垂线定理的逆定理） 同理可证： CF ⊥ BD ∴ O为 BCD的垂心，连 DO并延长交 BC 于 G， 则 DG ⊥ BC 由三垂线定理知， AD ⊥ BC
• 满足条件（2）的直线a必垂直于斜线 满足条件（2）的直线a
及射影所确定的平面
P
A O α
a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（4）
• 运用三垂线定理及逆定理的规律：确
定平面、找到斜线、找到（做出）垂 线、连成射影、查面内线
P a O α A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（5）
• 关于三垂线定理及逆定理的图形，有
存在射影OA 存在射影OA
P a O α
A
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（2）
• 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的
射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反 之也成立 P
A O α a
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（3）