江苏省泰州市数学高三上学期理数第一次月考试卷

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江苏省泰州市数学高三理数第一次联考试卷试卷(1月份)

江苏省泰州市数学高三理数第一次联考试卷试卷（1月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·蚌埠期中) 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·银川模拟) 设复数z满足z+i=3-i,，则的共轭复数 =（）A . -1+2iB . 1-2iC . 3+2iD . 3-2i3. （2分）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A,B,C,D四点，则四边形ABCD 面积的最小值为（）A . 2B .C .D .4. （2分） (2017高一下·福州期中) 一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A . 1﹣B . 1﹣C .D .5. （2分） (2016高二下·南阳开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直线三角形C . 等腰三角形D . 正三角形6. （2分）一个体积为的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A . 12B .D .7. （2分）(2016·上饶模拟) 在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A . 11B . 12C . 13D . 158. （2分） (2016高一下·定州期末) 已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中真命题的个数为（）①若α∥β，β∥γ，则α∥γ；②若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b；③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；④若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γA . 0B . 1C . 29. （2分） (2018高二下·湖南期末) 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·驻马店期末) 设双曲线的一个焦点为 ,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 ,且与另一条渐近线交于点 ,若 ,则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .11. （2分）已知命题p：∃x1 ，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，命题q：实数x，y∈R，若x+y ＞2，则x＞1或y＞1；若p∧q为假命题，则（）A . 函数f（x）为R上增函数B . 函数f（x）为R上减函数C . 函数f（x）在R上单调性不确定D . 命题q为假命题12. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（）A . 在上为减函数B . 在处取得最大值C . 在上为减函数D . 在处取得最小值二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 展开式中的系数为________.14. （1分）(2018·中原模拟) 已知向量，则在方向上的投影为________．15. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．16. （1分）数列1，﹣1，1，﹣1，1…，的通项公式的是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2018·山东模拟) 在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，点在线段上，， ,求的面积.18. （10分） (2015高三上·连云期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，点P是棱BB1上一点，满足（0≤λ≤1）．（1）若λ= ，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为，求λ的值．19. （10分） (2019高二上·鹤岗期末) 2017年10月18日至24日，中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（2）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．附：20. （5分） (2017高二下·湖州期中) 如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，过点（0，﹣b），（a，0）的直线与原点的距离为，M（x0 ， y0）是椭圆上任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记直线OP，OQ的斜率分别为k1 ， k2 ，试求k1k2的值．21. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax有极值1，这里e是自然对数的底数．（1）求实数a的值，并确定1是极大值还是极小值；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求实数m的取值范围．22. （10分） (2018高二下·双流期末) 在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求 .23. （10分）已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）≤4；（2）若f（x）＞m2+m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =ln (x −1)}，B ={x|x 2−4≤0}，则A ∩B =( ) A.{x|x ≥−2} B.{x|1<x <2} C.{x|1<x ≤2} D.{x|−2≤x ≤2}2. α,β∈[−π2, π2]，且αsin α−βsin β>0，则下面结论正确的是（） A.α>β B.α+β>0 C.α<βD.α2>β23. 函数f(x)=ln |x|x 3的部分图像是( )A.B.C. D.4. 已知角α的终边经过点(1,3)，则2cos 2α−sin 2αcos 2α=（）．A.−178 B.78C.±78D.35. 已知sin (β−α)cos β−cos (α−β)sin β=35，α为第三象限角，则cos (α+π4)=（）A.−√210 B.−7√210C.√210 D.7√2106. 在△ABC 中，如果cos (2B +C )+cos C >0，那么△ABC 的形状为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形7. 如图，在等腰直角△ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则 AF →=( )A.35AB →+15AC →B.25AB →+15AC →C.815AB →+415AC →D.415AB →+815AC →8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为 108∘ 的等腰三角形）. 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC =√5−12. 根据这些信息，可得sin 1314∘=( )A.−3+√58B.−4+√58C.−2√5−14D.−√5+14二、多选题已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为P (2m,−m )(m ≠0)，则下列各式一定为负值的是( ) A.sin αcos α B.tan α C.cos α−sin α D.cos 2α已知函数f (x )=sin x cos x −cos 2x ，则（） A.函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数 B.直线x =3π8是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )的图象可由函数y =√22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到 D.对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1将函数f(x)=sin (ωx +φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（） A.4 B.6C.8D.12数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（）A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B.f(x)=x 3可以是某个圆的“优美函数”C.正弦函数y =sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数y =f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y =f(x)的图象是中心对称图形三、填空题已知函数f(x)={log 3(x +1)−2,x ≥0,f(x +3),x <0,则f(−2020)=________.sin 65∘−sin 35∘cos 30∘cos 35∘=_________.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD =80，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则图中海洋蓝洞的口径为________.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则面积S 的最大值为________. 四、解答题设函数f(x)=a x −(k −1)a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立的t 的取值范围．如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AE=12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC →=a →，AD →=b →．(1)用a →，b →分别表示向量AB →，EB →；(2)若AF →=tAD →，求实数t 的值．已知α，β为锐角， sin α=45，cos (α+β)=−√55. (1)求cos 2α的值；(2)求sin β的值．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2．设F 为线段AC 上一点，CF =√2BF ．有下列条件：①c =2；②b =2√3；③a 2+b 2−√3ab =c 2．请从这三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ABF 的面积．已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度．得到函数y =g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π12]时，求函数y =f (2x +π12)−√2f (2x +π3)的值域．已知函数f (x )=e x ，g (x )=ax +b, a, b ∈R .(1)若g (−1)=0，且函数g (x ) 的图象是函数f (x ) 图象的一条切线，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )>x 2+m 对任意x ∈(0,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若对任意实数a ，函数F (x )=f (x )−g (x )在(0,+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法对数函数的定义域交集及其运算【解析】化简集合A，B，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|y=ln(x−1)}={x|x>1}，集合B={x|x2−4≤0}={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={x|1<x≤2}.故选C．2.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是[−π2,π2]时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα−βsinβ>0可以得出|α|>|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=x sin x是偶函数且在(0, π2)上单调递增，∵α，β∈[−π2,π2 ]，∴αsinα，βsinβ皆为非负数. ∵αsinα−βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ，∴|α|>|β|，∴α2>β2.故选D.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数图象的作法函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln|x|x3的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选项B错误；当x>1时，x3>0,ln|x|>0，故f(x)>0，故选项C，D错误；综上，只有选项A符合题意.故选A.4.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值任意角的概念【解析】由题意任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得结论．【解答】解：∵角α终边经过点(1,3)，∴tanα=31=3,则2cos2α−sin2αcos2α=2cos2α−sin2αcos2α−sin2α=2−tan2α1−tan2α=2−321−32=78.故选B．5.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵sin(β−α)cosβ−cos(α−β)sinβ=35，sin(β−α)cosβ−cos(β−α)sinβ=35，∴sin(β−α−β)=35，∴sin(−α)=35，即sinα=−35，∵α是第三象限角，sin2α+cos2α=1, ∴cosα=−45,∴cos(α+π4)=cosαcosπ4−sinαsinπ4=−45×√22−(−35)×√22=−√210．故选A．6.【答案】A【考点】三角形的形状判断两角和与差的余弦公式【解析】结合A+B+C=π和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为−2cos B cos A>0，即cos A<0,A<0，又A，B∈(0,π)，所以cos B与cos A一正一负，故而得解．【解答】解：∵ A+B+C=π,∴cos(2B+C)+cos C=cos[B+(π−A)]+cos[π−(B+A)]=−cos(B−A)−cos(B+A)=−cos B cos A−sin B sin A−cos B cos A+sin B sin A=−2cos B cos A>0,∴cos A cos B<0，即cos B与cos A异号.又∵A，B∈(0,π)，∴cos B与cos A一正—负，故必有一角为钝角，∴△ABC为钝角三角形．故选A．7.【答案】C【考点】余弦定理向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解∶设BC=6，则DE=2，AD=AE=√10，cos∠DAE=10+10−42×10=45，所以AFAD=AFAE=45，所以AF→=45AD→.因为AD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→,所以AF→=45×(23AB→+13AC→)=815AB→+415AC→.故选C.8.【答案】D【考点】三角函数的化简求值正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可知：BCAC=sin∠BACsin∠ABC=sin36∘sin72∘=sin36∘2sin36∘cos36∘=12cos36∘=√5−12，∴cos36∘=√5−1=√5+14，又sin1314∘=sin(3×360∘+234∘)=sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−sin(90∘−36∘)=−cos36∘=−√5+14．故选D.二、多选题【答案】A,B【考点】二倍角的余弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，逐个判断即可. 【解答】解：由三角函数的定义可知：sinα=√5m2，cosα=√5m2，tanα=−m2m =−12<0，①当m>0时，sinα<0，cosα>0,②当m<0时，sinα>0，cosα<0,A，sinαcosα<0，故选项A满足题意；B，tanα=−12<0，故选项B满足题意；C，由①可知：cosα−sinα>0，故选项C不满足题意；D，cos2α=cos2α−sin2α=4m25m2−m25m2=35>0.故选项D不满足题意.故选AB.【答案】A,B,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】求出三角函数的增区间判断A；把x=3π8代入函数y(x)的解析式求解函数值判断B；利用函数图象的平移求得函数解析式判断C；直接代入验证判断D．【解答】解：f(x)=sin x cos x−cos2x=12sin2x−1+cos2x2=√22sin(2x−π4)−12，由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z，取k=0，得−π8≤x≤3π8，∴f(x)在区间(0,π8)上为增函数，故A正确；取x=3π8，得f(x)=√22sin(2×3π8−π4)−12=√2−12为函数的最大值，∴直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；函数f(x)=√22sin2x的图象向右平移π8个单位，得y=√22sin[2(x−π8)]=√22sin(2x−π4)，故C错误；对任意x∈R，f(π4+x)+f(−x)=√22sin[2×(π4+x)−π4]−12+√22sin(−2x−π4)−12=√22sin(2x+π4)+√22sin(−2x−π4)−1=−1，故D正确．故选ABD.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法【解析】由题意将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，说明π2是函数周期的整数倍，求出ω与k，的关系，然后判断选项．【解答】解：因为将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，所以π2是已知函数周期的整数倍，即k⋅2πω=π2(k∈Z)，解得ω=4k(k∈Z)，A，C，D符合题意.故选ACD.【答案】A,B,C【考点】函数新定义问题【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则函数y＝f(x)是“优美函数”，但是函数y＝f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误．【解答】解：对于A，圆的‘’优美函数‘’可以有无限个，故选项A正确；对于B，因为函数f(x)=x3图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数f(x)=x3是该圆“优美函数”，故选项B正确；对于C，将圆的圆心放在正弦函数y=sin x的对称中心上，则正弦函数y=sin x是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D，函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则函数y=f(x)是“优美函数”，但是函数y=f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形是函数y=f(x)是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误.故选ABC．三、填空题【答案】−1【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：f(−2020)=f(−2017)=⋯=f(−1)=f(2)=log3(2+1)−2=−1.故答案为：−1.【答案】12【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】化65∘为35∘+30∘，然后展开两角和的正弦求解．【解答】解：sin65∘−sin35∘cos30∘cos35∘=sin(35∘+30∘)−sin35∘cos30∘cos35∘=sin35∘cos30∘+cos35∘sin30∘−sin35∘cos30∘cos35∘=sin30∘=12．故答案为：12.【答案】80√5【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】根据题意画出图形，△BCD中利用正弦定理求出BD的值，△ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在△ABD中由余弦定理求得AB的值．【解答】解：如图所示，在△BCD中，CD=80，∠BDC=15∘，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120∘+15∘=135∘，所以∠CBD=30∘.由正弦定理得：BDsin135∘=80sin30∘，解得BD=80×√2212=80√2，在△ACD中，CD=80，∠DCA=15∘，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135∘+15∘=150∘，所以∠CAD=15∘，所以AD=CD=80；在△ABD中，由余弦定理得：AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB =802+(80√2)2−2×80×80√2×cos 135∘ =802×5，所以AB =80√5，即A ，B 两点间的距离为80√5. 故答案为：80√5. 【答案】4−2√3 【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求ac ≤8(2−√3)，根据三角形的面积公式即可求解其最大值．【解答】解：由余弦定理得b 2−a 2−c 2=−2ac cos B ，∴ S =√312(b 2−a 2−c 2)=√312⋅(−2ac cos B)=12ac sin B ， ∴ tan B =−√33，B =5π6，cos B =−√32，sin B =12.又∵ b =2√2，由余弦定理可得：8=a 2+c 2+√3ac ≥(2+√3)ac ， ∴ ac ≤2+√3=8(2−√3)，∴ S △ABC =12ac sin B ≤12×8(2−√3)×12=4−2√3． ∴ 面积S 的最大值为4−2√3．故答案为：4−2√3．四、解答题【答案】解：(1)∵ f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=0，∴ 1−(k −1)=0， ∴ k =2．(2)函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)， ∵ f(1)<0，∴ a −1a <0，∵ a >0，∴ 1>a >0．由于y =a x 在R 上单调递减，y =a −x 在R 上单调递增，故f(x)在R 上单调递减.不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0，可化为f(x 2+tx)<f(x −4),∴ x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立， ∴ Δ=(t −1)2−16<0. 解得−3<t <5．【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】（1）根据奇函数的性质可得f(0)＝0，由此求得k 值．（2）由f(x)＝a x −a −x (a >0且a ≠1)，f(1)<0，求得1>a >0，f(x)在R 上单调递减，不等式化为f(x 2+tx)<f(x −4)，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立，由△<0求得t 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=0，∴ 1−(k −1)=0， ∴ k =2．(2)函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)， ∵ f(1)<0，∴ a −1a <0，∵ a >0，∴ 1>a >0．由于y =a x 在R 上单调递减，y =a −x 在R 上单调递增，故f(x)在R 上单调递减.不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0，可化为f(x 2+tx)<f(x −4),∴ x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立， ∴ Δ=(t −1)2−16<0. 解得−3<t <5．【答案】解：(1)由题意，D 为BC 的中点，且AE →=13AC →.∵ AB →+AC →=2AD →， ∴ AB →=2b →−a →，∴ EB →=AB →−AE →=2b →−a →−13a →=−43a →+2b →.(2)∵ AF →=tAD →=tb →，∴ FB →=AB →−AF →=−a →+(2−t)b →. ∵ EB →=−43a →+2b →， ∴ FB →，EB →共线， ∴−1−43=2−t 2，∴ t =12．【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的共线定理【解析】（1）利用向量的线性运算，即可用a →，b →分别表示向量AB →，EB →；（2）若AF →=tAD →，利用FB →，EB →共线，求实数t 的值．【解答】解：(1)由题意，D 为BC 的中点，且AE →=13AC →.∵ AB →+AC →=2AD →， ∴ AB →=2b →−a →，∴ EB →=AB →−AE →=2b →−a →−13a →=−43a →+2b →. (2)∵ AF →=tAD →=tb →，∴ FB →=AB →−AF →=−a →+(2−t)b →. ∵ EB →=−43a →+2b →， ∴ FB →，EB →共线， ∴−1−43=2−t 2，∴ t =12．【答案】解：(1)因为sin α=45，所以cos 2α=1−2sin 2α =1−3225=−725. (2)因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，0<α<π2，又因为sin α=45，cos (α+β)=−√55，所以cos α=√1−(45)2=35， sin (α+β)=√1−(−√55)2=2√55，所以sin β=sin [(α+β)−α]=sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α =2√55×35+√55×45=2√55．【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为sin α=45，所以cos 2α=1−2sin 2α =1−3225=−725.(2)因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，0<α<π2，又因为sin α=45，cos (α+β)=−√55，所以cos α=√1−(45)2=35，sin (α+β)=√1−(−√55)2=2√55，所以sin β=sin [(α+β)−α]=sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α =2√55×35+√55×45=2√55．【答案】解：选①②，则a =c =2，b =2√3，由余弦定理可得cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac=−12.又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC =2π3，所以A =C =π6.在△BCF 中，由正弦定理CFsin ∠CBF =BFsin C 及CF =√2BF ，可得sin ∠CBF =√22. 又∠CBF <∠CBA =2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选②③，因为a=2，b=2√3，a2+b2−√3ab=c2，所以c=2.由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6，所以A=C=π6，∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选①③，由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6.因为a=c，所以A=C=π6，所以∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4．所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.【考点】余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：选①②，则a=c=2，b=2√3，由余弦定理可得cos∠ABC=a2+c2−b22ac=−12.又∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC=2π3，所以A=C=π6.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF=BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选②③，因为a=2，b=2√3，a2+b2−√3ab=c2，所以c=2.由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6，所以A=C=π6，∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF=BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选①③，由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6.因为a=c，所以A=C=π6，所以∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4．所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.【答案】解：(1)由图得34T=116π−π3=32π，∴ T=2π，∴ ω=2πT=1．由f(11π6)=0得A sin(11π6+φ)=0，∴11π6+φ=kπ(k∈Z)，∴ φ=kπ−11π6(k∈Z).∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6．由f(0)=2得A sinπ6=2，∴ A=4,∴ f(x)=4sin(x+π6),∴ g(x)=4sin[2(x+π3)+π6]=4sin(2x+5π6)．令2kπ−π2≤2x+5π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6(k∈Z)．∴ g(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)．(2)y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)=4sin(2x+π4)−4√2sin(2x+π2)=4(sin2x cosπ4+cos2x sinπ4)−4√2cos2x=2√2sin2x−2√2cos2x=4sin(2x−π4)．∵ x∈[−π2,π12]，∴ 2x−π4∈[−5π4,−π12]，∴sin(2x−π4)∈[−1,√22]，∴ y∈[−4,2√2]，即y的值域为[−4,2√2]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图得34T=116π−π3=32π，∴ T=2π，∴ ω=2πT=1．由f(11π6)=0得A sin(11π6+φ)=0，∴11π6+φ=kπ(k∈Z)，∴ φ=kπ−11π6(k∈Z).∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6．由f(0)=2得A sinπ6=2，∴ A=4,∴ f(x)=4sin(x+π6),∴ g(x)=4sin[2(x+π3)+π6]=4sin(2x+5π6)．令2kπ−π2≤2x+5π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6(k∈Z)．∴ g(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)．(2)y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)=4sin(2x+π4)−4√2sin(2x+π2)=4(sin2x cos π4+cos2x sinπ4)−4√2cos2x=2√2sin2x−2√2cos2x =4sin(2x−π4)．∵ x∈[−π2,π12]，∴ 2x−π4∈[−5π4,−π12]，∴sin(2x−π4)∈[−1,√22]，∴ y∈[−4,2√2]，即y的值域为[−4,2√2]．【答案】解：(1)由g(−1)=0知，g(x)的图象过点(−1,0).设函数g(x)的图象与函数f(x)的图象切于点T(x0, y0),由f′(x)=e x得切线方程是y−e x0=e x0(x−x0)，此直线过点(−1,0),故0−e x0=e x0(−1−x0)，解得x0=0，所以a=f′(0)=e0=1.(2)由题意得m<e x−x2，x∈(0,+∞)恒成立．令ℎ(x)=e x−x2，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=e x−2x，再令n(x)=ℎ′(x)=e x−2x，则n′(x)=e x−2，故当x∈(0,ln2)时，n′(x)<0, n(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，n′(x)>0, n(x)单调递增，从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln2)=2−2ln2>0，即有ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)>ℎ(0)=e0−02=1，所以m≤1.所以实数m的取值范围是(−∞,1].(3)若a<0，F(x)=f(x)−g(x)=e x−ax−b在(0,+∞)上单调递增，故F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1. 以下证明当b>1时，F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点．①若a<0，由于F(0)=1−b<0, F(−ba)=e−b a−a(−ba)−b=e−b a>0，且F(x)在(0,+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0,−ba)上必有零点．②若a≥0，由(2)知e x>x2+1>x2在x∈(0,+∞)上恒成立．取x0=a+b，则F(x0)=F(a+b)=e a+b−a(a+b)−b>(a+b)2−a2−ab−b=ab+b(b−1)>0.由于F(0)=1−b<0，F(a+b)>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a+b)上必有零点．综上，实数b的取值范围是(1,+∞).【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由g(−1)=0知，g(x)的图象过点(−1,0).设函数g(x)的图象与函数f(x)的图象切于点T(x0, y0),由f′(x)=e x得切线方程是y−e x0=e x0(x−x0)，此直线过点(−1,0),故0−e x0=e x0(−1−x0)，解得x0=0，所以a=f′(0)=e0=1.(2)由题意得m<e x−x2，x∈(0,+∞)恒成立．令ℎ(x)=e x−x2，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=e x−2x，再令n(x)=ℎ′(x)=e x−2x，则n′(x)=e x−2，故当x∈(0,ln2)时，n′(x)<0, n(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，n′(x)>0, n(x)单调递增，从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln2)=2−2ln2>0，即有ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)>ℎ(0)=e0−02=1，所以m≤1.所以实数m的取值范围是(−∞,1].(3)若a<0，F(x)=f(x)−g(x)=e x−ax−b在(0,+∞)上单调递增，故F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1.以下证明当b>1时，F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点．①若a<0，由于F(0)=1−b<0, F(−ba)=e−b a−a(−ba)−b=e−b a>0，且F(x)在(0,+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0,−ba)上必有零点．②若a≥0，由(2)知e x>x2+1>x2在x∈(0,+∞)上恒成立．取x0=a+b，则F(x0)=F(a+b)=e a+b−a(a+b)−b>(a+b)2−a2−ab−b=ab+b(b−1)>0.由于F(0)=1−b<0，F(a+b)>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a+b)上必有零点．综上，实数b的取值范围是(1,+∞).。

江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及解析

17．在①
m
a
b,
c
a
，n
a
b,
c
，且
m
n
，②
2a
c
2b
cos
C
，③
sin
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______．（1）求角 B ；（2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值．【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、
四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级水平一水平二水平三水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
（1）根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为学生实践操作
18．设数列 an
的前
nLeabharlann 项和为Sn，点
n,
Sn n
，
n N
均在函数
y
x
的图象上．
（1）数列an 的通项公式；
（2）记数列
1 anan1
的前
n
项和为 Tn
，若对任意的
n N
，不等式
4Tn
a2
a
恒成立，求实数
a 的取值范围．
19．某学校八年级共有学生 400 人，现对该校八年级学生随机抽取 50 名进行实践操作能力测
C． f x1 f x2 0

-度第一学期江苏省泰州中学高三数学第一次月考试卷

江苏省泰州中学2007-2008年学年度第一学期高三数学第一次月考试卷命题人：杨子圣 2007年10月7日第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）１．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则A. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC. 1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p ２．要得到3sin(2)4y x π=+的图像，只需将函数3sin 2y x =的图像A ．向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移8π个单位 D. 向右平移8π个单位３．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)４．函数y ＝x 2－2x 在区间[a ，b]上的值域是[－1，3]，则点(a ，b)的轨迹是图中的A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BCD ．线段AC 和线段BD５．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数(参考数据1.14＝1.46，1.15＝1.61)A ．10%B ．16．5%C ．16．8%D ．20%６．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是A ．a n ＝(－1)n n3+n2n+1B ．a n ＝(－1)nn(n+3)2n+1 C ．a n ＝(－1)n (n ＋1)2－12n －1D ．a n ＝(－1)nn(n+2)2n+1第Ⅱ卷（非选择题共130分）二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）７．设集合{1234,5}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则U C (A B)=___________.８．函数cos()2y x π=-的单调增区间是_____________.９．在等比数列{a n }中，51391,9,a a a =-=-=则______________. 10．若函数f (x)=(x+1)(x+a )为偶函数，则a =__________________.11. 211n n n a a a +-=是数列{a n }成等比数列的________________条件。

(参考答案)泰州中学2023-2024学年高三上学期第一次月度检测数学试题

2023-2024学年第一学期高三年级第一次月度检测数学试卷（命题：审题：时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,x A x x *=<∈N ，{}12B x x =∈-<<N ，则A B ⋃等于（）A.{}0,1 B.{}2x x < C.{}12x x -<< D.{}1【答案】A 【解析】【分析】先化简得出集合,A B ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】由24x <可得2x <，则{}{}24,1xA x x *=<∈=N，{}{}120,1B x x =∈-<<=N ，所以{}0,1A B = .故选：A.2.已知i 是虚数单位，x R ∈，复数()()2z x i i =++为纯虚数，则2x i -的模等于（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】先根据复数乘法运算法则计算，再根据纯虚数概念得x ，最后根据复数模的定义得结果.【详解】因为(i)(2i)(21)(2)i z x x x =++=-++为纯虚数，所以1210,202x x x -=+≠∴=，从而2i 1i x -=-=，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数是（）A .338C 2-⨯ B.338C 2⨯ C.38C - D.38C 【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出2x 项的系数作答.【详解】二项式82()x x-展开式的通项公式为：8821882C ((2)C ,N,8r rr r r r r T xx r r x--+=-=-∈≤，令822r -=，解得3r =，于是332332488(2)C C 2T x x =-=-⨯，所以所求系数为338C 2-⨯.故选：A4.下列化简不正确的是（）A.223cos 15sin 152-=B.tan 48tan 721tan 48tan 72+=-C.1cos82sin 52sin82cos1282+=-ooooD.1sin15sin 30sin 758=【答案】B 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可计算得A 正确；由两角和的正切公式可知B 错误；利用两角和的正弦公式可求出C 正确；利用正弦的二倍角公式可计算得D 正确.【详解】A 选项，22cos 15sin 15cos302-==，A 选项正确.B 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72+=+==-，B 选项错误.C 选项，()cos82sin 52sin82cos128cos82sin 52sin82cos 18052+=+-ooooooooo()cos82sin 52sin82cos522sin 5281sin 302=--=--== ，所以C 选项正确.D 选项，易知sin 3012=，所以1sin15sin 30sin 75sin15sin 752 =()1111sin sin 90sin cos sin 30224815151515=-=== ，D选项正确.故选：B5.用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,3,,7i i x y i = ，其中1277x x x +++= ，设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4z x =+，则127y y y = （）A.70e B.35e C.70D.35【答案】B 【解析】【分析】根据回归直线方程必过样本中心点()x z ，再结合题意以及对数的运算计算即可.【详解】因为1277x x x +++= ，所以12717x x x x +++== ，则45z x =+=，即()1271ln ln ln 57y y y +++= ，即()127ln 35y y y = ，所以35127e y y y = .故选：B.6.一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则(0)(1)(2)f f f ++=（）A.0B.1C.3D.4【答案】C 【解析】【详解】设()sin()h f t A t k ωϕ==++，由三角函数的性质求解．【分析】由题意设()sin()h f t A t k ωϕ==++，则2,1A k ==，3T =，则2π2π3T ω==，当0=t 时，(0)2sin 10f ϕ=+=，取π6ϕ=-，故2ππ()2sin()136f t t =-+，(0)0,(1)3,(2)0f f f ===，(0)(1)(2)3f f f ++=，故选：C7.已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A.12B.14C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】∵tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤ （当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.8.已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（）A.1B.2(1)a - C.1- D.1a-【答案】A 【解析】【分析】令x t xe =，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑2(1)10t a t a +-+-=有两个不同的根，从而可得3a <-或1a >，结合图象可得111x x e t =，221x x e t =，332x x e t =，结合韦达定理即可得到所求值．【详解】解：令x t xe =，则(1)x t x e '=+，故当(1,)x ∈-+∞时，0t '>，x t xe =是增函数，当(,1)x ∈-∞-时，0t '<，x t xe =是减函数，可得=1x -处x t xe =取得最小值1e-，x →-∞，0t →，画出x t xe =的图象，由()0f x =可化为2(1)10t a t a +-+-=，故结合题意可知，2(1)10t a t a +-+-=有两个不同的根，故2(1)4(1)0a a ∆=--->，故3a <-或1a >，不妨设方程的两个根分别为1t ，2t ，①若3a <-，1214t t a +=->，与1220t t e-<+<相矛盾，故不成立；②若1a >，则方程的两个根1t ，2t 一正一负；不妨设120t t <<，结合x t xe =的性质可得，111x x e t =，221x x e t =，332x x e t =，故3122123(1)(1)(1)xxxx e x e x e ---2112(1)(1)(1)t t t =---21212(1())t t t t =-++又121t t a =- ，121t t a +=-，31222123(1)(1)(1)(111)1x x x x e x e x e a a ∴---=-++-=．故选：A ．【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a ，b满足1a b == 且|2|b a -= ，则下列结论正确的是（）A.||a b -=B.2a b += C.,60a b 〈〉=︒D.a b⊥【答案】AD 【解析】【分析】先对条件|2|b a -=进行化简得到a b ⋅，再结合选项逐个判定可得答案.【详解】因为|2|b a -= ，所以22445b a b a -⋅+= ；因为1a b == ，所以0a b ⋅= ，所以,90a b =︒，故C 错误，D 正确；因为222||22a b a a b b -=-⋅+= ，所以||a b -=，A 正确；因为22222a a b b b a +⋅+=+= ，所以a b += ，B 错误；故选：AD.10.给出以下四个结论：①函数sin y x =与log y x π=的图象只有一个交点；②函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象有无数个交点；③函数sin y x =与y x =的图象有三个交点；④函数sin y x =与tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点.则正确结论的序号为（）A.①B.②C.③D.④【答案】ABD 【解析】【分析】①：在同一坐标系内作出函数sin y x =与log y x π=的图象，看两图象交点个数进行判断；②：在同一坐标系内作出函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，看两图象交点个数进行判断；③：在同一坐标系内作出函数sin y x =与y x =的图象，看两图象交点个数进行判断；④：解方程sin tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭进行判断即可.【详解】①：在同一坐标系内作出函数sin y x =与log y x π=的图象，如下图所示：由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故本结论正确；②：在同一坐标系内作出函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下图所示：由图象可知：在[0,2]x πÎ时，两个函数图象有2个交点，但是函数sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，故当[0,)x ∈+∞时，有无数个交点，故本结论正确；③：在同一坐标系内作出函数sin y x =与y x =的图象，如下图所示：即函数sin y x =与y x =的图象只有一个交点，故本结论错误；④：sin 1sin tan sin sin (1)0,0cos cos 22x x x x x x x x x ππ⎛⎫=⇒=⇒-=∈-∴= ⎪⎝⎭，因此函数sin y x =与tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点，故本结论正确.故选：ABD【点睛】本题考查了两个函数图象的交点问题，考查了数形结合思想、直接法，属于中档题.11.下列关于随机变量X 的说法正确的是（）A.若X 服从正态分布(1,2)N ，则(22)4D X +=B.已知随机变量X 服从二项分布(2,)B p ，且5(1)9P X ≥=，随机变量Y 服从正态分布2(2,)N σ，若(0)2p P Y <=，则1(24)3P Y <<=C.若X 服从超几何分布(4,2,10)H ，则期望4()5E X =D.若X 服从二项分布1(4,3B ，则方差8()9D X =【答案】BCD 【解析】【分析】根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可.【详解】对A ，由于()1,2X N ，所以()D X =()()2222D X D X +==，故A 错误；对B ，X 服从二项分布()2,B p ，()()()()2212511212C 9P X P X P X p p p p p ∴≥==+==-+=-=，解得13p =，()106P Y ∴<=，根据正态分布的对称性可得，()1243P Y <<=，故B 正确；对C ，X 服从超几何分布()4,2,10H ，根据超几何分布的期望公式，()424105E X ⨯==，故C 正确；对D ，X 服从二项分布14,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布方差公式得，()()12814339D X np p =-=⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD.12.设函数()ex xf x k =-，()e x g x x =-，下列命题正确的是（）A.若函数()f x 有两个零点，则10e<<k ，B.若()0f x ≤恒成立，则1ek <C.若1x ∀，2x ，120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x -<-恒成立等价于1a ≤D.1,e ex ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()1ln 0g x x x-->恒成立．【答案】AC 【解析】【分析】利用导数求函数e xxy =的最大值，结合变化趋势考察与y k =的关系可判断AB ；构造函数22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--，将问题转化为导数在(0,)+∞大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C ；取1ex =，然后使用放缩法可判断D .【详解】1()ex xf x -'=，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，故1x =时，()f x 有最大值max 1()(1)ef x f k ==-，又0x >时，0e x x>,且x 越大时，e x x 趋近于0，要使函数()f x 有两个零点，则10e<<k ，故A 正确，B 错误；若1x ∀，2x ，120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x -<-恒成立等价于函数22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--在(0,)+∞上单调递增，等价于()2(e 1)0x h x ax '=--≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()e 1x m x ax =--，则()e x m x a '=-，当1a ≤时，()0m x '≥，所以当0x >时，()(0)0m x m >=成立，当1a >，(0,ln )x a ∈时，()0m x '<，此时()(0)0m x m <=，不满足题意，故C正确；记11()()ln e ln x s x g x x x xx x =--=---，则1e 11(e e 1e e s ==--+，因为11e 2e e <<11e 3>，所以1e 1112(e e 1e 1e<0e e 33s ==--+<-+=-，故在区间1(,e)e 上存在0x 使得0()0m x ≤，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则sin α=___________.【答案】43310+【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦运用正弦的和角公式可得答案.【详解】02πα<<Q ，663πππα∴-<-<，又3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3414525210+=⨯+⨯=，故答案为：410+.【点睛】关键点点睛：在解决三角函数中的给值求值问题时，关键在于运用已知的角去表示待求的角，再利用相应的三角函数公式得以解决.14.数据15,16,23,24,28,36,37,42,45,53,58,76的25百分位数是__________.【答案】23.5##472【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】共12个数据，1225%3⨯=，第3,4个数据分别为23,24，232423.52+=.故答案为：23.5.15.已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【答案】143【解析】【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得()32432k k πππωπ+=+∈Z ，由此求得ω的值．【详解】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω-≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=.故答案为：14316.已知函数31sin cos 22y x x ππ=+在2,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（23t >）时的最小值为m ，最大值为M ，若20M m +=，则()m M t +的取值范围为______．【答案】21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题易得sin 6y x ππ⎛⎫=+⎪⎝，在坐标系内画出函数的图象结合20M m +=分析可得12M =，1m =-，313266t ππππ≤+≤，423t ≤≤，最后由()12m M t t +=-得出答案即可.【详解】1sin cos sin 226y x x x ππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为2,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,666z x t πππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，在坐标系内画出函数y =sin z 的大致图象如下：由图象并结合20M m +=可知，当566x πππ+=，即23x =时，y 取得最大值，最大值为12M =，因此y 的最小值m 为1-，要使y 取得最小值，由图象可知必有313266t ππππ≤+≤，解之得423t ≤≤，所以()21,231m M t t +=⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈.故答案为：21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()cos ,sin2m x x = ，()2cos ,1n x =-，()f x m n =⋅ .（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间：（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【答案】（1）π；π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）当0x =时，()f x 的最大值为2，当3π8x =时，()f x的最小值为1【解析】【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出()f x 的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦函数性质求解其周期与减区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值即可.【小问1详解】已知向量()cos ,sin 2m x x = ，()2cos ,1n x =-，所以()2π2cos sin 21cos2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ .故函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由π2π22π+π4k x k ≤+≤，解得：π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .【小问2详解】由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故当ππ244x +=，即0x =时，()f x 取得最大值，最大值为2；当π2π4x +=，即3π8x =时，()f x 取得最小值，最小值为1+.18.设ABC 三个内角,,A B C 所对的变分别为,,a b c 已知π,cos 6A b C a ==（1）求角C 的大小；（2）如图，在ABC 的一个外角ACD ∠内取一点P ，使得2PC =，过点P 分别作直线CA CD 、的垂线PM PN 、，垂足分别为M N 、.设PCA α∠=，求PM PN +的最大值及此时α的取值.【答案】（1）π3C =（2）当π3α=时，PM PN +取得最大值为【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得B ，进而求得C .（2）求得PM PN +的表达式，结合三角函数最值的求法，求得PM PN +的最大值以及此时对应的α的值.【小问1详解】依题意π,cos 6A b C a ==，由余弦定理得222222222,22a b c a b c b a b a c ab a+-+-⋅===+，所以ππ,23B C ==.依题意可知π2sin ,2sin 3PM PN αα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以π132sin 2sin 2sin 2sin cos 322PM PN ααααα⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3sin6ααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,2πππ5π0,,,3666αα⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当πππ,623αα+==时，PM PN +取得最大值为19.已知函数2()2ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当0a >时，1()2f x a≥-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明1ln 10a a+-≥，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【小问1详解】因为2()2ln f x ax x =-，所以()2212()2,0ax f x ax x x x-'=-=>．①当0a ≤时，()0,()'<f x f x 在(0,)+∞单调递减；②当0a >时，由()0f x '<得0x <<，由()0f x '>得x >，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．当0a >时，min ()ln 1f x f a ==+，要证明1()2f x a ≥-，只要证1ln 12a a +≥-，即证1ln 10a a+-≥，设1()ln 1,0a a a aϕ=+->，则22111()a a a a a ϕ-'=-=，令()0a ϕ'=得1a =，列表得a(0,1)1(1,)+∞()a ϕ'-0+()a ϕ单调递减极小值单调递增所以()(1)0a ϕϕ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以1()2f x a ≥-．20.如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高6SO =点P 在高SO 上，ABC 是圆锥SO 底面的内接正三角形.（1）若PO =:PA ⊥平面PBC（2）点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意易证AP BP ⊥，AP CP ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明PA ⊥平面PBC .（2）首先点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和基本不等式得到当PO =PE 与平面PBC 所成角的正弦值最大，再求三棱锥-P ABC 的体积即可.【小问1详解】因为AE AS =，AS SE =，所以ACE △是正三角形，则π3SAO ∠=，易知SO ⊥底面圆O ，而AE ⊂底面圆O ，所以SO AE ⊥，又在Rt AOS 中，6SO =，所以AO ==，因为ABC是正三角形，所以26AB AO ===，且AP ==BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，,BP PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；【小问2详解】如图，因为AE BC ⊥，所以以点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -，设||,(06),(0,0,),(2(PO m m P m E B C =≤≤∴-，所以0,),),(),PE m PB m PC m =-=-=--设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则·3z 0·30n PB x m n PC x mz ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，令0x =，则,y m z ==(0,n m →=，设直线EP 和平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,PE n θ==13=，当且仅当2236m m =，即PO m =PE 所在直线和平面PBC 所成角的正弦值最大，故2111sin 60332ABC V S PO AB =⋅=⨯⨯⨯⨯ .21.某高校男､女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男､女各60名学生的成绩，情况如下表：合格不合格男生3525女生4515（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？（2）从这60名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；（3）将抽取的这120名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率.若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加16.现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关（2）分布列见解析，()76=E X （3）289324【解析】【分析】（1）由条件计算2K ，再比较其与临界值的大小，并作出判断；（2）由条件确定X 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；（3）根据概率乘法公式和概率加法公式求对应事件的概率．【小问1详解】完善二联表如下：合格不合格总计男生352560女生451560总计8040120所以22120(35154525) 3.75 6.63560608040K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关；【小问2详解】合格人数X 的取值有0，1，2，225260C 10(0)C 59P X ===，113525260C C 175(1)C 354P X ===，235260C 119(2)C 354P X ===，所以X 的概率分布为：X012P1059175354119354所以101751197()012593543546E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由已知该校学生首次参加英语四级考试成绩合格的概率为8021203=，首次不合格第二次合格的概率为125636+=，所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩合格的概率为224339⨯=，两位同学其中一位首次合格，另一位同学首次不合格，第二次合格的概率为21102363275⨯⨯⨯=，两位同学都首次不合格，第二次都合格的概率为22152536324⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率为42528992734142023++=22.已知函数1()ln ()ex f x k x k =+∈R .（1）若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；（2）已知120x x <<.（i ）当1ek =时，证明：2121e e 1e e x x x x --＞；（ii ）若1212x x x x k e e==，证明：()()121f x f x -＜.【答案】（1）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得原题意等价于exxk ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x x x x ϕ=>，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；（2）（i ）取1e k =，根据题意分析可得2121e e e ln e x x x x ->-，构建()ln 1g x x x =--，结合导数证明2211ln1x x x x ->-即可；（ii ）根据题意分析可得1201x x <<<，()1111ln e 1x x x f x +=，()2222ln e1x x x f x +=，构建ln 1())e (0xx x g x x +=>，结合导数证明()()12101e f x f x <<<<，即可得结果.【小问1详解】∵1()ln ()e xf x k x k =+∈R ，则1()(0)ex k f x x x '=->若()f x 是增函数，则1()0e x k f x x '=-≥，且0x >，可得ex xk ≥，故原题意等价于e x xk ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x x x x ϕ=>，则()1()0ex xx x ϕ-'=>，令()0x ϕ'>，解得01x <<；令()0x ϕ'<，解得1x >；则()ϕx 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()1()1ex ϕϕ≤=，∴k 的取值范围为1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】（i ）由（1）可知：当1ek =时，ln 1()e e x x f x =+单调递增，∵120x x <<，则()()21f x f x >，即21211111ln ln e e e e x x x x +>+，整理得211212e eln ln e e ln x x x x x x =-->-，构建()ln 1g x x x =--，则()()1110x g x x x x-'=-=>，令()0g x '<，解得01x <<；令()0g x '>，解得1x >；则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()()ln 110g x x x g =--≥=，即ln 1x x -≥-，当且仅当1x =时等号成立，令211x x x =>，可得2211ln 1x xx x ->-，故21211x x x e e e e x ->-；（ii ）∵1212x x x x k e e==，则1212110e e x x k k x x -=-=，可知1()0ex k f x x '=-=有两个不同实数根12,x x ，由（1）知1201x x <<<，可得()1111111111ln 111ln l e e e n e x x x x x x x f x k x x +=+=+=，同理可得()2222ln e1x x x f x +=，构建ln 1())e (0xx x g x x +=>，则()e (1)ln ()0x x x g x x -'=>，当01x <<时，(1)ln 0x x -<；当1x >时，(1)ln 0x x -<；当1x =时，(1)ln 0x x -=；且e 0x >，故()0g x '≤对()0,x ∀∈+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，∵1201x x <<<，则()()21()1g x g g x <<，即()()21e1f x f x <<，且22ln 0,e 0xx >>，则22ln 10x x +>，故2222ln 1)0e(x x x g x +=>，可得()210ef x <<；又∵101x <<，由（i ）可得11ln 1x x ->-，即11ln 1x x <-，则()11111ln 1111e xx x x x +<-+<<，第21页/共21页且1e 0x >，则111ln 11e x x x +<，可得()111e f x <<；综上所述：()()12101e f x f x <<<<.可得()21e0f x -<-<，则()()1201f x f x <-<故()()()()12121f x f x f x f x -=-<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数()h x ．（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

江苏省泰州中学 2021 届高三第一次月度检测(数学)及答案

x1 f x2
x1 x2
0．
当1 x1 x2 时， g x1 g x2 ∴ f x1 x1 f x2 x2 ，
∴
f
x1
f
x2
x1 x2 ，∴
f
x1 f x2
x1 x2
0．
D．正确；因为 ln x 1 时， f x 单调递增，又∵A 正确，
9．关于双曲线 C1 ：
x2 9
y2 16
1与双曲线 C2 ：
y2 9
x2 16
1 ，下列说法正确的是（
）．
A．它们有相同的渐近线
B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等
D．它们的焦距相等
10．函数 y Asin x （ A 0 ， 0 ， 0 π ）在一个周期内的图象如图所示，则（）．
x2
即
x2
f
x1 x1 f
x2 ．
B．错误；因为令 g x f x x x ln x x ，∴ g x ln x 2 ，
∴ x e2, 时， g x 0 ， g x 单调递增， x 0, e2 时， g x 0 ， g x 单调递减．
∴ x1 f x1 与 x2 f x2 无法比较大小． C．错误；因为令 g x f x x x ln x x ， g x ln x ，
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______．（1）求角 B ；
（2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值．
【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设数列 an

2017届江苏省泰州中学高三上学期第一次月考数学(理)试题

2017届江苏省泰州中学高三上学期第一次月考数学（理）试题高三数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B = ．2.命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是命题．（填“真”或“假”） 3.函数6()12log f x x =-的定义域为． 4.已知角α的终边过点(8,6sin 30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为． 5.函数()log (1)1a f x x =-+（1a >且1a ≠）恒过定点．6.函数2()2(1)2f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时()32xf x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ．8.若(0,)2πα∈，cos()22cos 24παα-=，则sin 2α= ．9.已知函数321()213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为．10.已知函数ln 5,(01)()9,(1)1x x x f x x m x x ++<≤⎧⎪=⎨++>⎪+⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为． 11.设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）12.设函数22,0,(),0,x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是．13.若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为．14.设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数21y x =+，(0,)x m ∈的值域为B ．（1）当2m =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 16.已知函数2()3sin cos cos f x x x x =-．（1）求()f x 的值域和最小正周期；（2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值． 17.已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于x 的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于x 的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．18.为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE ⊥FH ．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=．（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19.已知函数()ln ()||f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x 处的切线分别为1l ，2l ，若12ax =-，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值． 20.已知函数2()(ln )x f x e a x b x=++，其中a ，b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-，求实数a ，b 的值；（2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；②若2a =，2b ≥-，若()f x kc ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围（用b 表示）．江苏省泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测高三数学试卷（理科）答案一、填空题1.{}0,12.假3.(0,6]4.125.()2,16.(,0][5,)-∞+∞7.289- 8.1516 9.3(,4)210.1m ≤ 11.充要 12.2a ≤ 13.(0,)+∞ 14.4 二、解答题15.解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =，又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+，16.解：（1）因为31cos 2()sin 222x f x x +=-3cos 21sin 2222x x =--1sin(2)62x π=--，所以()f x 的值域为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小正周期为22T ππ==．（2）因为()1f x =-，所以1sin(2)162x π--=-，即1sin(2)62x π-=-，所以21cos(2)cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎡⎤-=--=-=-⎢⎥⎣⎦． 17.解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，由根与系数关系，得21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a <，解得2x a>或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a >，解得2x a<或2x >；综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．（2）假设存在满足条件的实数a ，由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤），对称轴322a t +=，因为(0,1)a ∈，所以21a a <<，325122a +<<，所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得512a -=． 18.解：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==，所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=，所以()2AD BC AB S +⋅=2(1sin )cos θθ=+，其中02πθ<<．（2）记()2(1sin )cos f θθθ=+，02πθ<<，22'()2(cos sin sin )f θθθθ=--2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+（02πθ<<）．当06πθ<<时，'()0f θ>，当62ππθ<<时，'()0f θ<，所以()f θ在(0,)6π上单调递增，在(,)62ππ上单调递减，所以max 33()()62f f πθ==，即6πθ=时，max 332S =． 19.解：函数22ln (),,()ln (),0,a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-≥⎪=⎨--<<⎪⎩求导得2222,,'()22,0.x cx ax c xf x x cx a x c x ⎧-+≥⎪⎪=⎨-++⎪<<⎪⎩ （1）当34a =-，14c =时，228231,,44'()8231,0.44x x x x f x x x x x ⎧--≥⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩①若104x <<，则2823'()04x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调递减；②若14x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=，令'()0f x =，解得34x =或12x =-（舍去），若1344x ≤<，则'()0f x <，()f x 在13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；若34x >，则'()0f x >，()f x 在3(,)4+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞．（2）当x c >，12a c =+时，(1)(2)'()x x a f x x --=，而112ac =+<，所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调递减；当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2(1)4a f =，所以2144a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥（舍去），又由102ac =+>，解得2a >-，所以实数a 的取值范围是(2,1]--．（3）由12l l ⊥知，'()'()12a f f c -=-，而'()af c c=，则'()2a c f a -=-，若2a c -≥，则2()222'()222a a c aa f c a---+-==--，所以2c c a -=-，解得12a =，不合题意，故2a c -<，则2()222'()8222a ac aa c f a c a a--+-+-==--+=--，整理得821a ac a -=+，由0c >，得12a <-，令8a t -=，则28t a =-，2t >，所以232282814t tt c t t -⋅==--+，设32()28t g t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-，当223t <<时，'()0g t <，()g t 在(2,23)上单调递减；当23t >时，'()0g t >，()g t 在(23,)+∞上单调递增；所以函数()g t 的最小值为33(23)2g =，故实数c 的最小值为332． 20.解：（1）由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)f e =；又因为222'()(ln )x a f x e a x b x x+=-++，则有(1)(2)0,'(1)(),f e b f e a b e =+=⎧⎨=+=⎩解得3a =，2b =-．（2）①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()(2ln )0x f x e x b x=--+=，若'()0f x =时，得222ln b x x=+，设22()2ln g x x x =+（0x >），由2332424'()x g x x x x -=-=，得2x =，(2)1ln 2g =+．当02x <<时，'()0g x <，函数()y g x =在区间(0,2)上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x （12x x <）．x1(0,)x1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞'()f x-0 + 0-()f x极大值极小值此时，函数()y f x =既有极大值又有极小值． ②由题意2(2ln )x e x b kx x++≥对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)k b e ≤+．下证2(2ln )(2)x e x b b ex x++≥+对一切正实数x 恒成立．首先，证明x e ex ≥，设函数()xu x e ex =-，则'()xu x e e =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得(1)0xe ex u -≥=，即x e ex ≥，当且仅当都在1x =处取到等号．再证1ln 1x x +≥，设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v ≥=，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号．由上可得2(2ln )(2)x e x b b ex x ++≥+，所以min ()()(2)f x b e x=+，所以(2)k b e ≤+．。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. ,，且，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.3. 函数的部分图像是A. B.C. D.4. 已知角的终边经过点，则（）．A. B. C. D.5. 已知，为第三象限角，则（）A. B. C. D. 6. 在中，如果，那么的形状为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形7. 如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则 ( )A. B. C. D.8. 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）. 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，. 根据这些信息，可得A. B. C. D.二、多选题9. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上的一点为，则下列各式一定为负值的是A. B. C. D.10. 已知函数，则（）A.函数在区间上为增函数B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到D.对任意，恒有11. 将函数的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则的值可能等于（）A. B. C.D.12. 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（）A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B.可以是某个圆的“优美函数”C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形三、填空题13. 已知函数则________.14. _________.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即，两点间的距离)，现取两点，，测得，，，，则图中海洋蓝洞的口径为________.16. 在中，角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为________.四、解答题17. 设函数且是定义域为的奇函数．求值；若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围．18. 如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．用，分别表示向量，；若，求实数的值．19. 已知，为锐角，，.求的值；求的值．20. 已知内角，，的对边分别为，，，．设为线段上一点，．有下列条件：①；②；③．请从这三个条件中任选两个，求的大小和的面积．21. 已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，求的单调递增区间；当时，求函数的值域．22. 已知函数，.若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法对数函数的定义域交集及其运算【解析】化简集合，，再求它们的交集即可．【解答】解：集合，集合，∴ .故选．2.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故与皆为正，可以得出，故可以确定结论．【解答】解：是偶函数且在上单调递增，∵，∴，皆为非负数.∵，∴，∴，∴ .故选.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数图象的作法函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，故选项错误；当时，，故，故选项，错误；综上，只有选项符合题意.故选.4.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值任意角的概念【解析】由题意任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得结论．【解答】解：∵角终边经过点，,则.故选．5.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，∴，即，∵是第三象限角，,,∴．故选．6.【答案】A【考点】三角形的形状判断两角和与差的余弦公式【解析】结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以B与一正一负，故而得解．【解答】解：,,，即与异号.又∵，，∴与一正—负，故必有一角为钝角，∴为钝角三角形．故选．7.【答案】C【考点】余弦定理向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解∶设，则，，所以，所以因为,所以.故选.8.【答案】D 【考点】三角函数的化简求值正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，由正弦定理可知：∴，又．故选.二、多选题9.【答案】A,B【考点】二倍角的余弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，逐个判断即可. 【解答】解：由三角函数的定义可知：，，，①当时，，,②当时，，,，，故选项满足题意；，，故选项满足题意；，由①可知：，故选项不满足题意；，.故选项不满足题意.故选.10.【答案】A,B,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】求出三角函数的增区间判断A；把代入函数的解析式求解函数值判断B；利用函数图象的平移求得函数解析式判断C；直接代入验证判断D．【解答】解：，由，，解得，，取，得，∴在区间上为增函数，故正确；取，得为函数的最大值，∴直线是函数图象的一条对称轴，故正确；函数的图象向右平移个单位，得，故错误；对任意，，故正确．故选.11.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法【解析】由题意将函数的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出与，的关系，然后判断选项．【解答】解：因为将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得，，，符合题意.故选.12.【答案】A,B,C【考点】函数新定义问题【解析】利用“优美函数”的定义判断选项，，正确，函数＝的图象是中心对称图形，则函数＝是“优美函数”，但是函数＝是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项错误．【解答】解：对于，圆的‘’优美函数‘’可以有无限个，故选项正确；对于，因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆“优美函数”，故选项正确；对于，将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项正确；对于，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的充分不必要条件，故选项错误.故选．三、填空题13.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】化为，然后展开两角和的正弦求解．【解答】解：．故答案为：.15.【答案】【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出的值，中利用等角对等边求出的值，再在中由余弦定理求得的值．【解答】解：如图所示，在中，，，，所以.由正弦定理得：，解得，在中，，，，所以，所以；在中，由余弦定理得：，所以，即，两点间的距离为.故答案为：.16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，可得，的值，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可求解其最大值．【解答】解：由余弦定理得，∴，∴，，，.又∵，由余弦定理可得：，∴，∴．∴面积的最大值为．故答案为：．四、解答题17.【答案】解：∵是定义域为的奇函数，∴，∴，∴．函数且，∵，∴，∵，∴．由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减.不等式，可化为,∴，即恒成立，∴ .解得．【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】（1）根据奇函数的性质可得＝，由此求得值．（2）由＝且，，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围．【解答】解：∵是定义域为的奇函数，∴，∴，∴．函数且，∵，∴，∵，∴．由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减.不等式，可化为,∴，即恒成立，∴ .解得．18.【答案】解：由题意，为的中点，且.∵，∴，∴ .∵，∴ .∵，∴，共线，∴，∴．【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的共线定理【解析】（1）利用向量的线性运算，即可用，分别表示向量，；（2）若，利用，共线，求实数的值．【解答】解：由题意，为的中点，且.∵，∴，∴ .∵，∴ .∵，∴，共线，∴，∴．19.【答案】解：因为，所以.因为，为锐角，所以，，又因为，，所以，，所以．【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以.因为，为锐角，所以，，又因为，，所以，，所以．20.【答案】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得. 又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以．所以，所以，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理及，可得. 又，所以，所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得.又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以．所以，所以，所以.21.【答案】解：由图得，，．由得，，.，．由得，,,．令,解得．的单调递增区间为．．，，，，即的值域为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由图得，，．由得，，.，．由得，,,．令,解得．的单调递增区间为．．，，，，即的值域为．22.【答案】解：由知，的图象过点.设函数的图象与函数的图象切于点, 由得切线方程是，此直线过点,故，解得，所以由题意得，恒成立．令，，则，再令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而在上有最小值，即有在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以.所以实数的取值范围是.若，在上单调递增，故在上总有零点的必要条件是，即. 以下证明当时，在上总有零点．①若，由于, ，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．②若，由知在上恒成立．取，则由于，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．综上，实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由知，的图象过点.设函数的图象与函数的图象切于点, 由得切线方程是，此直线过点,故，解得，所以由题意得，恒成立．令，，则，再令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而在上有最小值，即有在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以.所以实数的取值范围是.若，在上单调递增，故在上总有零点的必要条件是，即. 以下证明当时，在上总有零点．①若，由于, ，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．②若，由知在上恒成立．取，则由于，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．综上，实数的取值范围是.第21页共22页◎第22页共22页。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知下列各角：①−120∘②−240∘③180∘④495∘，其中是第二象限角的是()A.①②B.①③C.②③D.②④2. 若扇形的中心角为120∘，半径为√3，则此扇形的面积为()A.√3π3B.5π4C.2√3π9D.π3. 三个数(1π)e，e1π，ln1π的大小关系为()A.ln1π<(1π)e<e1π B.(1π)e<ln1π<e1πC.ln1π<e1π<(1π)eD.(1π)e<e1π<ln1π4. 欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e−i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 已知sin(π2+α)=35，α∈(0, π2)，则sin(π+α)=()A.3 5B.−35C.45D.−456. 已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x−3y=0(x≤0)上，则cosα−sinα的值为()A.−15B.−35C.15D.357. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)，则f(−log35)的值为()A.4B.−4C.6D.−68. 已知函数f(x)={x3，x≥0，−x，x<0，若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )A.(−∞,−12)∪(2√2,+∞) B.(−∞,−12)∪(0,2√2)C.(−∞,0)∪(0,2√2)D.(−∞,0)∪(2√2,+∞)二、多选题下列化简正确的是()A.tan(π+1)=tan1B.sin(−α)tan(360∘−α)=cos αC.sin(π−α)cos(π+α)=tan α D.cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1已知sinθ=−23，且cosθ>0，则()A.tanθ<0B.tan2θ>49C.sin2θ>cos2θD.sin2θ>0已知函数f(x)={3x−9,x≥0,xe x,x<0,若f(x)的零点为α，极值点为β，则()A.α=0B.α+β=1C.f(x)的极小值为−e−1D.f(x)有最大值设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”．则下列函数是“倍约束函数”的有()A.f(x)=2xB.f(x)=x2+1C.f(x)=sin x+cos xD.f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f(x1)−f(x2)|≤2|x1−x2|三、填空题计算sin40∘sin100∘−sin50∘sin10∘=________．已知sin α−sin β=√63，cos α−cos β=√33，则cos (α−β)=________．已知α为锐角，sin (π3−α)=√33，则cos α=________．若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为________．四、解答题计算：(1)已知sin 2(π4+α)=23，求sin 2α的值；(2)已知α，β都是锐角，且cos (α+β)=−35，sin β=1213，求cos α．化简下列各式： (1)tan (2π−α)⋅sin (−2π−α)⋅cos (6π−α)cos (α−π)⋅sin (5π−α)；(2)√1+2sin 290∘cos 430∘sin 250∘+cos 790∘．已知函数f(x)=log a 1+x1−x (a >0，a ≠1)． (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)若f(t 2−t −1)+f(t −2)<0，求实数t 的取值范围．“既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C （与A ，B 不重合），沿AC 修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧BC 修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计.(1)设∠BAC =θ(弧度)，将绿化带的总长度表示为θ的函数f(θ)；(2)求绿化带的总长度f(θ)的最大值.已知幂函数f(x)=x (2−k)(1+k)，k ∈Z ，且f(x)在(0, +∞)上单调递增． (1)求实数k 的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)若F(x)=2f(x)−4x +3在区间[2a, a +1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)试判断是否存在正数q ，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q −1)x 在区间[−1, 2]上的值域为[−4,178]，若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f (x )=a ln x +x 2（a 为常数）． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)是否存在正实数a ，使得对任意x 1，x 2∈[1,e ]，都有|f (x 1)−f (x 2)|≤|1x 1−1x 2|，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)当a =1时， f (x )≤e x −bx x 2+x 2对∀x ∈(0,+∞)恒成立，求整数b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】象限角、轴线角【解析】利用第二象限角的集合，判断即可.【解答】解：∵第二象限角的集合为：{x|90∘+360∘k<x<180∘+360∘k,k∈Z}，∴其中是第二象限角的是：②−240∘，④495∘.故选D.2.【答案】D【考点】扇形面积公式【解析】【解答】解：∵扇形的中心角为120∘，即为2π3，半径为√3，∴扇形的弧长l=2π3×√3=2√3π3，∴扇形的面积S=12lr=12×2√3π3×√3=π.故选D.3.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用对数函数性质，指数函数性质得到三个数的范围，再进行半径即可求解. 【解答】解：∵0<(1π)e<(1π)=1，e1π>e0=1，ln1π<ln1=0，∴ln1π<(1π)e<e1π.故选A.4.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义三角函数值的符号【解析】【解答】解：由欧拉公式e ix=cos x+i sin x，可得e−i=cos(−1)+i sin(−1)．∵−π2<−1<0，∴cos(−1)>0，sin(−1)<0，∴e−i表示的复数在复平面中位于第四象限.故选D．5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值【解析】已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，再由α的范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin(π2+α)=cosα=35，α∈(0, π2)，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π+α)=−sinα=−45．故选D.6.【答案】C【考点】任意角的三角函数【解析】【解答】解：∵角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x−3y=0(x≤0)上，∴不妨令x=−3，则y=−4，r=5，∴cosα=xr=−35，sinα=yr=−45，∴ cos α−sin α=15.故选C . 7.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由题设条件可先由函数在R 上是奇函数求出参数m 的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f(−log 35)=−f(log 35)代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=3x +m (m 为常数)， ∴ f(0)=30+m =0，解得：m =−1， ∴ 当x ≥0时，f(x)=3x −1. ∵ log 35>0，∴ f(−log 35)=−f(log 35)=−(3log 35−1)=−4. 故选B . 8. 【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】问题转化为|kx −2|=f(x)|x|恰有3个实根，即y =|kx −2|与ℎ(x)=f(x)|x|有3个不同的交点，再分三种情况：当k =0，k <0，k >0时，讨论两个函数是否能有3个交点，进而得出k 的取值范围.【解答】解：∵ g (0)=0，∴ 要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx −2|=f (x )|x|恰有3个实根即可，令ℎ(x )=f (x )|x|，即y =|kx −2|与ℎ(x )=f (x )|x|的图象有3个不同交点．∵ ℎ(x )=f (x )|x|={x 2，x >0，1，x <0，∴ ①当k =0时，此时y =2，如下图所示：y =2与ℎ(x )=f (x )|x|有1个交点，不满足题意；②当k<0时，如下图所示：此时y =|kx −2|与ℎ(x )=f (x )|x|恒有3个交点，满足题意；③当k >0时，如下图所示：需证明当x >2k 时，函数y =|kx −2|与ℎ(x )=f (x )|x|的图象有2个交点，当x >2k时，y =kx −2，ℎ(x)=x 2，∴ Δ>0得k 2−8>0，解得k >2√2，设两交点横坐标为x 1，x 2，且x 1<x 2，解出：x 1=k−√k 2−82=k+√k 2−8，∵ k 2−8<k 2， ∴ x 1>42k =2k .∴ k >2√2.综上，k 的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞). 故选D ．二、多选题【答案】 A,B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可的结果．【解答】解：A ，tan (π+1)=tan 1，故A 正确； B ，sin (−α)tan (360∘−α)=−sin α−tan α=cos α，故B 正确； C ，sin (π−α)cos (π+α)=sin α−cos α=−tan α，故C 错误； D ，cos (π−α)tan (−π−α)sin (2π−α)=−cos α⋅(−tan α)−sin α=−1，故D 错误.故选AB . 【答案】 A,B【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】由同角三角函数的基本关系，求出cos θ及tan θ，进而得解．【解答】解：∵ sin θ=−23，且cos θ>0， ∴ cos θ=√1−(−23)2=√53， ∴ tan θ=sin θcos θ=−2√55<0；tan 2θ=45>49；49=sin 2θ<cos 2θ=59；sin 2θ=2sin θcos θ<0. 故选AB . 【答案】 B,C【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】本题主要考查函数的零点和极值点的求法，掌握方法即可解得. 【解答】解：∵ 当x ≥0时，3x −9=0，解得：x =2， ∴ 函数f (x )的零点为2；∵ 当x <0时，xe x =0无解， ∴ 当x <0时，函数f (x )无零点.综上所述，α=2.当x ≥0时，f (x )为增函数，此时f (x )无极值，也无最大值； ∵ 当x <0时，f ′(x )=e x +xe x =(1+x )e x ,当x <−1时，f ′(x)<0；当−1<x <0时，f ′(x)>0，∴ 函数f (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，∴ 函数f (x )在x =−1处取得极小值，极小值点为−1，极小值为f(−1)=−e −1， ∴ β=−1，∴ α+β=2−1=1. 故选BC . 【答案】 A,D【考点】函数新定义问题函数恒成立问题【解析】【解答】解：A ，∵ 对于函数f (x )=2x ，存在常数M =2，使|f (x )|≤M|x|对一切实数x 均成立，∴ 函数f (x )=2x 是“倍约束函数”，故A 正确；B ，∵ 对于函数f (x )=x 2+1，当x =0时，f (x )=1，∴ 不存在常数M >0，使|f (x )|≤M|x|对一切实数x 均成立， ∴ 函数f (x )=x 2+1不是“倍约束函数”，故B 错误；C ，∵ 对于函数f (x )=sin x +cos x ，当x =0时，f (x )=1， ∴ 不存在常数M >0，使|f (x )|≤M|x|对一切实数x 均成立， ∴ 函数f (x )=sin x +cos x 不是“倍约束函数”，故C 错误；D ，∵ f (x )是定义在实数集R 上的奇函数， ∴ f (0)=0.∵ 当x 1=x(x ∈R )，x 2=0时，由|f (x 1)−f (x 2)|≤2|x 1−x 2|可得，|f(x)|≤2|x|成立，这样的M 存在， ∴ 函数f (x )是“倍约束函数”，故D 正确. 故选AD . 三、填空题【答案】12【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式【解析】利用诱导公式将角度统一，结合两角和与差的正弦公式得到答案. 【解答】解：sin 40∘sin 100∘−sin 50∘sin 10∘=sin 40∘sin (90∘+10∘)−sin (90∘−40∘)sin 10∘ =sin 40∘cos 10∘−cos 40∘sin 10∘=sin(40∘−10∘)=12.故答案为：12.【答案】12【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：∵sinα−sinβ=√63，cosα−cosβ=√33，∴(sinα−sinβ)2=sin2α+sin2β−2sinαsinβ=23①，(cosα−cosβ)2=cos2α+cos2β−2cosαcosβ=13②，①+②得，2−2sinαsinβ−2cosαcosβ=1，∴cos(α−β)=12.故答案为：12.【答案】1+√6【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．【解答】解：∵α为锐角，∴0<α<π2，则−π2<−α<0，即−π6<π3−α<π3.∵sin(π3−α)=√33，∴cos(π3−α)=√1−(√33)2=√69=√63，∴cosα=cos(−α)=cos[(π3−α)−π3]=cos(π3−α)cosπ3+sin(π3−α)sinπ3=√63×12+√33×√32=12+√66.故答案为：12+√66.【答案】y=12x+12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程点到直线的距离公式【解析】【解答】解：设直线l的方程为y=kx+b，直线l与曲线y=√x的切点为A(x0,y0)，f(x)=√x，则f′(x)=2√x，k=2x，∵点A在直线l上，∴y0=2xx0+b.∵y0=√x0，∴√x0=2√x⋅x0+b，∴b=12√x0，∴直线l的方程为y=2x+12√x0，化简得2x−y+12√x0=0.∵直线l与圆x2+y2=15相切，圆x2+y2=15的圆心为(0,0)，半径为√55，∴圆心(0,0)到直线l的距离等于半径，∴|12√x|√(2√x)+(−1)2=√55(x0≥0)，解得：x0=1，∴直线l的方程为12x−y+12=0，即y=12x+12.故答案为：y=12x+12.四、解答题【答案】解：(1)∵sin 2(π4+α)=(√22cos α+√22sin α)2 =12(1+sin 2α)=23， ∴ sin 2α=13.(2)∵ α，β都是锐角，cos (α+β)=−35，sin β=1213， ∴ sin (α+β)=45，cos β=513， ∴ cos α=cos [(α+β)−β]=cos (α+β)cos β+sin (α+β)sin β =(−35)×513+45×1213=3365.【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)∵ sin 2(π4+α)=(√22cos α+√22sin α)2 =12(1+sin 2α)=23，∴ sin 2α=13.(2)∵ α，β都是锐角，cos (α+β)=−35，sin β=1213，∴ sin (α+β)=45，cos β=513，∴ cos α=cos [(α+β)−β] =cos (α+β)cos β+sin (α+β)sin β =(−35)×513+45×1213=3365. 【答案】解：(1)原式 =sin (2π−α)cos (2π−α)⋅sin (−α)⋅cos (−α)cos (π−α)⋅sin (π−α)=−sin αcos α⋅−sin α−cos α⋅cos αsin α=−tan α. (2)原式=√1+2sin (360∘−70∘)cos (360∘+70∘)sin (180∘+70∘)+cos (720∘+70∘)=√1−2sin 70∘cos 70∘−sin 70∘+cos 70∘=|cos 70∘−sin 70∘|cos 70∘−sin 70∘ =sin 70∘−cos 70∘cos 70∘−sin 70∘=−1．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解：(1)原式 =sin (2π−α)cos (2π−α)⋅sin (−α)⋅cos (−α)cos (π−α)⋅sin (π−α)=−sin αcos α⋅−sin α−cos α⋅cos αsin α=−tan α. (2)原式=√1+2sin (360∘−70∘)cos (360∘+70∘)sin (180∘+70∘)+cos (720∘+70∘)=√1−2sin 70∘cos 70∘∘∘=|cos 70∘−sin 70∘|cos 70∘∘ =sin 70∘−cos 70∘cos 70∘−sin 70∘=−1．【答案】解：(1)1+x 1−x>0⇒x ∈(−1,1)，定义域关于原点对称，任意取x ∈(−1, 1)， f(−x)=log a1−x 1+x=log a (1+x 1−x)−1=−log a1+x 1−x=−f(x)，故函数f(x)是奇函数．(2)∵ 当x ∈(−1, 1)时，1+x1−x =−1+21−x 单调递增，∴ 当a >1时，f(x)在(−1,1)上单调递增；当0<a <1时，f(x)在(−1,1)上单调递减． ∵ 函数f(x)是奇函数，∴ f(t 2−t −1)+f(t −2)<0⇔f(t 2−t −1)<f(2−t)，当a >1时，−1<t 2−t −1<2−t <1，解得：t ∈(1,√3)；当0<a <1时，−1<2−t <t 2−t −1<1，解得：t ∈(√3,2). 【考点】函数恒成立问题奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断【解析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性；（2）判断函数的单调性，然后通过f(t 2−t −1)+f(t −2)<0，求实数t 的取值范围．【解答】解：(1)1+x1−x >0⇒x ∈(−1,1)，定义域关于原点对称，任意取x ∈(−1, 1)，f(−x)=log a 1−x1+x =log a (1+x1−x )−1=−log a 1+x1−x =−f(x)，故函数f(x)是奇函数．(2)∵ 当x ∈(−1, 1)时，1+x1−x =−1+21−x 单调递增，∴ 当a >1时，f(x)在(−1,1)上单调递增；当0<a <1时，f(x)在(−1,1)上单调递减． ∵ 函数f(x)是奇函数，∴ f(t 2−t −1)+f(t −2)<0⇔f(t 2−t −1)<f(2−t)，当a >1时，−1<t 2−t −1<2−t <1，解得：t ∈(1,√3)；当0<a <1时，−1<2−t <t 2−t −1<1，解得：t ∈(√3,2). 【答案】解：(1)设圆心为O ，连结OC ，BC.在直角△ABC 中，AC =AB cos θ=100cos θ，弧BC 的长=50×2θ=100θ，所以绿化带的总长度为f(θ)=200cos θ+100θ ，其中θ∈(0,π2). (2)f ′(θ)=−200sin θ+100,θ∈(0,π2), 令f ′(θ)=0，可得sin θ=12，所以θ=π6.当θ∈(0,π6)时，f ′(θ)>0，f(θ)单调递増；当θ∈(π6,π2)时，f ′(θ)<0,f(θ) 单调递减；所以f(θ)max =f(π6)=200×√32+100×π6=100√3+50π3，所以绿化带的总长度f(θ)的最大值为(100√3+50π3)米 .【考点】利用导数研究函数的最值在实际问题中建立三角函数模型弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设圆心为O ，连结OC ，BC.在直角△ABC 中，AC =AB cos θ=100cos θ，弧BC 的长=50×2θ=100θ，所以绿化带的总长度为f(θ)=200cos θ+100θ ，其中θ∈(0,π2). (2)f ′(θ)=−200sin θ+100,θ∈(0,π2), 令f ′(θ)=0，可得sin θ=12，所以θ=π6.当θ∈(0,π6)时，f ′(θ)>0，f(θ)单调递増；当θ∈(π6,π2)时，f ′(θ)<0,f(θ) 单调递减；所以f(θ)max =f(π6)=200×√32+100×π6=100√3+50π3，所以绿化带的总长度f(θ)的最大值为(100√3+50π3)米 .【答案】解：(1)由题意知，(2−k)(1+k)>0，解得：−1<k <2． ∵ k ∈Z ，∴ k =0或k =1，分别代入原函数，得f(x)=x 2． (2)由已知得，F(x)=2x 2−4x +3，要使函数F(x)在区间[2a,a +1]上不单调，则2a <1<a +1，解得：0<a <12，即实数a 的取值范围是(0,12).(3)由已知得，g(x)=−qx 2+(2q −1)x +1．假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2q−12q=1−12q <1，∴ 函数g(x)在[−1, 2]上的最小值只能在x =−1或x =2处取得. ∵ g(2)=−1≠−4，∴ 必有g(−1)=2−3q =−4，解得：q =2．此时，g(x)=−2x 2+3x +1，其对称轴x =34∈[−1,2]，∴ g(x)在[−1, 2]上的最大值为g(34)=−2×(34)2+3×34+1=178，符合题意，∴ 存在q =2，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q −1)x 在区间[−1, 2]上的值域为[−4,178]．【考点】二次函数的性质幂函数的性质函数的值域及其求法【解析】（1）由已知f(x)在(0, +∞)上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k 的不等式，解不等式求出实数k 的值，并得到函数f(x)的解析式；（2）由（1）中结果，可得函数F(x)的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a 的不等式，解不等式求出实数a 的取值范围；（3）由（1）中结果，可得函数g(x)的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q 的值．【解答】解：(1)由题意知，(2−k)(1+k)>0，解得：−1<k <2． ∵ k ∈Z ，∴ k =0或k =1，分别代入原函数，得f(x)=x 2． (2)由已知得，F(x)=2x 2−4x +3，要使函数F(x)在区间[2a,a +1]上不单调，则2a <1<a +1，解得：0<a <12，即实数a 的取值范围是(0,12).(3)由已知得，g(x)=−qx 2+(2q −1)x +1．假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2q−12q=1−12q <1，∴ 函数g(x)在[−1, 2]上的最小值只能在x =−1或x =2处取得. ∵ g(2)=−1≠−4，∴ 必有g(−1)=2−3q =−4，解得：q =2．此时，g(x)=−2x 2+3x +1，其对称轴x =34∈[−1,2]， ∴ g(x)在[−1, 2]上的最大值为g(34)=−2×(34)2+3×34+1=178，符合题意，∴ 存在q =2，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q −1)x 在区间[−1, 2]上的值域为[−4,178]．【答案】解：(1)∵ f ′(x)=ax+2x =2x 2+a x，x ∈(0,+∞),∴ ①若a ≥0，则f ′(x)>0恒成立⇒函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②若a <0，则f ′(x)=2x 2+a x=2(x+√−a 2)(x−√−a 2)x，令f ′(x)>0，解得：x >√−a2；令f ′(x)<0，解得：0<x <√−a2， ∴ 函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，在(√−a2,+∞)上单调递增. 综上，当a ≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，在(√−a2,+∞)上单调递增.(2)满足条件的正实数a 不存在．理由如下：由(1)可知，当a >0时，函数f(x)=a ln x +x 2在[1，e]上为增函数. 不妨设1≤x 1≤x 2≤e ，则|f(x 1)−f(x 2)|≤|1x 1−1x 2|，即f(x 2)+1x 2≤f(x 1)+1x 1，∴ g(x)=f(x)+1x 在[1,e ]上单调递减， ∴ g ′(x)=ax +2x −1x 2≤0在[1,e ]上恒成立，即a ≤1x −2x 2在[1,e ]上恒成立. ∵ y =1x −2x 2在[1,e ]上单调递减， ∴ a ≤1e −2e 2<0，∴ 满足条件的正实数a 不存在． (3)当a =1时，f(x)≤e x −bx x 2+x 2对∀x ∈(0,+∞)恒成立，即ln x ≤e x −bx x 2对∀x ∈(0,+∞)恒成立，∴ 当x =1时，b ≤e . ∵ b ∈Z ， ∴ b ≤2.下面证明：当b =2时，ln x ≤e x −bx x 2对∀x ∈(0,+∞)恒成立.当b=2时，ln x≤e x−bxx2，即2x+ln x≤e xx2.设g(x)=e xx2−2x−ln x(x>0)，则g′(x)=(e x−x)(x−2)x3，易知，e x−x>0，∴当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)≥g(2)=e2−4−4ln24>2.72−4−4ln24>3−4ln24>0，即当b=2时，ln x≤e x−bxx2对∀x∈(0,+∞)恒成立，∴b max=2.【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：(1)∵f′(x)=ax +2x=2x2+ax，x∈(0,+∞),∴ ①若a≥0，则f′(x)>0恒成立⇒函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②若a<0，则f′(x)=2x2+ax =2(x+√−a2)(x−√−a2)x，令f′(x)>0，解得：x>√−a2；令f′(x)<0，解得：0<x<√−a2，∴函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，在(√−a2,+∞)上单调递增.综上，当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，在(√−a2,+∞)上单调递增.(2)满足条件的正实数a不存在．理由如下：由(1)可知，当a>0时，函数f(x)=a ln x+x2在[1，e]上为增函数. 不妨设1≤x1≤x2≤e，则|f(x1)−f(x2)|≤|1x1−1x2|，即f(x2)+1x2≤f(x1)+1x1，∴g(x)=f(x)+1x在[1,e]上单调递减，∴g′(x)=ax +2x−1x2≤0在[1,e]上恒成立，即a≤1x −2x2在[1,e]上恒成立.∵y=1x−2x2在[1,e]上单调递减，∴ a≤1e−2e2<0，∴满足条件的正实数a不存在．(3)当a=1时，f(x)≤e x−bxx2+x2对∀x∈(0,+∞)恒成立，即ln x≤ex−bxx2对∀x∈(0,+∞)恒成立，∴当x=1时，b≤e.∵b∈Z，∴b≤2.下面证明：当b=2时，ln x≤ex−bxx2对∀x∈(0,+∞)恒成立.当b=2时，ln x≤ex−bxx2，即2x+ln x≤e xx2.设g(x)=exx2−2x−ln x(x>0)，则g′(x)=(e x−x)(x−2)x3，易知，e x−x>0，∴当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)≥g(2)=e2−4−4ln24>2.72−4−4ln24>3−4ln24>0，即当b=2时，ln x≤ex−bxx2对∀x∈(0,+∞)恒成立，∴b max=2.。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =ln (x −1)}，B ={x|x 2−4≤0}，则A ∩B =( ) A.{x|1<x <2} B.{x|x ≥−2} C.{x|1<x ≤2} D.{x|−2≤x ≤2}2. α,β∈[−π2, π2]，且αsin α−βsin β>0，则下面结论正确的是（） A.α+β>0 B.α>βC.α2>β2D.α<β3. 函数f(x)=ln |x|x 3的部分图像是( )A.B.C. D.4. 已知角α的终边经过点(1,3)，则2cos 2α−sin 2αcos 2α=（）．A.3B.±78C.−178D.785. 已知sin (β−α)cos β−cos (α−β)sin β=35，α为第三象限角，则cos (α+π4)=（）A.7√210 B.√210 C.−√210D.−7√2106. 在△ABC 中，如果cos (2B +C )+cos C >0，那么△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形7. 如图，在等腰直角△ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则 AF →=( )A.415AB →+815AC →B.815AB →+415AC →C.35AB →+15AC →D.25AB →+15AC →8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为 108∘ 的等腰三角形）. 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12. 根据这些信息，可得sin 1314∘=( )A.−2√5−14B.−3+√58C.−√5+14D.−4+√58二、多选题已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为P (2m,−m )(m ≠0)，则下列各式一定为负值的是( ) A.cos 2α B.cos α−sin α C.sin αcos α D.tan α已知函数f (x )=sin x cos x −cos 2x ，则（） A.对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1 B.函数f (x )的图象可由函数y =√22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到 C.函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数 D.直线x =3π8是函数f (x )图象的一条对称轴将函数f(x)=sin (ωx +φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（） A.8 B.4C.12D.6数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（）A.f(x)=x 3可以是某个圆的“优美函数”B.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个C.正弦函数y =sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数y =f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y =f(x)的图象是中心对称图形三、填空题已知函数f(x)={log 3(x +1)−2,x ≥0,f(x +3),x <0,则f(−2020)=________.sin 65∘−sin 35∘cos 30∘cos 35∘=_________.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD =80，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则图中海洋蓝洞的口径为________.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则面积S 的最大值为________. 四、解答题设函数f(x)=a x −(k −1)a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立的t 的取值范围．如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AE=12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC →=a →，AD →=b →．(1)用a →，b →分别表示向量AB →，EB →；(2)若AF →=tAD →，求实数t 的值．已知α，β为锐角， sin α=45，cos (α+β)=−√55. (1)求cos 2α的值；(2)求sin β的值．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2．设F 为线段AC 上一点，CF =√2BF ．有下列条件：①c =2；②b =2√3；③a 2+b 2−√3ab =c 2．请从这三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ABF 的面积．已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度．得到函数y =g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π12]时，求函数y =f (2x +π12)−√2f (2x +π3)的值域．已知函数f (x )=e x ，g (x )=ax +b, a, b ∈R .(1)若g (−1)=0，且函数g (x ) 的图象是函数f (x ) 图象的一条切线，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )>x 2+m 对任意x ∈(0,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若对任意实数a ，函数F (x )=f (x )−g (x )在(0,+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且对数函表的透义域交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函根的盖调道及年调区间函数因象的优法函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值任意较的概停【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式三角都数升恒害涉换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】三角形水来状判断两角和与验流余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理向都指减家及雨几何意义向明的月响分其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】三角函表的综简求值正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】二倍角三余弦公最任意角使三角函如【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函较的对盛性正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解都还形余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用余于视理同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】向量因滤性线算性吨及几何意义向量水较线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二倍角三余弦公最两角和与表擦正弦公式同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函射的单调长正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用都数资究不长式化成立问题函数于成立姆题利用三数定究曲纵上迹点切线方程利用验我研究务能的单调性函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

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2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，那么tan (A +C)的值是( ) A.−√3 B.√3 C.不确定 D.−√332. 公差不为0的等差数列第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q 为( ) A.1 B.2 C.1或3 D.33. 已知tan (x +π4)=2，则tan x tan 2x的值为( )A.49 B.94C.3D.134. 已知{a n }是等比数列，且公比q =2，若a 1+a 2+a 3+...+a 100=240，则a 4+a 8+a 12+...+a 100=( ) A.128 B.15 C.60 D.305. 已知函数f (x )=lg x ，若f (ab )=3，则f (a 2)+f (b 2)的值为( ) A.6 B.4 C.8 D.96. 已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ∗)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题： ①数列{a n }中的最大项为S 10 ②数列{a n }的公差d <0 ③S 10>0 ④S 11<0 其中正确的序号是( ) A.②④ B.②③④ C.①③④ D.②③二、填空题在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，E 为CD 中点，则AE →⋅BD →=________.在△ABC 中，若9cos 2A −4cos 2B =5，则BCAC 的值为________．三、解答题如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45∘（其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上），设∠PAB =θ，tan θ=t ．(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值．(2)问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少（平方百米）？参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】三角函表的综简求值等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】二倍角验把切公式两角和与表型正切公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和等比使香的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向量验我何表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】解都还形基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 集合A ={x|−1≤x ≤1}，若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则B 可以是( ) A.{x|0<x <2} B.{x|−1≤x ≤1} C.{x|−2<x <1} D.{x|−1<x <1}2. 已知P ，Q 分别是棱长为1的正方体表面上两个点，则PQ 的最大值为( ) A.√3 B.1 C.2 D.√23. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程： e iθ=cos θ+i sin θ（i 为虚数单位），根据此公式可知，若e iθ+1=0，则θ的一个可能值为( ) A.π B.0C.3π2D.π24. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，⋯，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A.16 B.11C.36D.145. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据： (1)统计量：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(n =a +b +c +d)．(2)独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是（）A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关C.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（） A.44种 B.36种 C.48种 D.40种7. 若cos (15∘+α)=√23，则sin (60∘−2α)=( )A.59 B.2√149C.−59D.±2√1498. 已知正数x ，y ，z ，满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（） A.x +y <2z B.1x+1y=1zC.xy >2z 2D.3x >4y >6z二、多选题某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x （单位：万元）与年家庭消费y （单位：万元）的数据，制作了对照表：由表中数据得回归直线方程为y ̂=0.5x +a ，得到下列结论，其中正确的是( ) A.若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元 B.若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元 C.若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元D.若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元设向量a →，b →满足|a →|=|b →|=1，且|b →−2a →|=√5，则以下结论正确的是（） A.|a →−b →|=√2 B.a →⊥b →C.⟨a →,b →⟩=60∘D.|a →+b →|=2函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0, 0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f(x)的图象交于M ，N两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）A.函数f(x)的图象关于点(−2π3，0)成中心对称B.函数f(x)在(−3π2，−π)上单调递增C.若圆半径为5π12，则函数f(x)的解析式为f(x)=√3π6sin (2x +π3)D.函数f(x)的图象向右平移5π12个单位后关于直线x =5π6成轴对称甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（） A.A 1、A 2、A 3两两互斥 B.事件B 与事件A 1相互独立 C.P (B )=25D.P (B|A 1)=511三、填空题若3A n 3=2n C n 2，则n = .已知(x 2−1)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 16x 16，则a 4+a 5=________.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x +4)=f (2−x )．若当x ∈[−3,0]时， f (x )=2−x ，则f (2020)=________.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外．通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB ⊥β，B ∈β.已知OB =4AB ，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.四、解答题在①A 5=B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d (d >0)，等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ,B n 分别是数列{a n },{b n }的前n 项和，且b 1=3,A 2=3，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c r =2a r ×3n−a r ,1≤r ≤n 且r ∈N ∗，求前n 项和T n =c 1+c 2+⋯+c n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在△ABC 中，∠B=π3,AB =8，点D 在边BC 上，且CD =2,cos ∠ADC =17．(1)求sin ∠BAD ；(2)求AC 的长．已知函数f(x)=(log a x)2−log a x −2(a >0, a ≠1)． (1)当a =2时，求f(2)；(2)求解关于x 的不等式f(x)>0；(3)若∀x∈[2, 4]，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．如图，在Rt△SOA中，∠OSA=π6，斜边SA=4，半圆H的圆心H在边OS上，且与SA相切，现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体，点B为圆锥底面圆周上一点，且∠AOB=90∘(1)求球H的半径；(2)求点O到平面SAB的距离；(3)求二面角C−SB−A的余弦值．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分．M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表．(1)由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数Z（单位：万件）近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间(4.88,15.8]内的城市数为X，求X的数学期望（取整数）；②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？(2)现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到k个城市的M外卖订单数在区间(12.16,19.44]内的可能性最大，试求整数k的值．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.设函数f(x)=e xx,g(x)=ln x+1x.(1)求f(x)的单调区间；(2)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；(3)设函数F(x)=xf(x)[a+g(x)]，当a∈(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值点x0且e x0(a+ln x0)<0.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】复数因末指数颜可、三角形式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】简单体机板样【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】诱三公定二倍角三余弦公最【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算数量积常断换个平只存量的垂直关系数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】条件概验强独立事件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】组合及三合数公觉排列及于列数缺式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函使的以值函数水因期性偶函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】摆水因实滤汉应用的实例直线与正键所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值正因归理余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指、对数验极式的解法函数于成立姆题其他不三式的解州函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球较六质点于虫、练板的距离计算二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分层使求方法正态分来的密稳曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值利用都数资究不长式化成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。