第5讲 质点的角动量角动量守恒定律

上式也称为力对轴的力矩。 ③有心力对力心的力矩为零。 始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。
5.2 质点系的角动量定理
一 质点系对固定点的角动量 质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点 的角动量的矢量和。
n n L Li ri pi i 1 i 1
二 质点系的角动量定理
研究方法：先对每个质点应用角动量定理，然后 对所有质点求和。
对质点i应用角动量定理： n dLi M i ri Fi f ij dt j 1, j i 对质点系中所有质点求和，则有
Fj O
d Li d dt i 1 dt
n
dL ——等式左边 Li dt i 1 n n ri Fi ri fij i 1 i 1 j i
n
M ext M int
——等式右边
n ——各质点所受外力矩的矢量和。 M ext ri Fi i 1
二 质点的角动量定理
dv dP d F mv m 类比质点的动量定理 dt dt dt 考查质点角动量 L r mv 的变化率： dL d d (mv ) dr mv （r mv） r dt dt dt dt
所以地球绕太阳公转的角动量大小是
L mR 2 (6.0 1024 )(1.5 1011 )2 (2.0 107 )
2.7 1040 kg m2 /s
嫦娥二号卫星飞行路径
嫦娥二号卫星质量为2480千克, 绕月球飞行的圆轨 道高度为100公里, 周期为118分钟, 月球直径约3476 公里, 质量约7.349×1022 千克. 可求得嫦娥二号卫 星绕月球转动的角动量为 7.4351×1012 kg∙m2/s。
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj fij

f ji fij
O
例题3 ：一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。 解：
F F
M 2Fd
F
F
M 2 RF
—力偶矩
讨论
关于力矩
①力矩的单位为： N∙m ②在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：
M r F x Fx i j y Fy k z Fz
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
只是开普勒尚不理解，他所发现 的三大定律已传达了重大的“天 机”。 由于角动量正比于位矢的掠面速 度，因此开普勒第二定律意味着 角动量守恒。
行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引 力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平 行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。
所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量保持 不变。 L 角动量的方向不变，表明 位矢和速度所决定的平面 A 的方位不变，行星就在这 r v A 个平面内运动，它的轨道 是二维的。 证明： 设在 t 时刻，行星位于A 点，
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
角动量的定义：
L
0
r
L r mv (矢量)
r 和 mv 的夹角为 θ ， L 的大小为： L L rmv sin
mv

L 的方向：由 r 和 mv 按照右手螺旋法则确定。
角动量是状态量； 是描述质点对固定点的转动状态的物理量。
嫦娥二号卫星质量 kg 解： % m=2480;
% 绕月球飞行的圆轨道高度 km L = 7.4351×1012 h=100; % 绕月周期 minute T=118; -4 rad/s w = 8.8746 × 10 % 月球直径约 km D=3476; % 绕月角速度 rad/s w = 2*pi / (T * 60); % 绕月球旋转的角动量大小 kg∙m2/s L = m*((D/2+100)*10^3)^2 * w;
讨论
关于角动量
①角动量与位矢有关，位矢与参考点有关。 谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。 ②当质点作圆周运动时，θ= π / 2 角动量大小为： L mvr sin mvr mr 2
当质点作一般平面运动时， 角动量为：
ˆ i LrP x Px
ˆ j y Py
若 M 0
则有： L 常矢量
若质点(系)所受外力对某固定参照点的力矩矢量和 为零，则质点(系)对该固定点的角动量守恒。 —角动量守恒定律
讨论
关于守恒条件
• 质点(系)所受的合外力为零； • 合力矩为零。 • 在有心力的作用下,质点(系)对力心的角动 量都是守恒的； • 匀速直线运动的质点(系)对任意固定点的 角动量都是守恒的。 □
经dt 时间运动到 A点，
在此时间间隔内， 行星转过角位移 d ， 扫过的面积为
1 1 2 dS rd r r d 2 2
因此面积的变化率
dS 1 2 d 1 2 r r dt 2 dt 2 L 1 2 mr 2m 2m
有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。□

Fj
ri rj 与 fij 共线，矢积为0.
O
因此，所有内力矩的矢量和为0. □
所以对质点系有：
dL M ext dt
质点系所受的合外力矩等于其角动量对时 间的变化率。 ——质点系的角动量定理
5.3 角动量守恒定律
一 角动量守恒定律
dL 根据动量定理： M dt
冲量矩

t
t0
Mdt L L0 —角动量定理的积分形式
质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。
比较
dP t 冲量 Fdt P P0 F t0 dt 与动量定理在形式、结构上一致。
力矩和角动量必须都是对同一固定点的。
三 力矩 M r F M M rF sin 其中θ为 r 和 F 的夹角
mvr mr 2
末态 角动量守恒
mr 2 mr020
r0 2 2 0 r
r0 v v0 r
所以
或
□
运用动能定理，可计算这个力的功：
1 1 1 2 r0 2 2 2 W Ek mv mv0 mv0 [( ) 1] 0 2 r 2 2
可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程 中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。
从上面两个例子看到，动量守恒只是对匀速直线运 动的质点成立而对有心力场中质点的运动不成立。
但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的掠面速度 都相等，都相应存在一个守恒量，这就是角动量。 因此我们引入角动量的概念。 角动量概念与线动量类似，但它是描述质点绕某一 固定参照点的转动状态的物理量。
角动量也有时称其为动量矩。□
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
ˆ k ˆ 0 ( xPy yPx )k 0
③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
ˆ i LrP x Px
ˆ j y Py
ˆ k z Pz
Lx ( yPz zPy ) Ly ( zPx xPz ) Lz ( xPy yPx )
④角动量的单位为: kg ∙ m2/s
例题1 ：质点作直线运动的角动量。 解： 广义的转动： 质点位置矢量的方向发 生了变化─转动
y
r
o
L
z
L mvr sin mvr
r
p
x
L mvr rP
L mvr
例题2 ： 地球公转（圆轨道）的角动量。 解： 地球的轨道半径是 R 1.5 1011 m 24 m 6.0 10 kg 它的质量是 地球每年 (T 365d) 运动一周 (2 rad) 因此可得，它绕太阳的角速率 2 2 / T 2.0 107 rad/s (365d)(24h/d)(3600s/h)
Hale Waihona Puke Baidu
匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。
再来看有心力场的简单情形。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动，此时动量 P mv
因速度的方向一直在改变而不守恒。
但质点的位矢与动量的矢量积 r mv 是一个常矢量 它的大小为 mvr ， 方向始终垂直于纸面向外。 r mv 就是质点(关于O点)的角动量 显然，位矢 r 的掠面速度vr / 2在圆周上各点相等。 匀速圆周运动的质点关于圆心的角动量是常数。
星系的形状可能与此有关。 星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质 量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什 么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像 银河系这样的星系呈扁平状。
This is 我们的太阳！
银河系
仙女座星系 (220万光年)
例题5 一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s， 远地点327km，求卫星在该点的速率。
d
由于各三角形具有公共高线 OH =d，因此掠面速 度相等。 所以有：
1 v t d 1 1 dS 2 vr sin vd 常量 2 2 dt t
由上式可得： 写成矢量式：
mvr sin 常量
r mv 常矢量 rP
r mv 称为质点(关于O点)的角动量
M
M rF sin
0
r
rF
M Fr sin r F
力对某一固定点的力 矩的大小等于此力和 力臂的乘积。

F
r
r
F

F
程试 中问 ，： 对企 于鹅 从 点 的做 角自 动由 量落 为体 多运 少动 ？的 过
A
参 照 点落 的体 角运 动动 量中 和质 力点 矩对 同 一
二 开普勒第二定律的证明
动画中，行星在一段时间内从 A 点运动到B点，位 矢扫过的面积是ds1；在另一段相同的时间间隔内从 C点运动到 D点，这时位矢扫过的面积是 ds2 。开 普勒观测的结果是 ds1=ds2。
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
开普勒发现行星绕太阳的轨道是 椭圆形的，他把二十余年观测的 几千个数据归纳总结，提出了开 普勒三定律，开普勒为此欣喜若 狂。