复数法讲义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中平面几何
(叶中豪)
知识要点
几何变换及相似理论
位似及其应用
复数与几何
（1） 复数的意义及运算
（2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点
（5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积
（7） 90°旋转与正方形
（8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形
例题和习题
1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为
123::μμμ。求证：12
3
0PA
PB
PC 。
3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间
的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂
直。
5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD
＝∠ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。
6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得
△A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证：
AFDE 是平行四边形。
E
B
（2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。
G
8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是
定点。
9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角
三角形。求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形：
△BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA
是直角。又在
四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得
∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。
求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2
0A B C 或2
0A B C ；
（2）2
2
2
A
B C BC CA
AB ；
（3）
111
0 A B B C C A
。
13．（拿破仑定理）（1）在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的中心仍构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。14．（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形ABCDEF内接于一圆，它的边AB，CD，EF等于圆的半径。求证：六边形ABCDEF的其它三边的中点是正三角形的顶点。
15．已知四边形ABCD中，∠B=∠D=30°，自A作AM⊥BC于M，自A作AN⊥CD于N，且L是BD中点。求证：△LMN是正三角形。
16．如图，已知△ABC是正三角形，D是形内任意一点，作等腰Rt△BDE和等腰Rt△CDF，并以EF为底向下方作底角为30°的等腰三角形GEF。求证：A、G、D三点共线。
17．设D是△ABC内的一点，满足∠DAC＝∠DCA＝30°，∠DBA＝60°，E是BC边的中点，F是AC边的三等分点，满足AF＝2FC．求证：DE⊥EF。（2007年女子竞赛）
18．在△ABC的外围作三个正三角形：△DBC、△ECA、△FAB。若△DEF是正三角形，求证△ABC也是正三角形。
19．在△ABC的外围作三个相似三角形：△DCB∽△EAC∽△FBA。若△DEF是正三角形，
求证：要么△ABC 是正三角形，要么△DCB 、△EAC 、△FBA 同时是以120°为顶角的等腰三角形。
20．设点P 是正奇数边形A 1A 2…A 2n+1。的外接圆的弧121n A A 上。
求证：
21
20
n
n
k
k k k PA PA 。
21．在平面上任意给定n 个点P 1，P 2，…，P n 。求证：在单位圆上存在一点A ，满足：
1
1n
k
k AP 。