矩阵理论(16-17)试卷
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2016——2017学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷
试卷审核人： 考试时间： 2016.12.4
注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。
２.本试卷共8页，满分100分。答题时间150分钟。 学院： 姓名:_________________学号：
一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间，
{
}
2301233()(1)0;
()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=,
1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间；
2. 求W 的维数及其一组基．
二. (本题满8分)求矩阵
524
212
425
A
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
-
=-
--
的LU分解和LDU分
解．
三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ⨯的一个线性变换 ，
对任意的22
a b R c d ⨯⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 232a b a b b T c d c d d ⎛⎫+⎡⎤⎡⎤
= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
⎝
⎭ ； 1. 求T 在22
R
⨯的标准基 1112211
00
10
0,,,
000
01
0E E E ⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
220
00
1E ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
下的矩阵； 2. 求T 在22R ⨯的另一基 12
3
1
1010
0,,,
111
11
1G G G ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
4000
1G ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
下的矩阵．
四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为
3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A()
λ的不变因子与Smith 标准型．
五．(本题满分15分) 已知微分方程组
1
1232
1233
123++3+dx =3x x x dt dx =x x x dt dx =3x 3x x dt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
－－－
可简记为d x Ax dt =, 写出A 并求满足初始条件1(0)11x ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
=的解.
六．（本题满分10分）设
1011
131,
11
A
i
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
-
=--
-
作出A的盖尔圆, 并判
断哪些盖尔圆相交, 应用圆盘定理隔离A的特征值．
七．（本题满分10分）设矩阵
03
11
A
-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，试计算矩阵多项式
32
()2272
g A A A A E
=-++并求
1
A.
八. （本题满分10分）已知
010
001
230
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵A的Jordan
标准形J，并求10
A.
九.(本题满分15分) 设
1001
0112
,
1001
2111
A b
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
-
==
-
,
1.求A的满秩分解；
2.求A+；
3.判断线性方程组Ax b
=是否有解；
4.求线性方程组Ax b
=的极小范数解或极小范数最小二乘解（并指出所求的是哪种解）.