中位线及其应用

中位线及其应用
知识定位
中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。

中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理
1、三角形中位线定义
（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线
段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。

几何语言描述：
因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，
所以DE//BC,且DE=1
2
BC
提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。

b ：一个三角形有三条中位线。

c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。

2、三角形中位线的性质
（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
补充：有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

3、梯形中位线的定义和性质
（1）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）条数：梯形只有1条中位线,而三角形有3条.
（3）性质：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
符号表示：∵四边形ABCD是梯形
∴AD∥BC,
∵AM=BM,DN=CN
∴MN∥BC 且MN=(AD+BC)/2 例题精讲
A
B
D
C M N
【试题来源】1991年泉州市初二数学双基赛题
【题目】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。

求证：PM＝PN
【答案】如下解析
【解析】证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F
∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形
∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，
根据三角形中位线性质
PE＝
2
1
AC＝NF，PF＝
2
1
AB＝ME
PE∥AC，PF∥AB
∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC
即∠PEM＝∠PFN
∴△PEM≌△PFN
∴PM＝PN
【知识点】中位线及其应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点
求证：MN∥AD
【答案】如下解析
A
B C
M
P
E F
【解析】
证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
MP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2
1AC ∵BE ＝CF ， ∴MP ＝NP
∴∠3=∠4=2
MPN
-180∠
∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=2
MPN
-180∠ ， ∠2=∠3
∴NP ∥AC ∴MN ∥AD
证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG
则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG
∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180
∠CAD ＝
2
1（180
－∠FCG ） ∠CFG ＝2
1（180
－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 【知识点】中位线及其应用 【适用场合】当堂练习 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，中位线EF 与AC 、BD 分别交于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（ ）
4
321A C
E
F
N P
M
j A
B
G
D E
F
N
A、B、C、D、
【答案】C
【解析】解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，
∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM=CD，NF=CD．
∴EM=NF，
∵AB=3CD，设CD=x，
∴AB=3x，EF=2x，
∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，
∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，
S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，
S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，
S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，
∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，
图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，
∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．
【知识点】中位线及其应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为．
【答案】10
【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=1：2，
∴S△AEF：S△ABC=1：4，
∵△AEF的面积为5，
∴S△ABC=20，
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，
∴S△EBD=5，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．
【知识点】中位线及其应用
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知AB =12；AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD =5，BC =10．点E 是CD 的中点，则AE 的长是
．
【答案】AE =
132
【解析】 解：连接DB ，延长DA 到F ，使AD=DF ．
∵AD =5， ∴DF =5，
∵点E 是CD 的中点， ∴AE =
1
2
CF ， 在Rt △AB D 中，AD 2+AB 2=DB 2， ∴BD 2
2
512 =13， ∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD ， ∴AD ∥BC ， ∴∠ADC=∠BCD ， 又∵DF=BC ，DC=DC ， ∴△FDC ≌△BCD ， ∴FC=DB =13， ∴AE =
132
．
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．
G
B
C
D
E
F
M N A
【答案】如下解析
【解析】 证明：取AB 中点H ，
连接EH FH 、．
∵AE =ED AH =BH ，
∴1
2
EH BD EH =BD ∥，,
∴GNM HEF ∠=∠ ∵AH =BH BF =CF ，
∴1
2
FH AC FH =AC ∥，
∴GMN HFE ∠=∠ ∵AC <BD ∴FH <EH
∴<HEF HFE ∠∠ ∴GMN GNM ∠>∠
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
H
G
N
M
F
E D
C
B
A
【试题来源】
【题目】在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME
（1）如图24-1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是
（2）如图24-2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED的形状．
E
D
B C
E
D
B C
M
B C
【答案】如选解析
【解析】解：（1） MD=ME
（2）如图，作DF AB
⊥，EG AC
⊥，垂足分别为F G
、．因为DF EG
、分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F G
、分别是AB AC
、的中点．
又∵M是BC的中点，
∴MF MG
、是ABC的中位线．
∴
1
2
MF AC
=，
1
2
MG AB
=，////
MF AC MG AB
，．BFM BAC MGC BAC
∴∠∠∠∠
＝，＝．
BFM MGC DFM MGE
∴∠∠∠∠
＝．所以＝．
E
M
B C
DF EG
、分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
∴
1
2
EG AC
=，
1
2
DF AB
=．MF EG DF NG
∴＝，＝．
DFM MGE
∴≌．
DM ME FMD GEM
∴∠=∠
＝．
FMG GME GEM MGC GME
∠+∠=∠+∠+∠
90
EG AC EGC
⊥∴∠=︒
18090
GEM MGC GME EGC DME
∠+∠+∠+∠=∴∠=︒
【知识点】中位线及其应用
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】以ABC
∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD
∆和等腰Rt ACE
∆，90
BAD CAE
∠=∠=︒.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当ABC
∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是________；线段AM与DE的
数量关系是________；
（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N
M
E
D
C
B
A
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）AM DE ⊥，1
2
AM DE =
; （2）结论仍然成立。

证法一：如图，延长CA 至F ，使FA AC =，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．
∵DA BA EA AF ⊥⊥，，
∴90BAF DAF EAD ∠=︒+∠=∠．
在FAB ∆与EAD ∆中，FA AE BAF EAD BA DA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
FAB EAD ∆∆≌. ∴BF DE F AEN =∠=∠，.
∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=︒. ∴FB DE ⊥.
又CA AF =，CM MB =，∴AM FB ∥且1
2
AM FB = 1
2
AM DE AM DE ⊥=
，．
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
F
P
N M
E
D C
B A
习题演练
【试题来源】
【题目】等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．
Q P R O D C
B A
【答案】如下解析
【解析】 解：连结BP 、CR ．
∵ABCD 是等腰梯形，
∴AD BC =，OA OB =，OC OD =．
∵60AOB ∠=︒，∴AOB ∆、COD ∠都是正三角形． ∵P 是OA 的中点，R 是OD 的中点，
∴BP OA ⊥，CR OD ⊥
∴PQ 、RQ 分别是直角三角形PBC ∆、RBC ∆斜边上的中线． ∴1
2PQ BC QR ==，∵PR 是ODA ∆的中位线，
∴11
22
PR AD BC ==
∴PQR ∆是正三角形．
再给一种思路：(其实方法很多) 取BO 的中点E ，连结PE 、EQ ． 证明POR PEQ ∆∆≌，再证结论．
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
R C
D O
Q P
B
A
E
Q
P
R O
D
C
B
A
【试题来源】
【题目】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，
为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数
量关系。

小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=︒，60ADB BEC ∠=∠=︒小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系
（2）如图2，若30ABC ∠=︒，60ADB BED ∠=∠=︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

图1
F
E
D
C
B
A
图2
F
E
D
C
B
A
图3
F
E
D
C
B
A
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）DF EF =
（2）猜想：DF EF =
证明：过点D 作DG AB ⊥于G ，则90DGB ∠=︒，
∵60DA DB ADB =∠=︒，
∴AG BG DBA =∆，
是等边三角形 ∴DA BA =，
∵9030AGB ABC ∠=︒∠=︒， ∴1
2
AC AB BC =
=， ∴DBG BAC ∆∆≌
G
F E
D
C
B
A
∴DG BC =，
∵60BE EC BEC =∠=︒，
∴EBC ∆是等边三角形， ∴60BC BE CBE =∠=︒，
∴90DG BE ABE ABC CBE =∠=∠+∠=︒，
∵DFG EFB DGF EBF ∠=∠∠=∠，，
∴DFG EFB ∆∆≌， ∴DF EF =
(3)猜想：DF FE =
证法一：过点D 作DH AB ⊥于H ，
连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，
则90DHB ∠=︒，∵DA DB =，∴1AH BH HDB =∠=∠， ∵90ACB ∠=︒，∴HC HB =
∵EB EC HE HE ==，
，∴HBE HCE ∆∆≌ ∴234BEH ∠=∠∠=∠，
∴HK BC ⊥，∴90BKE ∠=︒ ∵2ADB BEC ABC ∠=∠=∠ ∴HDB BEH ABC ∠=∠=∠
∴90DBC DBH ABC DBH HDB ∠=∠+∠=∠+∠=︒
90EBH EBK ABC EBK BEK ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DB HE DH BE ∥，
∥ ∴四边形DHEB 是平行四边形， ∴DF EF =
证法二：分别过点D ，E 作DH AB ⊥于H ，EK BC ⊥于K ，连接HK 则90DHB EKB EKC ∠=∠=∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，
∴EK AC ∥
∵12DA DB HDB CK BK BEK =∠=∠=∠=∠，，，， ∵HK AC ∥
∴点H K E ，
，在同一条直线上
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4
K
2
3
1
H 4
F
E
D
C
B
A
【试题来源】 【题目】 【答案】 【解析】 解
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，90CAB ∠=︒，直线m 过点O ,过
A B C 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D E F 、、.
（1）当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明；
（2）当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
图3
图2
图1
D ()
O
A
C
m
E
F
O A
B
C
m
E F
D
D F
E
m
B
A
O
【答案】如下解析
【解析】 解： （1）猜想：BE CF AD +=
证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心
M
m
D ()
O F E
C
B
A
∴2AO OM =且AM BC ⊥ 又∵EF BC ∥ ∴AM EF ⊥
∵BE EF CF EF ⊥⊥，
∴EB OM CF ∥∥ ∴EB OM CF == ∴2EB CF OM AD +== （2）图2结论：BE CF AD +=
证明：联结AO 并延长交BC 于点G 过G 做GH EF ⊥于H 由重心性质可得2AO OG =
∵90ADO OHG ∠=∠=︒, AOD HOG ∠=∠ ∴AOD GOH ∆∆∽ ∴2AD HG = ∵O 为重心
∴G 为BC 中点
∵GH EF BE EF CF EF ⊥⊥⊥，， ∴EB HG CF ∥∥ ∴H 为EF 中点
∴()1
2
HG EB CF =
+ ∴EB CF AD +=
（3）CF BE AD -=如图2，取DE 中点H ，连接CO 并延长交AB 于点G ，连接GH ，
COF GOH △∽△()AA ，
2
1
CF CO GH GO ==， 2CF GH =，2BE AD GH +=（梯形中位线），BE AD CF +=
G
图1
D O
F
E G
H
A
B C
E
F
m
O
D
图2
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5
G
D H
m
F
E O C
B
A
【试题来源】
【题目】以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD ，
其中30ABO DCO ∠=∠=︒ ．点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、
EM
（1）①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM
EM =_______；
②如图2，将图1中的AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其 他条件不变，判断
FM
EM
的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图3，若BO = 33，点N 在线段OD 上，且2NO = ．点P 是线段AB 上的一个动点，在将AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）①
FM EM =
3；
A
F
E
M
O
B D
C
1
2
3
4
5
6
图8
②结论：
FM
EM
的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接EF 、AD 、BC .（如图8）
∵Rt AOB 中，90AOB ∠=︒ ，30ABO ∠=︒ ， ∴3
tan 30AO BO ==
. ∵Rt COD 中，90COD ∠=︒ ，30DCO ∠=︒ ， ∴
3tan 30DO CO ==
∴3
AO DO BO CO == 又∵90AOD BOD ∠=︒+∠ ，90BOC BOD ∠=︒+∠ ， ∴AOD BOC ∠=∠ . ∴AOD BOC ∽ ． ∴
3
AD BC =
12∠=∠ . ∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点， ∴EF AD ，FM CB ，且1
2
EF AD =，12
FM CB =.
∴
3
EF FM =
316ADC ∠=∠=∠+∠ ，45∠=∠ . ∵25690∠+∠+∠=︒ ，∴14690∠+∠+∠=︒ ，即3490∠+∠=︒ .∴
90EFM ∠=︒ .
∵在Rt EFM 中，90EFM ∠=︒ ，3
tan EF EMF FM ∠= ∴30.EMF ∠=︒ ∴3
cos FM EMF EM =∠=
.
（2）线段PN 3
322，最大值为332.
【知识点】中位线及其应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4。