中位线及其应用

中位线及其应用

知识定位

中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理

1、三角形中位线定义

（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线

段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。

几何语言描述：

因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，

所以DE//BC,且DE=1

2

BC

提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。 b ：一个三角形有三条中位线。

c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。

2、三角形中位线的性质

（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，

①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等

②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边

③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰

补充：有关线段中点的其他定理还有：

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等

因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

3、梯形中位线的定义和性质

（1）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）条数：梯形只有1条中位线,而三角形有3条.

（3）性质：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

符号表示：∵四边形ABCD是梯形

∴AD∥BC,

∵AM=BM,DN=CN

∴MN∥BC 且MN=(AD+BC)/2 例题精讲

A

B

D

C M N

【试题来源】1991年泉州市初二数学双基赛题

【题目】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN

【答案】如下解析

【解析】证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F

∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形

∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，

根据三角形中位线性质

PE＝

2

1

AC＝NF，PF＝

2

1

AB＝ME

PE∥AC，PF∥AB

∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC

即∠PEM＝∠PFN

∴△PEM≌△PFN

∴PM＝PN

【知识点】中位线及其应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点

求证：MN∥AD

【答案】如下解析

A

B C

M

P

E F

【解析】

证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN

MP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2

1AC ∵BE ＝CF ， ∴MP ＝NP

∴∠3=∠4=2

MPN

-180∠

∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补）

∴∠1=∠2=2

MPN

-180∠ ， ∠2=∠3

∴NP ∥AC ∴MN ∥AD

证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG

则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG

∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180

∠CAD ＝

2

1（180

－∠FCG ） ∠CFG ＝2

1（180

－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 【知识点】中位线及其应用 【适用场合】当堂练习 【难度系数】4

【试题来源】

【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，中位线EF 与AC 、BD 分别交于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（ ）

4

321A C

E

F

N P

M

j A

B

G

D E

F

N