材料力学习题答案2

材料力学习题答案2

在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。应力的单位为MPa 。

解 (a) 如受力图(a)所示

()70x MPa σ=，()70y MPa σ=-，0xy τ=，30α=o

(1) 解析法计算（注：P217）

()

cos 2sin 222

70707070 cos 6003522x y

x y xy MPa ασσσσσατα

+-=+--+=+-=o ()7070sin cos 2sin 60060.622

x y

xy MPa ασστατα-+=+=-=o (2) 图解法

作O στ坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由x σ、xy τ定Dx

点, y σ、yx τ定Dy 点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C 点, 以C 点

为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。由CDx 起

始, 逆时针旋转2α= 60°,得D α点。从图中可量得D α点

的坐标, 便是ασ和ατ数值。

已知应力状态如图所示，图中应力

单位皆为MPa 。试用解析法及图解法求:

(1) 主应力大小，主平面位置；

(2) 在单元体上绘出主平面位置及

主应力方向；

(3) 最大切应力。

解 (a) 受力如图(a)所示

()50x MPa σ=，0y σ=，()20xy MPa τ=

(1) 解析法 （数P218） 2max 2min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫

⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭

()

()2

25750050020722MPa MPa ⎧+-⎪⎛⎫=±+=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩

按照主应力的记号规定

()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-

02

220

tan 20.8500xy

x y

τασσ⨯=-=-=---，019.3α=-o

()13max 577

3222MPa σσ

τ-+===

(2) 图解法

作应力圆如图(a1)所示。应力圆

与σ轴的两个交点对应着两个主应

力1σ、3σ 的数值。由x CD 顺时针旋

转02α，可确定主平面的方位。应力

圆的半径即为最大切应力的数值。

主应力单元体如图(a2)所示。

(c) 受力如图(c)所示

0x σ=，0y σ=，()25xy MPa τ=

(1) 解析法

2

max 2

min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫

⎫=±+⎬ ⎪⎭

⎝⎭

()()2500252MPa MPa ⎧+⎪==⎨-⎪⎩

按照主应力的记号规定

()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-

02225tan 200xy

x y

τασσ⨯=-=-=-∞--，045α=-o ()13

max 25252522

MPa σστ-+=== (2) 图解法

作应力圆如图(c1)所示。应力圆与σ轴

的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ

的数值。由x CD 顺时针旋转02α， 可确

定主平面的方位。x CD 的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题图(c2)

所示。

对题中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应

力。设0.25μ=，14

t c σσ=。 解(a) ()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-

()1157r MPa σσ== （书：247）

()()()2123570.250758.8r MPa σσμσσ=-+=-⨯-=

()31357764r MPa σσσ=-=+=

4r σ=

()60.8

MPa =

=

()13157758.84

t rM c MPa σσσσσ=-=+⨯= （书：P250，讲课没有讲）

(c) ()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-

()1125r MPa σσ==

()()()2123250.2502531.3r MPa σσμσσ=-+=-⨯-=

()313252550r MPa σσσ=-=+=

4r σ=

()43.4MPa =

= ()131252531.34

t rM c MPa σσσσσ=-=+⨯=

车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa 、-900MPa 、-1100MPa 。若[σ] = 300MPa ，试对接触点作强度校核。

解 ()1800MPa σ=-，()2900MPa σ=-，()31100MPa σ=-

()[]()3138001100300300r MPa MPa σσσσ=-=-+===

4r σ=

()264MPa =

= []()300MPa σ≤=

用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。

图(a)示起重架的最大

起吊重量( 包括行走小车等)

为W=40kN ，横梁AC 由两根槽钢组成， 材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。

解 梁AC 受压弯组合作用。当载荷W 移至AC 中点处时梁内弯矩最大，所以AC 中点处横截面为危险截面。危险点在梁横截面的顶边上。

查附录三型钢表（P406），槽钢的A=29.30cm 2，Iy=1370cm 4 W=152cm 3。 根据静力学平衡条件， AC 梁的约束反力为：

()0C i M F =∑， 3.5sin 30 1.750RA F W -=o ①

0ix F =∑， cos300x RA RC F F -=o

由式①和②可得：

RA F W =， cos30cos30x RC RA F F W ==o o

危险截面上的内力分量为：

() cos3040cos3034.6x N RC F F W kN ===⨯=o o

()3.5

sin 30 1.75sin 30 1.75400.5352RA M F W kN m =⨯==⨯⨯=o

o g

危险点的最大应力

()3

3max 4634.6103510121229.3

10215210N y F M MPa A W σ--⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯⨯ (压)

最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。

图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，

F=15kN ，许用拉应力[]t σ=35 MPa 。试确定

立柱所需直径d 。

解 立柱横截面上的内力分量如图(b)

所示，F N ＝F=15kN ，M=0.4F=6kN ·m

，这是