山东省济宁第二中学2020届高三上学期期中考试数学答案

高三数学试题参考答案 2019.10

一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

C

D

C

A

D

A

C

B

B

D

A

C

二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分,其中16题答对一空得3分，全对得5分;

共20分)

13. 2 14.22 15.()0,+∞ 16.

2π

512

-

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）

17.解:由题意，得

. ……………………………………………………………1分

由集合A 得，12ax -<≤， （※）……………………………………………2分 因为{}

R 12B x x =∈-<≤， 所以， ①当0a >时，由（※）得以12A x x a a ⎧⎫

=-

<≤⎨⎬⎩⎭

， ………………………4分 所以，使

，则有11,22a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或1

1,22a

a

⎧->-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1a >； ……………6分

②当0a <时，由（※）式，得，21A x

x a

a ⎧⎫

=≤<-⎨⎬⎩⎭， …………………7分

所以，使

，只需2

1,12a

a

⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ，解得2a <-.……………………………9分

综上，所求实数a 范围是()(),21,-∞-+∞. ………………………………10分

18.解: （Ⅰ）在ABC ∆中()C A B =π-+，且cos cos cos C A B +=22cos A B ,

所以()cos cos cos 22cos A B A B A B -++=， ………………………1分 即sin sin 22cos A B A B =，

由于sin 0A ≠，所以sin 22B B =. ① ……………………………3分

又因为22

sin cos 1B B +=， ②

①代入②得()

2

22cos 1B

B +=,即21

cos 9

B =

. ……………………4分 由①可知cos 0B >（否则①式不成立），所以1

cos 3

B =

. ………………5分

（Ⅱ）由2a c +=得2c a =-. ③ ………………………………………6分 由余弦定理，得2222222cos 3

b a

c ac B a c ac =+-=+-

()()()222

284221333

a a a a a =+---=-+ ………8分

由③知02a <<，所以

24

43

b ≤<2b ≤<. ………………9分

故所求b 的范围是3⎡⎫

⎪⎢⎪⎣⎭

. ……………………………………………10分

19.解：（Ⅰ）因为()4432sin cos 224

x x f x x =++-

211

sin 2sin 424

x x =

-+ …………………………………………………2分

11cos 21112=2+cos 222422x x x x ⎫-=-⨯+⎪⎪⎝⎭

1=sin 226x π⎛⎫+ ⎪⎝

⎭, …………………………………………………………4分 所以，函数()f x 的最小正周期为2=2

π

π. …………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1=sin 226f x x π⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

，

因为,43x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣⎦

，所以52,,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ ① …………………6分

令sin 2+16x π⎛

⎫= ⎪⎝⎭，得2+62x ππ=，

所以6x π=，即为所求函数()f x 在,43ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦上的对称轴；………………8分

令sin 2+06x π⎛

⎫= ⎪⎝⎭

，得2+06x π=，所以12x π=-，

所以函数()f x 在,43ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（＊）…………10分

易判断函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在,63ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增.

所以，1146234

f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-

=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ……………………11分

故函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为12，最小值为………12分

【另解】接（＊）式

由①得sin 2126x π⎛

⎫-

≤+≤ ⎪⎝

⎭

，所以11sin 24262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， …11分 故函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为12

，最小值为4

-. ………12分

20.解：（Ⅰ）设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车x 辆，则在乙地销售该品牌的汽 车20x -辆，且[]0,20x ∈. …………………………………………………1分

依题意，可得利润()2

2

4.10.12200.1 2.140L x x x x x =-+-=-++.……3分

因为[]0,20x ∈，且x N *

∈，

所以，当10x =或11x =时，max 51L =. ……………………………………5分 即当甲地销售该新能源品牌的汽车10辆或11时，公司获得的总利润最大值为 51万元. ……………………………………………………………6分

（Ⅱ）由题设条件，得2

240408.4,200606018.6200

m n m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， …………………………8分 解得1

,0100

m n =

=， ………………………………………………………9分 所以2200100

x x y =+（0x ≥）. …………………………………………10分 令

225.2200100

x x +≤，即2250400x x +-≤，解得7270x -≤≤. 因为0x ≥，所以070x ≤≤.

故该新能源汽车行驶的最大速度是70千米/小时. ………………………12分

21.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 公比为q ，

因为3221S S =+，且11a =，所以2

11111221a a q a q a a q ++=++，……1分

即2

20q q --=，解得2q =或1q =-. ……………………………………2分

所以，当2q =时，1

2n n a -=；

当1q =-时，()

1

1n n a -=-. …………………………………………3分

（Ⅱ）若数列{}n a 为递增数列，则由（Ⅰ）知1

2n n a -=，

所以()2121121222n

n n n n n b n a --⎛⎫

===- ⎪⎝⎭

. …………………………………4分

所以()23

1

111135212222n

n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

， ① …………5分