生存金
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0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
第二节
与生存相关联的一次性支付
定义
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n年末获得生存赔付的保险。 也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保 险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保 费为 Ax:n1 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险的 精算现值 n Ex Ax:1 v n n px
0.06
Hale Waihona Puke Baidu
0.54
例4.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var (Y )
例4.3答案
(1) a30 at fT (t )dt
0 70 70
1 e 0.05t 1 1 1 e 0.0570 dt 14.458 0.05 70 0.05 0.052 70 0 1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
本章结构
生存年金简介 与生存相联的一次性支付 连续生存年金 离散生存年金 年h次支付生存年金 等额年金的计算基数公式
第四章中英文单词对照
生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique
0
例4.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 的假定下，求
（1） ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过
ax
的概率。
例4.2答案
综合支付技巧
ax
1 vt
0
t p x x t dt
0.04 (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 0.06 0
0
Var[aT ]
1
[ 2Ax ( Ax ) 2 ] 2
1 (0.25 0.16) 25 0.062
Var[aT ] 5
例4.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
n
例4.1
计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 40 p25 0.78765825
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)10000 40 E25 10000 1.06 40 0.78765825 765 .78 (1)10000 40 E25 10000 1.025 40 0.78765825 2933 .48
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和 1 vT aT 步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的 年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，
ax E(aT ) aT fT (t )dt
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ext
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
第三节
连续生存保险
简介
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
都是间隔一段时间支付一次的系列付款 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条 件）
生存年金与确定性年金的联系
生存年金与确定性年金的区别
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
Var (aT )
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——当期支付技巧
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现 值 T
v
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支 付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (vT ) vt t px dt
第一节
生存年金简介
生存年金
生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半 年、季、月）支付一次保险金的保险类型 初付年金/延付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
分类
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex Ex n Ex
t
(3) n Ex t Ex n t Ex t
1 n t E x t
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
ax v t px dt e
e
dt e0.1t dt 10
0
例4.2答案
（2）Ax e 0.06t 0.04e 0.04t 0.4
0 2
Ax e 0.12t 0.04e 0.04t 0.25
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
第二节
与生存相关联的一次性支付
定义
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n年末获得生存赔付的保险。 也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保 险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保 费为 Ax:n1 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险的 精算现值 n Ex Ax:1 v n n px
0.06
Hale Waihona Puke Baidu
0.54
例4.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var (Y )
例4.3答案
(1) a30 at fT (t )dt
0 70 70
1 e 0.05t 1 1 1 e 0.0570 dt 14.458 0.05 70 0.05 0.052 70 0 1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
本章结构
生存年金简介 与生存相联的一次性支付 连续生存年金 离散生存年金 年h次支付生存年金 等额年金的计算基数公式
第四章中英文单词对照
生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique
0
例4.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 的假定下，求
（1） ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过
ax
的概率。
例4.2答案
综合支付技巧
ax
1 vt
0
t p x x t dt
0.04 (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 0.06 0
0
Var[aT ]
1
[ 2Ax ( Ax ) 2 ] 2
1 (0.25 0.16) 25 0.062
Var[aT ] 5
例4.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
n
例4.1
计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 40 p25 0.78765825
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)10000 40 E25 10000 1.06 40 0.78765825 765 .78 (1)10000 40 E25 10000 1.025 40 0.78765825 2933 .48
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和 1 vT aT 步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的 年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，
ax E(aT ) aT fT (t )dt
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ext
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
第三节
连续生存保险
简介
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
都是间隔一段时间支付一次的系列付款 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条 件）
生存年金与确定性年金的联系
生存年金与确定性年金的区别
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
Var (aT )
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——当期支付技巧
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现 值 T
v
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支 付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (vT ) vt t px dt
第一节
生存年金简介
生存年金
生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半 年、季、月）支付一次保险金的保险类型 初付年金/延付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
分类
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex Ex n Ex
t
(3) n Ex t Ex n t Ex t
1 n t E x t
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
ax v t px dt e
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0
例4.2答案
（2）Ax e 0.06t 0.04e 0.04t 0.4
0 2
Ax e 0.12t 0.04e 0.04t 0.25