几何中的分类讨论题
八年级数学几何题分类讨论
八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。
2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。
3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。
二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。
2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。
三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。
2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。
3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。
4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。
四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。
2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。
3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。
五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。
2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。
3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。
在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
初二分类讨论练习题
初二分类讨论练习题分类讨论是数学中常用的解题方法之一，通过将问题分解为若干个同类子问题来解决整体问题。
在初二数学学习中，分类思维的训练对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力是十分重要的。
本文将给出一些初二分类讨论的练习题，帮助学生加深对该解题方法的理解和运用。
一、排列组合类练习题1. 一个三位数，各位数字均不相同，且都是奇数，有多少个？解析：首先，百位数有5个选择（1、3、5、7、9），十位数有4个选择（0除外），个位数有3个选择，所以总共的不同三位奇数有15个。
2. 一桶里共有红球、蓝球、黄球各若干个，其中红球至少有两个，蓝球至少有三个，黄球至少有四个。
问这桶球中至少有几个球？解析：设红球个数为x，蓝球个数为y，黄球个数为z，根据题意，可列出不等式组如下：x >= 2y >= 3z >= 4求解这个不等式组，我们可以得到最少球的个数为2+3+4=9个。
二、几何形状类练习题1. 如图所示，已知矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，将其四个角各剪去一个相同的小正方形，则所得图形的面积为多少？解析：设每个小正方形的边长为x cm，根据题意，可列出如下方程：(6-2x)(4-2x) = 24将方程化简并解方程，得到x=1，故每个小正方形的边长为1cm，所得图形的面积为24-4=20平方厘米。
2. 如图所示，正三角形ABC的边长为8cm，点P在边BC上，且AP的长度为5cm，则三角形ABP的面积为多少？解析：根据正三角形的性质，角APB也是一个等边三角形，所以三角形ABP的面积为1/2 * 5 * 4 = 10平方厘米。
三、代数方程类练习题1. 一个数的九倍减去这个数的四倍等于24，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可列出方程9x - 4x = 24解方程得到x = 4，所以这个数是4。
2. 一个三位数能被3整除，且百位、十位、个位数字之和为15，求这个三位数是多少？解析：首先，百位数字至少为1，因为3个位数的情况下最小值为102。
初一上册分类讨论典型例题
初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。
通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。
下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。
1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。
假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。
根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。
如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。
所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。
当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。
当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。
所以答案是至少有1个数。
2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。
所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。
假设这4个点是A、B、C、D。
我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。
然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。
通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。
3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。
解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。
首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。
如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。
计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。
初中数学分类讨论专题
初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。
分类讨论的七年级数学题题目
以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。
给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。
首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。
如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。
如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。
如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。
如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。
例如，比较-3和2的大小。
首先，我们比较它们的绝对值。
|-3|等于3，而|2|等于2。
因为3大于2，所以-3小于2。
2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。
给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。
首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。
然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。
这样就可以得到最简形式的分式。
例如，约分36/48。
首先，我们找到36和48的最大公约数是12。
然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。
所以，36/48约分成最简形式是3/4。
3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。
给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。
首先，我们需要确定方程的解的类型。
如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。
如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。
例如，解方程2x+6=0。
首先，我们看到a=2且b=6。
因为a不等于0，所以方程有唯一解。
我们可以将方程变形得到x=-3。
所以，方程2x+6=0的解是x=-3。
4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。
给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。
绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。
期末复习专题等腰三角形中的分类讨论
50°
50°
B
2、以BC为一边
1、以AC为一边
C A
B A
C
A
C
3、以AB为一边
B C
A
C B
CB
A
B
A
B
C
A
B
主要思想：
不重复不遗漏!
1.角的分类:顶角、底角 2 .边的分类：腰、底边
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时，
如图，与（1）类似地也可以求得
C
D’ B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，AADD NhomakorabeaB
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
C
C
D
A
E
B
分类讨论思想(初一)
分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。
分类讨论例题
分类讨论例题
1. 哎呀呀，咱来看看这道题，就像分苹果一样，苹果有大有小，得分情况来分呢！比如说，小明和小红分 10 个苹果，要是小明想拿得多，那小红不就少啦？这就是一个分类讨论的情况呀！
2. 嘿，你想想看，走在路上也有分类讨论呀！比如前面有两条路，一条路近但不好走，一条路远但好走，你咋选呢？就像做数学题一样，不同情况得不同分析呀！比如计算三角形面积，锐角三角形和钝角三角形的算法能一样吗？肯定得分类讨论嘛！
3. 哇塞，分类讨论无处不在啊！好比去超市买东西，你得考虑价格、质量，不同的选择就是不同的分类讨论呢！比如说，有三种饮料，一种便宜但味道一般，一种贵但很好喝，还有一种中等价格和味道，你得根据自己的喜好和钱袋子来选吧，这就是很典型的分类讨论例题呀！
4. 哟呵，这分类讨论可有意思啦！就像一场比赛，不同的队伍有不同的策略，这就是分类呀！举个例子，数学考试里遇到一道题，要分奇数偶数来计算，这不是很明显的分类讨论嘛！
5. 哈哈，分类讨论就像选衣服，不同场合穿不同衣服呀！像是去运动穿运动服，参加派对穿礼服。
做题也一样呀！比如解一个方程，得看参数的大小来分别讨论呀！这道题：已知函数……，哎呀，根据不同情况来分析嘛，多有
趣呀！
6. 天哪，分类讨论太重要啦！就好比挑水果，有的甜有的酸，得按你的口味来选呀！比如算一个图形的周长，正方形和长方形能一样算吗？当然得分类讨论啦！你说对吧？
7. 哎呀呀，分类讨论简直是打开难题大门的钥匙嘛！就像安排行程，晴天和雨天有不同的玩法吧！比如说在解决几何证明题的时候，不同的图形情况就得分开来讨论，这样才能得出准确答案呀！咱可千万不能马虎呀！
我的观点结论是：分类讨论在数学和生活中都超级重要，能让我们更细致地思考和解决问题，一定要掌握好呀！。
专题10 几何图形中的分类讨论思想(原卷版)
专题10 几何图形中的分类讨论思想【典例解析】【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC 中，最小内角∠B ＝24°，若△ABC 被一过点A 的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC 中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC 中的最大内角度数为_____．【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为BC 边上一点，且ABD △和ACD △都是等腰三角形，则B ∠=______．【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标； （2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2020·重庆期末）如图，点C 在线段BD 上，AB BD ⊥于B ，ED BD ⊥于D ，90ACE ∠=︒，且5AC cm =，6CE cm =，点P 以2/cm s 的速度沿A C E →→向终点E 运动，同时点Q 以3/cm s 的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动（即沿E C E C →→→…运动），当点P 到达终点时，P ，Q 同时停止运动.过P ，Q 分别作BD 的垂线，垂足为M ，N .设运动时间为 t s ，当以P ，C ，M 为顶点的三角形与QCN △全等时，t 的值为__________．【例3】（2019·四川成都期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ． (1)如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；(2)如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．【变式3-1】（2020·河南偃师）（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O .①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.【变式3-2】（2020·山东崂山期末）直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB ．图1 图2 图3 图4 （1）如图1，已知AC ，BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线，①点A ，B 在运动的过程中，ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出ACB ∠的大小．②如图2，将ABC ∆沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C '，则ABO ∠=_______︒；如图3，将ABC ∆沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C ''，则ABO ∠=________︒．（2）如图4，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E ，F ，在AEF ∆中，如果有一个角是另一个角的32倍，求ABO ∠的度数．O A PQNMCO APQN MCO APQN MCQNM C'BBBBEAO F C'【习题专练】1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm ，则这个等腰三角形周长为_____cm ．2.（2020·重庆月考）如图，//AD BC ，120ADC ∠=︒，3BAD CAD ∠=∠，E 为AC 上一点，且2ABE CBE ∠=∠，在直线AC 上取一点P ，使ABP DCA ∠=∠，则CBP ∠：ABP ∠的值为______．3.（2020·湖北硚口期中）如图，在平面直角坐标系中，点()0,B m ，点(),C n m ，其中0m >，0n <，点A 是x 轴负半轴上一点，点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，则BPO ∠与BNO ∠之间可满足的数量关系式为______________．4.（2019·乐清市期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.（2020·厦门市）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0）（m ＜6），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个6.（2020·四川江油月考）在△ABC 中，AB =AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．7.（2020·南阳市期末）已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x ﹣1、x +1、3x ﹣2，求这个等腰三角形的周长．（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．解：①当 2x ﹣1=x +1 时，解 x 等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． ②当 2x ﹣1=3x ﹣2 时，解 x 等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． （2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．8.（2019·宜春市期中）如图，30MON ∠=︒，点A 为射线ON 上一顶点，点B 在射线OM 上移动，当AOB 为等腰三角形时，ABO ∠=_________．9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为______.10.（2020·江苏盱眙一期末）直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．11.（2020·乐陵市月考） 在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，点P 是一动点，连接PD 、PE ，∠PDB =∠1，∠PEA =∠2，∠DPE =∠α．（1）如图1所示，若点P 在线段AB 上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）； （2）如图2所示，若点P 在边AB 上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；（3）如图3所示，若点P 运动到边AB 的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）12.（2020·江苏东台期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC 和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．13.（2020·四川彭州期末）如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ． （1）当110BDA ∠=︒时，EDC ∠= °，AED =∠ °，DAE =∠ °； （2）当DC 等于多少时?ABD △≌DCE ，请说明理由．（3）在点D 的运动过程中，请直接写出当ADE 是等腰三角形时BDA ∠的度数．14.（2020·都江堰期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，点D 从点B 出发，沿B →C 方向运动到C （D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝30°，DE 交线段AC 于E ． （1）在点D 的运动过程中，若∠BDA ＝100°，求∠DEC 的大小； （2）在点D 的运动过程中，若AB ＝DC ，请证明△ABD ≌△DCE ；（3）若BC ＝6cm ，点D 的运动速度是1cm /s ，运动时间为t （s ）．在点D 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得△ADE 的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．15.（2019·湖北房县）在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A （–a ，0）、点 B （0， b ），且 a 、b 满足a 2+b 2–4a –8b +20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB ＝45°．（1）a ＝ ；b ＝ ．（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P ，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2020·广东宝安期中）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ．（1）若120α=︒，判断OB OD +_______BD (填“>，<或=”) （2）当150α=︒，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α=______时，AOD ∆是等腰三角形．(请直接写出答案)16.（2020·沙坪坝月考）如图，点C 是线段BE 上一点，6,8BC cm CE cm ==，分别以BC CE 、为边往线段BE 上、下做一个等边ABC ∆和等边CDE ∆，点N 以2/cm s 的速度从点B 开始，沿BE 方向运动，到点E 时停止运动，点G 以4/cm s 的速度从点D 开始，在线段DC 上往返运动(即沿D C D C →→→→…运动），当点N 到达终点时，N G 、同时停止运动，过点N 作//NM DE 交AD 于M ，过点G 作//GH DE 交BE 于H ，设运动时间为ts ，当CMN ∆与CHG ∆全等时，t 的值为__________。
分类讨论问题经典题型
分类讨论问题经典题型
分类研究问题
初中数学中的分类研究问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类研究法解答的数学题目，往往具有较强的规律性、综合性和探究性，既能全面考查同学的数学能力又能考查同学的思维能力，分类研究问题弥漫了数学辨证思想，它是规律划分思想在解决数知识题时的详细运用。
第一部分例题解析
1、代数部分
例1：化简：|x-1|+|x-2|
例2、代数式
a a
b b ab ab ||||||
++的全部可能的值有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 很多个
2、函数部分
例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（）。
A. 14
B. -6
C. -4或21
D. -6或14
例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分离为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
3、几何部分
1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） A ．50° B ．80°
C ．65°或50°
D ．50°或80°
2.某等腰三角形的两条边长分离为3cm 和6cm ，则它的周长为（） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
4、综合类：
例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 动身，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
初中几何分类讨论问题经典题例析
初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。
1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。
经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。
分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。
解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。
在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。
经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。
解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。
在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。
经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。
分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。
解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。
【初中数学】专题十九 “无图类”几何计算中的分类讨论思想 (练习题)
专题十九“无图类”几何计算中的分类讨论思想(361)1.已知∠COD=30∘，∠AOC=90∘，∠BOD=80∘，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．2.线段AB，BC均在直线l上，若AB=12m，AC=4m，M，N分别是AB，AC的中点，画图并求MN的长．3.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，BC=5cm，M是线段AB上的点，且AC∶BM=3∶1，求线段AM的长．4.如图，点C在线段AB上，AC=8cm，BC=6cm，M,N分别是AC,BC的中点．(1)求线段MN的长．(2)若C为线段AB上任意一点，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．(3)若点C在AB的延长线上，且AB=acm，M，N仍是AC,BC的中点，则MN的长度为(直接写出答案)．5.已知m，n满足等式(m−6)2+2|n−m+4|=0.(1)求m，n的值；(2)已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使AP=nPB，Q为PB的中点，求线段AQ的长，并画出图形．6.OC，OD是从∠AOB的顶点O引出的两条射线，若∠AOB=75∘，∠BOC=45∘,并且OD平分∠AOC，试求∠BOD的度数．参考答案1.【答案】:解：第一种情况：如图①所示，因为∠AOC=90∘，∠COD=30∘，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90∘+30∘=120∘，所以∠AOB=∠AOD−∠BOD=120∘−80∘=40∘.因为OM平分∠AOD，所以∠AOM=∠MOD=12×120∘=60∘，所以∠BOM=∠AOM−∠AOB=60∘−40∘=20∘.因为∠BOD=80∘，∠COD=30∘，所以∠BOC=80∘−30∘=50∘.因为ON平分∠BOC，所以∠BON=12∠BOC=25∘，所以∠MON=∠BON−∠BOM=25∘−20∘=5∘；第二种情况：如图②所示，因为∠COD=30∘，∠AOC=90∘，所以∠AOD=∠COD+∠AOC=30∘+90∘=120∘.因为OM平分∠AOD，所以∠AOM=∠MOD=12∠AOD=60∘，所以∠MOC=∠AOC−∠AOM=30∘.因为∠BOD=80∘，所以∠BOC=∠BOD+∠COD=80∘+30∘=110∘.因为ON平分∠BOC，所以∠CON=12∠BOC=12×110∘=55∘，所以∠MON=∠MOC+∠CON=30∘+55∘=85∘；第三种情况：如图③所示，∠MON=85∘.第四种情况：如图④所示，∠MON=5∘.综上所述，∠MON的度数为5∘或85∘.2.【答案】:解：第一种情况：若点C在线段AB上(如图①)．因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，所以AM=12AB=6cm，AN=12AC=2cm，所以MN=AM−AN=6−2=4(cm)；第二种情况：若点C在线段BA的延长线上(如图②)．因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，所以AM=12AB=6cm，AN=12AC=2cm，所以MN=AM+AN=6+2=8(cm)．综上所述，MN的长为4cm或8cm．3.【答案】:解：第一种情况：当点C在线段AB的延长线上时(如图①)．由线段的和差，得AC=AB+BC=10+5=15(cm)．由比例的性质，得BM=13AC=13×15=5(cm)．由线段的和差，得AM=AB−BM=10−5=5(cm)；第二种情况：当点C在线段AB上时，AC=AB−BC=10−5=5(cm)(如图②)．由比例的性质，得BM=13AC=13×5=53(cm)．由线段的和差，得AM=AB−BM=10−53=253(cm)．综上所述，线段AM的长为5cm或253cm．4(1)【答案】解：因为M是AC的中点，所以MC=12AC=12×8=4(cm)．因为N是BC的中点，所以CN=12BC=12×6=3(cm)．所以MN=MC+CN=4+3=7(cm)．(2)【答案】MN=7cm．理由：因为M是AC的中点，所以MC=12AC．因为N是BC的中点，所以CN=12BC．所以MN=MC+CN=12(AC+BC)=12×14=7(cm)．(3)【答案】12acm【解析】:如图所示：因为M是AC的中点，所以MC=12AC=12(AB+BC)．因为N是BC的中点，所以NC=12BC．所以MN=MC−NC=12(AB+BC)−12BC=12a(cm)．5(1)【答案】解：由(m−6)2+2|n−m+4|=0，得m−6=0，n−m+4=0.解得m=6，n=2.(2)【答案】由(1)得AB=6，AP=2PB．有两种情况：第一种情况：当点P在点B的左侧时(如图①)．则AB=AP+PB=6.因为AP=2PB，所以3PB=6，解得PB=2，则AP=2PB=2×2=4.因为Q为PB的中点，所以PQ=1PB=1，2所以AQ=AP+PQ=4+1=5;第二种情况：当点P在点B的右侧时(如图②)．因为AP=AB+PB，AP=2PB，所以2PB=6+PB，所以PB=6.因为Q为PB的中点，所以BQ=1PB=3，2所以AQ=AB+BQ=6+3=9.综上所述，AQ的长为5或9.6.【答案】:解：第一种情况：当OC在∠AOB的内部时，如图①所示，∠AOC=∠AOB−∠BOC=75∘−45∘=30∘.因为OD平分∠AOC，所以∠COD=1∠AOC=15∘，2所以∠BOD=∠BOC+∠COD=45∘+15∘=60∘；第二种情况：当OC在∠AOB的外部时，如图②所示，∠AOC=∠AOB+∠BOC=75∘+45∘=120∘. 因为OD平分∠AOC，所以∠COD=1∠AOC=60∘，2所以∠BOD=∠COD−∠BOC=60∘−45∘=15∘.综上所述，∠BOD的度数为60∘或15∘.。
几何分类讨论题例析
几何分类讨论题例析
几何分类讨论题例析是一种基于几何思想的特定讨论方式。
其主要目的在于从不同的几何角度把握问题，以结合不同的几何思维和方法，解决复杂的问题。
这种讨论方式可以帮助学生更加深入理解难题，并能够有效解决问题。
几何分类讨论题例析的具体方法为：
1. 首先，通过几何的基本概念、基本构造，将问题分类，如分类形体，形体间的关系，以及形体间的运算等；
2. 然后，根据分类结果，分析每类问题的特点，把握问题的关键；
3. 最后，根据分析结果，采用适当的几何思维和方法，解决问题。
几何分类讨论题例析的优点有：
1. 易于理解：几何分类讨论题例析是基于几何思想的，概念明确，易于理解；
2. 解决问题有效：采用几何分类讨论题例析能够有效解决复杂的问题；
3. 培养几何思维：几何分类讨论题例析能够促进学生思考，培养他们几何思维能力。
初一几何分类讨论例题
初一几何分类讨论例题几何学是数学的重要组成部分，它探索、研究和描绘空间结构，在日常生活中也有重要作用。
尤其在初中学习中，几何学的知识是很重要的，而在学习几何学的过程中，讨论例题可以帮助学生更好地理解概念和方法。
本文将重点介绍初一学生讨论几何问题的例题，以帮助他们掌握几何知识。
一、分类讨论1.积问题初一几何分类讨论中，面积问题是一个重要的分类。
例题如下：（1）一块面积为10方厘米的矩形，把它切成两块，一块面积为4平方厘米，另一块面积为多少平方厘米？（2）两个矩形的宽相等，一块的面积是4平方厘米，另一块的面积是6平方厘米，那么这两个矩形的边长分别是多少？（3）一块圆形桌布的边缘有一个半径为3厘米的圆。
这块桌布的面积是多少？2.度问题初一几何分类讨论中，角度问题也是一个重要的分类。
例题如下：（1）一个正六边形，每个内角等于多少度？（2）一个六边形的内角之和等于1260度，那么每个内角等于多少度？（3）三角形的内角之和等于180度，三个内角的大小分别是多少度？3. 体积问题初一几何分类讨论中，体积问题也是一个重要的分类。
例题如下：（1）一个立方体的体积是14平方厘米，那么它的棱长是多少？（2）一个圆柱体的体积是54立方厘米，那么它的底面半径和高度分别是多少？（3）一个球体的体积是27立方厘米，那么球体的半径是多少？二、解决方法1.积问题（1）此题是一个减法问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可以得出：一块面积为4平方厘米的矩形即为长为2厘米、宽也是2厘米；因此，另一块面积为：10-4=6方厘米。
（2）此题是一个方程问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可得出：4=ax，6=bx，其中a和b是两个矩形的边长，即a=2厘米，b=3厘米。
（3）此题可以利用圆的面积公式求得，即面积=πr，其中r是半径，r=3厘米，因此面积为：π*3=28.274（保留小数点后两位）平方厘米2.度问题（1）此题可以利用多边形内角和公式求得，即内角和=（n-2）*180°，其中n是多边形的边数，即此处n=6，内角和=（6-2）*180°=720°，内角等于720°÷6=120°；（2）此处n=6，内角和=1260°，内角等于1260°÷6=210°；（3）此题可以利用三角形内角和公式求得，即内角和=180°，其中A B C分别是三角形的三个内角，由此可得A+B+C=180°，解得每个内角等于60°。
分类讨论初一例题
分类讨论初一例题摘要：一、引言二、初一数学分类讨论的重要性三、初一数学分类讨论例题解析1.相似三角形的判定2.平行线的性质3.四则运算法则4.因式分解四、总结与建议正文：【引言】在初中数学的学习过程中，分类讨论是一种重要的思维方式，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。
特别是在初一阶段，学生刚刚接触几何、代数等概念，学会分类讨论对于打下扎实的数学基础具有重要意义。
本文将结合初一数学的例题，对分类讨论的方法进行详细解析。
【初一数学分类讨论的重要性】分类讨论是一种逻辑严密、层次清晰的解题方法。
通过对问题进行分类，学生可以更好地抓住问题的本质，从而提高解题效率。
同时，分类讨论有助于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
【初一数学分类讨论例题解析】1.相似三角形的判定对于判定两个三角形是否相似，可以分为以下三种情况：（1）两角分别相等（2）两角和为180°，且一边分别相等（3）三边分别相等2.平行线的性质平行线的判定和性质问题可以分为以下几种情况：（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补（4）平行线与横切线的性质3.四则运算法则在进行四则运算时，需要根据运算对象和运算符的性质进行分类：（1）纯数字运算（2）带分数运算（3）小数运算（4）百分数运算4.因式分解在进行因式分解时，需要根据多项式的性质进行分类：（1）提公因式法（2）公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法【总结与建议】通过以上例题的解析，我们可以看出，分类讨论在初一数学中起到了至关重要的作用。
因此，建议学生在学习过程中，注重培养自己的分类讨论意识，养成对问题进行分类的习惯。
等边三角形分类讨论题型
等边三角形分类讨论题型题型一：基于边长的分类讨论题目示例：已知三角形ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足条件a=b。
若三角形ABC是等边三角形，求c的值。
解析：基础性质回顾：等边三角形的定义是三边相等，即a=b=c。
分类讨论：已知a=b，若三角形ABC是等边三角形，则必有c=a=b。
因此，直接得出c的值等于a（或b），即c=a。
结论：在给定a=b的条件下，若三角形ABC是等边三角形，则c的值必然等于a（或b）。
题型二：基于角度的分类讨论题目示例：在三角形ABC中，∠A=60°，且AB=AC。
判断三角形ABC的形状，并说明理由。
解析：基础性质回顾：等边三角形的三个内角都是60°。
分类讨论：已知∠A=60°，且AB=AC，说明三角形ABC是等腰三角形（两边相等，对应底角相等）。
由于∠A是顶角，且为60°，那么两个底角∠B和∠C各为(180°-60°)/2=60°。
此时，三角形ABC的三个内角都是60°，满足等边三角形的条件。
结论：三角形ABC是等边三角形，因为∠A=∠B=∠C=60°，且AB=AC= BC。
题型三：结合其他几何元素的分类讨论题目示例：在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F在CD上，且EF =EC。
判断△ECF的形状，并证明。
解析：基础性质回顾：正方形的性质包括四边相等、四个内角都是90°。
分类讨论与证明：已知正方形ABCD，所以BC=CD，且∠BCE=∠DCF=90°。
点E是BC的中点，所以BE=CE=BC/2。
已知EF=EC，结合CE=BE，可以得出EF=BE。
在△BCE和△FCE中，由于BE=EF，CE=CE（公共边），且∠BCE=∠FCE =90°，根据SAS全等条件，△BCE≌△FCE。
因此，∠CEF=∠CBE=45°（正方形对角线将直角分为两个45°角）。
锐角三角形分类讨论专题
锐角三角形分类讨论专题
引言
三角形是几何学中最基本的图形之一，根据三个角的大小关系，可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
本文将讨论锐角三角形的分类方法以及一些特性。
锐角三角形的定义
锐角三角形是指三个角都小于90度的三角形。
它们的内角之
和为180度。
锐角三角形的分类
根据锐角三角形的边长关系，可以将锐角三角形进一步分为以
下两类：
1. 等腰锐角三角形：两边长度相等的锐角三角形。
在等腰锐角
三角形中，两个锐角也相等。
2. 不等腰锐角三角形：三边长度都不相等的锐角三角形。
在不
等腰锐角三角形中，三个角度也都不相等。
锐角三角形的特性
锐角三角形具有以下特性：
1. 在任意锐角三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2. 锐角三角形的面积可使用海伦公式计算，即 $S = \sqrt{p(p-
a)(p-b)(p-c)}$，其中 $a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的三边长，$p$ 表示三角形的半周长。
3. 锐角三角形的高度可以通过面积公式 $S = \frac{1}{2}bh$ 计算，其中 $b$ 表示底边的长度，$h$ 表示对应于底边的高度。
结论
锐角三角形是三角形中的一种重要类型，根据边长关系可分为等腰锐角三角形和不等腰锐角三角形。
锐角三角形具有一些特性，包括边长关系、面积计算和高度计算。
了解这些特性可以帮助我们更好地理解和分析锐角三角形的性质和应用。
以上是对锐角三角形分类讨论的简要介绍，希望对读者理解和研究锐角三角形有所帮助。
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几何中的分类讨论题
1、有一三角铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把他加工成一个矩形
铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍。
问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？
2、如图所示，现有一边长为12cm的正方形纸片，E为正方形的边AD上一点，
AE=10cm，现欲从正方形纸片上剪下等腰三角形AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P也在正方形的一边上）
3、正在修建的冬奥会的体育馆外有一块边长为6和8的直角三角形空地需要绿化,从三
角形的直角顶点出发作射线,将△ABC分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助画出图案,并计算出每块面积.
4、为了美化校园，决定把两种花栽种到一块等腰三角形的花圃中，要求一腰上的中线把两种花分开，并把三角形的周长分成9m和15m两部分，求花圃的面积。
5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
6、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cn，宽为16cm的长方形纸板上剪下一个
腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
7、红光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，
BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
8、美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长10米的等腰三角形绿
地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
9、已知四边形ABCD，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，画出图形并求四边形面积。
10、一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45度方向还有
一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想到经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根号）。
11、等腰梯形的上底长为2，下底长为3，且梯形的四个顶点都在边长为4的正方形的边上，求这个梯形的面积。