勾股定理知识讲解
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理公式知识点总结
勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。
一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。
2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。
一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。
勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。
4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。
通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。
以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。
在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。
二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。
下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。
例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。
2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。
例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。
3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。
例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。
4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。
勾股定理知识点+例题详解
勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则cb =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n m nm n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求８．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD += ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理(知识点)
A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。
勾股定理知识点总结
北
牧童 A 东 B 小屋
• 、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台 阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬 到B点最短路程是 。
如图所示，测得长方体的木块长4 cm， 宽3 cm，高5 cm．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶 点 A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的 顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去， 所走的路程会最短，并求最短路径．
类型八：综合
• 1.已知直角三角形的周长为30，斜边长为 13，则这个三角形的面积为 • 2. 如下左图，在高2米，坡角为30°的楼
梯表面铺地毯，地毯的长至少需 ________米．
• 一种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得 内径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯 口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
• 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平 分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长 。
类型六：证明问题
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一 点．求证：AD2 +DB2 =DE2．
A
D E
C B
• 如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB 上一点，且BF= AB。请问FE与DE是否垂 直?请说明。
例2 H G F B B
A
C
类型四：构造直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
• 等边三角形的边长为2，求它的面积。
• 四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13，求四边 形ABCD的面积。
勾股定理知识点总结归纳
精心整理第 18 章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变DC② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股H定理常见方法如下： E G方法一： 4SS正方形ABCD， 41 ab a) 2c2，化简可证．FS正方形EFGH (b b a2方法二： A c B 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． b a四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1 ab2 2a cc 2 ab cc b2大正方形面积为 S ( a b)2a22ab b 2cb c所以 a 222b c a方法三： S梯形1b) ( a b) ， S梯形2SADESABE 2112，化简得a b(a ab c2 2 2证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则 c a2b2， b c2 a 2， a c2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
八年级上册数学勾股定律
八年级上册数学勾股定律一、勾股定理的基本概念勾股定理可有意思啦，它说的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方呢。
就好比一个直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c，那么就有a² + b² = c²这个超酷的等式。
比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就是5，因为3²+4² = 9 + 16 = 25，5²也等于25呢。
二、勾股定理的证明1. 有个特别经典的证明方法叫赵爽弦图证明法。
赵爽呢，可是个很厉害的古代数学家。
他把四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形，中间又空出了一个小正方形。
从这个图形里就能很巧妙地推出勾股定理。
2. 还有欧几里得的证法也超棒。
他利用三角形的相似性等知识来证明勾股定理。
这就说明不同的数学家在不同的地方，用不同的思路都能证明这个伟大的定理。
三、勾股定理的实际应用1. 在建筑领域，勾股定理可太有用了。
工人们要确保墙角是直角的时候，就可以利用勾股定理。
比如测量出两面墙的边长，如果符合勾股定理的关系，那这个墙角就是直角。
2. 在航海中，当知道两个地点的坐标，要计算两点之间的直线距离的时候，也能用到勾股定理。
把横向和纵向的距离看作直角边，两点间的直线距离就是斜边。
3. 在测量山峰高度的时候，如果知道从山脚到山顶的水平距离和测量点到山顶的斜边距离，就可以用勾股定理算出山峰的高度啦。
四、勾股定理相关的有趣题目1. 有一个直角三角形，一条直角边是5，斜边是13，那另一条直角边是多少呢？根据勾股定理，设另一条直角边为x，就有5²+x² = 13²，25+x² = 169，x² = 169 - 25 = 144，所以x = 12。
2. 直角三角形的两条直角边的比是3:4，斜边是10，求两条直角边的长度。
设两条直角边分别是3x和4x，根据勾股定理可得(3x)²+(4x)² = 10²，9x²+16x² = 100，25x² = 100，x² = 4，x = 2。
勾股定理基础知识点
知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
勾股定理知识详解+典型例题
勾股定理（一）学习目标：1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．知识要点：一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，例：1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．三、直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．四、勾股定理的应用：1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．例题：一、与勾股定理有关的证明1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2二、与勾股定理有关的线段长2、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6三、与勾股定理有关的面积计算3、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16四、利用勾股定理解决实际问题4、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90 C．180 D．542．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米D．12或（7+）厘米3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150 B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是 m2．13.如图A ，一圆柱体的底面周长为24cm ，高BD 为4cm ，BC 是直径，一只蚂 蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是14.长方体的长、宽、高分别为8cm ，4cm ，5cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm ．15.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？16.某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 米17．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm ．（结果保留π）A BC三．解答题18．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．19.如图，中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．20．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．21、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．22、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
勾股定理知识点总结
第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，,化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：,，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４。
勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作.作法：如图所示(1）作直角边为1（单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。
斜边为;（3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析:可以把看作是直角三角形的斜边,，为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)
第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结一、引言勾股定理是数学中的基本定理之一，也是初等几何中最重要的定理之一。
它描述了直角三角形中三条边之间的关系，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本篇文章中，我们将深入探讨勾股定理的概念、证明方法、应用领域以及相关基本定理。
二、概念解析2.1 勾股定理的表述方式勾股定理有多种等价的表述方式，最常见的表述方式是：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.2 勾股定理的几何解释勾股定理可以通过几何方式进行解释，即在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。
可以用图形来表示如下：/|/ |/ |/___|在这个图形中，斜边对应的边为c，两直角边分别对应为a和b，根据勾股定理可得c² = a² + b²。
三、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中比较常用的方法有几何证明、代数证明和三角函数证明。
3.1 几何证明几何证明是最直观的证明方法，其中比较著名的有毕达哥拉斯的几何证明和欧几里得的几何证明。
这些证明方法利用了几何图形的性质，从而推导出勾股定理的等式关系。
3.2 代数证明代数证明是使用代数运算的方法，通过对三角形的边长平方进行代数计算，推导出勾股定理的等式关系。
代数证明通常需要应用到二次方程、因式分解等数学知识。
3.3 三角函数证明三角函数证明是将三角函数的性质与勾股定理联系起来，通过三角函数的定义和性质，推导出勾股定理的等式关系。
这种证明方法在高等数学中比较常见，对于熟悉三角函数的人来说较为容易理解。
四、勾股定理的应用领域勾股定理作为数学中的基本定理，被广泛应用于各个领域。
以下是几个常见的应用领域：4.1 地球测量学在地球测量学中，勾股定理被用来计算距离和角度。
通过测量两点之间的直角三角形边长，可以计算出两点之间的距离。
同时，勾股定理也被用来计算两条线之间的夹角，从而实现地球测量学相关应用。
4.2 建筑工程在建筑工程中，勾股定理被用来测量和校正建筑物的正方形和直角。
勾股定理知识点
勾股定理1、勾股定理的定义和应用定义：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
主要应用有：①已知直角三角形的两边，求第三边；②已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；③证明含平方关系的问题等。
有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。
例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.分析：由于△ABC 为直角三角形，就可先由勾股定理求出BC 。
再根据面积求出CD 的长。
解：由勾股定理可得222AB BC AC =+,即22253=+BC ，所以4=BC。
,2121CD AB BC AC S ABC ⋅=⋅=∴∆ ∴,5214321CD ⨯⨯=⨯⨯ ∴.512=CD （此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线）2、直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足22b a +2c =，那么这个三角形是直角三角形。
它可应用于判断三角形是否为直角三角形，从而得到直角，两条直线垂直等信息，也可解决实际问题。
3、勾股数：满足22b a +2c =的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25； 20，21，29； 9，40，41；…… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组，由这些勾股数的倍数为三边长的三角形也是直角三角形。
例：如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B 点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C 点，求A 、C 两点间的距离．解：过点B 作NM 垂直于正东方向，垂足为M ，则∠ABM=60°因∠NBC=30°，所以∠ABC=90°在Rt △ABC 中，AC=2222(5003)500AB BC +=+=1000（米）．4、勾股定理在现实世界的广泛应用（1）将实际问题转化为由勾股定理解决实际问题，关键是构造直角三角形。
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。
3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。
（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。
（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理知识点及例题讲解
第九讲勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形，其a b c中c为斜边。
3、勾股定理的作用|（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；:若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。
7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。
8、（9、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ）10、双垂图中的射影定理例题精讲~【例1】如图，证明勾股定理．【例2】填空题:》在△ABC 中,∠C 为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm.【巩固练习】1、2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；4、（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长；（3）板块一 勾股定理aaa ab b] b@（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．￥【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．>【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.《【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.'ABCD【 BA DCB AD【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP += ．"【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．$【巩固练习】 1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．`P M B C A ; A B S 12、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94^3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____$"1S2S3S4231【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °`【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a =，8b =，17c =；（2）13a =，14b =，15c =；（3）7a =，24b =，25c =．【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 《试判断△ABC 的形状《【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．，板块二 勾股定理逆定理A【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB求证：AF ⊥FE ．(》【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.|【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°>3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.~ 4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是初中数学中一个重要的几何定理。
它是描述直角三角形边长关系的定理，可以用来计算直角三角形的边长和判断是否为直角三角形。
下面将对勾股定理的定义、性质和应用进行总结。
一、定义：勾股定理可以用如下数学表达式进行定义：在一个直角三角形中，直角边（即与直角相邻的两条边）的平方和等于斜边的平方。
具体表达为：a² + b² = c²，其中a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边。
二、性质：1. 勾股定理适用范围广泛，不仅适用于直角三角形，也适用于一些非直角三角形的特殊情况，如钝角三角形。
2. 勾股定理在平面坐标系中也适用，可以用来求两点之间的距离。
3. 勾股定理的逆定理也成立，即若在一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
三、应用：1. 判断直角三角形：根据勾股定理，当a² + b² = c²成立时，可判定为直角三角形。
2. 计算缺失边长：已知直角三角形的两个边长，可利用勾股定理求解第三边长。
例如，已知a = 3，b = 4，求解c。
根据勾股定理，可得c = √(3² + 4²) = 5。
3. 解决实际问题：勾股定理不仅仅是一种抽象的数学定理，还广泛应用于实际问题的解决。
例如，在建筑设计中，可以利用勾股定理计算房间对角线的长度；在测量领域，可以利用勾股定理测量两点之间的距离等。
总结：勾股定理是直角三角形中的重要数学定理，具有重要的应用价值。
它不仅可以判断直角三角形，还可以计算三角形的边长和解决与距离有关的实际问题。
掌握勾股定理的定义、性质和应用，对于初中数学的学习和实际应用都具有重要意义。
通过以上对勾股定理的知识点总结，相信能够对这一定理有更加深入的理解。
在解决三角形相关问题时，勾股定理将成为你的得力工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来 判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考执占：I <7 八、、八\、♦主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理：1•勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 2即:直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理， 只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
2 •勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法二：见右图 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 — ab c 2 2ab c 2 2_222大正方形面积为 S （a b ） a 2ab b 所以a 2 b 2 c 2 111 方法三：S 梯形 （a b ） （a b ） , S 梯形2S ADE S ABE 22 2得证方法一：4SS 正方形EFGHSt 方形 ABCD ，1 4 ab 2(b a)2 c 2，化简可证.ba60 C . 76 D •803 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（a 2 b 2 > c 2）和钝角三角形（a 2 b 2 v c 2的三边就不具有这一特征，因而在 应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用（重点）① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90，则 c . a 2—b 2 , b . c^a 2 , a . c^b 2 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③ 可运用勾股定理解决一些实际问题④ 不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理⑤ 、勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；测量问题中的应用；实际生活中的应用；方 案问题中的应用。
注：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.5、例1、如图1是边长分别为a 、b 的两个正方形，经如图 2所示的割补可以得到边长为c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和•利用这个方法可以 推得或验证勾股定理•现请你通过对图 2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）A.割⑤补⑥B.割③补①C.割①补④D.割③补②解答：B2、（ 2013资阳）如图1,点E 在正方形ABCD 内，满足 AEB 90 , AE=6, BE=8,则阴影部分的面积是A • 483、（ 2013安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A . 8 米B . 10 米C . 12 米D . 14 米 4、如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1 , 4）和（3, 0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是A . （0, 0）B . （0, 1）C . （0, 2）D . （0 , 3）BC 是3米，斜边AC 是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯的长是（）A 、5mB 、6mC 、7mD 、8m6、（ 2011宜宾）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重 合，点B落在点F 处，折痕为AE ,且EF=3，则AB 的长为（）7、（ 2016宿迁）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点 A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE .若AB 的长为2,则 FM 的长为&图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在Rt △ ABC 中，若直角边 AC=6 , BC=5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长 （图乙中的实线）是（A. 52B. 48C. 72D. 765、如图是一段楼梯，高 A. 3 B.4 C. 5 D. 6M圏甲9、•如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来11、（2016临沂）如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使两个顶点 A 、C 重合，折痕为FG ,如图所示，在直SLtO 摆繭肴七个正方形，已亂5尸1, $旷2,岔心Sg,另外三*正方形的也长 分刖次乩b, c.（1）图中RtiABC 与 ___ 全等，刪DE 二」a=nAC 2+BC 2=_ ______ .⑵用上述（1）中患踰缶咖值.煨示=±ABC 与吐BDE 的斜辽相芋并且有一介第是盲魚只需二、一定是直角三角形吗？1、直角三角形的判定条件（重点）2 2 2如果三角形三边长 a ，b ，c 满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若2 2 2 2 2 2a b c ,时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若a b c ，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；② 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三10、如图 ABC 中， C 90 ,1 2，CD 1.5， BD 2.5，求 AC 的长若AB=4，BC=8，则△ ABF 的面积为.［来源学_科_网］C RE设一牛锐角相等冃阿1 _____边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形2、勾股数（难点）①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n2 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m n ,2 mn,m n （m n, m , n 为正整数）注：⑴判断勾股数的方法：必须满足a2 b2 c2，必须是正整数，两者缺一不可。
⑵、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.3、例1、已知：如图，/ B= / D=90。
，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
2、如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB = DC =8m , AD =BC =6m , AC =9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格D ----------------------- C考点：矩形的判定分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.4、方案设计方面的应用如图，铁路A B 两站相距25km,C 、D 是两个工厂位于铁路的同侧，其中 CAL AB, DBL AB,且 AC=15km BD=10km1） 尺规作图，在铁路 AB 上找一个点E 建中转站，使得 CE=DE 请作这个点。
（作 CD 的中 垂线与AB的交点即为E 点）2） 此时中转站 E 距A 站多远，请求出来。
三、勾股定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出边的长度， 二者相辅相成，完成对问题的解决.1、确定几何体上的最短路线（重点）在平面上解决最短路线的根据是线段的性质：在平面上，两点之间，线段最短，在 立体图形中，由于有一些面是曲面， 两点间的最短路线就不一定是两点间的线段长， 故应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线.例、（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 、底面周长为18cm ,在杯内离杯 底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18宽12的矩形， 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM ，过点C 作AB 的垂 线交剖开线MA 于点D 。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP + PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP 。
A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（/\/\||1■ 1% *.. ................................................ -由已知和矩形的性质，得DC=9 , BD=12 。
在Rt △BCD 中，由勾股定理得 BCDC 2 BD 2 92 122 15。
:.AP + PC=BP + PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。
2（2OO9-®施州）如图,长方俸的长为师宽丸讪高为20.点B 禹点酣距离为5,— 只酬如舉淞长方低的*点谯到晶需要胆濮狀距离是（＞/ /|| 1 1C1 20 Vb E. 25 C. 10|5+5D.2、直角三角形的判别法的应用直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可.解答：直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形 是否为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可1例、如图正方形 ABCD , E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且 BF= AB4--------------------------------- ----------------------------------% *% r*%%请问FE 与DE 是否垂直？请说明。