刚体作业答案

一、 选择题
[ C ]1、【基础训练2】一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力
[ D ]2、【基础训练3】如图5-8所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大 (A) 为
41mg cos θ． (B)为2
1
mg tg θ． (C) 为 mg sin θ． (D) 不能唯一确定
图5-8
个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定．
【提示】：
把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。

m m
图5-11
设L 为每一子弹相对与O 点的角动量大小，ω0为子弹射入前圆盘的角速度，ω为子弹射入后的瞬间与圆盘共同的角速度，J 为圆盘的转动惯量，J 子弹为子弹转动惯量，据角动量守恒定律有：
00
()J L L J J J J J ωω
ωωω+-=+=
<+子弹
子弹
[ C ]4、【自测提高4】光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为
3
1mL 2
，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图5-19所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 (A)
L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L 98v ． (E) L
712v ．
图5-19
【提示】：
视两小球与细杆为一系统，碰撞过程中系统所受合外力矩为零，满足角动量守恒条件，所以
2221
[(2)]12
lmv lmv ml ml m l ω+=++
可得答案（C ）
[ A ] 5、【自测提高7】质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
(A) ⎪⎭⎫
⎝⎛=
R J
mR v 2
ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针．
【提示】：
二、填空题
1、【基础训练8】绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间内飞轮所转过的角度θ=
250rad
．
O v 俯视图
2、【基础训练10】如图5-13所示，P 、Q 、R 和S 是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m 、3m 、2m 和m 的四个质点，PQ ＝QR ＝RS ＝l ，则系统对O O '轴的转动惯量为 50ml 2 。

3、【基础训练12】 如图5-14所示，滑块A 、重物B 和滑轮C 的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，滑轮对轴的转动惯量J ＝
2
1
m C R 2．滑块A 与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块A 的加速度
C
B A B m m m g
m a ++=
)(22
4、【自测提高9】一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图5-21所示．释放后，杆绕O 轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小M ＝/2mgl ，此时该系统角加速度的大小β ＝
23g l
． 【提示】：
图5-21
5、【自测提高12】一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为=μmgl /2
三、计算题
1、【基础训练16】一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0ω，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M k ω=- (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从0ω变为0
2
1
ω时所需时间．
2、【基础训练18】如图5-17所示、质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，求盘的角加速杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为3l 和3
l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以0
2
1v
的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．
解：系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：
碰前的角动量为：
l mv 3202m
m
2
1
v l
3
2l 3
1
碰后的角动量为：
所以：
得
4、【自测提高17】如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为0m ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上。

求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为201
2
m R ，
忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为ω0．质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R.)
解: 选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，故角动量守恒．
即系统起初的角动量J 0ω0与小球滑到B 点时系统角动量相同，
J 0ω0＝(J 0＋mR 2)ω
所以 00
2
0J J mR ωω=
+ 图5-26
图5-25
ω])3
1
(2)32([3221220l m l m l v m
++-ω])31
(2)32([322132
2200
l m l m l v m l mv ++-=l
v
230
=ω
又因环的内壁和小球都是光滑，只有保守力做功，系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点，则有
22222000111()222
B J mgR J m R v ωωω+=++
式中v B 表示小球在B 点时相对地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．代入ω得：
222002J mR R
J gR B ++=ωv
当小球滑到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律可知，小球在C 的动能完全由在A 点的重力势能转换而来．所以：
()R mg m C 22
12=v , gR C 4=v
四、附加题
1、【基础训练17】在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为
R 2
1
处，人的质量是圆盘质量的1/10．
开始时盘载人对地以角速度0ω匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图5-16所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为
22
1
MR ． 图5－16
求：(1) 圆盘对地的角速度．
ω
2、【（自测提高19】一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为m/4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为m的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为m/2的重物，如图5-27所示。

设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝mR2/4)
图5-27。