大一高等数学试题及答案

期末总复习题

一、填空题

1、已知向量2a i j k =+-，2b i j k =-+，则a b ⋅= -1 。

2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。

3、级数1113n n n

∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑的敛散性为 发散 。

4、设L 是上半圆周2

2

2

a y x =+（0≥y ），则曲线积分221

L ds x y

+⎰= a π 5．交换二重积分的积分次序：⎰⎰

--01

2

1),(y

dx y x f dy ＝

dy y x dx ),(f 0

x

-12

1

⎰

⎰

6．级数∑

∞

=+1)

1(1

n n n 的和为 1 。

二、选择题

1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ）

A 、重合

B 、平行但不重合

C 、一般斜交

D 、垂直

2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ）

A 、2221x z +=

B 、2221y z +=

C 、2221x y +=

D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2

2

>≤+y y x D ,则32222

ln(1)

1

D

x x y dxdy x y ++=++⎰⎰

（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π

4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=D

dxdy （ A ）

A 、π16

B 、π4

C 、π8

D 、π2

5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6

、

微

分

方

程

222()()0

y y y '''+-=的阶数为

（ B ）

A 、1

B 、2

C 、4

D 、6

7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

（ D ）

A 、3x x y e e C =++

B 、3x x y e Ce =+

C 、3x x y Ce e =+

D 、312x x y C e C e =+ 8

．

lim 0

n n u →∞

=为无穷级数

1

n

n u ∞

=∑收敛的

（ B ）

A 、充要条件

B 、 必要条件

C 、充分条件

D 、什么也不是

三、已知1=a

，3=b

，b a

⊥，求b a

+与b a

-的夹角.P7

四、一平面垂直于平面

0154=-+-z y x 且过原点和点

()3,7,2-，求该平面方程.（参考课

本P7例题）

五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求

O

221202

1

42b -a b a ))((cos 231))((2)301()(b - a 2

)301(a b a 0

ab b a =∴=

=⨯+-+=∴

-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ ）（ 解：b a b a b a b a b a b 0

z y 13x 4705B 4-A 54-1n 0C 3B A 2-0D 0D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有： ，， 又， 依题可得解：设平面方程为C )2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e y

z y y x x e x z dy xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dv

v u xy xy xy xy xy xy xy xy v v --=∂∂-+=∂∂--+-+=+-+-=-+-=+=∂∂+∂∂= ，进而可得　

变性，得

解：由全微分方程的不

y

z

x z dz ∂∂∂∂,,

. P19

六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数

y

z x z ∂∂∂∂,

xy

z xz y z y

z xy xz y z z y xy z yz x z x z xy yz x z z x z xyz z xyz -=

∂∂=∂∂--∂∂-=

∂∂=∂∂--∂∂=-=cos 0cos cos 0cos 0

sin sin 解得：求偏导数得：两边对解得：求偏导数得：两边对得解：由

七、求旋转抛物面2222y x z +=在点⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2,2

1,10M 处的切平面和法线方程.

{}{}

2

4

12411

2221

4

1

3240

)2()2

1(2)1(41,2,4,1,4,44),(,4),(,22),(0220

-=--=+--=-

=

-+=++-=---++---=-=='='+=z y x z y x z y x z y x M n y x n y

y x f x y x f y x y x f M y x 即：法线方程式为：即：处的切面方程式为：

故曲面在点所以：则：

解：令