大一高等数学试题及答案

期末总复习题
一、填空题
1、已知向量2a i j k =+-，2b i j k =-+，则a b ⋅= -1 。

2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。

3、级数1113n n n
∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑的敛散性为 发散 。

4、设L 是上半圆周2
2
2
a y x =+（0≥y ），则曲线积分221
L ds x y
+⎰= a π 5．交换二重积分的积分次序：⎰⎰
--01
2
1),(y
dx y x f dy ＝
dy y x dx ),(f 0
x
-12
1
⎰
⎰
6．级数∑
∞
=+1)
1(1
n n n 的和为 1 。

二、选择题
1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ）
A 、重合
B 、平行但不重合
C 、一般斜交
D 、垂直
2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ）
A 、2221x z +=
B 、2221y z +=
C 、2221x y +=
D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2
2
>≤+y y x D ,则32222
ln(1)
1
D
x x y dxdy x y ++=++⎰⎰
（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π
4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=D
dxdy （ A ）
A 、π16
B 、π4
C 、π8
D 、π2
5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6
、
微
分
方
程
222()()0
y y y '''+-=的阶数为
（ B ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
（ D ）
A 、3x x y e e C =++
B 、3x x y e Ce =+
C 、3x x y Ce e =+
D 、312x x y C e C e =+ 8
．
lim 0
n n u →∞
=为无穷级数
1
n
n u ∞
=∑收敛的
（ B ）
A 、充要条件
B 、 必要条件
C 、充分条件
D 、什么也不是
三、已知1=a
，3=b
，b a
⊥，求b a
+与b a
-的夹角.P7
四、一平面垂直于平面
0154=-+-z y x 且过原点和点
()3,7,2-，求该平面方程.（参考课
本P7例题）
五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求
O
221202
1
42b -a b a ))((cos 231))((2)301()(b - a 2
)301(a b a 0
ab b a =∴=
=⨯+-+=∴
-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ ）（ 解：b a b a b a b a b a b 0
z y 13x 4705B 4-A 54-1n 0C 3B A 2-0D 0D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有： ，， 又， 依题可得解：设平面方程为C )2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e y
z y y x x e x z dy xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dv
v u xy xy xy xy xy xy xy xy v v --=∂∂-+=∂∂--+-+=+-+-=-+-=+=∂∂+∂∂= ，进而可得　
变性，得
解：由全微分方程的不
y
z
x z dz ∂∂∂∂,,
. P19
六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数
y
z x z ∂∂∂∂,
xy
z xz y z y
z xy xz y z z y xy z yz x z x z xy yz x z z x z xyz z xyz -=
∂∂=∂∂--∂∂-=
∂∂=∂∂--∂∂=-=cos 0cos cos 0cos 0
sin sin 解得：求偏导数得：两边对解得：求偏导数得：两边对得解：由
七、求旋转抛物面2222y x z +=在点⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-2,2
1,10M 处的切平面和法线方程.
{}{}
2
4
12411
2221
4
1
3240
)2()2
1(2)1(41,2,4,1,4,44),(,4),(,22),(0220
-=--=+--=-
=
-+=++-=---++---=-=='='+=z y x z y x z y x z y x M n y x n y
y x f x y x f y x y x f M y x 即：法线方程式为：即：处的切面方程式为：
故曲面在点所以：则：
解：令
八、求函数())2sin(,y x xy y x f ++=在点()0,0P 处沿从点()0,0P 到点()2,1Q 的方向的
方向导数。

{}55
225115
2)0,0(51)0,0(2)0,0(,1)0,0()2cos(2),(),2cos(),(5251PQ 21PQ )
0,0(0=•+•
=•
'
+•'=∂∂='
='
∴++='
++='⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧== 故又，上单位向量易知的方向，
，即向量解：这里的方向x x y x y x f f f f f y x x y x f y x y y x f ι
ιι
九、计算二重积分⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由x 轴，y 轴与单位圆122=+y x 在第一象
限所围的区域.
169
)1(212
1,1
D Y D Y X D D D 213121=
-==≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy dsdy y x y y x y
y x y y D
故可用不等式组表示：此时积分，积分，后对型区域，则先对看成把型区域，型区域也是既是的草图可判断的草图，如图所示，从解：画出微积分区域
十、计算L
yds
⎰
，其中L 是顶点为()0,1A ，()1,0B 和()0,0O 的三角形边界. （参考
P79例2）
()[]1
2)()()()(,2
110)0()(,2
101)0()(2
2)1(11)(,
10,0,100,10,1,,L
10
102
10
102
1
2
1
0+=+++++=+==++=+==++=+==-+-+=+≤≤=≤≤=≤≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰OB
OA
AB
OB OA AB
ds y x ds y x ds y x ds y x ydy dy y ds y x xdx dx x ds y x dx dx x x ds y x x y y x x x y OA OB AB 故得： 则： ， 的方程分别为：解：
十一、求微分方程0sin cos cos sin =-ydy x ydx x 满足初始条件4
0π
=
=x y
的特解.P167
x C y C y x dy y
y
dx x x dy y
y dx x x cos cos ,
ln cos ln cos ln ,cos sin cos sin ,cos sin cos sin =+-=-==⎰⎰简化得：得：两边积分：：
解：将方程分离变量得 )cos 2
2
arccos(,cos 22cos ,22
40x y x y C y x =====或故所求方程的特解为：
得：带入，将条件π。